Phương pháp thác triển theo tham số giải phương trình toán tử loại hai trong không gian L2[a;b]

LèI CÁM ƠN

Tác giá xin đưoc bày tó lòng biet ơn chân thành tói thay PGS.TS. Khuat Văn Ninh,
ngưòi thay đã truyen thu kien thúc và hưóng dan t¾n tình tác giá hoàn thành lu¾n
văn này. Tam gương nghiên cúu khoa hoc nghiêm túc và sn chí báo ân can cna thay
Khuat Văn Ninh trong suot quá trình tác giá viet lu¾n văn đã giúp cho tác giá có ý
thúc trách nhi¾m và quyet tâm cao khi hoàn thành lu¾n văn cna mình.
Tác giá cũng xin đưoc gúi lòi cám ơn chân thành và lòng biet ơn các thay giáo day
cao hoc chuyên ngành Toán giái tích, Ban giám hi¾u, Phòng Sau đai hoc Trưòng Đai
hoc sư pham Hà N®i 2 đã truyen thu kien thúc, đóng góp ý kien và giúp đõ tác giá
trong suot quá trình hoc t¾p, nghiên cúu và hoàn thành lu¾n văn này.

Hà N®i, tháng 6 năm 2013
Hoc viên

Tran Manh Cưòng


LèI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan lu¾n văn là công trình nghiên cúu cna riêng tôi dưói sn hưóng
dan cna PGS.TS Khuat Văn Ninh.
Trong khi nghiên cúu lu¾n văn, tôi đã ke thùa thành quá khoa hoc cna các nhà
khoa hoc vói sn trân trong và biet ơn.
M®t so ket quá đã đat đưoc trong lu¾n văn là mói và chưa tùng đưoc công bo
trong bat kỳ công trình khoa hoc nào cna ai khác.

Hà N®i, tháng 6 năm 2013
Hoc viên

Tran Manh Cưòng

Mnc lnc

Má đau

1

N®i dung

2

1 M®t so kien thNc chuan b%

3

1.1.

Không gian đ%nh chuan, không gian Banach, không gian Hilbert, nguyên
lý ánh xa co . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.1.1. Không gian đ%nh chuan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.1.2. Không gian Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.1.3. Không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.1.4. Nguyên lý ánh xa co . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.2.

Toán tú đơn đi¾u, liên tuc Lipschitz trong không gian Banach.....................10

1.3.

Toán tú đơn đi¾u, liên tuc Lipschitz trong không gian Hilbert, L2
]

1.4.

. .

13

Phương trình loai hai vói toán tú đơn đi¾u, liên tuc Lipschitz......................17
1.4.1. Phương trình loai hai vói toán tú đơn đi¾u, liên tuc Lipschitz . .

17

1.4.2. Phương trình tích phân Fredholm tuyen tính loai hai.........................21
1.4.3. Phương trình tích phân Fredholm phi tuyen loai hai..........................24

2 Phương pháp thác trien theo tham so giái phương trình toán tN loai
hai trong không gian L2]

26
ii


2.1.

iii
Đ%nh lý ve sn ton tai nghi¾m.............................................................................27

2.2.

Giái xap xí phương trình toán tú loai hai bang phương pháp thác trien
theo tham so............................................................................................ 31
2.2.1. Hai bưóc theo tham so (N = 2)...........................................................32
2.2.2. Ba bưóc theo tham so (N = 3)............................................................33

2.3.

Ưóc lưong toc đ® h®i tu......................................................................................35

3 Úng dnng cúa phương pháp thác trien theo tham so giái phương trình
toán tN loai hai trong không gian L2]
3.1.

39

Phương trình tích phân Fredholm loai hai trong không gian L2

]

. . . .

39

3.1.1. Ton tai và duy nhat nghi¾m cna phương trình tích phân Fredholm
tuyen tính loai hai.................................................................................39
3.1.2. Ton tai và duy nhat nghi¾m cna phương trình tích phân Fredholm
phi tuyen loai hai..................................................................................42
3.2.

Úng dung phương pháp thác trien theo tham so giái phương trình toán
tú loai hai..........................................................................................................43
3.2.1. Giái phương trình tích phân Fredholm tuyen tính loai hai vói
hach suy bien........................................................................................43
3.2.2. Giái phương trình tích phân Fredholm tuyen tính loai hai vói
hach không suy bien.............................................................................62
3.2.3. Giái xap xí bài toán biên phi tuyen.....................................................65

Ket lu¾n

81

Tài li¾u tham kháo

82

BÁNG KÝ HIfi
C

T¾p so phúc

C[a;b]

T¾p tat cá các hàm so thnc liên tuc trên [a, b]

D[a;b] T¾p tat cá các hàm so xác đ%nh và có đao hàm liên tuc đen cap
k
k trên [a, b]
l2
T¾p tat cá nhung dãy so thnc (phúc) x = {xn} sao cho chuoi
.∞
2
|xn| h®i tu
L2

n=1

N
N∗

T¾p tat cá các hàm đo đưoc, bình phương khá tích trên [a; b]
T¾p so tn nhiên
T¾p so tn nhiên khác không

