Giáo án Giải tích 11 chương 4 bài 2: Giới hạn của hàm số

Trần Sĩ Tùng

Đại số & Giải tích 11
Chương IV: GIỚI HẠN
Bài 2: GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ

Trọn bộ từ tiết 53-55
I. MỤC TIÊU:
Kiến thức:
− Biết khái niệm giới hạn của hàm số và định nghĩa của nó.
− Biết các định lí về giới hạn của hàm số.
Kĩ năng:
− Biết vận dụng định nghĩa vào việc giải một số bài toán đơn giản về giới hạn của hàm số.
− Biết vận dụng các định lí vào việc tính các giới hạn dạng đơn giản.
Thái độ:
− Tư duy các vấn đề của toán học một cách lôgic và hệ thống.
II. CHUẨN BỊ:
Giáo viên: Giáo án.
Học sinh: SGK, vở ghi. Ôn tập các kiến thức đã học về giới hạn của dãy số.
III. HOẠT ĐỘNG DẠY HỌC:
1. Ổn định tổ chức: Kiểm tra sĩ số lớp.
2. Kiểm tra bài cũ: (5')
2n + 2
1− 3n
H. Tính các giới hạn sau: lim
; lim
?
n
2n + 3n
2n + 2
1− 3n

= 2; lim
= –1
n
2n + 3n
3. Giảng bài mới:
TL Hoạt động của Giáo viên
Hoạt động của Học sinh
Nội dung
Hoạt động 1: Tìm hiểu khái niệm giới hạn hữu hạn của hàm số tại một điểm
• Xét hàm số:
I. Giới hạn hữu hạn của hàm số
tại một điểm
2x2 − 2x
15'
f (x) =
1. Định nghĩa 1: Cho khoảng K
x−1
chứa điểm x0 và hàm số y = f(x)
n+ 1
xác định trên K hoặc trên K\ { x0 } .
và dãy số (xn) với xn =
n
2n + 2
Ta nói hàm số y = f(x) có giới hạn
Đ1. f(xn) = 2xn =
H1. Tính f(xn) và lim f (xn) ?
n
là số L khi x dần tới x0 nếu với
2n + 2
∈ K \ { x0 }

⇒ lim f (xn) = lim
=2 dãy số (xn) bất kỳ, xn
và
• GV nêu định nghĩa.
n
xn → x0 ta có f ( xn ) → L.
Kí hiệu: lim f ( x) = L
Đ. lim

x → x0

hay f ( x) → L khi x → x0

H2. Tìm tập xác định ?

x2 − 4
Đ2. D = R \ {–2}
VD1:
Cho
f(x)
=
.
• GV hướng dẫn cách chứng • Cho (xn) bất kì với xn ≠ –2
x+ 2
minh.
và limxn = –2
f (x) = −4 .
CMR: xlim
→−2
⇒ limf(xn) = – 4

x = x0 ;
Nhận xét: xlim
→ x0
lim C = C với C là hằng số.

x → x0

Hoạt động 2: Tìm hiểu định lí về giới hạn hữu hạn
• GV nêu định lí và giải thích
2. Định lí về giới hạn hữu hạn
Định lí 1: Giả sử:
cách sử dụng định lí.
1


Đại số & Giải tích 11

Trần Sĩ Tùng
lim f ( x) = L; lim g ( x) = M

20'

x → x0

x → x0

 f (x) ± g(x) = L ± M
a/ • xlim
→x 
0

 f (x).g(x) = L .M
• xlim
→x 
0

f (x) L
=
(nếu M ≠ 0 )
x→ x0 g(x)
M
b/ Nếu f ( x ) ≥ 0 và lim f ( x) = L

• lim

x → x0

ø thì: L ≥ 0 và xlim
→ x0
• GV hướng dẫn cách sử
dụng định lí đề tìm giới hạn.

•
a) lim

x→3

=…=

3'

x2 + 1

lim(x2 + 1)

= x→3
lim2 x
2 x
x→3

5

3
• GV nhấn mạnh điều kiện sử
2
x + x− 2
dụng định lí: M ≠ 0
b)
= x+ 2
x−1
2
x + 2)
⇒lim x + x − 2 = lim(
x→1
x→1
x−1
=3
Hoạt động 3: Củng cố
• Nhấn mạnh:
– Định nghĩa giới hạn hữu

hạn của hàm số.
– Định lí về giới hạn hữu hạn
và cách sử dụng định lí.

f ( x) = L .

(Dấu của f(x) được xét trên
khoảng đang tìm giới hạn và x ≠
x0)
VD2: Tìm các giới hạn sau:
x2 + 1
a) lim
x→3 2 x
x2 + x − 2
x→1
x−1

b) lim

4. BÀI TẬP VỀ NHÀ:
− Bài 1, 3 SGK.
− Đọc tiếp bài "Giới hạn của hàm số".
IV. RÚT KINH NGHIỆM, BỔ SUNG:
.........................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................

2

Trần Sĩ Tùng

Đại số & Giải tích 11

Chương IV: GIỚI HẠN
Bài 2: GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ (tt)
Tiết dạy: 54
I. MỤC TIÊU:
Kiến thức:
− Biết khái niệm giới hạn của hàm số và định nghĩa của nó.
− Biết các định lí về giới hạn của hàm số.
Kĩ năng:
− Biết vận dụng định nghĩa vào việc giải một số bài toán đơn giản về giới hạn của hàm số.
− Biết vận dụng các định lí vào việc tính các giới hạn dạng đơn giản.
Thái độ:
− Tư duy các vấn đề của toán học một cách lôgic và hệ thống.
II. CHUẨN BỊ:
Giáo viên: Giáo án. Hình vẽ minh hoạ.
Học sinh: SGK, vở ghi. Ôn tập các kiến thức đã học về giới hạn của hàm số.
III. HOẠT ĐỘNG DẠY HỌC:
1. Ổn định tổ chức: Kiểm tra sĩ số lớp.
2. Kiểm tra bài cũ: (5')
2
2
H. Tính các giới hạn sau: lim x + 2x − 3 , lim x + 2x − 3 ?
x→3

2

x+ 3

x→−3

x+ 3

2

Đ. lim x + 2x − 3 = 2; lim x + 2x − 3 = –4
x→3

x+ 3

x→−3

3. Giảng bài mới:
TL

15'

x+ 3

Hoạt động của Giáo viên
Hoạt động của Học sinh
Nội dung
Hoạt động 1: Tìm hiểu khái niệm giới hạn một bên
3. Giới hạn một bên
Định nghĩa 2:
• GV nêu định nghĩa giới hạn • HS chú ý phân biệt giới hạn • Cho hàm số y = f(x) xác định trên
một bên và định lí.
bên trái, giới hạn bên phải và (x0; b). Số L đgl giới hạn bên phải

giới hạn.
của hàm số y=f(x) khi x → x0 nếu
với (xn) bất kì, x0 < xn < b và
xn → x0 ta có f ( xn ) → L.

f(x) = L
Kí hiệu: xlim
→ x+
0

• Cho hàm số y = f(x) xác định trên
(a; x0). Số L đgl giới hạn bên trái
của hàm số y=f(x) khi x → x0 nếu
với (xn) bất kì, acó f ( xn ) → L.
f(x) = L
Kí hiệu: xlim
→ x−
0

• GV hướng dẫn cách tìm giới
hạn một bên.
H1. Để tính các giới hạn bên trái

Định lí 2:
lim f(x) = L ⇔ lim− f(x) =
x→ x0

Đ1.
3

x→ x0


Đại số & Giải tích 11

Trần Sĩ Tùng

và bên phải thì ta chọn f(x)
tương ứng với công thức nào ?

lim f(x) = L .

lim f(x) = lim(x2 − 3) = –2
−

x→1

x→1−

lim f(x) = lim(5x + 2) = 7

x→1+

x→1+

⇒ không tồn tại xlimf(x)
.
→1

x→ x+0

VD1: Cho
f(x)
Tìm lim f(x) , lim f(x)
x→1−

x→1+

và xlimf(x)
(nếu có).
→1

20'

Hoạt động 2: Tìm hiểu khái niệm giới hạn hữu hạn của hàm số tại vô cực
• GV hướng dẫn HS quan sát đồ
II. Giới hạn hữu hạn của hàm số
tại vô cực
1
thị của hàm số f(x)=
và
• Cho hàm số y = f(x) xác định trên
x− 2
khoảng (a; +∞ ). Ta nói hàm số y =
nhận xét.
f(x) có giới hạn là số L khi x → +∞
nếu với (xn) bất kì, xn > a và xn→ +∞ ,
H1. Khi x → +∞ (–∞) thì f(x) → Đ1. f(x) → 0 khi x → +∞
?

ta có f ( xn ) → L.
(–∞)
• GV nêu định nghĩa.
f(x) = L .
Kí hiệu: xlim
→+∞

• Cho hàm số y = f(x) xác định trên
khoảng (–∞ ; a). Ta nói hàm số y =
f(x) có giới hạn là số L khi x → −∞
nếu với (xn) bất kì, xn < a và
xn → −∞ ta có f ( xn ) → L.
f(x) = L .
Kí hiệu: xlim
→−∞

• GV hướng dẫn cách tìm giới
hạn tại vô cực.

2x + 3

.
H2. Để tính lim f (x) , ta cần Đ2. Xét (xn) với xn < 1 và xn→– VD2: Cho f(x) =
x→−∞
x
−
1
∞
xét dãy số (xn) như thế nào ?
Tìm lim f (x) , lim f (x) .

2x + 3
x→−∞
x→+∞
limf(xn) = lim n
=2

xn − 1

⇒ lim f (x) = 2
H3. Tìm lim

x→+∞

3x − 2x
2

x +1

Nhận xét:
a) Với c, k là các hằng số và k ∈ N*:

x→−∞

2

?

Đ3. lim

x→+∞

3x2 − 2x
x2 + 1

=…=3

lim c = c ; lim c = 0
x→±∞ xk

x→±∞

b) Định lí 1 cũng đúng khi x → –∞
hoặc x → +∞ .
3'

• Nhấn mạnh:
– Cách tìm giới hạn một bên,
giới hạn hữu hạn của hàm số tại
vô cực.

Hoạt động 3: Củng cố

4. BÀI TẬP VỀ NHÀ:
− Bài 1, 2, 3 SGK.
− Đọc tiếp bài "Giới hạn của hàm số".
IV. RÚT KINH NGHIỆM, BỔ SUNG:
.........................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................

4


Trn S Tựng

i s & Gii tớch 11
Chng IV: GII HN
Bi 2: GII HN CA HM S (tt)
Tit dy: 55

I. MC TIấU:
Kin thc:
Bit khỏi nim gii hn ca hm s v nh ngha ca nú.
Bit cỏc nh lớ v gii hn ca hm s.
K nng:
Bit vn dng nh ngha vo vic gii mt s bi toỏn n gin v gii hn ca hm s.
Bit vn dng cỏc nh lớ vo vic tớnh cỏc gii hn dng n gin.
Thỏi :
T duy cỏc vn ca toỏn hc mt cỏch lụgic v h thng.
II. CHUN B:
Giỏo viờn: Giỏo ỏn. Hỡnh v minh ho.
Hc sinh: SGK, v ghi. ễn tp cỏc kin thc ó hc v gii hn ca hm s.
III. HOT NG DY HC:
1. n nh t chc: Kim tra s s lp.
2. Kim tra bi c: (5')
H. Tớnh cỏc gii hn sau: lim

x6

. lim

x6

x+ 3 3
?
x 6

x+ 3 3 1
= .
6
x 6

3. Ging bi mi:
TL

10'

Hot ng ca Giỏo viờn
Hot ng ca Hc sinh
Ni dung
Hot ng 1: Tỡm hiu khỏi nim gii hn vụ cc ca hm s
III. Gii hn vụ cc ca hm s
1. Gii hn vụ cc
GV gii thiu nh ngha v
nh ngha 4: Cho hm s y = f(x)
xỏc nh trờn (a; + ). Ta núi y = f(x)
3
minh ho mt vi vớ d.
lim x =
cú gii hn l khi x + nu

x
vi (xn) bt k, xn > a v xn + , ta
lim x4 = +
cú f(xn) .
Kớ hiu:
x
lim f(x) =
x+

hay f(x) khi x +

Nhn xột:
lim f(x) = + lim f ( x) =
x+
x+
2. Mt vi gii hn c bit

GV nờu cỏc gii hn c bit.

k
a) lim x = + vi k N*.
x+

k
b) lim x = nu k l s l.
x

k
c) lim x = + neỏu k laứ soỏ
x

25'

chaỹn.
Hot ng 2: Tỡm hiu mt vi qui tc v gii hn vụ cc
3. Mt vi qui tc v gii hn vụ
cc
GV nờu cỏc qui tc, nhn
a) Qui tc tỡm gii hn ca tớch
f(x).g(x)
mnh cỏc iu kin s dng cỏc
5


Đại số & Giải tích 11

Trần Sĩ Tùng

qui tắc.

 lim f(x) = L ≠ 0
 x→x0
Nếu 
g(x) = +∞ (hoaë
c− ∞)
 xlim
 →x0
thì lim f(x).g(x) được tính là:
x→ x0

b) Qui tắc tìm giới hạn của thương
f(x)
g(x)

H1. Biến đổi biểu thức x3–2x
3
H2. Tính lim x ,
x→−∞


2
lim  1− ÷
x→−∞ 
x2 
H3. Tính lim(2x − 3) ,
x→1−

lim(x − 1)

x→1−

2
3
Đ1. x3–2x = x  1− 2 ÷
 x 
3
Đ2. lim x = –∞
x→−∞



2
lim  1− ÷ = 1
x→−∞ 
x2 
Đ3. lim(2x − 3) = –1 < 0
x→1−

lim(x − 1) = 0 (x – 1 < 0)

x→1−

⇒ lim
−

x→1

2x − 3
= +∞
x−1

Ch ý: Các qui tắc trên vẫn đúng khi
x→x0+, x→x0–, x→+∞ , x→–∞
VD1: Tính các giới hạn sau:
3
a) lim (x − 2x)
x→−∞

b) lim−
x→1

c) xlim
→4

( x − 4)

d) lim
x→1−

3'

• Nhấn mạnh:
– Các qui tắc tìm giới hạn vô
cực.

Hoạt động 3: Củng cố

6

2x − 3
2x − 3
; lim+
x − 1 x→1 x − 1
1− x
2

2x2 − 15x + 12
x2 − 5x + 4