Sáng kiến kinh nghiệm: MỘT số kĩ THUẬT CHỨNG MINH tỷ lệ THỨC

TÓM TẮT SÁNG KIẾN
1. Hoàn cảnh nảy sinh sáng kiến.
Trong môn toán lớp 7 nói chung, nội dung phần tỉ lệ thức nói riêng thường làm
cho các em lúng túng, thường khó xác định được hướng giải để làm công cụ tổng
quát, đặc biệt là khi gặp các bài toán khó. Lí do là học sinh mới được tiếp cận với
dạng toán đó, mặt khác SGK và các sách tham khảo khác cũng ít đề cập cụ thể đến
các dạng toán này. Học sinh cũng ít được định hướng, khai thác sâu và không được
củng cố nhiều về dạng toán này.
Trong đó, chứng minh tỉ lệ thức là nội dung quan trọng để rèn luyện tư duy học
sinh và gợi hướng mở để giải các bài toán liên quan về số học, đại số, hình học.
Không những áp dụng trong chương trình toán 7 mà còn áp dụng cho toán 8, toán
9 ( THCS ) khi các em học. Có nhiều sách có bài tập về “ Chứng minh tỉ lệ thức”,
song vẫn chưa có một trình tự, một hệ thống về phương pháp để giúp học sinh có
một công cụ , một hướng tư duy đúng và nhanh nhạy khi gặp dạng toán này. Để
đáp ứng một phần đòi hỏi thực tế đặt ra, tôi đã nghiên cứu và mạnh dạn trình bày
kinh nghiệm: “ Một số kĩ thuật chứng minh tỉ lệ thức”.
2. Điều kiện, thời gian, đối tượng áp dụng sáng kiến. Áp dụng dạy cho học sinh
lớp 7 và học sinh lớp 8,9 thuộc nội dung có liên quan Đối tượng là học sinh đại trà
và Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 7
3. Nội dung sáng kiến: Trên cơ sở thực tế đòi hỏi cần có biện pháp để hướng
dẫn học sinh chứng minh các bài toán về tỉ lệ thức. Tôi đã viết sáng kiến " Một số
kĩ thuật chứng minh tỉ lệ thức" và đã nhận được nhiều ý kiến đóng góp quí báu
của BGH, các đồng chí đồng nghiệp, các em học sinh nhiệt thành vận dụng. Đã có
nhiều ý kiến động viên, tán thành. Mặt khác một thực tế hiện nay học sinh chưa
xây dựng được thói quen tư duy có căn cứ, xây dựng được mối liên hệ giữa các
yếu tố đã học, kiến thức đã học, nhằm giải quyết các tình huống đặt ra, một nội
dung yêu cầu của bài toán. Do vậy việc xây dựng nội dung kiến thức và phương
pháp cụ thể , có hệ thống, có liên hệ chặt chẽ với nhau, nhằm củng cố kiến thức đã
học, giúp học sinh định hướng, nắm bắt nhanh nội dung một kiến thức cụ thể là hết
sức quan trọng và cần thiết.
Do vậy, tôi nhận thấy rằng chuyên đề này cần được bổ sung và phát triển thêm.

Nên tôi viết đề tài này để đi sâu thêm một bước nữa, nhằm khai thác các bài toán
về chứng minh tỉ lệ thức đạt kết quả cao hơn. Đồng thời cũng chú ý cho học sinh
cách vận dụng đúng phương pháp, vận dụng phù hợp với từng bài toán; để đưa ra
lời giải chứng minh cho từng bài toán một cách ngắn gọn, đơn giản và đạt hiệu quả
cao nhất. Trên hai mục đích rõ ràng: áp dụng để bồi dưỡng học sinh đại trà và áp
dụng để bồi dưỡng học sinh giỏi. Được thể hiện ở các ví dụ áp dụng, hệ thống bài
tập trình bày trong đề tài. Sáng kiến này được áp dụng trong việc giảng dạy các
1


chuyên đề trong trường học, áp dụng cho tất cả các đối tượng học sinh, áp dụng để
bồi dưỡng học sinh đại trà, bồi dưỡng học sinh giỏi môn toán lớp 7 và các lớp 8; 9
( ở trường THCS ). Mỗi đối tượng áp dụng và khai thác với mức độ khác nhau cho
phù hợp, đề tài chỉ đề cập đến bài toán chứng minh tỉ lệ thức. Ngoài ra có thể vận
dụng để giải một số bài toán về: tính giá trị của biểu thức, so sánh hai tỉ số, bài
toán tìm giá trị của biến, bài toán hình học có liên quan đến tỉ lệ thức... mà đề tài
chưa có điều kiện đề cập đến. Để giúp học sinh tiếp thu nhanh, nắm vững kiến
thức; ngoài phương pháp suy nghĩ khoa học, cùng những kinh nghiệm cá nhân đã
được tích luỹ trong học tập, phương pháp dạy của thày để hình thành hướng suy
nghĩ, tìm lời giải đúng cho học sinh góp một phần rất quan trọng. Nhiệm vụ khó
khăn này đòi hỏi phải có thời gian và kinh nghiệm sư phạm, có lòng tận tâm và
phương pháp đúng đắn.
4. Kết quả của sáng kiến.
Trong quá trình giảng dạy ở các năm học trước, đặc biệt là năm học 2015 2016. Ở lớp Bồi dưỡng đại trà, cũng như Bồi dưỡng đội tuyển. Tôi luôn hướng cho
học sinh những hướng chủ đạo, giúp các em thuận lợi rất nhiều khi làm các bài
toán về chứng minh tỉ lệ thức hay giải các bài toán có tính chất tương tự. Phần lớn
đã củng cố khắc sâu cho học sinh những công cụ cơ bản khi chứng minh tỉ lệ thức,
phát triển tư duy, thao tác, kĩ năng của học sinh, khả năng trình bày tốt hơn với các
bài toán về chứng minh tỉ lệ thức.
Ngoài việc giải, nghiên cứu lời giải của các bài toán khó về chứng minh tỉ lệ

thức. Học sinh trong đội tuyển, học sinh khá, giỏi còn tiếp tục khai thác các bài
toán không nằm trong phạm vi giới hạn của đề tài. Nhưng có tính chất tương tự
hay lấy đó làm công cụ để giải các bài toán nâng cao hơn, có liên quan đến tỉ lệ
thức. Học sinh chủ động, hứng thú khi giải quyết các bài tập, hiểu rõ nội dung, bản
chất yêu cầu của bài toán. Nâng cao khả năng suy luận logic, tinh thần tích cực học
hỏi, tìm tòi sáng tạo, biểu hiện một cách rõ nét.
Sau một thời gian áp dụng tại trường trên cả hai đối tượng: Học sinh đại trà và
học sinh khá, giỏi. Tôi nhận thấy các em có kĩ năng tốt hơn khi trình bày, chứng
minh được nhiều bài toán cơ bản và khó của chuyên đề tỉ lệ thức - Toán 7. Biểu
hiện ổn định và rõ nét khi tôi chấm kết quả do tôi trực tiếp khảo sát.
5. Khuyến nghị, đề xuất.
- Ở đây, vì thời gian có hạn nên tôi mới chỉ trình bày được một số dạng bài, một
số phương pháp cơ bản để minh hoạ và giúp học sinh có công cụ giải các bài toán
chứng minh tỉ lệ thức. Đồng thời dã đưa ra bài tập tự giải để cho giáo viên và các
em học sinh luyên tập, để làm tư liệu, củng cố kiến thức về phương pháp.
- Nếu có điều kiện, nên đưa ra những bài toán có chứa giá trị tuyệt đối, chứa
hằng số, số vô tỉ...Không chỉ áp dụng cho số mà còn mở rộng cho biểu thức đại số
mà các em đã học ở kì II - lớp 7. Không chỉ dừng lại ở bài toán chứng minh tỉ lệ
thức đơn thuần mà còn đi sâu vào các bài toán: tính giá trị, chứng minh, tìm biến...
2