R

T¾p so thnc

Rk

Không gian thnc k chieu

Ø

T¾p hop rong

∞

Dương vô cùng (tương úng vói +∞)

−∞

Âm vô cùng

θ
"."
Q

Phan tú không
Chuan
Ket thúc chúng minh

[a;b]


Mé ĐAU

1. Lý do chon đe tài
Phương pháp thác trien theo tham so giái phương trình toán tú đưoc nhieu nhà
khoa hoc nghiên cúu. Trong đó phan lón các công trình nghiên cúu tìm nghi¾m cna
phương trình toán tú loai hai x + Ax = f vói toán tú A đơn đi¾u, liên tuc Lipschitz
tác dung trong không gian Banach tùy ý X.
Phương pháp này sú dung quá trình l¾p, thông qua m®t so huu han các bưóc theo
tham so ε và moi bưóc đưoc thnc hi¾n nhò phương pháp ánh xa co. Trong các bài toán
cu the thì các yeu to đã biet không thu¾n loi cho vi¾c tìm nghi¾m chính xác, nên
nhieu công trình t¾p trung nghiên cúu tìm nghi¾m xap xí cna phương trình toán tú
loai hai. Vói mong muon tìm hieu sâu hơn ve úng dung cna phương pháp nói trên vào
vi¾c giái gan đúng phương trình toán tú loai hai và dưói sn hưóng dan cna PGS.TS.
Khuat Văn Ninh chúng tôi đã chon đe tài: “Phương pháp thác trien theo tham
so giái
phương trình toán tN loai hai trong không gian L2[a;b ”.
]

2. Mnc đích nghiên cNu
Nghiên cúu ve lý thuyet phương pháp thác trien theo tham so giái phương trình
toán tú loai hai và úng dung cna phương pháp.

3. Nhi¾m vn nghiên cNu
- Nghiên cúu lý thuyet phương pháp thác trien theo tham so giái phương trình
loai hai vói toán tú đơn đi¾u, liên tuc Lipschitz trong không gian L2[a;b .
]

- Nghiên cúu úng dung cna phương pháp nói trên đe giái phương trình toán tú
loai hai trong không gian L2[a;b .
]

2

4. Đoi tưang và pham vi nghiên cNu
Phương pháp thác trien theo tham so và úng dung đe giái phương trình toán tú
loai hai trong không gian L2[a;b .
]

5. Phương pháp nghiên cNu
Phương pháp phân tích và tong hop các tài li¾u đã có tù đó h¾ thong m®t so van
đe lý thuyet liên quan đen đe tài, áp dung lý thuyet vào bài t¾p.


Chương 1
M®t so kien thNc chuan b%
1.1.

Không gian đ%nh chuan, không gian Banach,
không gian Hilbert, nguyên lý ánh xa co

1.1.1.

Không gian đ%nh chuan

Đ%nh nghĩa 1.1.1. (Không gian đ%nh chuan)
M®t không gian đ%nh chuan (hay không gian tuyen tính đ%nh chuan) là không
gian tuyen tính X trên trưòng K (K = R ho¾c K = C) cùng vói m®t ánh xa X → R,
đưoc goi là chuan và ký hi¾u là "." thóa mãn các tiên đe sau:
1) (∀x ∈ X) "x" ≥ 0, "x" = 0 ⇔ x = θ;
2) (∀x ∈ X) (∀α ∈ K) "αx" = |α| "x";
3) (∀x, y ∈ X) "x + y" ≤ "x" + "y".

So "x" goi là chuan cúa vector x. Ta cũng ký hi¾u không gian đ%nh chuan là X.
Các tiên đe 1), 2), 3) goi là h¾ tiên đe chuan.
Đ%nh nghĩa 1.1.2. (Sn h®i tu trong không gian đ%nh chuan)
Dãy điem {xn} cúa không gian đ%nh chuan X đưoc goi là h®i tn tói điem x ∈ X
neu:
lim "xn − x" = 0.

n →∞

3


4
Ký hi¾u lim xn = x hay xn → x (n → ∞).
n→∞

Đ%nh nghĩa 1.1.3. (Dãy cơ bán)
Dãy điem {xn} trong không gian đ%nh chuan X đưoc goi là dãy cơ bán neu:
lim
m,n→∞ "xn − xm " = 0.
Neu trong X moi dãy cơ bán đeu h®i tn, túc là "xn − xm" → 0 (n, m → ∞) kéo
theo sn ton tai x0 ∈ X sao cho xn → x0. Thì X đưoc goi là không gian đú.

1.1.2.

Không gian Banach

Đ%nh nghĩa 1.1.4. (Không gian Banach)
Không gian đ%nh chuan X đưoc goi là goi là không gian Banach neu moi dãy
cơ bán trong X đeu h®i tn.

Ví dn 1.1.1. Xét không gian L2[a;b =
]

.

¸b

f : [a; b] →
R|

a

.

