ĐỀ CƯƠNG ÔN TOÁN HỌC KÌ 2

Đề cương ôn tập HK II. GV trần ngọc hiếu

Môn toán 10 (cơ bản)

ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP MÔN TOÁN LỚP 10 (CƠ BẢN)
HỌC KỲ II - NĂM HỌC 2013-2014
A. LÝ THUYẾT
I. ĐẠI SỐ
Chương IV: BẤT ĐẲNG THỨC – BẤT PHƯƠNG TRÌNH
- Bất đẳng thức: nắm vững các kiến thức sau:
+ Tính chất của bất đẳng thức:
(1) a < b ⇔ a + c < b + c
(2) a < b ⇔ ac < bc (c > 0)
(3) a < b ⇔ ac > bc

(c < 0)

(4) a < b và c < d ⇒ a + c < b + d
(5) a < b và c < d ⇒ ac < bd

(a > 0, c > 0)

(6) a < b ⇔ a 2n + 1 < b 2n + 1 (n nguyên dương)
(7) 0 < a < b ⇒ a 2n < b 2n (n nguyên dương)
(8) 0 < a < b ⇔ a < b
(9) a < b ⇔ 3 a < 3 b

a+b
(∀a, b ≥ 0)
2
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a = b .

+ Bất đẳng thức Cô-si: ab ≤

+ Tính chất của bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối:
(1) x ≥ 0, x ≥ x, x ≥ − x
(2) Với a > 0, x ≤ a ⇔ −a ≤ x ≤ a
x ≥ a ⇔ x ≤ −a hoặc x ≥ a

(3) a − b ≤ a + b ≤ a + b
- Bất phương trình và hệ bất phương trình một ẩn: nắm vững các kiến
thức sau:
+ Khái niệm bất phương trình và hệ bất phương trình một ẩn.

1


Đề cương ôn tập HK II. GV trần ngọc hiếu

Môn toán 10 (cơ bản)

+ Cách giải bất phương trình bậc nhất một ẩn: sử dụng các phép biến đổi
bất phương trình.
+ Cách giải hệ bất phương trình bậc nhất một ẩn: ta giải từng bất phương
trình rồi lấy giao các tập nghiệm.
- Dấu của nhị thức bậc nhất: nắm vững các kiến thức sau:
+ Khái niệm nhị thức bậc nhất f ( x) = ax + b (a ≠ 0) .
+ Cách xét dấu nhị thức bậc nhất f ( x) = ax + b (a ≠ 0)
Bước 1: Tìm nghiệm của nhị thức bậc nhất
f ( x) = ax + b = 0 ⇔ x = −

b

a

Bước 2: Lập bảng xét dấu
−

x
Trái dấu
với a

b
a

0

Cùng dấu
với a

Bước 3: Kết luận.
- Dấu của tam thức bậc hai: nắm vững các kiến thức sau:
+ Khái niệm tam thức bậc hai.
+ Cách xét dấu tam thức bậc hai f ( x) = ax 2 + bx + c (a ≠ 0) .
Bước 1: Tìm nghiệm của f (x)
Bước 2: Lập bảng xét dấu
TH1: Nếu f (x) vô nghiệm:
x
Cùng dấu với a

TH2: Nếu f (x) có một nghiệm duy nhất: x = −
−

x
Cùng dấu
với a

b
2a

b
2a
0

Cùng dấu
với a

TH3: Nếu f (x) có hai nghiệm phân biệt: x1, x2 ( x1 < x2 )
x

x1

x2
2


Đề cương ôn tập HK II. GV trần ngọc hiếu
Cùng dấu
với a

0

Môn toán 10 (cơ bản)

Trái dấu
với a

0

Cùng dấu
với a

Bước 3: Kết luận.
+ Áp dụng xét dấu nhị thức bậc nhất, tam thức bậc hai để giải bất phương
trình bậc hai, bất phương trình qui về bậc nhất, bậc hai (bất phương trình dạng
tích, bất phương trình chứa ẩn ở mẫu thức).
+ Tìm điều kiện để phương trình, bất phương trình có nghiệm, vô nghiệm,
có nghiệm thỏa mãn điều kiện cho trước.
Chương VI: CUNG VÀ GÓC LƯỢNG GIÁC. CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC
- Cung và góc lượng giác: nắm vững các kiến thức sau:
+ Khái niệm đường tròn lượng giác.
+ Số đo dạng tổng quát của cung (góc) lượng giác.
+ Biểu diễn cung lượng giác trên đường tròn lượng giác.
- Giá trị lượng giác của một cung: nắm vững các kiến thức sau:
+ Định nghĩa các giá trị lượng giác của cung α : sin α , cosα , tan α , cot α .
+ Các công thức lượng giác cơ bản.
+ Giá trị lượng giác của các cung có liên quan đặc biệt: cung đối nhau,
cung bù nhau, cung hơn kém π , cung phụ nhau.
+ Các công thức lượng giác: công thức cộng, công thức nhân đôi, công
thức biến đổi tổng thành tích, công thức biến đổi tích thành tổng.
II. HÌNH HỌC
Chương II: TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ VÀ ỨNG DỤNG
- Các hệ thức lượng trong tam giác: định lí côsin, công thức tính độ dài
đường trung tuyến, định lí sin, công thức tính diện tích tam giác.

Chương III: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG
- Phương trình đường thẳng: cần nắm vững các kiến thức sau:
+ Vectơ chỉ phương, vectơ pháp tuyến của một đường thẳng.
+ Các dạng phương trình đường thẳng:
Dạng 1: Phương trình tham số của đường thẳng ∆ đi qua điểm

M 0 ( x0 ; y0 ) và nhận u = (u ; u ) làm vectơ chỉ phương có dạng:
1 2
 x = x0 + u1t

 y = y0 + u 2t

(t ∈ R)

Dạng 2: Phương trình tổng quát của đường thẳng ∆ đi qua điểm
M 0 ( x0 ; y0 ) và nhận n = (a ; b) làm vectơ pháp tuyến có dạng:
3


Đề cương ôn tập HK II. GV trần ngọc hiếu

Môn toán 10 (cơ bản)

a( x − x0 ) + b( y − y0 ) = 0
Dạng 3: Phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm M 0 ( x0 ; y0 ) và có hệ số
góc k có dạng:
y − y0 = k ( x − x0 )
+ Cách xét vị trí tương đối của hai đường thẳng.
+ Khái niệm và cách tính góc giữa hai đường thẳng.
+ Công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng.