mà thông qua chứng minh tỉ lệ thức có thể suy ra được điều đó hay đó là bước
ngoặt của bài toán.
MÔ TẢ SÁNG KIẾN
A. ĐẶT VẤN ĐỀ
I - LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Toán học là môn học chiếm vị trí quan trọng trong trường THCS. Dạy toán là
dạy phương pháp suy luận khoa học. Học toán là rèn luyện khả năng tư duy lôgíc.
Giải các bài toán là biện pháp tốt để học sinh nắm vững tri thức, phát triển tư duy

lôgíc, hình thành kĩ năng, kĩ xảo.
Trong môn toán lớp 7 nói chung, nội dung phần tỉ lệ thức nói riêng thường làm
cho các em lúng túng, thường khó xác định được hướng giải để làm công cụ tổng
quát, đặc biệt là khi gặp các bài toán khó. Lí do là học sinh mới được tiếp cận với
dạng toán đó, mặt khác SGK và các sách tham khảo khác cũng ít đề cập cụ thể đến
các dạng toán này. Học sinh cũng ít được định hướng, khai thác sâu và không được
củng cố nhiều về dạng toán này.
Trong đó, chứng minh tỉ lệ thức là nội dung quan trọng để rèn luyện tư duy
học sinh và gợi hướng mở để giải các bài toán liên quan về số học, đại số, hình
học. Không những áp dụng trong chương trình toán 7 mà còn áp dụng cho toán 8,
toán 9 ( THCS ) khi các em học. Có nhiều sách có bài tập về “ Chứng minh tỉ lệ
thức”, song vẫn chưa có một trình tự, một hệ thống về phương pháp để giúp học
sinh có một công cụ , một hướng tư duy đúng và nhanh nhạy khi gặp dạng toán
này. Để đáp ứng một phần đòi hỏi thực tế đặt ra, tôi đã nghiên cứu và mạnh dạn
trình bày kinh nghiệm: “ Một số kĩ thuật chứng minh tỉ lệ thức”. Đây là một số
cách giải khi gặp bài toán về chứng minh tỉ lệ thức, đáp ứng một phần nhu cầu
giảng dạy và bồi dưỡng học sinh đại trà, đặc biệt là bồi dưỡng học sinh giỏi toán 7.
Từ đó rèn luyện tư duy lôgíc, óc phân tích tổng hợp, sáng tạo, nhanh nhạy cần
thiết của học sinh khi học toán. Tạo điều kiện tốt, giúp học sinh học và giải các bài
toán có liên quan. Qua thời gian trực tiếp giảng dạy, thử nghiệm tôi thấy phương
pháp có hiệu quả nhất định trong quá trình giảng dạy học sinh.
II - ĐIỀU TRA THỰC TRẠNG TRƯỚC KHI NGHIÊN CỨU
Để đánh giá được khả năng giải toán và có phương án tốt để truyền đạt
phương pháp đến học sinh. Tôi đã tiến hành kiểm tra 20 em học sinh khá, giỏi lớp
7 ở trường, ra đề và cho học sinh làm bài trong 30 phút như sau:

a c
= ≠ ± 1, c ≠ 0. CMR:
b d
2

3
ab
a3 − b3
 a − b
 a + b
a) 
b) 
÷ =
÷ = 3
cd
c − d3
 c− d
 c+ d

Bài 1: (6 điểm).

Cho

Bài 2: (4 điểm).

Cho

b2 = ac, c2 = bd, (b, c, d ≠ 0, b + c ≠ d, b3 + c3 ≠ d3)
3


3

 a3 + b3 − c3   a + b − c 
=

CMR:  3
÷
3
3÷ 
b
+
c
−
d

  b+ c − d 
Kết quả cụ thể:
Dưới 5 điểm
SL
%
10
50

5 → 6đ
SL
%
6
30

7đ
SL
2

%
10

8 → 10 đ
SL
%
2
10

5 → 10 đ
SL
%
10
50

Qua kiểm tra tôi thấy đa số học sinh không làm được bài 2. Có thể nói học sinh
chưa có phương pháp chứng minh tỉ lệ thức một cách rõ ràng, lời giải thường
không chặt chẽ, thiếu sự định hướng. Cũng với những bài toán như trên, nếu có sự
định hướng, nắm rõ những phương pháp cơ bản về chứng minh tỉ lệ thức thì khi
học sinh giải toán hiệu quả sẽ nhanh chóng và chính xác hơn.
III - CƠ SỞ CỦA PHƯƠNG PHÁP
Trên cơ sở thực tế đòi hỏi cần có biện pháp để hướng dẫn học sinh chứng
minh các bài toán về tỉ lệ thức. Tôi đã viết sáng kiến " Một số kĩ thuật chứng
minh tỉ lệ thức" và đã nhận được nhiều ý kiến đóng góp quí báu của BGH, các
đồng chí đồng nghiệp, các em học sinh nhiệt thành vận dụng. Đã có nhiều ý kiến
động viên, tán thành. Mặt khác một thực tế hiện nay học sinh chưa xây dựng được
thói quen tư duy có căn cứ, xây dựng được mối liên hệ giữa các yếu tố đã học, kiến
thức đã học, nhằm giải quyết các tình huống đặt ra, một nội dung yêu cầu của bài
toán. Do vậy việc xây dựng nội dung kiến thức và phương pháp cụ thể , có hệ
thống, có liên hệ chặt chẽ với nhau, nhằm củng cố kiến thức đã học, giúp học sinh
định hướng, nắm bắt nhanh nội dung một kiến thức cụ thể là hết sức quan trọng và
cần thiết.

Do vậy, tôi nhận thấy rằng chuyên đề này cần được bổ sung và phát triển
thêm. Nên tôi viết đề tài này để đi sâu thêm một bước nữa, nhằm khai thác các bài
toán về chứng minh tỉ lệ thức đạt kết quả cao hơn. Đồng thời cũng chú ý cho học
sinh cách vận dụng đúng phương pháp, vận dụng phù hợp với từng bài toán; để
đưa ra lời giải chứng minh cho từng bài toán một cách ngắn gọn, đơn giản và đạt
hiệu quả cao nhất. Trên hai mục đích rõ ràng: áp dụng để bồi dưỡng học sinh đại
trà và áp dụng để bồi dưỡng học sinh giỏi. Được thể hiện ở các ví dụ áp dụng, hệ
thống bài tập trình bày trong đề tài.
IV - PHẠM VI ÁP DỤNG CỦA ĐỀ TÀI
Kinh nghiệm này được áp dụng trong việc giảng dạy các chuyên đề trong
trường học, áp dụng cho tất cả các đối tượng học sinh, áp dụng để bồi dưỡng học
sinh đại trà, bồi dưỡng học sinh giỏi môn toán lớp 7 và các lớp 8; 9 ( ở trường
THCS ). Mỗi đối tượng áp dụng và khai thác với mức độ khác nhau cho phù hợp,
4