2

|f (t)| dt < ∞ , f là hàm

đo đưoc, xác đ%nh trên [a; b].
1

.¸ b
. 2
2
2
|f (t)| dt . Khi đó L [a;b là không gian Banach.

Đ¾t "f"
=

a

]

Th¾t v¾y,
2

- L[a;b] là m®t không gian đ%nh chuan
1
. ¸b
. 2
2
|f (t)| dt
1) ∀f ∈ L2[a;b , "f"
≥ 0,
a
]
2
=
2) ∀f ∈ L2

"f" = 0 ⇔ |f (t)|

= 0 h. k. n ⇔ f (t) = 0 h. k. n trên đoan [a; b].

∈ R ta có:
1
.¸ b
. 2
2

|αf (t)| dt
"αf"
=|

[a;b ,∀α
]

3) ∀f, g ∈
L2
[a;b]

=
ta có:

a

1

.¸ b
. 2
2
|f (t)| dt
= |α| "f".
a

α|

. ¸b
.
2

|f
(t)
+
g
(t)|
dt
"f + g" =
a

1

1
2

.¸ b
. 2 .¸ b
.
2
2
≤
|f (t)| dt
+
|g (t)| dt
a

1
2

a

Suy ra "f + g" ≤ "f" + "g".
2
là m®t không gian đn
- L[a;b]

Giá sú {fn} là m®t dãy cơ bán trong L2[a;b túc là "fn − fm" → 0 khi n, m → ∞. Ta
]


chon tù {fn} m®t dãy con {fnk } h®i tu hau khap nơi ve m®t hàm f nào đó.
Vì {fn} là dãy cơ bán, nên khi ta co đ%nh ε > 0 bat kì đoi vói moi k và l đn lón se
có:

b

¸

2
|fnk (t) − fnl (t)| dt < ε.

a

Chuyen qua giói han khi l → ∞ trong bat đang thúc trên ta nh¾n đưoc:
¸b
2
|fnk (t) − f (t)| dt < ε.
a
→ f . Vì dãy cơ bán chúa m®t dãy con h®i tu thì cá
Tù đó suy ra f ∈ L2
và

[a;b
]
dãy h®i tu ve giói han ay.
fnk
1
. ¸b
. 2
2
2
là m®t không gian Banach.
V¾y [a;b]
|f (t)| dt
cùng vói chuan "f"
a
L
=
.
.
Ví dn 1.1.2. Xét không gian lp =
vói 1 ≤ p < ∞. Khi đó
.∞
p
x = {xi}
|xi| < ∞
i=1

|
lp cùng vói chuan đưoc đ%nh nghĩa bói "x" = .
Banach.

1

|xi| p.

.

∞
i=1

trong lp là m®t không gian

p

Th¾t v¾y, lp là m®t không gian vector vói phép c®ng các dãy so thnc và phép nhân
dãy so vói m®t so đ%nh nghĩa như sau:
x = (x1, x2, ..., xn, ...) ; y = (y1, y2, ..., yn, ...) ∈ lp,
x + y = (x1 + y1, x2 + y2, ..., xn + yn, ...) ,
αx = (αx1, αx2, ..., αxn, ...) .
Tù bat đang thúc Minkowski’s và đang thúc:
.∞ |xi| p <
.∞ |yi| p < ∞,
∞,
i=1
i=1
Ta có:
∞
|yi|p.
.∞ |xi + yi| p . |xi| p
.
≤

i=1
+
i=1
∞

i=1

Đieu này cho thay: x + y ∈ lp.
Tù đang thúc .∞
i=1

p

|αxi| = |

p

p

.∞ |x | < ∞ vói moi so α, ta suy ra αx ∈ l .
i
p

i=1

α|
De dàng thú lai các tiên đe cna không gian vector.
Ta đi kiem tra các tiên đe cna chuan, vói chuan
đưoc đ%nh nghĩa bói:
1

.
ng lp.
|xi|
"x" = .
tr
∞ p.
o
i=1
Rõ ràng là "x" ≥ 0, ∀x ∈ lp.
"x" = 0 ⇔ |xi|

p

p

= 0 ∀i ⇔ xi = 0 ∀i ⇔ x = θ.


"αx" = .

|αxi|

.

p.

∞

.1
=

p

.∞ i=1 |xi| p.
1

|α|

p

i=1

p

= |α| "x" ,∀x ∈ lp, ∀α
∈ R.
1
i=1
"x + y" = .
|xi + yi|
.
p
.
∞
p
,
theo bat đang thúc Minkowski’s ta có:
.

.≤

1

|xi + yi|

.∞
i=1

p.

.

p.
i=1 |xi|

1

+.

.∞

|yi| p. , ∀x, y ∈ lp

i=1

∞

p

1

p

p

Tù đieu này suy ra "x + y" ≤ "x" + "y".
Đe chúng minh lp là không gian Banach, ta chúng minh moi dãy Cauchy trong lp
h®i tu tói m®t phan tú trong lp.
Giá sú xn = ,a

(n)
,
i

là m®t dãy Cauchy trong lp, nghĩa là:
.