- Phương trình đường tròn
Các dạng phương trình đường tròn:
Dạng 1: Phương trình đường tròn tâm I = (a ; b) bán kính R có dạng:

( x − a ) 2 + ( y − b) 2 = R 2
Dạng 2: Phương trình có dạng x 2 + y 2 − 2ax − 2by + c = 0 với a 2 + b 2 − c > 0
là phương trình đường tròn tâm I = (a ; b) bán kính
R = a2 + b2 − c
- Phương trình đường elip
+ Định nghĩa đường elip.
+ Phương trình chính tắc của elip.
+ Hình dạng của elip (trục lớn, trục nhỏ, các đỉnh, các tiêu điểm, hình chữ
nhật cơ sở).

4


Đề cương ôn tập HK II. GV trần ngọc hiếu

Môn toán 10 (cơ bản)

B. BÀI TẬP
I. ĐẠI SỐ
Chương IV: BẤT ĐẲNG THỨC – BẤT PHƯƠNG TRÌNH
Dạng 1: Chứng minh bất đẳng thức
Phương pháp 1: (phương pháp gián tiếp) biến đổi tương đương bất đẳng
thức đã cho về một bất đẳng thức đúng đã biết.
Bài 1. Chứng minh các bất đẳng thức sau:

( ∀a, b, c ∈ R )

a) a 2 + b 2 + c 2 ≥ ab + bc + ca
b) a 2b + ab 2 ≤ a 3 + b3

( a > 0, b > 0)

c) (ab + cd ) 2 ≤ (a 2 + c 2 )(b 2 + d 2 )

( ∀a, b, c, d ∈ R )

Phương pháp 2: (phương pháp trực tiếp) sử dụng các tính chất của bất
đẳng thức và một số bất đẳng thức thông dụng để chứng minh.
Bài 2. Chứng minh các bất đẳng thức sau:
 2 b  2 a 
a)  a +  b +  ≥ 4ab
a 
b




b) ( a + b ) 1 +


1 
 ≥ 4
ab 

( ∀a, b > 0)

a  b  c 

c) 1 + 1 + 1 +  ≥ 8
b  c  a 

d)

a
b
+
≥ a+ b
b
a

( ∀a, b > 0)

( ∀a, b, c > 0)

( ∀a, b > 0)

e) (a + b)(b + c)(c + a) ≥ 8abc
f)

bc ca ab
+ + ≥ a+b+c
a b c

( ∀a, b, c ≥ 0)

( ∀a, b, c > 0)

Dạng 2: Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số
Phương pháp: sử dụng các tính chất của bất đẳng thức và một số bất đẳng
thức thông dụng.
2
Bài 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y = 4 x +

9
với x > 0 .
x2

Bài 4. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y = x(2 − x) với 0 ≤ x ≤ 2 .
Dạng 3: Giải bất phương trình và hệ bất phương trình bậc nhất một ẩn
5


Đề cương ôn tập HK II. GV trần ngọc hiếu

Môn toán 10 (cơ bản)

- Để giải bất phương trình bậc nhất một ẩn ta sử dụng các phép biến đổi
bất phương trình và định lí về dấu của nhị thức bậc nhất.
- Muốn giải hệ bất phương trình bậc nhất một ẩn ta giải từng bất phương
trình trong hệ rồi lấy giao các tập nghiệm.
Bài 5. Giải các bất phương trình sau:
a) 3x + 5 −1 ≤ x + 2 + x
2
3

b) − 2(1 − x) − 2 x ≥ x − 3 + 1

c) 2( x − 4) < 3x − 14

d)

2

e) ( x − 1)(3 − 2 x) ≤ 0

3

2

x
3
< x+
4
2
f) (2 x − 5)( x + 2) ≥ 0
− 4x + 3

g)

2
5
≤
x −1 2 x −1

h) 4 x(3x + 2) > 0
2x − 5

i)

1
2
3
+
<
x −1 x − 2 x − 3

k) 3x − 4 > 1
x−2

Bài 6. Giải các hệ bất phương trình sau:
1
4
 − 12 x ≤ x +
2
a)  3
2(3x − 4) > 5 x


5x + 2
≥ 4− x

b)  3
2(3x − 4) > 5 x


 x −1 ≤ 2x − 3


 5 − 3x
≤ x −3
c) 
 2

3x < 5 + x

 3x + 1 x − 2 1 − 2 x
−
<

 2
3
4
d) 
 x − 3 + 1− 2x > x +1
 4
5
3

Dạng 4: Giải bất phương trình và hệ bất phương trình bậc hai một ẩn
Phương pháp:
- Để giải bất phương trình bậc hai một ẩn ta sử dụng các phép biến đổi bất
phương trình và định lí về dấu của tam thức bậc hai:
Bước 1: Xét dấu tam thức bậc hai.
Bước 2: Kết luận.
- Muốn giải hệ bất phương trình bậc hai một ẩn ta giải từng bất phương
trình trong hệ rồi lấy giao các tập nghiệm.
Bài 7. Xét dấu các biểu thức sau:

a) f ( x) = 3x 2 − 2 x + 1
2

c) f ( x) = x + ( 3 − 1) x − 3

b) f ( x) = − x 2 − 4 x + 5
d) f ( x) =

3x 2 − 2 x − 5
9 − x2
6


Đề cương ôn tập HK II. GV trần ngọc hiếu

e) f ( x) =

(− x 2 + 5 x − 7)(3x − 1)
2

3x + x − 2

Môn toán 10 (cơ bản)

f) f ( x) = x 2 (3x 2 − 10 x + 3)

Bài 8. Giải các bất phương trình sau:
a)
c)

2 x 2 + (1 + 2 ) x + 1 ≥ 0
x 2 − 9 x + 14
2

x + 9 x + 14

≤0

e) (2 x 2 − 5 x + 2)( x + 2) ≥ 0
g)
i)

(2 x −1)(3 − x)
x 2 − 5x + 4
x 2 − 3x + 1
x2 −1

>0

>1

b) − 3x 2 + 7 x − 4 < 0
d)

4x −1
4− x

2

≥0

f) ( x − 1)( x 2 + 2 x) ≥ 0
h)
k)

(3 − 2 x)( x 2 − x + 1)
>0
4 x 2 − 12 x + 9
2
2 x 2 − 5x + 3

>

1
x2 − 9

Bài 9. Giải các hệ bất phương trình sau:
2 x 2 + 9 x + 7 < 0
a)  2
 x + x − 6 ≥ 0