đề tài chỉ đề cập đến bài toán chứng minh tỉ lệ thức. Ngoài ra có thể vận dụng để
giải một số bài toán về: tính giá trị của biểu thức, so sánh hai tỉ số, bài toán tìm giá
trị của biến, bài toán hình học có liên quan đến tỉ lệ thức... mà đề tài chưa có điều
kiện đề cập đến.
Để giúp học sinh tiếp thu nhanh, nắm vững kiến thức; ngoài phương pháp suy
nghĩ khoa học, cùng những kinh nghiệm cá nhân đã được tích luỹ trong học tập,
phương pháp dạy của thày để hình thành hướng suy nghĩ, tìm lời giải đúng cho học
sinh góp một phần rất quan trọng. Nhiệm vụ khó khăn này đòi hỏi phải có thời gian
và kinh nghiệm sư phạm, có lòng tận tâm và phương pháp đúng đắn.
Mặc dù đã rất cố gắng và được các cấp lãnh đạo, các đồng chí đồng nghiệp
nhiệt thành góp ý. Nhưng kinh nghiệm, tuổi nghề còn hạn chế; nên đề tài không
trách khỏi những thiếu sót. Tôi rất mong, sẽ tiếp tục nhận được những ý kiến đóng
góp quí báu của các cấp lãnh đạo, các đồng chí chuyên viên, các bạn đồng nghiệp,
để đề tài phát huy hiệu quả cao hơn.

V - MỤC TIÊU CỦA ĐỀ TÀI
- Khắc sâu cho học sinh những kiến thức cơ bản về tỉ lệ thức. Hình thành
một số phương pháp cơ bản chứng minh tỉ lệ thức. Ngoài ra hiểu và vận dụng tốt
tính chất của tỉ lệ thức của dãy tỉ số bằng nhau để chứng minh các bài toán về tỉ lệ
thức (trong chương trình toán 7).
- Củng cố khắc sâu kiến thức cơ bản cho học sinh đại trà; khai thác, nâng
cao kiến thức cho học sinh khá, giỏi về chuyên đề tỉ lệ thức.
- Giáo dục tinh thần tích cực học hỏi, tìm tòi sáng tạo của học sinh, tăng
niềm hứng thú say mê trong lao động học tập. Giáo dục cho học sinh thấy vẻ đẹp
muôn màu của toán học.
VI - PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
1. Đọc tài liệu: SGK, sách tham khảo, các tạp chí toán học...
2. Tập hợp, phân tích, khai thác vấn đề.
3. Tổng hợp vấn đề
4. Chọn lọc, hình thành nội dung mới, nội dung cần diễn đạt.
B . NỘI DUNG
I - NHỮNG KIẾN THỨC CẦN SỬ DỤNG
1. Tỉ lệ thức
Tỉ lệ thức là đẳng thức của hai tỉ số. Dạng tổng quát:

a c
= hoặc a : b = c : d
b d

Các số hạng: a và d gọi là ngoại tỉ; b và c gọi là trung tỉ.
2. Tính chất
a) Tính chất cơ bản:

a c
= ⇔ ad = bc (b, d ≠ 0)

b d
5


a c
= ( a, b, c, d ≠ 0 ) ta có thể suy ra các tỉ
b d

b) Tính chất hoán vị: Từ tỉ lệ thức
lệ thức khác bằng cách:
- Đổi chỗ ngoại tỉ cho nhau:
- Đổi chỗ trung tỉ cho nhau:
- Đổi chỗ cả trung tỉ và ngoại tỉ:

d c
=
b a
a b
=
c d
d b
=
c a

c) Tính chất của dãy tỉ số bằng nhau:

a c e
a+ c+ e a− c+ e a− c − e
= = = k thì
=

=
= ... = k
b d f
b+ d + f b− d + f b− d − f

Nếu

( giả thiết các tỉ số đều có nghĩa)
3. Chú ý
Các số x; y; z tỉ lệ với các số a; b; c ta còn viết

x y z
= = hay x : y : z = a : b : c
a b c

4. Một số tính chất nâng cao

a c e
= = = k thì
b d f
ma + nc + pe ma − nc + pe ma − nc − pe
=
=
= ... = k
mb + nd + pf mb − nd + pf mb − nd − pf
a c
b) Nếu = thì
b d
a) Nếu

a+ b c+ d a− b c− d
a
c
a
c
=
,
=
,
=
,
=
b
d
b
d
a+ b c+ d a− b c − d
( giả thiết các tỉ số đều có nghĩa)
II - MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP (KĨ THUẬT) CHỨNG MINH TỈ LỆ THỨC
1 - Phương pháp: Giá trị chung.
* Cách làm:
- Để chứng minh một tỉ lệ thức, ta cần chứng minh hai tỉ số ở hai vế cùng
bằng một tỉ số thứ ba ( giá trị chung )
- Ta đặt giá trị chung của các hệ thức đã cho là k
- Từ đó tính giá trị của mỗi tỉ số ở tỉ lệ thức cần chứng minh theo k
* Các ví dụ minh hoạ:
Ví dụ 1:

Cho

a c
= ≠ 1, abcd ≠ 0.
b d

Bài giải:
6

CMR:

a
c
=
a− b c − d


a c
= = k ⇒ a = kb; c=kd ( k ≠ 1)
b d
a
kb
kb
k
=
=
=
(1)
Ta có:
a − b kb − b (k − 1)b k − 1
c
kd

kd
k
=
=
=
(2)
c − d kd − d (k − 1)d k − 1
a
c
=
Từ (1) và (2) suy ra:
a− b c− d
Ta đặt

Ví dụ 2:

a+ b c+ d
a c
= ≠ 1 có thể suy ra tỉ lệ thức
=
b d
a− b c − d
( Bài tập trong SGK- Toán 7)

CMR: Từ tỉ lệ thức

Bài giải:

a c
= = k (k ≠ 1) ⇒ a = kb, c = kd.

b d
Vì k ≠ 1 ⇒ kb - b ≠ 0, kd - d ≠ 0
a + b kb + b b(k + 1) k + 1
=
=
=
(1)
a − b kb − b b(k − 1) k − 1
Ta có:
c + d kd + d d(k + 1) k + 1
=
=
=
(2)
c − d kd − d d(k − 1) k − 1
a+ b c + d
=
Từ (1) và (2), suy ra:
a− b c − d
Ta đặt

Nhận xét: Điều ngược lại có đúng không ?
Ví dụ 3:

Cho

a+ b c+ d
=
≠ 1 và b, d ≠ 0
a− b c − d

CMR:

a c
=
b d

Bài giải:

a+ b c+ d
=
= k (k ≠ 1)
Ta đặt: a − b c − d

⇒ a + b = k(a - b) và c + d = k(c - d)
⇒ a + b = ka - kb và c + d = kc - kd
Suy ra: (1 + k)b = (k - 1)a và (1 + k)d = (k - 1)c. Với k ≠ 1 thì b ≠ 0, d ≠ 0.
Ta có:

a k+1 c
=
=
b k−1 d

* Bài tập áp dụng: (dành cho học sinh khá, giỏi)
7


Bài Tập 1: Cho

a)

a c
= .
b d

pa + qb pc + qd
=
a
c

CMR:

b)

pa + qb pc + qd
=
pa − qb pc − qd

( p, q ∈ R và các tỉ số trên đều có nghĩa)
Bài Tập 2:

Cho

a c
= . CMR:
b d

a2 + b2 (a + b)2
pak + qbk pck + dbk

=
=
a)
b) 2
c + d2 (c + d)2
mak + nbk mck + ndk
(giả sử các tỉ số trên đều có nghĩa)
2 - Phương pháp: Biến đổi rồi áp dụng tính chất
* Cách làm: - Hoán vị các trung tỉ, ngoại tỉ một cách hợp lí
- Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau
- Có thể tiếp tục hoán vị trung tỉ, ngoại tỉ một cách hợp lí để đi đến
tỉ lệ thức cần chứng minh.
* Các ví dụ minh hoạ:
Ví dụ 1:

Cho

a c
= ≠ 1, abcd ≠ 0.
b d

CMR:

a
c
=
a− b c − d

Bài giải:
Theo bài:

a
c
≠ 1,
≠ 1 ⇒ a ≠ b, c ≠ d hay a - b ≠ 0 và c - d ≠ 0
b
d

Biến đổi và áp dụng tính chất của tỉ lệ thức, ta có:

a c
a b a a− b
a
c
= ⇒ = ⇒ =
⇒
=
b d c d c c− d a− b c− d
a c
a− b c − d
=
Ví dụ 2: CMR: Từ tỉ lệ thức = ≠ −1 có thể suy ra tỉ lệ thức
b d
a+ b c + d
Bài giải:
Theo bài:

a c
a b a
c

= ⇒ = ,
≠ −1,
≠ −1⇒ a + b ≠ 0 và c + d ≠ 0
b d c d b
d

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
a b a− b a+ b
a− b a+ b a− b c− d
= =
=
=
⇒
=
. Từ
c d c− d c+ d
c− d c+ d a+ b c + d
8


Ví dụ 3:

Cho

Bài giải:

a+ b c+ d
=
≠ 1 và b, d ≠ 0
a− b c − d

CMR:

a c
=
b d

a+ b c+ d
=
. Hoán vị giữa hai trung tỉ và áp dụng tính chất của dãy tỉ
a− b c− d
số bằng nhau, ta có:

Từ tỉ lệ thức

a + b c + d a + b a − b a + b + a − b 2a a
=
⇒
=
=
=
=
a − b c − d c + d c − d c + d + c − d 2c c
a + b a − b a + b − (a − b) 2b b
a c
=
=
=
=
Tương tự:

Suy ra: =
c + d c − d c + d + (c − d) 2d d
b d
* Bài tập áp dụng: (dành cho học sinh khá, giỏi)
a c
Bài tập 1:
Cho tỉ lệ thức: = . CMR:
b d

5a + 7b 5c + 7d
=
a)
5a − 7b 5c − 7d

7a2 + 4ab 7c2 + 4cd
=
b)
11a2 − 8b2 11c2 − 8d2

(giả sử các tỉ số trên đều có nghĩa)

a c
Bài tập 2: a) Cho tỉ lệ thức: = .
b d

an + bn an − bn
=
CMR: n
c + dn cn − dn

(n∈ N )

b) CMR: Từ tỉ lệ thức
2k

a2k + b2k a2k − b
2k =
c2k − d2k
c2k + d

(k∈ N ) ta có thể suy ra được:

a
c
=±
b
d

(giả sử các tỉ số trên đều có nghĩa)
3 - Phương pháp: Xét tích trung tỉ và ngoại tỉ
* Cách làm:

Để chứng minh tỉ lệ thức

A C
= , ta chứng minh A.D = B.C
B D

* Các ví dụ minh hoạ:
Ví dụ 1:

Cho

a c
= ≠ 1, abcd ≠ 0.
b d

CMR:

a
c
=
a− b c− d

Bài giải:
Lời giải 1: Theo bài:
Xét tích:

a
c
≠ 1,
≠ 1 ⇒ a ≠ b, c ≠ d hay a - b ≠ 0 và c - d ≠ 0
b
d

c(a - b) và a(c - d). Ta có: a(c - d) = ac - ad,

c(a - b) = ac - bc

a c

a
c
=
= ⇒ ad = bc . Từ đó, ta có: a(c - d) = c(a - b) ⇒
a− b c − d
b d
a c
Lời giải 2: Theo bài: = ⇒ ad = bc ⇒ ac - ad = ac - bc
b d
Theo bài:

9


⇒ a(c - d) = c(a - b). Do
Ta có:

a c
= ≠ 1 ⇒ a - b ≠ 0 và c - d ≠ 0.
b d

a
c
=
a− b c− d

* Nhận xét:
- Đây là phương pháp áp dụng tính chất cơ bản của tỉ lệ thức. Học
sinh có thể vận dụng dễ dàng.
- Chỉ áp dụng với biểu thức không phức tạp, không cồng kềnh. Nên

tính tổng quát của phương pháp không cao. Học sinh phải chú ý khi vận dụng
phương pháp này.
Ví dụ 2: CMR: Từ tỉ lệ thức

a c
a− b c− d
= ≠ −1 có thể suy ra tỉ lệ thức
=
b d
a+ b c+ d

Bài giải:
Lời giải 1: Từ

a c
= ⇒ ad = bc (1)
b d

b a− b
=
(*)
d c− d
b a+ b
Từ (1) ⇒ ad + bd = bc + bd ⇒ d(a + b) = b(c + d) ⇒ =
(**)
d c+ d
a− b a+ b a− b c − d
=
⇒
=

Từ (*) và (**), suy ra:
c− d c+ d a+ b c+ d
Từ (1) ⇒ ad - bd = bc - bd ⇒ d(a - b) = b(c - d)

⇒

( Vì theo giả thiết , ta có: a + b ≠ 0 và c + d ≠ 0)
Lời giải 2:
Xét tích: (a - b).(c + d) và (a + b).(c - d)
Ta có: (a - b).(c + d) = ac + ad - bc - bd = (ac - bd) + (ad - bc)
(a + b).(c - d) = ac - ad + bc - bd = (ac - bd) + (- ad + bc)
Theo bài:

a c
a− b c− d
=
= ⇒ ad = bc ⇒ (a - b).(c + d) = (a + b).(c - d) ⇒
a+ b c+ d
b d
( Vì theo giả thiết , ta có: a + b ≠ 0 và c + d ≠ 0)

Ví dụ 3:

Cho

a+ b c+ d
=
≠ 1 và b, d ≠ 0
a− b c − d

10

CMR:

a c
=
b d


Bài giải: Theo bài:

a+ b c+ d
=
⇒ (a + b).(c - d) = (a - b).(c + d)
a− b c− d

(theo t/c cơ bản của tỉ lệ thức)
⇒ ac - ad + bc - bd = ac + ad - bc - bd ⇒ 2ad = 2bc ⇒ ad = bc ( b, d ≠ 0)

⇒

a c
=
b d

* Bài tập áp dụng: (dành cho học sinh khá, giỏi)

a c
= .
b d

7a + 21b 7c + 21d
3a − 7b 3c − 7d
=
=
CMR: a)
b)
3a + 7b 3c + 7d
21a − 7b 21c − 7d
a c
Bài tập 2: Cho = . CMR:
b d
7a2 − 3ab 7c2 − 3cd
ma − nb mc − nd
=
=
a)
,
b)
ma + nb mc + nd
11a2 + 4b2 11c2 + 4d2
(giả sử các tỉ số trên đều có nghĩa)
Bài tập 1: Cho

4 - Phương pháp: Biến đổi tỉ số một vế thành tỉ số của vế còn lại
* Cách làm:
- Thường dùng các tính chất: Hoán vị, kết hợp, tính chất của đẳng thức, tính
chất của dãy tỉ số bằng nhau, để biến đổi vế này thành vế kia.
- Chọn một vế để biến đổi, vận dụng giả thiết của bài toán, cùng nhứng tính
chất phù hợp để tạo ra một biểu thức mới, chính là biểu thức của vế còn lại.
* Các ví dụ minh hoạ:

Ví dụ 1:

Cho

a c
= ≠ 1, abcd ≠ 0.
b d

CMR:

a
c
=
a− b c − d

Bài giải:
Lời giải 1: Theo bài:

a c
= ⇒ ad = bc (abcd ≠ 0) và a ≠ b, c ≠ d . Do đó , ta
b d

có:

11


a
ad
ad

bc
bc
c
=
=
=
=
=
a − b d(a − b) ad − bd bc − bd b(c − d) c − d
Lời giải 2:
Theo bài:

a c
= ⇒ ad = bc (abcd ≠ 0) và a ≠ b, c ≠ d . Do đó , ta có:
b d

c
bc
bc
ad
ad
a
=
=
=
=
=
c − d b(c − d) bc − bd ad − bd d(a − b) a − b
Ví dụ 2: CMR: Từ tỉ lệ thức

a c
a− b c− d
= ≠ −1 có thể suy ra tỉ lệ thức
=
b d
a+ b c+ d

Bài giải:
Lời giải 1:

a c
= ≠ −1⇒ ad = bc và a + b ≠ 0, c + d ≠ 0
b d
a − b cd(a − b) adc − bcd bc.c − bc.d bc(c − d) c − d
=
=
=
=
=
Do đó:
a + b cd(a + b) adc + bcd bc.c + bc.d bc(c + d) c + d
Theo bài:

a c
= ≠ −1⇒ ad = bc và a + b ≠ 0, c + d ≠ 0
b d
c − d ab(c − d) a.bc − ad.b a.bc − bc.b bc(a − b) a − b
=
=
=

=
=
Do đó:
c + d ab(c + d) abc
. + ad.b a.bc + bc.b bc(a + b) a + b
Lời giải 2:

Theo bài:

Ví dụ 3: Cho

ax + by cx + dy
a c
=
= . CMR:
( x, y ∈ R)
ax − by cx − dy
b d
(giả sử các tỉ số trên đều có nghĩa)

Bài giải:
Lời giải 1:
Theo bài, ta có:

a c
= ⇒ ad = bc (các tỉ số đều có nghĩa)
b d

12

Do đó:

ax + by d(ax + by) adx + bdy bcx + bdy b(cx + dy) cx + dy
=
=
=
=
=
ax − by d(ax − by) adx − bdy bcx − bdy b(cx − dy) cx − dy
Lời giải 2: Theo bài, ta có:

a c
= ⇒ ad = bc (các tỉ số đều có nghĩa)
b d

Do đó:

cx + dy b(cx + dy) bcx + bdy adx + bdy d(ax + by) ax + by
=
=
=
=
=
cx − dy b(cx − dy) bcx − bdy adx − bdy d(ax − by) ax − by
* Bài tập áp dụng: (dành cho học sinh khá, giỏi)
Bài tập 1:

Cho

a c
= , b + d ≠ 0.
b d

( a + c)
b)
( b + d)

a2 + c2 ac
= ,
CMR: a) 2
b + d2 bd
Bài tập 2:

2
2

=

ac
bd

a c
= , c ≠ 0, c + d ≠ 0.
b d
a2 + b2 ab
a2 ac
= ,
b) 2 =
CMR: a) 2

c + d2 cd
b bd
Cho

5 - Phương pháp: Tổng hợp (Vận dụng đồng thời nhiều phương pháp)
* Cách làm:
- Lựa chọn, vận dụng khéo léo, linh hoạt các phương pháp chủ đạo đã nêu ở
trên.
- Tuỳ thuộc vào giả thiết và yêu cầu của bài toán. Mà có cách chọn lựa phù
hợp
Thường áp dụng cho những bài có tính tổng hợp, cần nhiều bước biến đổi.
Đặc biệt là các bài toán dành cho học sinh khá và giỏi.
* Các ví dụ minh hoạ:

a2 + c2 ( a + c)
a c
=
= , b + d ≠ 0. CMR: 2
Ví dụ 1: Cho
2
2
b
+
d
b d
( b + d)
2

Bài giải:
13

a c
= . Áp dụng tính chất cơ bản của tỉ lệ thức và áp dụng tính chất của
b d
a c
a c a+ c
= ⇒ = =
dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
b d b d b+ d
Theo bài:

2

2

2

a2 + c2
 a  c   a+ c 
⇒ ÷ = ÷ =
÷ = 2
2
 b  d   b+ d  b + d
Ví dụ 2:

Cho

a c
=

( a, b, c, d > 0 ). CMR:
b d

2a − 3b 2c − 3d
=
a)
2a + 3b 2c + 3d
Bài giải:

3a2 + 10b2 − 17ab 3c2 + 10d2 − 17cd
b)
=
7a2 + b2 + 5ab
7c2 + d2 + 5cd
(áp dụng tổng hợp các cách)

a) Cách 1: ( Gọi giá trị chung)
Gọi giá trị chung của

a c
= = k ⇒ a = kb, c = kd
b d

Ta có:

2a − 3b 2kb − 3b b(2k − 3) 2k − 3
=
=
=
(1)

2a + 3b 2kb + 3b b(2k + 3) 2k + 3

2c − 3d 2kd − 3d d(2k − 3) 2k − 3
=
=
=
(2)
2c + 3d 2kd + 3d d(2k + 3) 2k + 3
2a − 3b 2c − 3d
=
Từ (1) và (2), ta có:
2a + 3b 2c + 3d
Cách 2: ( Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau)

a c
a b 2a 3b 2a + 3b 2a − 3b
= ⇒ = =
=
=
=
b d c d 2c 3d 2c + 3d 2c − 3d
2a − 3b 2c − 3d
⇒
=
(Với a, b, c, d > 0 )
2a + 3b 2c + 3d

Theo bài:

Cách 3: ( Xét tích trung tỉ và ngoại tỉ)

14


Ta xét tích: (2a - 3b)(2c + 3d) và (2a + 3b).(2c - 3d)
Ta có:
(2a - 3b)(2c + 3d) = 4ac + 6ad - 6bc - 9bd
(2a + 3b)(2c - 3d) = 4ac - 6ad + 6bc - 9bd
a c
Theo bài: = ⇒ ad = bc ⇒ (- 6ad + 6bc) = (6ad - 6bc) = 0
b d

⇒ (2a - 3b).(2c + 3d) = (2a + 3b).(2c - 3d) ⇒

2a − 3b 2c − 3d
=
2a + 3b 2c + 3d

( a, b, c, d > 0 )
Cách 4: ( Biến đổi tỉ số một vế thành tỉ số của vế còn lại)
a c
Theo bài: = ⇒ ad = bc
b d

2a − 3b d(2a − 3b) 2ad − 3bd 2bc − 3bd b(2c − 3d) 2c − 3d
=
=
=
=
=
2a + 3b d(2a + 3b) 2ad + 3bd 2bc + 3bd b(2c + 3d) 2c + 3d

a c a b a2 b2 ab 3a2 10b2 17ab 3a2 + 10b2 − 17ab
=
=
=
=
b) = ⇒ = ⇒ 2 = 2 =
b d c d c d cd 3c2 10d2 17cd 3c2 + 10d2 − 17cd
Mặt khác , ta lại có:

a2 b2 5ab 7a2 7a2 + b2 + 5ab
=
=
=
=
.
c2 d2 5cd 7c2 7c2 + d2 + 5cd
Từ đó , suy ra điều phải chứng minh.
Ví dụ 3:

Cho n số khác 0 , thoả mãn:

a22 = a1a3, a32 = a2a4, a42 = a3a5, ......, an2−1 = an−2an
n

CMR:
Bài giải:

a1n + a2n + a3n + ........ + ann−1  a1 + a2 + a3 + .......... + an−1 
=
÷

a2n + a3n + a4n + ........ + ann  a2 + a3 + a4 + .......... + an 

Từ giả thiết của bài toán, ta suy ra:

a
a1 a2 a3
= = = .......... = n−1
a2 a3 a4
an

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

a
a + a + a + ........ + an−1
a1 a2 a3
= = = .......... = n−1 = 1 2 3
a2 a3 a4
an
a2 + a3 + a4 + ........ + an
n

 a + a + a + ........ + an−1 
a
a a a
a1
⇒ 1 . 2 . 3 ......... n−1 =  1 2 3
=
÷
a2 a3 a4
an  a2 + a3 + a4 + ........ + an  an

(1)

Mặt khác: theo giả thiết, ta lại có:

ann−1 a1n + a2n + a3n + ...... + ann−1 a1.a2.a3.....an−1 a1
a1n a2n a3n
= = = .... = n = n n n
=
=
(2)
a2n a3n a4n
an
a2 + a3 + a4 + ....... + ann a2.a3.a4......an an
15


Từ (1) và (2), suy ra:
n

a1n + a2n + a3n + ........ + ann−1  a1 + a2 + a2 + .......... + an−1 
=
÷
a2n + a3n + a4n + ........ + ann  a2 + a3 + a4 + .......... + an 
(điều phải chứng minh)
* Bài tập áp dụng: (dành cho học sinh khá, giỏi)
a c
=
Bài tập 1: :
Cho

( a, b, c, d > 0 ).
b d
CMR:

ma + nb mc + nd
= ,
,
,
,
a) ma
+ nb
mc + nd

ma2 + nb2 + kab
mc2 + nd2 + kcd
b) , 2
= , 2
,
ma + n,b2 + k,ab mc
+ n,d2 + kcd

(giả sử các tỉ số trên đều có nghĩa)

a c
= . Chứng minh rằng:
b d
mam + nbn + kab
mcm + ndn + kcd
= , m,
,

,
, m,
,
ma
+ n,bn + k,ab mc
+ n,dn + kcd

Bài tập 2: Cho

(giả sử các tỉ số trên đều có nghĩa)
III - BÀI TOÁN LUYỆN TẬP ( có lời giải)
Bài toán 1:

Cho bốn số khác 0: a1, a2, a3, a4

thoả mãn điều kiện:

a22 = aa
, a32 = a2a4 .
1 2
a13 + a23 + a33 a1
CMR : 3 3 3 =
a2 + a3 + a4 a4
(giả sử các tỉ số trên đều có nghĩa)
Bài giải:
Theo bài:

a22 = aa
⇒
1 2

Từ (1) và (2), ta có:

a1 a2
=
a2 a3

(1)

a32 = a2a4 ⇒

a2 a3
=
a3 a4

a1 a2 a3
= =
a2 a3 a4

Lời giải 1: ( áp dụng linh hoạt tính của dãy tỉ số bằng nhau)

a13 a23 a33 a1 a2 a3 a1
= = = . . =
(3)
Từ đó suy ra:
a23 a33 a43 a2 a3 a4 a4
a13 a23 a33 a13 + a23 + a33
= = =
(theo t / c) (4)
Mặt khác:

a23 a33 a43 a23 + a33 + a43
16

(2)


a13 + a23 + a33 a1
CMR : 3 3 3 =
a2 + a3 + a4 a4

Từ (3) và (4), suy ra:

Lời giải 2: ( áp dụng phương pháp giá trị chung)
Gọi giá trị chung của:

a1 a2 a3
= = =k
a2 a3 a4

⇒ a1 = ka2; a2 = ka3; a3 = ka4
a1 k3a4
=
= k3 (1)
⇒
a4
a4

⇒ a1 = k. ka3 = k .ka4 = k a4
2

3

a13 + a23 + a33 k3a23 + k3a33 + k3a43 k3 (a23 + a33 + a43 )
=
=
= k3 (2)
Mặt khác: 3
3
3
3
3
3
3
3
3
a2 + a3 + a4
a2 + a3 + a4
a2 + a3 + a4
a13 + a23 + a33 a1
CMR : 3 3 3 =
Từ (1) và (2), suy ra:
a2 + a3 + a4 a4
Bài toán 2:

Cho 6 số khác 0 là: x1, x2, ........, x6, thoả mãn điều kiện:

x22 = x1x2 , x32 = x2 x4 , x42 = x3 x5 , x52 = x4 x6
5

 x + x2 + x3 + x4 + x5 

x1
Chứng minh rằng:  1
÷ =
x6
 x2 + x3 + x4 + x5 + x6 
Bài giải:
Theo bài:

x22 = x1x2 ⇒

x1 x2
=
x2 x3

(1)

x32 = x2 x4 ⇒

x2 x3
=
x3 x4

(2)

x42 = x3 x5 ⇒

x3 x4
=
x4 x5

(3)

x52 = x4 x6 ⇒

x4 x5
=
x5 x6

(4)

Từ (1), (2), (3) và (4), ta có:

x1 x2 x3 x4 x5
= = = =
x2 x3 x4 x5 x6

Lời giải 1: ( áp dụng linh hoạt tính của dãy tỉ số bằng nhau)
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

x1 x2 x3 x4 x5 x1 + x2 + x3 + x4 + x5
= = = = =
x2 x3 x4 x5 x6 x2 + x3 + x4 + x5 + x6
5

x x x x x  x + x2 + x3 + x4 + x5 
⇒ 1. 2. 3. 4. 5 = 1
÷
x2 x3 x4 x5 x6  x2 + x3 + x4 + x5 + x6 

17

5

 x + x2 + x3 + x4 + x5 
x1
Hay:  1
=
÷
x6
 x2 + x3 + x4 + x5 + x6 
Lời giải 2: ( áp dụng phương pháp giá trị chung)
Gọi giá trị chung của:

x1 x2 x3 x4 x5
= = = = =k
x2 x3 x4 x5 x6
5

 x + x2 + x3 + x4 + x5 
x
⇒ 1 = k5 =  1
÷
x6
 x2 + x3 + x4 + x5 + x6 
Bài toán 3:
số

Giả sử k1, k2, k3 là ba số nguyên dương, k1 + k2 + k3 là số lẻ, các

x1, x2, x3 thoả mãn:

x1 − x2
x −x
x −x
= 2 3 = 3 1 . CMR:
k1
k2
k3

x 1 = x2 = x3

Bài giải:
Do vai trò bình đẳng của các số x 1, x2, x3 , nên có thể giả sử
.
Khi đó tỉ số đã cho trở thành:

x 1 ≥ x2 ≥ x3

x1 − x2 x2 − x3 x3 − x1
=
=
=k
k1
k2
k3

Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

x1 − x2 + x2 − x3 + x1 − x3 2(x1 − x3 )

=
(1)
k1 + k2 + k3
k1 + k2 + k3
x1 − x2 + x2 − x3 x1 − x3
=
(2)
và: k =
k1 + k2
k1 + k2
2(x1 − x3 ) x1 − x3
=
(3)
Từ (1) và (2), ta có:
k1 + k2 + k3 k1 + k2
k=

