Phương pháp toạ độ trong mặt phẳng và bài tập hình học

Khóa luận tốt nghiệp

Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2

LỜI CẢM ƠN
Trong quá trình tìm hiểu, nghiên cứu khóa luận này tôi gặp rất nhiều khó
khăn và bỡ ngỡ. Nhưng dưới sự chỉ bảo tận tình của Giảng viên Bùi Văn Bình,
tôi đã từng bước tiến hành và hoàn thành khóa luận với đề tài “Phương pháp tọa
độ trong mặt phẳng và bài tập hình học”. Tôi xin chân thành cảm ơn sự giúp đỡ
nhiệt tình của thầy.
Qua đây, tôi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến các thầy cô giáo trong khoa
Giáo dục Tiểu học, các thầy cô trong trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã tạo
điều kiện giúp đỡ tôi hoàn thành khóa luận tốt nghiệp này.
Tôi xin chân thành cảm ơn.
Hà Nội, tháng 05 năm 2012
Sinh viên
Phạm Thị Kiều Trang

Phạm Thị Kiều Trang-K34A Giáo dục tiểu học


Khóa luận tốt nghiệp

Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2

Phạm Thị Kiều Trang-K34A Giáo dục tiểu học


LỜI CAM ĐOAN
Khóa luận của tôi được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của thầy giáo Giảng
viên Bùi Văn Bình cùng với sự cố gắng của bản thân. Trong quá trình nghiên

cứu tôi có tham khảo một số tài liệu của một số tác giả (đã nêu trong mục tài
liệu tham khảo)
Tôi xin cam đoan những kết quả trong khóa luận này là kết quả nghiên cứu
của bản thân không trùng lập với bất kì kết quả nào khác.
Sinh viên
Phạm Thị Kiều Trang



MỤC LỤC

LỜI CẢM ƠN
LỜI CAM ĐOAN
MỞ ĐẦU...................................................................................................................1
1.Lý do chọn đề tài...........................................................................................1
2.Mục đích nghiên cứu.....................................................................................2
3. Đối tượng, phạm vi nghiên cứu đề tài:.........................................................2
4. Nhiệm vụ nghiên cứu...................................................................................2
5.Các phương pháp chính:.......................................................................................2

NỘI DUNG................................................................................................................3
CHƯƠNG I: NHỮNG KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ TỌA ĐỘ..................................3
A. TRỤC VÀ TỌA ĐỘ TRÊN TRỤC....................................................................3

1. VECTƠ............................................................................................................3
2.TRỤC TỌA ĐỘ................................................................................................3
2.1 Tọa độ của vectơ trên trục..........................................................................3
2.2 Tọa độ của điểm trên trục...........................................................................4
B.HỆ TRỤC TỌA ĐỘ............................................................................................4

1. HỆ TRỤC TỌA ĐỘ........................................................................................4
2. TỌA ĐỘ CỦA VECTƠ ĐỐI VỚI HỆ TRỤC TỌA ĐỘ.................................4
3.TỌA ĐỘ CỦA MỘT ĐIỂM ĐỐI VỚI HỆ TRỤC TỌA ĐỘ...........................5
4. ĐIỂM CHIA ĐOẠN THẲNG THEO TỶ SỐ CHO TRƯỚC........................5
5. BIỂU THỨC TỌA ĐỘ CỦA TÍCH VÔ HƯỚNG.........................................6
C. PHƯƠNG TRÌNH CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRÒN.....................6


1. PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QUÁT CỦA ĐƯỜNG THẲNG...........................6


2. HỆ SỐ GÓC CỦA ĐƯỜNG THẲNG............................................................7
3.PHƯƠNG TRÌNH THAM SỐ CỦA ĐƯỜNG THẲNG.................................7
4. KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM TỚI MỘT ĐƯỜNG THẲNG................7
5.VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG.......................................8
6.GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG................................................................9
7.PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN..............................................................10
CHƯƠNG II: GIẢI CÁC BÀI TOÁN HÌNH HỌC PHẲNG BẰNG PHƯƠNG
PHÁP TỌA ĐỘ.......................................................................................................11
A. HƯỚNG DẪN HỌC SINH SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ HƯỚNG
KHI GIẢI TOÁN..........................................................................................................11
B. CÁC DẠNG TOÁN CƠ BẢN........................................................................12

I. DẠNG TOÁN TÍNH TOÁN.......................................................................12
KẾT LUẬN.............................................................................................................43
TÀI LIỆU THAM KHẢO.......................................................................................44