2

x − x ≥ 0
b)  2

− x + 3x + 4 ≥ 0

 x 2 − 4 > 0
a)  2

 x − x − 12 < 0

 x 2 − 7 x + 12 < 0
b) 
(9 − x 2 )( x − 1) ≥ 0

 x 2 − 7 x + 12 ≥ 0

 2
g) 3x + 7 x −10 < 0

9 − x2 ≤ 0



Dạng 5: Tìm điều kiện của tham số để phương trình, bất phương
trình có nghiệm, vô nghiệm hay có nghiệm thỏa mãn điều kiện cho trước.
Bài 10. Tìm m để các phương trình sau có nghiệm:
a) 2 x 2 + 2(m + 2) x + m 2 + 4m + 3 = 0
b) (m − 1) x 2 − 2(m + 3) x − m + 2 = 0
Bài 11. Cho f ( x) = (2 − m) x 2 + 2(m − 3) x + 1 − m . Tìm m để bất phương
trình f ( x) ≥ 0 thỏa ∀x ∈ R .
Bài 12. Cho phương trình mx 2 − 2(m − 1) x + 4m − 1 = 0 . Tìm các giá trị của
tham số m để phương trình đã cho thỏa :
a. Vô nghiệm
b. Có hai nghiệm phân biệt.
7


Đề cương ôn tập HK II. GV trần ngọc hiếu

Môn toán 10 (cơ bản)

c. Có hai nghiệm trái dấu.
d. Có hai nghiệm dương phân biệt.
Bài 13: Xác định m để các hàm số sau luôn xác định:
a) y = mx 2 − 4 x + m + 3
b)

y=

1
3x 2 + 2(m − 1) x + m + 4

Chương VI: CUNG VÀ GÓC LƯỢNG GIÁC. CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC
Dạng 1: Dấu của các giá trị lượng giác
Phương pháp: Để xác định dấu của các giá trị lượng giác của một cung
(góc) ta xác định điểm ngọn của cung (tia cuối của góc) thuộc góc phần tư nào
trên đường tròn lượng giác, từ đó suy ra dấu của giá trị lượng giác cần tìm.
Bài 1. Cho 0 o < α < 90 o , xác định dấu của các giá trị lượng giác sau:
a) tan(α + 180o )
Bài 2. Cho 0 < α <


a) tanα −


π

4

b) cos(2α + 90o )

π
, xác định dấu của các giá trị lượng giác sau:
2
π

b) cosα − 
4


Dạng 2: Tính các giá trị lượng giác của một góc (cung) lượng giác
Bài 3. Không sử dụng MTCT, hãy tính các giá trị lượng giác sau:
sin

13π
10π
 17π
; cos
; tan −
6
4
3



 11π
 ; cot −
4




7π

 π 
 ; sin  −  ; cos
12
 12 


sin15o ; cos(−510o ) ; tan 480o ; cot(−285o )

Bài 4. Hãy tính các giá trị lượng giác của góc α biết:
3
π
a) sin α = − và − π < α < −
5
2
4
b) cosα = và 0o < α < 90o
5
1
c) tan α = và cosα < 0
3
3π
d) tan α = 2 và π < α <
2
8

Đề cương ôn tập HK II. GV trần ngọc hiếu

Bài 5. Biết sin a =

Môn toán 10 (cơ bản)

1
π
và < a < π . Hãy tính sin 2a , cos 2a .
4
2

sin a.cos a
3
Bài 6. Cho tan a = , hãy tính giá trị biểu thức sau: A =
5
sin 2 a − cos 2 a

π
3
π
 biết sin α = và
<α <π .
3
5
2

1
3π

< a < π . Tính sin 2a , cos 2a , tan 2a ,
Bài 8. Biết sin a − cos a = và
2
4
cot 2a .


Bài 7. Tính cosα −

Bài 9. Tính giá trị của các biểu thức sau:
7π
5π
+ cos
a) A = cos
3
3
5π
7π
− sin
b) B = sin
6
6
5π
7π
c) C = cos .sin
12
12
π
π
π

π
d) D = sin .cos .cos .cos
24
24
12
6
e) E = (cos15o − sin15o )(cos15o + sin15o )
f) F = sin 48o cos12o + cos 48o sin 12 o
g) G =

sin 20o.sin 40o.sin 50o.sin 70o
cos10o.cos 50o

h) H = cos 20o + cos 40 o + cos 60o + ... + cos160o + cos180 o
i) I = cos 2 10o + cos 2 20o + cos 2 30o + ... + cos 2 180o
k) K = tan15o + cot15o
l) L = cos10o.cos 50o.cos 70o
Dạng 3: Bài toán rút gọn (đơn giản) biểu thức lượng giác
Bài 10. Rút gọn các biểu thức sau:
 3π

a)

A=

b) B =

sin 

 4



π



4

− α  − sin 
cosα



−α 


2 cos 2 α − 1
sin α + cosα
9


Đề cương ôn tập HK II. GV trần ngọc hiếu

Môn toán 10 (cơ bản)

π
π
− α  − cos + α 
4


4



c) C = cos

d) D =

e)

tan 2α + cot 2α
1 + cot 2 2α

E=

π

sin

2

sin 2α


π



2

+ α  + sin



−α 


π
− a  sin(−b)
2



f) C = sin ( a + b ) + sin

π
+ α  + cos(2π − α ) + cos(3π + α )
2



g) G = cos

Dạng 4: Bài toán chứng minh đẳng thức lượng giác
Bài 11. Chứng minh:
2
a) tan a + cot a =
sin 2a
b)

c)

1 + sin 2 α
1 − sin 2 α

(a ≠ k

= 1 + 2 tan 2 α

π
,k ∈Z)
2

(a ≠ k

π
,k ∈Z)
2

sin α
1 + cosα
2
+
=
1 + cosα
sin α
sin α

d) sin 4 α + cos 4 α = 1 − 2 sin 2 α cos 2 α
e) sin 4 α − cos 4 α = 1 − 2 cos 2 α