+ Nếu x1 ≠ x3 ⇒ (3) ⇔ 2(k1 + k2) = k1 + k2 + k3. Điều này vô lí, vì theo bài
k1 + k2 + k3 là số lẻ, mà 2(k1 + k2) là số chẵn, (k1, k2, k3 là ba số nguyên dương).
Chứng tỏ: x1 = x3 ⇒ x1 = x2 = x3 (đpcm)
Nhận xét: Nhiều học sinh nhầm lẫn

x1 − x2 + x2 − x3 + x3 − x1 = (x1 − x2 ) + (x2 − x3 ) + (x3 − x1 ) = 0
⇒ x1 = x2 = x3
Bài toán 4:

Có một bài toán như sau:
18

x2 − yz y2 − zx z2 − xy
=
=
CMR: Nếu có
thì suy ra được:
a
b
c
a2 − bc b2 − ca c2 − ab
=
=
x
y
z
Có hai bạn Giang và Sơn rất nhanh trí và có lời giải như sau:
Bạn Giang giải như sau:

x2 − yz y2 − zx z2 − xy
=
=
=k
Đặt
a
b
c
x2 − yz
y2 − zx
z2 − xy
⇒ a=
; b=

; c=
k
k
k
x2 − yz y2 − zx z2 − xy
−
.
2
x3 + y3 + z3 − 3xyz
Dẫn đến: a − bc
k
k
k
=
=
x
x
k2
b2 − ca c2 − ab x3 + y3 + z3 − 3xyz
=
=
⇒ (đpcm)
Tương tự ta có:
2
y
z
k
Bạn Sơn giải như sau:

a

b
c
= 2
= 2
x − yz y − zx z − xy
a2
b2
c2
⇒ 2
=
=
=
(x − yz)2 (y2 − zx)2 (z2 − xy)2
ab
bc
ac
= 2
= 2
= 2
2
2
(x − yz)(y − zx) (y − zx)(z − xy) (x − yz)(z2 − xy)
ab
bc
ac
= 2
=
=
(x − yz)(y2 − zx) (y2 − zx)(z2 − xy) (x2 − yz)(z2 − xy)
a2 − bc

b2 − ac
⇒ 2
=
=
(x − yz)2 − (y2 − zx)(z2 − xy) (y2 − zx)2 − (x2 − yz)(z2 − xy)
c2 − ab
= 2
(z − xy)2 − (x2 − yz)(y2 − zx)
a2 − bc
b2 − ac
c2 − ab
⇒
=
=
x(x3 + y3 + z3 − 3xyz) y(x3 + y3 + z3 − 3xyz) z(x3 + y3 + z3 − 3xyz)
3
3
3
Nhân các vế lần lượt cùng đa từng đa thức: x + y + z − 3xyz, ta suy ra điều phải
Từ giả thiết ta suy ra:

2

chứng minh.
? Các bạn có nhận xét gì về đề bài, lời giải của hai bạn Giang và Sơn ở trên.
IV - CÁC BÀI TOÁN TỰ GIẢI ( dành cho học sinh khá, giỏi)
Bài 1: Cho các số: a, b, c, x, y, z, thoả mãn điều kiện
19

x y z

= = . CMR:
a b c


bz − cy cx − az ay − bx
=
=
a
b
c
Bài 2:

Cho các số a, b, c, d thoả mãn điều kiện:

a b c
d
=
=
=
3b 3c 3d 3a

và a + b + c + d ≠ 0. CMR: a = b = c = d.
Bài 3:
Cho bốn số a, b, c, d thoả mãn điều kiện:

b+ c + d c + d + a d + a + b a + b+ c
=
=
=
và a + b + c + d ≠ 0.

a
b
c
d
CMR: aa = bc = cd = da
Bài 4: Giả sử k1, k2,..........., kn là các số nguyên, có tổng k1+ k2 + .........+ kn là
một số lẻ và các số x1, x2,..........., xn thoả mãn điều kiện:

x1 − x2
x −x
x −x
x −x
= 2 3 = ........ = n−1 n = n 1
k1
k2
kn−1
kn
CMR: x1 = x2 =..........= xn
a c
=
Bài 5:
Cho
( a, b, c, d > 0 ). CMR:
b d

nak − mbk nck − mdk
=
a)
nak + mbk nck + mdk

naa + kba nca + kda
b)
=
maa + ba mca + da

(giả sử các tỉ số trên đều có nghĩa)
V - KẾT QUẢ CHUNG
- Trong quá trình giảng dạy ở các năm học trước, đặc biệt là năm học 2015 2016. Ở lớp Bồi dưỡng đại trà, cũng như Bồi dưỡng đội tuyển. Tôi luôn hướng cho
học sinh những hướng chủ đạo, giúp các em thuận lợi rất nhiều khi làm các bài
toán về chứng minh tỉ lệ thức hay giải các bài toán có tính chất tương tự. Phần lớn
đã củng cố khắc sâu cho học sinh những công cụ cơ bản khi chứng minh tỉ lệ thức,
phát triển tư duy, thao tác, kĩ năng của học sinh, khả năng trình bày tốt hơn với các
bài toán về chứng minh tỉ lệ thức.
- Ngoài việc giải, nghiên cứu lời giải của các bài toán khó về chứng minh tỉ lệ
thức. Học sinh trong đội tuyển, học sinh khá, giỏi còn tiếp tục khai thác các bài
toán không nằm trong phạm vi giới hạn của đề tài. Nhưng có tính chất tương tự
hay lấy đó làm công cụ để giải các bài toán nâng cao hơn, có liên quan đến tỉ lệ
thức.
- Học sinh chủ động, hứng thú khi giải quyết các bài tập, hiểu rõ nội dung, bản
chất yêu cầu của bài toán. Nâng cao khả năng suy luận logic, tinh thần tích cực học
hỏi, tìm tòi sáng tạo, biểu hiện một cách rõ nét.
VI - KẾT QUẢ KHẢO SÁT
20


Sau một thời gian áp dụng tại trường trên cả hai đối tượng: Học sinh đại trà
và học sinh khá, giỏi. Tôi nhận thấy các em có kĩ năng tốt hơn khi trình bày, chứng
minh được nhiều bài toán cơ bản và khó của chuyên đề tỉ lệ thức - Toán 7. Biểu
hiện ổn định và rõ nét khi tôi chấm kết quả do tôi trực tiếp khảo sát.
Tôi chọn 20 em học sinh có học lực khá, giỏi và yêu cầu các em làm bài

trong thời gian 30 phút, với nội dung đề như sau:

a c
= , chứng minh rằng:
b d
a ma + nc
a) =
, với m, n ∈ R, m ≠ 0, n ≠ 0;
b mb + nd

Câu 1: (5điểm). Cho

Câu 2: (5điểm).