"xn − xm"
=

.∞
i=1

.p. 1p
(m)
. (n
. )
.
.ai − ai .
< ε vói n, m ≥ N ,

tù bat đang thúc (1.1) suy ra:
.
.
(m).
. (n)
.ai − ai . < ε vói n, m ≥ N và vói moi i,

(1.1)

(1.2)

(n)

vói moi i co đ%nh, tù đang thúc (1.2) suy ra ,ai , là m®t dãy Cauchy các so thnc.
Theo tiêu chuan Cauchy cna dãy so thnc thì nó h®i tu ve ai, nghĩa là:
(n)

lim a
n→∞

i

= ai,

Tù đang thúc (1.1) ta có:
k

.

.

< εp, vói moi k.
a
a
.
.
p
. i − i ..
(n)

(m)

i=1

Chuyen qua giói han khi m → ∞ trong bat đang thúc trên ta đưoc:
k

.p εp, vói n ≥ N .
(n)
a
ai
.
.
Cho k → ∞, ta đưoc:
i=1 . i − . ≤
.

(1.3)

.∞ .a(n)
.

i=1 .

i

.p
a.
− i. ≤

εp, vói n ≥ N .

M¾t khác ta có:
− (xn − x) = x − xn ∈ lp,
vói x = (a1, a2, ..., an, ...), suy ra x = (x − xn) + xn ∈ lp.
Hơn nua:
"xn − x"
=

.

.∞

.p. 1p
.. (n
)
a. −
≤ ε, vói n ≥ N .

a. i i
.

i=1

Nghĩa là:
"xn − x" → 0 khi n → ∞.

1.1.3.

Không gian Hilbert

Đ%nh nghĩa 1.1.5. (Không gian tien Hilbert)
Cho H là không gian vector trên trưòng K (vói K = R ho¾c K = C). Tích vô
hưóng xác đ%nh trong H là m®t ánh xa:
(., .) : H × H → K
(x, y) ›→ (x, y)
thóa mãn các đieu ki¾n sau đây:
1. (x, y) = (y, x) vói moi x, y ∈ H.
2. (x + y, z) = (x, z) + (y, z) vói moi x, y, z ∈ H.
3. (αx, y) = α (x, y) vói moi x, y ∈ H và α ∈ K.
4. (x, x) ≥ 0 vói moi x ∈ H và (x, x) = θ ⇔ x = θ.


So (x, y) goi là tích vô hương cúa hai vector x và y.
C¾p (H, (., .)) đưoc goi là không gian tien Hilbert.
Ta kí hi¾u không gian tien Hilbert H thay cho c¾p (H, (., .)).
Đ%nh nghĩa 1.1.6. (Không gian Hilbert)
Neu H là m®t không gian tien Hilbert và đay đú đoi vói chuan sinh bói tích vô
hưóng thì đưoc goi là không gian Hilbert.

Ví dn 1.1.3. Xét không gian l2 =

.

.∞ |xn|

x = (xn)n∈N ⊂

n=
1

K|
Ta đã biet l2 là không gian Banach vói chuan:
"x" = .

n
=
1

.

.
< +∞ .

|xn|
2.

∞

2

1
2

.

Vói x = (xn)n∈N , y = (yn)n∈N ∈ l2, nhò bat đang thúc Buyakowsky ta có:
. .
.2 .
. n≤
. ∞ xn y
.
"x"
n=1
.

2

"y
"

2

< +∞.

De dàng chúng minh rang:
(x, y) =

.∞
n=

1

x nyn,

xác đ%nh m®t tích vô hưóng trong l2 và nó cám sinh chuan nêu trên.
V¾y l2 là m®t không gian Hilbert.
Ví dn 1.1.4. Xét không gian L2[a;b =

.

¸b

f : [a; b] →
R|

]

a

2

.

|f (t)| dt < ∞ , f là hàm

đo đưoc, xác đ%nh trên [a; b].
Trong ví du 1.1.1 ta đã biet L2[a;b là m®t không gian Banach vói chuan:
]

1

. ¸b
. 2
2
|f (t)| dt .
"f" =
a

Hơn nua, vói f, g ∈ L2

[a;b ,
]

b
b

tù bat đang thúc Holder ve tích phân, ta có:
.
.

1

.
2

b

.

1

2


¸

|f (t) g (t)| dt
≤
a

¸
a

2

|f (t)| dt

¸

|g (t)|
dt
a

2

< +∞.


Ta kiem tra thay rang:
(f, g) =

¸b

f.gdt,

a

xác đ%nh m®t tích vô hưóng trong L2

[a;b .
]

1. (f, g) =

¸b

f.gdt =

a

¸b
a

Th¾t v¾y:

2
g.fdt = (g, f) vói moi f, g ∈ L[a;b
.
]

b

2. (f1 + f2, g) =
=

¸
a
b

¸
a

(f1 + f2) .gdt
b

f1 .gdt +

¸

a

f2 .gdt

= (f1, g) + (f2, g) vói moi f1, f2, g ∈ [a;b
L2 .
b

3. (αf, g) =

¸

a

b

αf.gdt = α

]

¸

a

f.gdt

2
= α (f, g) vói moi f, g ∈ L
[a;b và α ∈ R.

