Chương IV. §5. Công thức nghiệm thu gọn

KIỂM TRA BÀI CŨ
Câu 1: Viết công thức nghiệm của phương trình bậc hai.
Câu 2: Giải phương trình: 5x 2 - 6x + 1 = 0


Câu 1: Công thức nghiệm của phương trình bậc hai

Đối với PT: ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)

∆ = b2 – 4ac
Nếu ∆ > 0 thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt:

b 
b 
x1 
; x2 

2a
2a

b
Nếu ∆ = 0 thì phương trình có nghiệm kép: x1  x2 
2a
Nếu ∆ < 0 thì phương trình vô nghiệm


Câu 2: Giải phương trình:
Ta có:

5x 2 - 6x + 1 = 0

 a = 5; b = -6; c = 1

Đối
vớibbcủa
là số
chẵn
Hệ
số
phương
Δ = b 2 - 4ac = (-6)2 - 4.5.1thì
= 16
> 0cách giải
còn
trình trên có điều gì
nàođặc
nhanh
Δ = 16 = 4
biệthơn
?
không ?
Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt:

-b +  6 + 4
x1 =
=
=1
2a
2.5

-b -  6 - 4 1

x2 =
=
=
2a
2.5 5


1. Công thức nghiệm thu gọn:
Cho phương trình: ax2 + bx + c = 0
Đặt b = 2b’ :
Thì Δ = b2 – 4ac = (2b’)2 – 4ac
= 4b’2 – 4ac
= 4(b’2 – ac)
Kí hiệu : Δ’ = b’2 – ac
Ta có :
Δ = 4Δ’

(a ≠ 0)


? Từ bảng kết luận của bài trước hãy dùng các đẳng thức b = 2b’ và Δ = 4Δ’
1
để suy ra kết luận bằng cách điền vào chỗ trống
Đối với PT: ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0), và b = 2b’; ’ = b’2 - ac

( = 4 ’ ):

• Nếu  > 0 => ’ >… thì0phương trình có …………………….:
có 2 nghiệm phân
biệt:

b 
 2b ' 4 '  2b ' 2  ' 2   b '  '   b '  '



x1 
=…………….................................

a
2a
2a
2a
2a

b 
x2 
2a





 2b ' 4 '  2b ' 2  ' 2  b '  '
 b '  '




=…………….................................
2a

2a
2a
a

• Nếu  = 0 => ’ = ….
= 0 thì phương trình có ……………
nghiệm kép
:

b  2b '  b '
=…………….................................
x1  x2 
2a
a
2a

• Nếu  < 0 => ’ <
………
0
thì phương trình vô
……………..
nghiệm.


* Công thức nghiệm thu gọn của phương trình bậc hai:
Đối với phương trình ax2 + bx +c = 0 (a ≠ 0) và b = 2b’;
’ = b’2 - ac ( = 4 ’ ):
•

Nếu ’ > 0 thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt:

 b '  '
x1 
a

 b '  '
x2 
a

b'
• Nếu ’ = 0 thì phương trình có nghiệm kép : x1  x2 
a
•

Nếu ’ < 0 thì phương trình vô nghiệm .


Để giải phương trình bậc hai
theo công thức nghiệm thu gọn
ta cần thực hiện qua các bước
nào?

?
=> Các bước giải một phương trình bậc hai theo công thức nghiệm
thu gọn:
Bước 1: Xác định các hệ số a, b’, c.
Bước 2: Tính ’ = b’2 – ac rồi so sánh kết quả ’ với 0.
Bước 3: Kết luận số nghiệm, tìm nghiệm của phương trình.

2. Áp dụng:
?2

Giải phương trình 5x2 + 4x – 1 = 0 bằng cách điền
vào những chỗ trống:

b’ = . .2. . ;

a = . .5 . . ;

∆’ = .2.2 .–. 5.(-1)
. . .. .= 4 +5 = 9 > 0

c = .–.1. .
∆’ = . 3. . .



Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt:

x1 = . . –. 2. + 3 = 1 ;
5

5

x2 = –. 2. .–.3 = – 1
5


Bài tập : Trong các phương trình sau, phương

trình nào nên áp dụng công thức nghiệm thu gọn
để giải :

a) 2 x  3x  5  0
2

b) x  2 2 x  7  0
2

c) x  2 x  2  0
2

Chó ý: Nếu hệ số b là số chẵn, hay bội chẵn ta nên dùng
công thức nghiệm thu gọn để giải phương trình bậc 2.


?3

Xác định a, b’, c rồi dùng công thức nghiệm thu
gọn giải các phương trình:
a) 3x2 + 8x + 4 = 0

(a = 3; b’ = 4 ; c = 4)
Ta có: Δ’ = 42 – 3.4
= 16 – 12
=4>0
Do Δ’ > 0 nên phương trình có
hai nghiệm phân biệt:

b ) 7 x2 - 6 2 x + 2 = 0

( a  7; b /  3 2; c  2)



Ta có:   3 2
'



2

 7.2

= 18-14 = 4 >0
Do Δ’ = 4 > 0 nên phương trình
có hai nghiệm phân biệt:

4  4
4  2
2
x1 


3
3
3

x1 =

-b' +Δ'

a

3 2+2
=
7

4  4
4  2
x2 

 2
3
3

x2 =

-b' -Δ'
a

3 2-2
=
7


So sánh công thức tổng quát với công thức thu gọn
Công thức nghiệm (tổng quát)
của phương trình bậc hai

Đối với PT: ax2 + bx + c = 0
(a ≠ 0), ∆ = b2 – 4ac

Công thức nghiệm thu gọn của
phương trình bậc hai

Đối với PT: ax2 + bx + c = 0
(a ≠ 0) và b = 2b’, ∆’ = b’2 – ac:

 Nếu ∆ > 0 thì phương trình có  Nếu ∆’ > 0 thì phương trình có
2 nghiệm phân biệt:
2 nghiệm phân biệt:
b 
b 
x1 
; x2 
 x1  b '  ' ; x2  b '  ' �
2a
2a
a
a
 Nếu ∆ = 0 thì phương trình có  Nếu ∆’ = 0 thì phương trình có
b'
b nghiệm kép:
nghiệm kép:
x x 
x  x 
1

2

2a

 Nếu ∆< 0 thì pt vô nghiệm.

1

2

a

Nếu ∆’< 0 thì pt vô nghiệm.


Bài tập 17 (a,b) SGK tr49

Xác định a, b’, c rồi dùng công thức nghiệm
thu gọn giải các phương trình sau:
a/ 4x2 + 4x + 1 = 0; b/ 13852x2 – 14x + 1 = 0
Đáp án
a/ 4x2 + 4x + 1 = 0

b/ 13852x2 – 14x + 1 = 0
a = 13852, b’ = – 7, c = 1
a = 4, b’ = 2, c = 1
∆’ = b’2 – ac
∆’ = b’2 – ac = 22 – 4.1 = 0
2
=
(–
7)
– 13852.1

Phương trình có nghiệm kép:
= 49 – 13852 = – 13803 < 0

b'
2
1
x1  x2   
a
4
2

Phương trình vô nghiệm


Bài tập : giải phương trình sau
bằng công thức nghiệm thu gọn :

00
aa)) x 22 22xx7 7 
2
2

2

bb)) x 22x x 220 0
22

 27 9  0

V'  (1) 2  1.( 2)

 1 2  3  0

 V  3

 V'  3

x1   2  3;

x1  1  3;

x2   2  3

x2  1  3

V'  ( 2)  1.( 7)