1
cosα
−
= tan α
f)
cosα 1 + sin α


2
g) (sin x + cos x) + cos 2 x − 1 = 2 cos 2 x −



h) cot α − cot 2α =

π

4

1
sin 2α

i) tan α = cot α − 2 cot 2α
k)

sin 2 α − tan 2 α
2

2

cos α − cot α

= tan 6 α

l) sin (α + β ).sin (α − β ) = sin 2 α − sin 2 β
Bài 12. Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào α :
a) A = (tan α + cot α ) 2 − (tan α − cot α ) 2
10


Đề cương ôn tập HK II. GV trần ngọc hiếu

Môn toán 10 (cơ bản)

b) B = 3(sin 4 α + cos 4 α ) − 2(sin 6 α + cos 6 α )
 2π

2
2
c) C = cos x + cos 

 3

d) D =

tan 2 x − cos 2 x
sin 2 x

+



 2π



 3

+ x  + cos 2 



− x


cot 2 x − sin 2 x
cos 2 x

II. HÌNH HỌC
Bài 1. Cho tam giác ABC có Aˆ = 60 o , CA = 8cm , AB = 5cm . Hãy tính:
a) Độ dài cạnh BC.
b) Diện tích tam giác ABC.
c) Độ dài đường cao AH.
d) Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Bài 2. Cho tam giác ABC có a = 13cm , b = 14cm , c = 15cm . Hãy tính:
a) Diện tích tam giác ABC.
b) Độ dài đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh A.
d) Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC.
Bài 3. Cho tam giác ABC có Aˆ = 60 o , Bˆ = 75o , AB = 2 . Tính độ dài các
cạnh BC, CA.

Bài 4. Viết phương trình tham số và phương trình tổng quát của đường
thẳng ∆ trong các trường hợp sau:

a) ∆ đi qua điểm M(2;-3) và có vectơ pháp tuyến n = (-4;1).
b) ∆ đi qua hai điểm A(3;-2) và B(-1;3).
c) ∆ đi qua điểm M(2;-4) và vuông góc với đường thẳng x − 2 y − 1 = 0 .
d) ∆ đi qua điểm M(-2;4) và song song với đường thẳng x − y − 1= 0 .
Bài 5. Trong mặt phẳng Oxy, cho hai điểm A(–1; 2), B(3; 1) và đường
x = 1 + t
thẳng ∆ có phương trình 
.
y = 2 + t
a) Viết phương trình tổng quát của đường thẳng ∆.
b) Viết phương trình tổng quát của đường thẳng AB.
c) Viết phương trình đường trung trực của đoạn thẳng AB.
d) Tìm tọa độ điểm C nằm trên đường thẳng ∆ sao cho tam giác ABC cân tại
C.
11


Đề cương ôn tập HK II. GV trần ngọc hiếu

Môn toán 10 (cơ bản)

e) Tính khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng ∆.
Bài 6. Trong mặt phẳng Oxy, cho ba điểm A(–3; –5), B(4; –6), C(3; 1).
Tính số đo các góc trong tam giác ABC.
Bài 7. Trong mặt phẳng Oxy, cho ba điểm A(–1; 0), B(1; 6), C(3; 2).
a) Viết phương trình tham số của đường thẳng AB.
b) Viết phương trình tổng quát của đường trung tuyến AM của tam giác ABC.

c) Viết phương trình tổng quát của đường cao CH của tam giác ABC (H
thuộc đường thẳng AB). Xác định tọa độ điểm H.
d) Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
e) Tính bán kính đường tròn (C) có tâm là điểm C và tiếp xúc với đường
thẳng AB.
Bài 8. Viết phương trình đường tròn (C) biết:
a) (C) đi qua ba điểm A(2;0), B(0;-1) và C(-3;1).
b) (C) có đường kính AB, với A(-2;3), B(6;5).
c) (C) có tâm I(2;3) và đi qua gốc tọa độ.
d) (C) có tâm I(2;-2) và tiếp xúc với đường thẳng d: x + y − 4 = 0 .
e) (C) đi qua 2 điểm A(3;2), B(1;4) và tiếp xúc với trục hoành.
f) (C) đi qua 2 điểm A(2;1), B(4;3) và có tâm nằm trên đường thẳng d:
x − y + 5 = 0.
g) (C) đi qua điểm A(1;0) và tiếp xúc với hai đường thẳng d : x + y − 4 = 0
1

và d 2 : x + y + 2 = 0 .

Bài 9. Cho đường tròn (C) có phương trình x 2 + y 2 − 6 x + 2 y + 6 = 0 :
a) Tìm tọa độ tâm và bán kính của đường tròn (C).
b) Viết phương trình tiếp tuyến với đường tròn (C) tại điểm A(3;1).
c) Viết phương trình tiếp tuyến với đường tròn (C) đi qua điểm B(1;3).
d) Viết phương trình tiếp tuyến với đường tròn (C) biết tiếp tuyến song
song với đường thẳng 3x − 4 y + 1 = 0 .
e) Viết phương trình tiếp tuyến với đường tròn (C) biết tiếp tuyến vuông
góc với đường thẳng x − 2 y − 1 = 0 .
Bài 10. Xác định độ dài các trục, tọa độ các tiêu điểm, tọa độ các đỉnh,
tiêu cự, tâm sai của elip (E) có phương trình sau:
a)

x2 y2
+
=1
25 9

b)

x2
+ y2 =1
9
12


Đề cương ôn tập HK II. GV trần ngọc hiếu

c) 4 x 2 + 9 y 2 = 16

Môn toán 10 (cơ bản)

d) x 2 + 4 y 2 = 4

Bài 11. Lập phương trình chính tắc của elip (E) biết:
a) (E) có đỉnh A(-2;0) và một tiêu điểm F( − 2 ;0 ).
3
b) (E) có tiêu cự bằng 6 và tâm sai e = .
5
 9
 12 
c) (E) đi qua hai điểm M  4;  và N  3;  .
 5 

 5
 3 4 
d) (E) đi qua hai điểm M  ;  và tam giác MF1F2 là tam giác vuông
 5 5
tại M .
5
e) (E) có độ dài trục lớn bằng 26 và tâm sai e = .
13

13


Đề cương ôn tập HK II. GV trần ngọc hiếu

Môn toán 10 (cơ bản)

ĐỀ KIỂM TRA HỌC KỲ II
Năm học 2012 - 2013
Môn: TOÁN Lớp: 10
Thời gian làm bài: 90 phút (không kể thời gian giao đề)
I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ HỌC SINH (7,0 điểm)
Câu 1 (2,0 điểm): Giải các bất phương trình sau:
1) x 2 − 2012 x − 2013 > 0
2)

x 2 − 3x − 10
≤0
3− x

Câu 2 (1,0 điểm): Giải hệ bất phương trình:

{

4 −x 2 >0
2 x −3≤0

Câu 3 (1,0 điểm): Rút gọn rồi tính giá trị của biểu thức:

A = ( sinα + sin 5α + 4sin

π
3α
3α
cos )(1 + tan 2 α ), với α =
2
2
9

Câu 4 (3,0 điểm):
1) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm A(3;1) và đường thẳng
có phương trình:
∆

a. Viết phương trình tổng quát của đường thẳng d qua điểm A và vuông góc với đường thẳng ∆ .
b. Tính khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng ∆ .
2) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm A(−2; −4) và đường thẳng d1 có phương trình:

x − 3 y + 2014 = 0 . Tính số đo góc giữa đường thẳng d1 và đường thẳng d 2 đi qua hai điểm O và A.
II. PHẦN RIÊNG (3,0 điểm)
Học sinh chỉ được chọn một trong hai phần sau (phần 1 hoặc phần 2)

1. Theo chương trình Chuẩn:
Câu 5a (2,0 điểm):
1) Cho tam thức bậc hai: f ( x ) = − x 2 + 3mx − m 2 − 1 ( m là tham số)
Xác định m để

.

π
− x).sin(π − 2 x) = sin 3 x
2
Câu 6a (1,0 điểm): Cho tam giác ABC biết b = 2 3cm, a = 19cm, góc A có số đo 300. Tính bán
2) Chứng minh rằng: (cot x + cot 2 x ).cos(

kính đường tròn ngoại tiếp và độ dài cạnh c của tam giác ABC
2. Theo chương trình Nâng cao:
Câu 5b (2,0 điểm):
1) Cho tam thức bậc hai: f ( x ) = − x 2 + 2 m + 1x − 4m + 7 − 1 ( m là tham số)
Xác định m để

.

π
+ a + b) = − sin 2 a
2
Câu 6b (1,0 điểm): Viết phương trình chính tắc của hypebol(H). Biết (H) qua điểm M ( 2; − 3) và
có tâm sai e = 2 .
2) Chứng minh rằng: [ tan(a − b) + tan( a + b)].cos(π +a-b).sin(

------------------------------------------HẾT---------------------------------------------(Giám thị coi thi không giải thích gì thêm)

14


Đề cương ôn tập HK II. GV trần ngọc hiếu

Môn toán 10 (cơ bản)

Họ và tên thí sinh:…………………………………..

ĐÁP ÁN

Lớp: 10…...
SBD:………….

Nội dung
Câu 1

Điểm
2.0
1.0

x 2 − 2012 x − 2013 > 0

1)

+ Tìm được 2 nghiệmVT: x = −1; x = 2013
+ BXD:
x
−∞
-1

2013 +∞
VT
+
0
0 +
T
=
(
−∞
;
−
1)
∪
(2013;
+∞ )
KL:Tập nghiệm

0.25
0.25
0.25
0.25
1.0

x − 3x − 10
≤0
3− x
2

2)

+ Tìm được các nghiệm của tử và mẫu ở vt

0.25

x = −2; x = 5; x = 3

+ BXD:

0.5

−∞

-2
3
5 +∞
VT
+ 0 - P
+
0 + KL: Tập nghiệm bpt T = [ − 2;3) ∪ [5; +∞)

x

0.25

Câu 2

{

4−
x2 >

0
2 x−
3≤
0

1.0

−2⇔
x ≤3
 2

⇔ −2 < x ≤

0.5

3
2

0.25

3
2

0.25

KL: Tập nghiệm của hệ T = (−2; ]
Câu 3

A = ( sinα + sin 5α − 4sin

3α
3α
π
cos )(1 + tan 2 α ), với α =
9
2
2

2 Sin3α cos2α − 2sin 3α
cos 2 α
2 Sin3α(cos2α −1)
=
cos 2 α

0.25

A=

0.25
0.25

= −4 sin 3α

với α =

π
π
suy ra: A = −4sin = −4
9

2

0.25
Câu 4

1) Cho điểm A(3;1) và đường thẳng ∆ có phương trình:

{

x = 2t
y =1− 3t

a. Viết phương trình tổng quát của đường thẳng d qua điểm A và vuông góc với đường
thẳng ∆ .

r

+VTCP của đt ∆ : u = (2; −3)

1.0

r
+Lập luận và suy ra được vtpt của đt ∆ là u = (2; − 3)

3.0
2.0
1.0
0.25
0.25

15


Đề cương ôn tập HK II. GV trần ngọc hiếu

Môn toán 10 (cơ bản)

+PTTQ của đt d: 2( x − 3) − 3( y −1) = 0

0.25
0.25

⇔ 2x −3 y −3 = 0
b. Tính khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng ∆ .
r
+Đt ∆ qua M 0 (0;1) và nhận vtpt: n(3; 2) nên pttp có dạng:

1.0
0.25

3( x − 0) + 2( y − 1) = 0

0.25

⇔ 3x + 2 y − 2 = 0
+Ghi CT: d ( A, ∆) =

3.3 +2.1 −2
3 +2
2

2

=

9
13

0.25

2)Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm A(−2; −4) và đường thẳng d1 có phương trình:

x − 3 y + 2014 = 0 .
r
+ĐT d1 có vtpt: n(1; −3)
r
r
+ĐT d 2 có vtcp: u ( −2; −4) nên nhận n1 (4; −2) làm vtpt
+ Gọi ϕ là góc giữa hai đường thẳng d1 và d 2
+Ta có: cosϕ =

1.4 + (−3).(−2)
1 + 9. 16 + 4

+Kết luận: số đo góc cần tìm bằng 45

0.25
0.25

2

2

=

0.25

0

0.25
Câu 5a

1) Cho tam thức bậc 2: f ( x) =−x +
Xác định m để f ( x) < 0, ∀x ∈ ¡
2

2.0
1.0

3mx −m 2 −1

0.25
0.25
0.25
0.25

+ f ( x) < 0∀x ∈ ¡ ⇔ ∆ = 3m 2 + 4(− m2 − 1) < 0
+
⇔ − m 2 − 4 < 0∀m ∈ ¡
+ Suy ra: ∆ < 0∀m ∈ R
+Vậy với m ∈ (−∞; +∞ ) thì f ( x) < 0, ∀x ∈ ¡