¸

4. (f, f) =

]

b

f 2dt ≥ 0 vói moi f ∈ [a;b
L2 ,

a

b

(f, f) =

¸

]

f 2dt = 0 ⇔ f

2

= 0 ⇔ f = 0 h. k. n trên đoan [a; b].

a

V¾y
L

1.1.4.

2
[a;b]

tró thành không gian Hilbert thnc.

Nguyên lý ánh xa co

Đ%nh nghĩa 1.1.7. (Ánh xa co)
Ánh xa A đưa không gian Metric đú (X, d) vào trong nó goi là ánh xa co neu

ton tai hang so q ∈ [0; 1) sao cho:
∀x, y ∈ X, d (A (x) , A (y)) ≤ qd (x, y).
Đ%nh lý 1.1.1. (Nguyên lý ánh xa co)
Cho A là ánh xa co trong không gian Metric đú (X, d). Khi đó:
1. Ton tai duy nhat x∗ ∈ X sao cho A (x∗) = x∗. Phan tú x∗ goi là điem bat
đ®ng cúa ánh xa A.


2. Dãy (xn) xác đ%nh theo công thúc xn+1 = A (xn) (n ≥ 0) xuat phát tù x0 ∈ X
tùy ý đeu h®i tn tói x∗ ∈ X. Ngoài ra, ta có các ưóc lưong sau:
n
d (xn, x∗) ≤ q d (x0, x1) (n ≥ 1),
1− q

d (xn, x∗) ≤

1.2.

q
1− q

d (xn−1, xn) (n ≥ 1).

Toán tN đơn đi¾u, liên tnc Lipschitz trong
không gian Banach

Đ%nh nghĩa 1.2.1. (Toán tú đơn đi¾u)
Giá sú X là không gian Banach thnc, X∗ là không gian liên hop cúa X và toán tú
A : X → X ∗ . Khi đó:
1. A đưoc goi là đơn đi¾u neu:

(Au − Av, u − v) ≥ 0 vói moi u, v ∈ X.
2. A đưoc goi là đơn đi¾u nghiêm ng¾t (thnc sn) neu:
(Au − Av, u − v) > 0 vói moi u, v ∈ X.
3. A đưoc goi là đơn đi¾u manh neu ton tai hang so c > 0 sao cho:
(Au − Av, u − v) ≥ c "u −
v"

2

vói moi u, v ∈ X.

4. A đưoc goi là d−đơn đi¾u neu:
(Au − Av, u − v) ≥ (α ("u") − α ("v")) ("u" − "v") vói moi u, v ∈ X,
trong đó α là hàm so liên tnc, tăng nghiêm ng¾t trên [0; +∞).
5. A đưoc goi là đơn đi¾u đeu neu:
(Au − Av, u − v) ≥ ρ ("u" − "v") vói moi u, v ∈ X.
trong đó ρ là hàm so liên tnc, tăng nghiêm ng¾t trên [0; +∞) và ρ (0) = 0.


Ví dn 1.2.1. (Toán tú đơn đi¾u tuyen tính)
Cho A : X → X∗ là m®t toán tú tuyen tính trong không gian Banach thnc X. Khi
đó:
1. A là đơn đi¾u neu A là toán tú dương, nghĩa là:
(Au, u) ≥ 0 vói moi u ∈ X.
2. A là đơn đi¾u nghiêm ng¾t neu A là toán tú dương nghiêm ng¾t, nghĩa là:
(Au, u) > 0 vói moi u ∈ X và u ƒ= 0.
3. A là đơn đi¾u manh neu A là toán tú dương manh, nghĩa là:
(Au, u) ≥ c
"u"

2

vói moi u ∈ X hang so c > 0.

Th¾t v¾y, ta lưu ý là Au − Av = A (u − v).
Ví dn 1.2.2. (Hàm so thnc đơn đi¾u)
Xét hàm so f : R → R. Ta xem f như là toán tú tù X tói X ∗ vói X = R. Khi đó:
(f (u) − f (v) , u − v) = (f (u) − f (v)) (u − v) vói moi u, v
∈ R. Tù đó, ta có các ket quá sau:
1. f : X → X ∗ là đơn đi¾u nghiêm ng¾t neu f : R → R là đơn đi¾u tăng nghiêm
ng¾t.
2. f : X → X∗ là đơn đi¾u manh neu:
inf
uƒ=v

f (u) − f > 0.
(v) u −
v

3. Neu F : R → R là C 2 thóa mãn:
F tt(u) ≥ c vói moi u ∈ R và hang so c > 0 cho trưóc,
thì:
2

v)

(F t(u) − F t(v)) (u − v) ≥ c (u − vói moi u, v ∈ R,

nghĩa là: F t : R → R là đơn đi¾u manh.