MỞ ĐẦU

1.Lý do chọn đề tài.
Môn toán là một trong những môn học quan trọng hàng đầu trong chương
trình giáo dục phổ thông. Nó không chỉ là cơ sở, tiền đề để học tốt các môn
học khác mà còn có ứng dụng rất quan trọng trong thực tế. Trong đó phương
pháp tọa độ là phương pháp toán học cơ bản kết hợp với phương pháp tổng
hợp để nghiên cứu những đối tượng và quan hệ hình học trên mặt phẳng và
trong không gian.
Nó là công cụ để giải các bài toán quỹ tích khó hoặc các bài chứng minh
mà không giải được bằng suy luận.
Sự ra đời của phương pháp tọa độ đã thiết lập mối quan hệ mật thiết giữa
hình học và đại số là hai ngành toán học phát triển theo hai hướng khác nhau
của toán học.
Phương pháp tọa độ là phương pháp chuyển các yếu tố hình học về các
yếu tố đại số.
Nhằm tạo cho học sinh cách nhìn nhận vấn đề có nhiều góc cạnh khác
nhau và cung cấp cho học sinh một công cụ mới để giải các bài toán hình học
phẳng.
Vì thế, việc đưa ra phương pháp tọa độ vào phương trình hình học là
nhằm hiện đại hóa môn học. Đồng thời sẽ giúp học sinh có thêm một công cụ
mới để diễn đạt, suy luận, để suy nghĩ về toán học theo một phương pháp khác
với các phương pháp quen thuộc từ trước tới nay.
Xuất phát từ những lý do trên, tôi đi đến quyết định chọn đề tài nghiên
cứu: “phương pháp tọa độ trong mặt phẳng và bài tập hình học” để làm đề
tài nghiên cứu khoa học của mình.

Phạm Thị Kiều Trang-K34A Giáo dục tiểu học

1

Phạm Thị Kiều Trang-K34A Giáo dục tiểu học

2


2. Mục đích nghiên cứu:
Giúp học sinh giải quyết một bài toán hình học phẳng bằng nhiều cách
giải khác nhau.
Giới thiệu cho học sinh làm quen với phương pháp tọa độ để cho học sinh
thấy được những ứng dụng rộng rãi và tính ưu việt của phương pháp này.
3. Đối tượng, phạm vi nghiên cứu đề tài:
1. Đối tượng nghiên cứu:
Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng và bài tập hình học.
2. Phạm vi nghiên cứu:
Vì lý do thời gian và trình độ của mình nên trong phạm vi của đề tài nghiên
cứu này tôi chỉ đề cập đến một số dạng toán điển hình trong hình học phẳng với
kiến thức không vượt quá chương trình toán học lớp 10 trung học phổ thông.
4. Nhiệm vụ nghiên cứu:
Tóm tắt một số kiến thức cơ bản có liên quan đến phương pháp tọa độ mà
học sinh đã học.
Thông qua các bài tập ở một số dạng toán cơ bản để thấy được tầm quan
trọng của phương pháp tọa độ trong việc giải các bài toán hình học phẳng ở phổ
thông.
5.

Các phương pháp chính:

-

Phương pháp nghiên cứu tài liệu lý luận.

-

Phương pháp quan sát.

-

Phương pháp điều tra.

-

Phương pháp tổng kết kinh nghiệm.



NỘI DUNG
CHƯƠNG I: NHỮNG KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ
TỌA ĐỘ
A. TRỤC VÀ TỌA ĐỘ TRÊN TRỤC.
1. VECTƠ

Vectơ AB : A là điểm đầu, B là điểm cuối.

Khi A trùng với B gọi là vectơ không: 0


AB : độ dài của vectơ AB
2.TRỤC TỌA ĐỘ
Trục tọa độ(còn gọi là trục hay trục số)là 1 đường thẳng trên đó đã xác định 1 điểm


O và một vectơ có độ dài bằng 1.

i
O
i
x
x’

 gọi là vectơ đơn vị của trục tọa độ.
Điểm O gọi là gốc tọa độ , vectơ i
2.1 Tọa độ của vectơ trên trục.




AB =m i ( số thực m là số duy nhất được gọi là tọa độ của vectơ AB )
Nếu A,B có tọa độ lần lượt là a,b. Khi đó:



AB có tọa độ là (b-a)




2.2 Tọa độ của điểm trên trục.



Cho điểm A trên trục x’Ox. Khi đó OA  ai thì A được gọi là tọa độ của điểm

A trên trục.
Cho điểm A a1 ; a2  , điểm B  b1 ;b2  . Khi dó điểm

M  x; y  là trung điểm của


 xM a1  b1
AB thì:   2


y  a2  b2
M
2

B.HỆ TRỤC TỌA ĐỘ.
1.HỆ TRỤC TỌA ĐỘ.



Trên mặt phẳng cho 2 trục xOx'(vectơ đơn vị i ), y 'Oy (vectơ đơn vị j ) vuông

góc với nhau tại O. Hệ gồm 2 trục nói trên gọi là hệ trục tọa độ, kí hiệu


 

Oxy hay 0;i; j

y

Điểm O gọi là gốc tọa độ


j

Trục Ox gọi là trục hoành
x’

Trục Oy gọi là trục tung

0


i

x

y’

2.TỌA ĐỘ CỦA VECTƠ ĐỐI VỚI HỆ TRỤC TỌA ĐỘ.




