Bài 2 PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC cơ bản

TOANHOC24H

Khóa học trực tuyến – Thầy Phạm Tuấn Khải

Tài liệu bài giảng

Bài 2. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN
Giáo viên: Phạm Tuấn Khải

1) Kiến thức cơ bản



Phương trình sin x  a , cos x  a có nghiệm khi và chỉ khi 1  a  1 .
Phương trình tan x  a , cotx  a luôn có nghiệm với mọi a   .
Đặc biệt


 k 2
2

sin x  1  x    k 2
2
sin x  0  x  k 
sin x  1  x 

cos x  1  x  k 2
cos x  1  x    k 2

cos x  0  x   k 
2

u  v  k 2
 sin u  sin v  
u    v  k 2
u  v  k 2
 cos u  cos v  
u  v  k 2
 tan u  tan v  u  v  k 
 cot u  cot v  u  v  k 
2) Công thức biến đổi lượng giác
Hệ thức cơ bản
sin2 a  cos2 a  1; sin2 a  (1  cos a )(1  cosa); cos2 a  (1  sin a )(1  sin a )
sin a
cos a
tan a 
; cot a 
; tan a cot a  1
cos a
sin a
1
1
1  tan2 a 
; 1  cot2 a 
2
cos a
sin2 a

Cung liên kết
Hai cung đối nhau

Hai cung bù nhau

sin(x )   sin x
cos(x )  cos x
tan(x )   tan x

sin(  x )  sin x
cos(  x )   cos x
tan(  x )   tan x

cot(x )   cot x

cot(  x )   cot x

Hai cung hơn kém 

Hai cung hơn kém k

sin(  x )   sin x
cos(  x )   cos x
tan(  x )  tan x

sin(x  k )  (1)k sin x

cot(  x )  cot x

cot(x  k )  cot x

cos(x  k )  (1)k cos x
tan(x  k )  tan x

Chương 1: Hàm số lượng giác & Phương trình lượng giác

Hai cung phụ nhau


sin   x   cos x
 2



cos   x   sin x
 2



tan   x   cot x
 2



cot   x   tan x
 2


Hai cung hơn kém


2



sin   x   cos x
 2



cos   x    sin x
 2



tan   x    cot x
 2



cot   x    tan x
 2


Trang | 1


TOANHOC24H

Khóa học trực tuyến – Thầy Phạm Tuấn Khải

Công thức cộng
cos(a  b)  cos a cos b  sin a sin b

cos(a  b)  cos a cos b  sin a sin b
sin(a  b)  sin a cos b  cos a sin b
sin(a  b)  sin a cos b  cos a sin b
tan a  tan b
tan(a  b) 
1  tan a tan b
tan a  tan b
tan(a  b) 
1  tan a tan b

Công thức nhân đôi, hạ bậc
Nhân đôi

Hạ bậc
1  cos 2a
2
1  cos 2a
2
cos a 
2
1
sin a cos a  sin 2a
2
sin2 a 

cos 2a  cos2 a  sin2 a
 2 cos2 a  1
 1  2 sin2 a
sin 2a  2 sin a cos a

Công thức tính sin x , cos x, tan x theo t  tan
sin x 

2t
1t

2

x
2

; cos x 

1  t2
1t

2

;

tan x 

2t
1  t2

Công thức biến đổi tổng thành tích
a b
a b
cos
2

2
a b
a b
sin a  sin b  2 cos
sin
2
2
a b
a b
cos a  cos b  2 cos
cos
2
2
a b
a b
cos a  cos b  2 sin
sin
2
2
sin a  sin b  2 sin

Công thức biến đổi tích thành tổng
1
sin(a  b)  sin(a  b)

2 
1
cos a cos b  cos(a  b)  cos(a  b)

2

1
sin a sin b   cos(a  b)  cos(a  b)

2
sin a cos b 

3) Các ví dụ
Ví dụ 1: Giải các phương trình sau
a) 2 sin x  1  0

b) 2 cos 2x  3  0

Chương 1: Hàm số lượng giác & Phương trình lượng giác

Trang | 2


TOANHOC24H

Khóa học trực tuyến – Thầy Phạm Tuấn Khải

c)

3 tan 3x  1  0

d) cot2x  3  0



e) sin 2x    1  0


3 

f)



g) sin x  sin 2x    0
3 




h) cos x cos 2x    cos2 x  0
4 


i) 2 sin x cos x  cos x  2 sin x  1  0

k) (1  2 cos x )(cos x  sin x )  (1  4 cos2 x )sin x

2 sin 3x cos x  cos x  0

Ví dụ 2: Giải các phương trình sau
a) sin2 x  (1  cos x )(1  cos 3x )

c) (sin x  cos x )2  2 

tan2 x
1  tan 2 x



b) cos x tan 2x    sin x

3 

d) 2(1  sin x ) tan2 x  1

e) cos4 x  sin 4 x  1  3 sin 3 x

f)

g) 1  sin x  2 cos2 x  2 cos3 x  0

h)

sin x  cos x
 sin x (cos x  sin x  1)  1
1  tan x

sin 4 x  4 cos2 x  cos 4 x  4 sin2 x  6 cos x

Ví dụ 3: Giải các phương trình sau:
a) sin x  cos 2x



b) cos x  sin 2x    0


4 

c) sin(x  3)  2 sin x cos 2x

d)

e)

sin x
 cos x cos 3x  0
1  tan2 x



g) tan x tan 2x    1
3 



3 
3 sin x    2 cos x sin 2x  0

2 





f) 3 tan x tan x   tan x    2 cos x
4 

4 


h) sin x  cos 3x cos x  sin x cos x  cos 3x

Chương 1: Hàm số lượng giác & Phương trình lượng giác

Trang | 3