π
2

1.0

2)CMR: (cot x + cot 2 x).cos( − x).sin(π − 2 x) = sin 3 x

cos x cos 2 x
+
).sin x.sin 2 x
sin x sin 2 x
sin 3x.sin x.sin 2 x
=−
sin x.sin 2 x
= sin 3 x = VP (dpcm)

VT = (

0.25
0.5
0.25
Câu 6a

Cho tam giác ABC biết b = 2 3cm, a = 19cm, góc A có số đo 30
Tính R

a
a
= 2R ⇔ R =
sin A

2 sin A
19
Tính đúng R =
= 19(cm)
2sin 300
Nêu được CT:

Tính cạnh c
Nêu CT: a 2 = b 2 + c 2 − 2bc.cos A
Thế để đưa về pt: c 2 − 6c − 7 = 0

0.25
1.0

1.0
0

0.25
0.25
0.25
0.25

16


Đề cương ôn tập HK II. GV trần ngọc hiếu

Môn toán 10 (cơ bản)

Giải pt nhận no và kl: c = 7(cm)

Câu 5b
1)Cho tam thức bậc hai: f ( x ) = − x + 2 m + 1x − 4m + 7 − 1 (m là tham số)

2.0

2

Xác định m để f ( x) < 0, ∀x ∈ ¡
+ f ( x) < 0, ∀x ∈ ¡ ⇔ ∆ = m + 1 − 4m + 7 + 1 < 0

⇔ 4m + 7 > m + 2
+ 2<0
{m
4 m + 7≥ 0

⇔ [ m+2≥0

+

1.0
0.25
0.25

{

4 m + 7 >m 2 + 4 m + 4

⇔[

+

{m<−27

0.25

m≥−

4
m≥−2
{ 2
m −3<0

0.25

⇔− 3
+

KL:Vậy với m ∈ (− 3; 3) thì ycbt thỏa mãn
2)CMR:

VT = [

[ tan( a − b) + tan(a + b)].cos(π +a-b).sin(

π
+ a + b) = − sin 2a
2

sin(a − b) sin(a + b)
+
].[-cos(a-b).cos(a + b)]
cos(a − b) cos(a + b)

sin2a.cos(a-b).cos(a + b)
=−
cos(a − b).cos(a + b)
= − sin 2a = VP(dpcm)

1.0
0.25
0.5
0.25

Câu 6b

1.0

Viết phương trình chính tắc của hypebol(H). Biết (H) qua điểm M ( 2; − 3) và có tâm
sai e = 2 .

x2 y 2
−
=1
a2 b2
2 3
+(H) qua M ( 2; − 3) nên ta có: 2 − 2 = 1(1)
a b
c

+Vì e = 2 ⇒ = 2
a
c2
b2
⇔ 2 = 4 ⇔ 2 = 3 ⇔ b 2 = 3a 2 (2)
a
a
+Giả sử hypebol(H) có pt:

+Từ (1) và (2) ta có hệ:

2 3
− =1
a 2 b2
2
b =3 a2

{

2

a 2 =1

⇔{ 2

b =3

2

x

y
+Vậy hypebol(H) có PTCT:
−
=1
1
3

0.25

0.25
0.25
0.25

Chú ý: Học sinh làm theo cách khác nhưng đúng, giáo viên căn cứ vào thang điểm của đáp án để cho
điểm hợp lí!

17


Đề cương ôn tập HK II. GV trần ngọc hiếu
TRƯỜNG……………………………..

---------------

Môn toán 10 (cơ bản)

ĐỀ KIỂM TRA HỌC KÌ II
NĂM HỌC ………………………….
MÔN TOÁN KHỐI 10
Thời gian làm bài 90 phút.

I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ HỌC SINH. (7,0 điểm)
Câu 1: (2,0 điểm). Giải các bất phương trình sau:
a/ 3 x +

x −1 > x + x −1 + 2 ;

b/

Câu 2: (2,0 điểm).

3x + 3
≥2
x −3

1 π
 5π


< α < π  . Tính cos α và cos
−α  .
4 2

 2

π

π

2

b/ Rút gọn biểu thức: P = cos − x . cos + x  + sin x
6

6


a/ Cho sin α = , 

Câu 3: (3,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hai điểm A ( 2;−3) ,
B ( 4;1) và đường thẳng ∆ có phương trình: x − y − 2 = 0
a/Tìm tọa độ véc tơ AB và viết phương trình tham số của đường thẳng AB.

b/ Tìm điểm M trên trục tung sao cho M cách đều hai điểm A, B.
c/ Viết các phương trình tiếp tuyến của đường tròn
x 2 + y 2 − 2 x + 4 y − 1 = 0 . Biết tiếp tuyến song song với đường thẳng ∆ .
II. PHẦN RIÊNG.(3,0 điểm).
Học sinh chỉ được chọn 1 trong 2 phần (Phần A hoặc phần B).
A. Dành cho chương trình Chuẩn:

(C):

2
Câu 4a: (1,0 điểm). Giải bất phương trình: x + 3 x + 2 ≥ 2

Câu 5a: (2,0 điểm).
a/ Cho tam giác ABC có b = 6, c = 4 và sin A =

3
. Tính ha
2

4 cos 2 x − 1
b/ Chứng minh rằng: tan x.
= tan 3x
1 − 4 sin 2 x
B. Dành cho chương trình Nâng cao:

Câu 4b: (1,0 điểm). Giải bất phương trình:

x 2 + 3x + 4 − 2 x + 3 < 1

Câu 5b: (2,0 điểm)
a/ Viết phương trình chính tắc của elip (E) biết (E) có tiêu cự bằng 2 5


2 6
.
và đi qua điểm M  3;

3


1
1
1
1
+
+
+
= cot x − cot 16 x

b/ Chứng minh rằng:
sin 2 x sin 4 x sin 8 x sin 16 x
18


Đề cương ôn tập HK II. GV trần ngọc hiếu

Môn toán 10 (cơ bản)

ĐÁP ÁN
Nội dung
Câu 1
a/
3x+

Điểm
2.0
1.0

x −1 > x + x −1 + 2

x ≥ 1
⇔
3 x > x + 2
x ≥ 1
⇔
x > 1

0,5
0,25

+ Kết luận bpt có tập nghiệm:
S=( 1,+∞)