4. Neu F : R → R là C 1 thóa mãn:
F t(u) − F t(v) ≥ c (u − v),
vói moi u, v ∈ R, u ≥ v và hang so c > 0 cho trưóc thì F t : R → R là đơn
đi¾u manh.
Đ%nh nghĩa 1.2.2. (Liên tuc Lipschitz)
Toán tú A : X → X∗ đưoc goi là liên tnc Lipschitz trong không gian Banach thnc
X neu ton tai hang so L > 0, vói các phan tú x1, x2 ∈ X ưóc lưong sau đây đúng:
"Ax1 − Ax2" ≤ L "x1 − x2",
trong đó "." là chuan cúa không gian Banach X, L là hang so Lipschitz.
Đ%nh lý 1.2.1. (Rockafella)
Neu toán tú A : X → X ∗ đơn đi¾u thì A se b% chăn đ%a phương.
Đ%nh lý 1.2.2. Giá sú A : X → X ∗ là toán tú trong không gian Banach thnc X. Xét
hàm so:
f (t) = (A (u + tv) , v) vói moi t ∈ R.
Khi đó hai m¾nh đe sau là tương dương:
a) Toán tú A là đơn đi¾u.
b) Hàm f : [0; 1] → R là đơn đi¾u tăng vói moi u, v ∈
X. Chúng minh. Neu A : X → X ∗ là đơn đi¾u thì vói 0 ≤ s < t ta
có:
f (t) − f (s) = (A (u + tv) , v) − (A (u + sv) , v)
= 1
t − (A (u + tv) − A (u + sv) , u + tv − (u + sv))
s (A (u + tv) − A (u + sv) , (t − s) v) ≥ 0.
= 1
t−s
Suy ra f (t) đơn đi¾u tăng trên [0; 1].
Ngưoc lai, neu f : [0; 1] → R là đơn đi¾u tăng thì vói u, v ∈ X ta có:
(A (u + v) − Au, v) = f (1) − f (0) ≥ 0.
Suy ra A là toán tú đơn đi¾u.

1.3.

Toán tN đơn đi¾u, liên tnc Lipschitz trong
không gian Hilbert,
L2
[a;b]

Đ%nh nghĩa 1.3.1. (Toán tú đơn đi¾u trong không gian Hilbert)
Giá sú H là không gian Hilbert và D ⊂ H, toán tú A : D → H. Khi đó:
1. A đưoc goi là đơn đi¾u neu:
Re (A (u) − A (v) , u − v) ≥ 0 vói moi u, v ∈ D.
2. A đưoc goi là đơn đi¾u nghiêm ng¾t (thnc sn) neu:
Re (Au − Av, u − v) > 0 vói moi u, v ∈ D.
3. A đưoc goi là đơn đi¾u manh neu ton tai hang so c > 0 sao cho:
Re (A (u) − A (v) , u − v) ≥ c "u
− v"

2

vói moi u, v ∈ D.

Đ%nh lý 1.3.1. Cho H là không gian Hilbert thnc và giá sú toán tú T : H → H là liên
tnc, đơn đi¾u và búc yeu. Khi đó
T (H) = H,
hơn nua, neu T là đơn đi¾u manh thì vói moi h ∈ H ton tai và duy nhat u ∈ H
sao cho:
T (u) = h.
Bo đe 1.3.1. Cho D là m®t t¾p con đóng trong không gian Hilbert thnc H. Giá sú

toán tú T : D → H là liên tnc và đơn đi¾u manh. Khi đó, T (D) là t¾p con đóng
trong H.
∞

Chúng minh. Giá sú vói moi h ∈ H ton tai dãy {un}n= ⊂ D sao cho:
1

T (un) → h.
Theo giá thiet T là đơn đi¾u manh, ta có:


2

(T (un) − T (um) , un − um) ≥ c "un − um" ,
và theo bat đang thúc Schwartz ta có:
1
Bói vì {un}

c

∞

n=
1

"T (un) − T (um)" ≥ "un −
um".

là m®t dãy Cauchy nên ton tai u0 ∈ D sao cho:
un → u 0 .

Tù sn liên tuc cna T suy ra rang:
T (un) → T (u0) nghĩa là T (u0) = h.
Bo đe 1.3.2. Cho D là m®t t¾p con mó trong không gian Hilbert thnc H. Giá sú
toán tú T : D → H là liên tnc và đơn đi¾u manh. Khi đó, T (D) là t¾p con mó trong
H.
M¾nh đe 1.3.1. Cho H là không gian Hilbert thnc. Neu toán tú T : H → H liên tnc
và đơn đi¾u manh thì:
T (H) = H.
Chúng minh.
Do H là không gian Metric liên thông và theo bo đe 1.3.1 và 1.3.2 ta có T (H) là
t¾p con vùa mó, vùa đóng trong H.
Do đó T (H) = H (Bói vì t¾p con khác rong duy nhat cna H vùa mó, vùa đóng
nam hoàn toàn trong H)
Chúng minh. (đ%nh lý 1.3.1.)
Sn duy nhat u ∈ H là m®t h¾ quá trnc tiep cna toán tú đơn đi¾u nghiêm ng¾t. Vói
bat kì h ∈ H, sn ton tai u ∈ H đưoc chúng minh trong hai bưóc.
Bưóc 1: Theo m¾nh đe 1.3.1 thì khang đ%nh cna đ%nh lý là đúng neu toán tú T là liên
tuc và đơn đi¾u manh.
Xét toán tú đơn đi¾u manh Tn : H → H, n ∈ N, xác đ%nh bói:


1
Tn : u →

u + T (u),
n
vói moi n ∈ N, Tn thóa mãn vói h ∈ H thì ton tai un ∈ H sao cho:
Tn (un) = h.
∞

Bưóc 2: Ta chúng minh {un }

(1.4)

là m®t dãy b% ch¾n trong H. Giá sú ngưoc lai ton tai
∞

n=1
m®t dãy con đưoc kí hi¾u bói
{un}n=1 sao cho:

lim "un" = ∞.
n →∞

Tù tính đơn đi¾u cna T suy ra:
"h"
≥

nghĩa là

. n .
h,
u
"un"

.

1
u

n

.∞
n=
1

=

1
n
+
1

1

(T (un) − T (o) , un) 1 (T (o) , un)
"un" +
"un"

"un"

≥

"un" − "T (o)",
n
là m®t dãy b% ch¾n.

n

Khi đó ton tai m®t dãy con .

1u
nk nk

.

.∞

1
nk

k=1

⊂

1
un
n

.∞

h®i tu yeu, nghĩa là:

n=
1

unk ~w.

Theo (1.4) ta có:
T (unk ) ~h − w.

∞

Suy ra rang {T (un k )}k=1 là dãy b% ch¾n. Đieu này mâu thuan vói tính búc yeu cna
1
∞
T . Suy ra tính b% chăn cna {un }n=1. Đ¾c bi¾t, un → o và T (un) → h.
n
∞

∞

Do đó có m®t dãy con {umk }k=1 ⊂ {un}n=1 sao cho:
umk ~u0.
Ta chúng minh đưoc rang T (u0) = h. Th¾t v¾y, vói moi v ∈ H và k ∈ N ta có:
(T (umk ) − T (v) , umk − v) ≥ 0.
Chuyen qua giói han vói k → ∞ ta nh¾n đưoc:


(h − T (v) , u0 − v) ≥ 0 vói moi v ∈ H.
Đ¾t v = u0 + λw, λ > 0, w ∈ H. Thì
(h − T (u0 + λw) , w) ≤ 0 đúng vói moi λ > 0 và w ∈ H.

(1.5)

Chuyen qua giói han vói λ → 0+ trong (1.5) và sú dung tính liên tuc cna T , tích
vô hưóng trong H ta có:
(h − T (u0) , w) ≤ 0 vói moi w ∈ H.

(1.6)

Đang thúc (1.6) đúng cho cá w và −w, ta có đưoc:
(h − T (u0) , w) = 0 vói w ∈ H, nghĩa là T (u0) = h.
H¾ quá 1.1. Giá sú H là không gian Hilbert thnc và T : H → H là toán tú liên tnc,
đơn đi¾u manh. Khi đó vói moi h ∈ H ton tai và duy nhat u ∈ H sao cho:
T (u) = h.
Neu T (u1) = h1 và T (u2) = h2 thì:
1
"u1 − u2" ≤

c

"h1 − h2",

vói c > 0 thóa mãn đ%nh nghĩa đơn đi¾u manh.
Đieu đó có nghĩa là T −1 là toán tú liên tnc Lipschitz.
Chúng minh. Tù đ%nh lý 1.3.1 suy ra sn ton tai u ∈ H. Tính duy nhat là hien nhiên.
Tù T (u1) = h1, T (u2) = h2 và sú dung bat đang thúc Schwartz ta có:
c "u1 −

2

≤ (T (u1) − T (u2) , u1 − u2) ≤ "u1 − u2" "h1 − h2".

u2 "
H¾ quá hoàn toàn đưoc chúng minh.


1.4.

Phương trình loai hai vái toán tN đơn đi¾u,

liên tnc Lipschitz

1.4.1.

Phương trình loai hai vái toán tN đơn đi¾u, liên tnc
Lipschitz

Đ%nh nghĩa 1.4.1. Phương trình loai hai vói toán tú đơn đi¾u, liên tnc Lipschitz có
dang:
x + λAx = f,

(1.7)

trong đó A là toán tú đơn đi¾u, liên tnc Lipschitz tù không gian đ%nh chuan X vào
chính nó, f là phan tú cho trưóc và f ∈ X, λ là tham so và λ ∈ K (K = R
ho¾c K = C).
Neu A là toán tú tuyen tính (phi tuyen) thì phương trình (1.7) goi là phương trình
tuyen tính (phi tuyen) loai hai vói toán tú đơn đi¾u, liên tuc Lipschitz.
Đ%nh lý 1.4.1. Cho H là không gian Hilbert và D (A) ⊂ H. Xét phương trình có
dang:
x + Ax = f,

(1.8)

trong đó toán tú A : D (A) → H. Giá sú các đieu ki¾n sau đây đưoc thóa mãn:
1. Phương trình (1.8) có nghi¾m x∗ ∈ D (A),
2. x∗ là điem trong cúa mien D (A),
3. A là toán tú đơn đi¾u tù D (A) vào H.
Khi đó ton tai hình cau S (x∗, r) vói tâm tai x∗, bán kính r và so dương K sao
cho vói so C tùy ý lón hơn K và đoi vói xap xs ban đau tùy ý x1 ∈ S (x∗, r), dãy

{xn} đưoc dnng bói công thúc:


+ C)

xn+1 = xn − (n

−1

(1.9)

(xn − Axn − f ), n = 1, 2,

...,
∗
∗
đưoc chúa trong hình cau S x( , r) và h®i tn tói x vói ưóc lưong:
.
.
"xn − x∗" = O n−1/2 .

(1.10)

Chúng minh. De dàng chúng minh rang nghi¾m x∗ cna phương trình (1.8) là duy
nhat.
Th¾t v¾y, neu ton tai nghi¾m y∗ ƒ= x∗ thì
x∗ + Ax∗ = f và y∗ + Ay∗ = f .
Tù đang thúc này và tính đơn đi¾u cna toán tú A ta thu đưoc đieu mâu thuan sau:
0 ≤ (Ay∗ − Ax∗, y − x) = (f − y∗ − f + x∗, y∗ − x∗) = − (y∗ − x∗, y∗ − x∗)
<0

Theo đ%nh lý Rockafella thì toán tú đơn đi¾u se b% ch¾n đ%a phương tai moi điem
trong cna mien xác đ%nh cna toán tú, do đó ton tai hình cau S (x∗, r) vói tâm tai
2

x∗, bán kính r, S (x∗, r) ≡ S ⊂ D (A). Ta kí hi¾u K = [diamA (S) /r] . Khi đó K >
0 và vói so C tùy ý lón hơn K thì diamA (S) ≤ rC1/2.
−1

−1/2

Đ¾t tn = (n + C) , dn = (n + C − 1)
.
Lay m®t phan tú tùy ý x1 ∈ S và dnng dãy {xn} theo công thúc (1.9).
Ta có the chúng minh bang quy nap dãy {xn} đưoc chúa trong S (x∗, r) và h®i
tu tói x∗ vói ưóc lưong:
"xn − x∗" ≤ dnrC1/2.
Th¾t v¾y, vói n = 1 ta có "xn − x∗" ≤ r = d1rC1/2.
Giá sú (1.11) đúng vói n khi đó
"xn − x∗" ≤ dnrC1/2 ≤ d1rC1/2 = r,
túc là xn ∈ S (x∗, r) ⊂ D (A). Và như v¾y xn+1 hoàn toàn đưoc xác đ%nh.
Vì x∗ + Ax∗ = f nên
−1
xn+1 − x∗ = xn + (n + C) (xn + Axn − f ) − x∗

(1.11)


−1

= xn − (n + C) (xn + Axn − x∗ − Ax∗) − x∗

.
−1 .
−1
= (xn − x∗) 1 − (n + C)
− (n + C) (Axn − Ax∗)
= (xn − x∗) (1 − tn) − tn (Axn − Ax∗).
Ta có:
2

2

2

"xn+1 − x∗" = (1 − tn) "xn −

− 2tn (1 − tn) Re (Axn − Ax∗, xn − x∗) +
2

+t2n "Axn − Ax∗" .

x∗ "
Vì toán tú A đơn đi¾u nên
2

"xn+1 −
x∗ "

2

2

∗

2

≤ (1 −
"xn −
+
− Ax "
∗
tn)
x "
.
.
≤ (1 − tn)2 d2 r2C + t2 r2C = r2C (1 − d2 + t2 ,
2
t n)
n

và

t2n "Axn

.
.
2
r2C (1 − tn) d2 + t2 =
r2 C
n

n

..

n

=

1

.2

n+C−
1
n+C

(n + C)

1

·

n+C−

+

n

.

1
(n + C)

2

1

r2C =
d2

Do đó

n

n+
1

r2 C.

"xn+1 − x∗" ≤ dn+1rC1/2.
Suy ra bat đang thúc đưoc chúng minh.
V¾y ta đã chúng minh dãy {xn} h®i tu tói x∗ vói ưóc lương
.
.
"xn − x∗" = O n−1/2 .

H¾ quá 1.2. Giá sú A là toán tú đơn đi¾u liên tnc và mien D (A) mó trong
không gian Hilbert H, y ∈ R (I + A). Khi đó ton tai hình cau S = S (x∗, r) vói
−1
điem x∗ = (I + A) y sao cho đoi vói xap xs ban đau tùy ý x1 ∈ S dãy {xn} đưoc

dnng bang công
thúc:
n

1

xn −
(Axn − y),
n+1
n+1
đưoc chúa trong D (A) và h®i tn đen x∗ vói toc đ®:
xn+1 =

(1.12)