Cho

2

 a + b  ab
b) 
÷ =
 c + d  cd

a c
= ≠ −1, chứng minh rằng:
b d

a2 + b2 (a + b)4
=
a) 2

c + d2 (c + d)4

4

4
4
 a − b a + b
b) 
÷ = 4
4
 c− d c + d

Kết quả cụ thể:
Dưới 5 điểm
5 → 6đ
7đ
8 → 10 đ
5 → 10 đ
SL
%
SL
%
SL
%
SL
%
SL
%
1
5

3
15
6
30
10
50
19
95
VII - ĐIỀU KIỆN ÁP DỤNG
- Đề tài có thể áp dụng cho học sinh, giáo viên khi bắt đầu học nội dung tỉ lệ
thức ( trong chương trình toán 7). Áp dụng cho cả bồi dưỡng đại trà và bồi dưỡng
học sinh giỏi. Tuỳ theo đối tượng mà học sinh có thể chọn và vận dụng khác nhau,
giáo viên có thể yêu cầu với mức độ khác nhau.
- Đề tài trình bày hệ thống lí thuyết, các bài tập cơ bản áp dụng, các bài tập tương
tự ( tự giải), các bài toán nâng cao, với mức độ khai thác cao dần. Rất phù hợp cho
cả bồi dưỡng đại trà và bồi dưỡng học sinh giỏi chuyên đề tỉ lệ thức. Hay có thể áp
dụng để giáo viên dạy các tiếp luyện tập về chứng minh tỉ lệ thức. Sau này là các
bài toán liên quan, thông qua chứng minh tỉ lệ thức để giải toán.
VIII - NHỮNG HẠN CHẾ
- Nhiều bài toán có thể có thêm nhiều cách giải hay, ngắn gọn. Nhưng chưa
phù hợp với lớp 7, nên chưa đưa vào nội dung trình bày.
- Nhiều bài toán có thể thêm nhiều yếu tố gây nhiễu như: Cho thêm hệ số vô
tỉ, thêm các số có căn bậc hai, luỹ thừa...Nhưng do hạn chế của đề tài nên tác giả
chưa có dịp đưa vào nội dung trình bày, chưa có điều kiện khai thác sâu.
- Có thể phức hợp hay tổng quát hoá một số bài toán thành một hệ thống
logic có tính tư duy cao hơn phục vụ cho bồi dưỡng học sinh giỏi, nhưng chưa có
điều kiện khai thác.
21

IX - BÀI HỌC KINH NGHIỆM
- Dạy học theo chuyên đề là phương pháp giúp học sinh khắc sâu kiến thức,
khái quát vấn đề nhanh và có tính lôgíc cao.
- Trang bị phương pháp giải toán, khai thác sâu một vấn đề của bài toán là
phong cách dạy và học hiệu quả. Phù hợp với học sinh đại trà và bồi dưỡng học
sinh giỏi.
- Nhiều học sinh đã có định hướng tốt khi chứng minh các bài toán về tỉ lệ thức,
biểu hiện ban đầu qua bài khảo sát và biểu hiện nắm bắt kiến thức từ học sinh.
Nhưng thực tế, còn phải xem thời gian từ lúc học, từ lúc bồi dưỡng đến lúc học
sinh thi hay đến khi học sinh làm các bài toán tương tự là thời điểm nào? Nếu học
xong rồi kiểm tra ngay thì kết quả như trên là bình thường. Trên thực tế, có nhiều
học sinh không làm được bài tập 2 ( đề khảo sát ở trên ), có cả những học sinh khá.
Bởi vì, từ lúc các em được học, được giáo viên trang bị cách làm trước đó một thời
gian đã dài. Trong đó đã có em quên cả cách làm, chưa nói gì đến các bài toán
phức tạp hơn.
Chính vì vậy, theo tôi để học sinh nhớ lâu kiến thức, chủ động, sáng tạo,
thi đạt kết quả cao thì giáo viên, nhà trường và gia đình cần làm tốt việc khích
lệ các em tự giác học tập.
Có như vậy, kiến thức của sách, kinh nghiệm và phương pháp truyền thụ
kiến thức của thày mới thành kiến thức của học sinh.
X - HƯỚNG ĐỀ XUẤT
- Ở đây, vì thời gian có hạn nên tôi mới chỉ trình bày được một số dạng bài, một
số phương pháp cơ bản để minh hoạ và giúp học sinh có công cụ giải các bài toán
chứng minh tỉ lệ thức. Đồng thời dã đưa ra bài tập tự giải để cho giáo viên và các
em học sinh luyên tập, để làm tư liệu, củng cố kiến thức về phương pháp.
- Nếu có điều kiện, nên đưa ra những bài toán có chứa giá trị tuyệt đối, chứa
hằng số, số vô tỉ...Không chỉ áp dụng cho số mà còn mở rộng cho biểu thức đại số
mà các em đã học ở kì II - lớp 7. Không chỉ dừng lại ở bài toán chứng minh tỉ lệ
thức đơn thuần mà còn đi sâu vào các bài toán: tính giá trị, chứng minh, tìm biến...
mà thông qua chứng minh tỉ lệ thức có thể suy ra được điều đó hay đó là bước

ngoặt của bài toán.
- Khi mọi người áp dụng, có thể nhìn nhận theo nhiều góc độ. Có thể tự chọn
những ví dụ sao cho phù hợp với trình độ học sinh. Phương pháp này chỉ là những
định hướng cơ bản, là “kim chỉ nam” giúp các em có cách nhìn tổng thể khi đứng
trước bài toán chứng minh tỉ lệ thức. Với những phương pháp như vậy, sẽ giúp các
em có niềm say mê học tập, tự tin khi học toán, tăng niềm hứng thú, sáng tạo của
các em học sinh. Đó chính là bài học kinh nghiệm mà tôi rút ra từ đề tài này.

22


C - KẾT LUẬN
Sau một quá trình nghiên cứu, học hỏi. Tôi đã viết và hoàn thành sáng
kiến: “ Một số kĩ thuật chứng minh tỉ lệ thức” - Toán 7. Mang đặc trưng của toán
học, có thể áp dụng rộng với nhiều đối tượng học sinh và giáo viên tham khảo.
Trong đó có phần kiến thức cơ bản, cách giải của từng phương pháp, có hướng dẫn
gợi mở cho từng ví dụ. Chú ý khai thác nhiều đến các cách giải, mở rộng bài toán,
phát triển bài toán. Có nhiều bài tập gây cho học sinh hứng thú tìm hiểu, nhiều bài
tập cho học sinh tự giải, tự vận dụng để chứng minh.
Thiết nghĩ, nội dung này sẽ góp phần nhỏ bé trong quá trình dạy và học.
Giúp các em học sinh rèn luyện kĩ năng, phát triển tư duy tích cực, đặc biệt là công
tác bồi dưỡng học sinh giỏi cho huyện nhà hiện nay.
Tuy vậy, do trình độ còn hạn chế. Rất kính mong các cấp lãnh đạo, các đồng
chí chuyên viên và các bạn đồng nghiệp đóng góp, xây dựng và bổ sung ý kiến để
đề tài này hoàn chỉnh hơn, có tính hiệu quả cao hơn.
Tôi xin chân thành cảm ơn!

23

MỤC LỤC
Đề mục
Thông tin chung về sáng kiến
Tóm tắt sáng kiến
Mô tả sáng kiến
A. Đặt vấn đề
I.
Lý do chọn đề tài
II.
Điều tra thực trạng trước khi nghiên cứu
III. Cơ sở của phương pháp
IV. Phạm vi áp dụng của đề tài
V.
Mục tiêu của đề tài
VI. Phương pháp nghiên cứu
B. Nội dung
I.
Những kiến thức cần sử dụng
II.
Một số kĩ thuật (phương pháp) chứng minh tỷ lệ thức
1. Phương pháp: Giá trị chung
2. Phương pháp: Biến đổi rồi áp dụng tính chất
3. Phương pháp: Xét tích trung tỷ và ngoại tỷ
4. Phương pháp: Biến đổi tỷ số một vế thành tỷ số của vế còn lại
5. Phương pháp: Tổng hợp
III. Bài toán luyện tập (có lời giải)
IV. Các bài toán tự giải
V.
Kết quả chung
VI. Kết quả khảo sát

VII. Điều kiện áp dụng
VIII. Những hạn chế
IX. Bài học kinh nghiệm
X.
Hướng đề xuất
C. Kết luận

24

Trang
2
3-4
5
5
5
5
6
6
7
7
7
7
8
8
10
11
13
15
18
21

22
22
23
23
23
24
25