0.25

b/

1.0

3x + 3
≥2
x −3
x+9
⇔
≥0
x −3

0,25

+ Lập đúng bảng xét dấu.
+ Kết luận đúng tập nghiệm
S = ( − ∞;−9] ∪ ( 3;+∞)

0,5

Câu 2
a/

15

16
15
+ Tính đúng cos α = −
4
 5π

π

− α  = cos − α 
+ cos
 2

2

1
= sin α =
4
2
+ Tính đúng cos α =

0,25
0,25
0,25
0,25

b/

1,0

π


π

P = cos − x . cos + x  + sin 2 x
6

6

1
π

=  cos + cos 2 x  + sin 2 x
2
3

1 1 1
= . + (1 − 2 sin 2 x) + sin 2 x
2 2 2
1 1
= + − sin 2 x + sin 2 x
4 2
3
=
4

0,25
0,25
0,25
0,25
Câu 3

a/
Ta có A(2,-3); B(4,1 => AB = (2;4)

0,25
2.0
1,0

3,0
1,0
0,5

19


Đề cương ôn tập HK II. GV trần ngọc hiếu

Môn toán 10 (cơ bản)

+ Vì đường thẳng AB đi qua 2 điểm A,B nên nhận AB = ( 2;4) làm VTCP và đi qua A(2,3)
nên có phương trình tham số

 x = −2 + 2t

 y = 3 + 4t

b/
+ M thuộc Oy nên M có toạ độ là
+ M cách đều A và B nên:

0,5
1,0

(0,y).
0,25

MA = MB

⇔

( 2 − 0) 2 + (−3 − y ) 2

⇔ y=

= (4 − 0) 2 + (1 − y ) 2

0,25

1
2

0,25

 1
+ Kết luận M  0; 
 2
c/
+ (C) có tâm I(1; - 2) và bán kính
+ Gọi d là tiếp tuyến song song với ∆ .
Suy ra d: x - y + c = 0 (c ≠ −2)

+ Vì d là tiếp tuyến của (C) nên:

0,25
1,0
R=

6.

0,25

d (I , d ) = R
⇔

1 − (−2) + c
2

0,25

= 6

c = 2 3 − 3
⇔
c = −2 3 − 3

0,25

+ Kết luận đúng hai PTTT
Câu 4a

x + 3x + 2 ≥ 2

0,25
1,0

2

0,25

 x 2 + 3x + 2 ≥ 2
⇔ 2
 x + 3x + 2 ≤ −2

0,25



0,25
0,25

 x ≤ -3 hoặc x ≥ 0
Câu 5a
a/

2,0
1,0

+S=

1
bc sin A = 6 3

2
+ a 2 = b 2 + c 2 − 2bc.cos A = 28

0,25

⇒ a = 2 7( A = 600 )

0,25

+ a 2 = b 2 + c 2 − 2bc.cos A = 76
⇒ a = 2 19( A = 1200 )
+Tính đúng ha với A=600
+Tính đúng ha với A=1200
(Nếu không suy ra được A=1200 thì tối đa được 0.5đ)

0,25
0,25

20


Đề cương ôn tập HK II. GV trần ngọc hiếu
b/
Ta có:

Môn toán 10 (cơ bản)
1.0

sin 2 x. cos x − cos 2 x. sin x
sin x. sin 2 x

sin x
1
=
=
sin x. sin 2 x sin 2 x

cot x − cot 2 x =

0,25
0,25

+ Từ đó suy ra:

1
= cot 2 x − cot 4 x
sin 4 x
1
= cot 4 x − cot 8 x
sin 8 x
1
= cot 8 x − cot 16 x
sin 16 x

0,25
0,25

+ Từ đó suy ra điều cần chứng minh
Câu 4b

1.0

x 2 + 3x + 4 − 2 x + 3 < 1
⇔ x 2 + 3x + 4 < 2 x − 2
 x 2 + 3x + 4 ≥ 0

⇔ 2 x − 2 ≥ 0
 2
2
 x + 3x + 4 < ( 2 x − 2)
x ≥ 1
⇔
2
− 3 x + 11x < 0
x ≥ 1

⇔
11
 x < 0 ∨ x > 3
⇔x>

0,25

0,25

0,25
0,25

11
3
Câu 5b

a/
+ PTCT của (E):

(a

2

= b2 + c2 )

x2 y2
+
=1
a2 b2

5

0,25

2 6
 nên:
3 

0,25

+ Tiêu cự bằng 2 5 ⇒ c =
⇒ a 2 − b 2 = 5 (1)



+ (E) đi qua M  3;



3
8
+ 2 =1
2
a
b

2,0
1,0

(2)

+ Từ (1) và (2) giải được b2 = 10 và b2 = - 4(Vô lí).
+ Suy ra a 2 = 15
+ Kết luận đúng PTCT của (E)

0,25
0,25

21


Đề cương ôn tập HK II. GV trần ngọc hiếu
b/
Ta có:

sin 2 x. cos x − cos 2 x. sin x
sin x. sin 2 x
sin x
1
=
=
sin x. sin 2 x sin 2 x

cot x − cot 2 x =

Môn toán 10 (cơ bản)
1,0
0,25
0,25

+ Từ đó suy ra:

1
= cot 2 x − cot 4 x
sin 4 x
1
= cot 4 x − cot 8 x
sin 8 x
1
= cot 8 x − cot 16 x
sin 16 x
+ Từ đó suy ra điều cần chứng minh

0,25
0,25

22


Đề cương ôn tập HK II. GV trần ngọc hiếu

1. BẤT ĐẲNG THỨC
1. Tính chất
Điều kiện

Môn toán 10 (cơ bản)

Nội dung
a < b ⇔a + c < b + c
a < b ⇔ ac < bc
a < b ⇔ ac > bc
a < b và c < d ⇒ a + c < b + d
a < b và c < d ⇒ ac < bd
a < b ⇔ a2n+1 < b2n+1
0 < a < b ⇒ a2n < b2n
a < b ⇔ a< b
a < b ⇔ 3a< 3b

c>0
c<0
a > 0, c > 0
n nguyên
dương
a>0

(1)
(2a)
(2b)
(3)
(4)
(5a)
(5b)
(6a)
(6b)

2. Bất đẳng thức Cô–si:
a+ b
≥ ab . Dấu "=" xảy ra ⇔ a = b.
2

Với a, b ≥ 0, ta có:

Hệ quả:
– Nếu x, y > 0 có S = x + y không đổi thì P = xy lớn nhất ⇔ x = y.
– Nếu x, y > 0 có P = x y không đổi thì S = x + y nhỏ nhất ⇔ x = y.
3. Bất đẳng thức về giá trị tuyệt đối
Điều kiện
Nội dung
x ≥ 0, x ≥ x, x ≥ − x
x ≤ a ⇔ − a≤ x≤ a

a>0

 x ≤ −a
x≥a⇔ 

x≥ a
a − b ≤ a+ b ≥ a + b

Bài tập trắc nghiệm
Câu 1. Tìm mệnh đề đúng
A. a < b ⇔ ac < bc
a
a < b
⇒ ac < bd
c < d

B. a < b ⇔ a + c < b + c C. 

D.

1 1
>
a b

Câu 2. Tìm mệnh đúng

23


Đề cương ôn tập HK II. GV trần ngọc hiếu
a > b
⇒ ac > bd

c > d

a > b > 0

⇒ ac > bd
c > d > 0

A.

B.

a > b

c > d

⇒

a b
>
c d

Câu 3. Tìm mệnh đề sai
A. a < b ⇒ a 2 < b 2
B. a < b ⇒ a 3 < b3

Môn toán 10 (cơ bản)

C.

a > b
⇒ a−c >b−d


c > d

D.

C. 0 < a < b ⇒ a < b D.

a
Câu 4. Với mọi số x, y dương.Bất đẳng thức nào sau đây sai
A. x + y ≥ 2 xy

B. ab ≥

a+b
2

1
a

C. a + ≥ 2

D.

a 2 + b 2 ≥ 2ab

Câu 5. Cho 2 phát biểu
(1) x ≥ − x
(2) x ≥ x
A. Chỉ phát biểu (1) đúng
B.Chỉ phát biểu (2) đúng

C. Cả (1) và (2) đều đúng
D.Cả (1) và (2) đều sai
Câu 6. Nếu a > b;c > d thì bất đẳng thức nào sau đây luôn đúng
a b
>
c d
a + c > b+ d

A.

B. ac > bd

C. a − c > b − d

Câu 7. Giá trị lớn nhất của hàm số : f ( x) = ( x + 3) ( 5 − x ) là:
A. 16
B. 0
C. −3
Câu 8. Với x, y là hai số thực, mệnh đề nào sau đây đúng?
x < 1
 x < 1
x < 1
xy
<
1
⇒
⇒
xy
<
1

A.

B. y < 1
C. y < 1 ⇒ x + y < 2
y < 1


x < 1
⇒ x−y < 0

y < 1
Câu 9. Cho x > 0;y > 0 và xy = 6 . Giá trị nhỏ nhất cuả x2 + y2 là :
A. 12
B. 6
C. 14

Câu 10. Tìm mệnh đề sai
A. a + b ≤ a + b , ∀a,b
C. a2 > 0, ∀a

D.

D. 5
D.

D. 10

B. a − b ≤ a − b , ∀a,b
D. − a ≤ a ≤ a , ∀a

2. BẤT PHƯƠNG TRÌNH - HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH MỘT ẨN
I- KHÁI NIỆM BẤT PHƯƠNG TRÌNH MỘT ẨN
1. Bất phương trình một ẩn:
Bất phương trình ẩn x là mệnh đề chứa biến dạng f(x) < g(x) hoặc f (x)
≤ g(x) (1) trong đó f(x) và g(x) là những biểu thức chứa của x.
Số thực x0 sao cho f(x0) < g(x0) (f(x0) ≤ g(x0)) là một mệnh đề đúng gọi là
một nghiệm của bất phương trình (1).
24


Đề cương ôn tập HK II. GV trần ngọc hiếu

Môn toán 10 (cơ bản)

Giải bất phương trình là tìm tập nghiệm của nó, khi tập nghiệm rỗng thì
ta nói bất phương trình vô nghiệm.
* Chú ý: Bất phương trình (1) cũng có thể viết lại dưới dạng sau: g(x) > f(x)
hoặc g(x) ≥ f(x).
2. Điều kiện của một bất phương trình:
Điều kiện của ẩn số x để f(x) và g(x) có nghĩa là điều kiện xác định (hay
gọi tắt là điều kiện) của bất phương trình (1).
3. Bất phương trình chứa tham số:
Trong một bất phương trình, ngoài các chữ đóng vai trò ẩn số còn có thể
có các chữ khác được xem như những hằng số và được gọi là tham số.
II- HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH MỘT ẨN
Hệ bất phương trình ẩn x gồm một số bất phương trình ẩn x mà ta phải tìm
các nghiệm chung của chúng.
Mỗi giá trị của x đồng thời là nghiệm của tất cả các bất phương trình của hệ
được gọi là một nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.
Giải hệ bất phương trình là tìm tập nghiệm của nó.

Để giải một hệ bất phương trình ta giải từng bất phương trình rồi lấy giao
của các tập nghiệm.
III- MỘT SỐ PHÉP BIẾN ĐỔI BẤT PHƯƠNG TRÌNH
1. Bất phương trình tương đương:
Hai bất phương trình có cùng tập nghiệm (có thể rỗng) là hai bất phương
trình tương đương và dùng kí hiệu " ⇔ " để chỉ sự tương đương của hai bất
phương trình đó.
Khi hai hệ bất phương trình có cùng một tập nghiệm ta cũng nói chúng
tương đương với nhau và dùng kí hiệu " ⇔ " để chỉ sự tương đương đó.
2. Phép biến đổi tương đương:
Để giải một bất phương trình (hệ bất phương trình) ta liên tiếp biến đổi nó
thành những bất phương trình (hệ bất phương trình) tương đương cho đến khi
được bất phương trình (hệ bất phương trình) đơn giản nất mà ta có thể viết ngay
tập nghiệm. Các phép biến đổi như vậy được gọi là các phép biến đổi tương
đương.
3. Cộng (trừ):
P(x) < Q(x) ⇔ P(x) + f(x) < Q(x) + f(x)
4. Nhân (chia):
P(x) < Q(x) ⇔ P(x).f(x) < Q(x).f(x) nếu f(x) > 0, ∀x
P(x) < Q(x) ⇔ P(x).f(x) > Q(x).f(x) nếu f(x) < 0, ∀x
5. Bình phương:
P(x) < Q(x) ⇔ [P(x)]2 < [Q(x)]2
Bài tập tự luận
Câu 1. Tìm điều kiện của bất phương trình sau:

25