-Đối với hệ trục tọa độ o;i; j , nếu a  xi  y j thì cặp số x; y  được gọi là tọa



độ của vectơ a , ký hiệu là a   x; y hay a  x; y 



-Tính chất:





'
'
Nếu u   x; y và v   x ; y 

thì:

 
'
'
u  v   x  x; y  y 


ku   kx;ky  u 

x 2  y2

3.TỌA ĐỘ CỦA MỘT ĐIỂM ĐỐI VỚI HỆ TRỤC TỌA ĐỘ.
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho điểm M. Khi đó tọa độ OM gọi là tọa
độ điểm M đối với hệ Oxy .




OM  xi  y j  M  x; y
'
'
*Định lý: A   x; y  , B   x ; y  thì:


'
'
AB   x  x; y  y 
AB  
AB 

 x x    y
'

2

'

y  2

4.ĐIỂM CHIA ĐOẠN THẲNG THEO TỶ SỐ CHO TRƯỚC.
Điểm M gọi là chia đoạn thẳng AB theo tỷ số k nếu:



MA  k MB
'
'
Nếu A  x; y và B 

  x;y

và M chia AB theo tỷ số

độ là:

y  ky
xM  x  kx'

,
1k
1k
yM

'

k  1 thì điểm M có tọa


Đặc biệt nếu M là trung điểm đoạn AB thì:




xx

'

xM 


2 '

yy
y 
 M 2
5.BIỂU THỨC TỌA ĐỘ CỦA TÍCH VÔ HƯỚNG.

Nếu : a   a1;a2 

b   b1;b2 
thì

a.b  a1b1  a2b2

C. PHƯƠNG TRÌNH CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRÒN.
1. PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QUÁT CỦA ĐƯỜNG THẲNG

Trong mặt phẳng tọa độ cho điểm I  x0 ; y0  và vectơ n  a;b   0
y

Gọi  là đường thẳng đi qua I,
có vectơ pháp tuyến là
n



thì

M

phương trình đường thẳng có dạng:

Khi đó phương trình (1) được gọi là
phương trình tổng quát của .


n

I

a  x  x0   b  y  y0   0

Hay: ax  by  c  0  a 2  b2  0



0
(1)

x



2.HỆ SỐ GÓC CỦA ĐƯỜNG THẲNG.
Cho đường thẳng (d) có phương trình: y  kx  m , hệ số k được gọi là hệ số
góc của đường thẳng (d).
Điều kiện để 2 đường thẳng song song với nhau là:
'

k  k


'
m  m

Điều kiện để 2 đường thẳng vuông góc với nhau là:
'

k.k  1
3.PHƯƠNG TRÌNH THAM SỐ CỦA ĐƯỜNG THẲNG.

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy ,

y

u

cho đường thẳng  đi qua điểm I  x0 ; y0 

và có vectơ chỉ phương u  a;b

M  x, y 

thì phương



0

trình đường thẳng có dạng:

x

I  x0, y0 

x  x  at  a2  b2  0 (1)

0

 y  y0  bt
Hệ (1) được gọi là phương trình tham số của đường thẳng  với tham số t.
4.KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM TỚI MỘT ĐƯỜNG THẲNG.
Trong mặt phẳng tọa độ cho đường thẳng  có phương trình tổng quát:



ax  by  c  0  a  b  0
2

2

d  M  Thì khoảng cách từ M tới  được tính bởi công thức:

d  M ;  

axM  byM  c
a 2  b2

y
M
M’

x
0

5.VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG.
Xét 2 đường thẳng  và  có phương trình tổng quát lần lượt là:
1
2
a1 x  b1 y  c1  0và a2 x  b2 x  c2  0
Tọa

độ

giao

điểm

 1và  2là

a1 x  b1y  c 1 0
trình: 
 a 2 x  b 2 y  c2  0

nghiệm

của

hệ

phương

1

Ta có các trường hợp sau:
a, Hệ (1) có một nghiệm  x0 ; y0  , khi
 1 2tại điểm
đó
b, Hệ (1) có vô số nghiệm, khi đó  1 

M o  x0 ; y0  .

2

c, Hệ (1) có vô nghiệm, khi đó 1 và  2không có điểm chung, hay  1/ /  2.



6.GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG.
* Định nghĩa
Hai đường thẳng 1 và 2 cắt nhau tạo thành 4 góc. Số đo nhỏ nhất của
các góc đó được gọi là số đo của góc giữa 2 đường thẳng  và
 ,2 hay đơn
1
giản là góc giữa  1và 

2

Khi  song song hoặc trùng với  ta quy ước góc giữa chúng bằng 00
2
1

□
*Kí hiệu:  1;
2
Chú ý: 0   1 ;  2

 , hoặc   ;  
1

  90

2


n1

0




2


n2

2

*Công thức:
Xét 2 đường thẳng 1 và  2 có phương trình tổng quát lần lượt là:
1 : a1x  b1 y  c1  0

2 : a2 x  b2 y  c 2  0
Các vectơ pháp tuyến của 1 và  2



lần lượt là: n1  a1 ;b1  ; n2  a2 ;b2 

Ta có công thức tính góc giữa 2 đường thẳng  1và  2là: