CHUYENDE81HE TOA DO KHONG GIAN

TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

1

LÝ THUYẾT

1. Hệ trục tọa độ trong không gian
Trong không gian, xét ba trục tọa độ Ox, Oy , Oz vuông góc với nhau từng đôi một và chung một điểm
r r r
gốc O. Gọi i, j , k là các vectơ đơn vị, tương ứng trên các trục Ox, Oy , Oz . Hệ ba trục như vậy gọi là hệ trục
tọa độ vuông góc trong không gian.
rr rr r r
r2 r 2 r 2
Chú ý:
i  j  k  1 và i. j  i.k  k . j  0 .
2. Tọa độ của vectơ r
r
r r
r
a) Định nghĩa: u   x; y; z  � u  xi  y j  zk
r
r
b) Tính chất: Cho a  (a1 ; a2 ; a3 ), b  (b1 ; b2 ; b3 ), k ��
r r
 a �b  (a1 �b1 ; a2 �b2 ; a3 �b3 )
r
 ka  (ka1 ; ka2 ; ka3 )
�a1  b1
r r
�
a2  b2

 ab � �
�a  b
�3 3
r
r
r
r
 0  (0;0;0), i  (1;0; 0), j  (0;1;0), k  (0;0;1)
r r r
r
r
r
 a cùng phương b (b �0)  a  kb (k ��)
a1  kb1
�
a
a a
�
��
a2  kb2
� 1  2  3 , (b1 , b2 , b3 �0)
b1 b2 b3
�
a3  kb3
�
r r
rr
 a.b  a1.b1  a2 .b2  a3 .b3
 a  b � a1b1  a2b2  a3b3  0
r2

r
2
2
2
 a  a1  a2  a3
 a  a12  a22  a22
rr
a1b1  a2b2  a3b3
a.b
r r
r r r
 cos(a , b )  r r 
(với
a
, b �0 )
a .b
a12  a22  a32 . b12  b22  b32
3. Tọa độ của điểm
uuuu
r
r
r
r
a) Định nghĩa: M ( x; y; z ) � OM  x.i  y. j  z.k (x : hoành độ, y : tung độ, z : cao độ)
Chú ý:  M � Oxy  � z  0; M � Oyz  � x  0; M � Oxz  � y  0
 M �Ox � y  z  0; M �Oy � x  z  0; M �Oz � x  y  0 .
b) Tính chất: Cho A( x A ; y A ; z A ), B( xB ; yB ; z B )
uuu
r
 AB  ( xB  x A ; yB  y A ; z B  z A )

 AB  ( xB  xA ) 2  ( yB  y A ) 2  ( zB  z A ) 2
�x  x y  yB z A  z B �
;
 Toạ độ trung điểm M của đoạn thẳng AB : M � A B ; A
�
� 2
2
2 �
 Toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC :
�x  x  x y  yB  yC z A  z B  zC �
G �A B C ; A
;
�
3
3
3
�
�
 Toạ độ trọng tâm G của tứ diện ABCD :
�x  x  x  xD y A  yB  yC  yD z A  zB  zC  zC �
G �A B C
;
;
�
�
4
4
4
�

4. Tích có hướng của hai vectơ
r
r
a) Định nghĩa: Trong không gian Oxyz cho hai vectơ a  (a1 ; a2 ; a3 ) , b  (b1 ; b2 ; b3 ) . Tích có hướng của hai
r r
r
r
�
a
vectơ a và b, kí hiệu là �
�, b �, được xác định bởi


�a2 a3 a3 a1 a1 a2 �
r r
�
a, b �
;
;
�  a2b3  a3b2 ; a3b1  a1b3 ; a1b2  a2b1 
�
� �
b
b
b
b
b
b
2
3

3
1
1
2
�
�
Chú ý: Tích có hướng của hai vectơ là một vectơ, tích vô hướng của hai vectơ là một số.
b) Tính
r r chất:
r
r r
r
 [ a , b ]  a;
[a , b ]  b
r r
r r
�  �
�
a
,
b
b
 �
� � �, a �
r
r
r r
r r
r
r

r
�
�
�
� j
�
�
i
,
j

k
;
j
,
k

i
;
k
,i �
�
� �
� �
r r
r r
r r
 [a, b]  a . b .sin  a , b  (Chương trình nâng cao)
r r
r r

r
 a, b cùng phương � [a, b]  0 (chứng minh 3 điểm thẳng hàng)
c) Ứng dụng của tích có hướng: (Chương trình
r rnâng rcao)
r r r
 Điều kiện đồng phẳng của ba vectơ: a, b và c đồng phẳng  [a, b].c  0
uuu
r uuur
 Diện tích hình bình hành ABCD :
SY ABCD  �
AB, AD �
�
�
u
u
u
r
u
u
u
r
1
S ABC  �
AB, AC �
 Diện tích tam giác ABC :
�
�
2
uuu
r uuur uuur

VABCD. A ' B ' C ' D '  [ AB, AD ]. AA�
BCD :
 Thể tích khối hộp ABCDA����
1 uuur uuur uuur
VABCD  [ AB, AC ]. AD
 Thể tích tứ diện ABCD :
6
Chú ý:
– Tích vô hướng của hai vectơ thường sử dụng để chứng minh hai đường thẳng vuông góc, tính
góc giữa hai đường thẳng.
– Tích có hướng của hai vectơ thường sử dụng để tính diện tích tam giác; tính thể tích khối tứ
diện, thể tích hình hộp; chứng minh các vectơ đồng phẳng – không đồng phẳng, chứng minh các vectơ cùng
phương.
r r
rr
a  br� a.b  0
r
r r r

a va�
b
cu�
n
g
ph�
�
ng
�
a
, b  0

r r r
r r r
a, b, c �
o�
ng pha�
ng �  a, b .c  0
5. Một vài thao tác sử dụng máy tính bỏ túi (Casio Fx570 Es Plus, Casio Fx570 Vn Plus, Vinacal 570 Es
Plus )
Trong không gian Oxyz cho bốn điểm A  x A ; y A ; z A  , B  xB ; y B ; z B  , C  xC ; yC ; z C  , D  xD ; y D ; z D 
uuur
w 8 1 1 (nhập vectơ AB )
uuur
q 5 2 2 2 (nhập vectơ AC )
uuur
q 5 2 3 1 (nhập vectơ AD )
uuu
r uuur
C q53q54= (tính �
AB, AC �
�
�)
uuur uuur uuur
C q53q54q57q55= (tính [ AB, AC ]. AD )
uuu
r uuur uuur
Cqc(Abs) q53q54q57q55= (tính [ AB, AC ]. AD )
C1a6qc(Abs) q53q54q57q55=
r uuur uuur
1 uuu
(tính VABCD  [ AB, AC ]. AD

6


2

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

r
r
r
r
r
Câu 1: Gọi  là góc giữa hai vectơ a và b , với a và b khác 0 , khi đó cos  bằng
rr
rr
rr
r r
a.b
a.b
a.b
ab
A. r r . B. r r .
C. r r .
D. r r .
a.b
a
.
b
a.b
a.b

r
r
Câu 2: Gọi  là góc giữa hai vectơ a   1; 2;0  và b   2;0; 1 , khi đó cos  bằng
2
2
2
A. 0.
B. .
C.
.
D.  .
5
5
5
r
r
r
Câu 3: Cho vectơ a   1;3; 4  , tìm vectơ b cùng phương với vectơ a
r
r
r
r
A. b   2; 6; 8  .
B. b   2; 6;8  .
C. b   2;6;8  .
D. b   2; 6; 8  .
r
r
Câu 4: Tích vô hướng của hai vectơ a   2; 2;5  , b   0;1; 2  trong không gian bằng
A. 10.

B. 13.
C. 12.
D. 14.
Câu 5: Trong không gian cho hai điểm A  1; 2;3 , B  0;1;1 , độ dài đoạn AB bằng
A.

C. 10.
D. 12.
rr r
uuuu
r
Câu 6: Trong không gian Oxyz , gọi i, j , k là các vectơ đơn vị, khi đó với M  x; y; z  thì OM bằng
r r r
r r r
r r r
r r r
A.  xi  y j  zk .
B. xi  y j  zk .
C. x j  yi  zk .
D. xi  y j  zk .
r
r
r r
Câu 7: Tích có hướng của hai vectơ a  (a1 ; a2 ; a3 ) , b  (b1 ; b2 ; b3 ) là một vectơ, kí hiệu �
a, b �
�
�, được xác định
bằng tọa độ
A.  a2b3  a3b2 ; a3b1  a1b3 ; a1b2  a2b1  .
B.  a2b3  a3b2 ; a3b1  a1b3 ; a1b2  a2b1  .

6.

B.

8.

 a2b3  a3b2 ; a3b1  a1b3 ; a1b2  a2b1  .
D.  a2b2  a3b3 ; a3b3  a1b1 ; a1b1  a2b2  .
r
r
rr
Câu 8: Cho các vectơ u   u1 ; u2 ; u3  và v   v1 ; v2 ; v3  , u.v  0 khi và chỉ khi
C.

A. u1v1  u2 v2  u3v3  1 .
C. u1v1  u2 v2  u3v3  0 .
r
r
Câu 9: Cho vectơ a   1; 1; 2  , độ dài vectơ a là

B. u1  v1  u2  v2  u3  v3  0 .
D. u1v2  u2 v3  u3v1  1 .

A. 6 .
B. 2.
C.  6 .
D. 4.
Câu 10: Trong không gian Oxyz , cho điểm M nằm trên trục Ox sao cho M không trùng với gốc tọa độ, khi
đó tọa độ điểm M có dạng
A. M  a;0;0  , a �0 .

B. M  0; b;0  , b �0 . C. M  0;0; c  , c �0 . D. M  a;1;1 , a �0 .

Câu 11: Trong không gian Oxyz , cho điểm M nằm trên mặt phẳng  Oxy  sao cho M không trùng với gốc tọa
độ và không nằm trên hai trục Ox, Oy , khi đó tọa độ điểm M là ( a, b, c �0 )
A.  0; b; a  . B.  a; b;0  .
C.  0;0; c  .
D.  a;1;1
r
r
r
r
Câu 12: Trong không gian Oxyz , cho a   0;3; 4  và b  2 a , khi đó tọa độ vectơ b có thể là
A.  0;3; 4  . B.  4;0;3 .

D.  8;0; 6  .
r r
r
r
�
u
Câu 13: Trong không gian Oxyz cho hai vectơ u và v , khi đó �
�, v �bằng
r r
r r
r r
r r
rr
r r
rr
r r

A. u . v .sin u , v .
B. u . v .cos u , v .
C. u.v.cos u, v .
D. u.v.sin u, v .
r
r
r
ur r r r
Câu 14: Trong không gian Oxyz cho ba vectơ a   1; 1; 2  , b   3;0; 1 , c   2;5;1 , vectơ m  a  b  c có
tọa độ là
A.  6;0; 6  .B.  6;6;0  .
C.  6; 6;0  .
D.  0;6; 6  .

 

C.  2;0;1 .

 

 

 

Câu 15: Trong không gian Oxyz cho ba điểm A  1;0; 3 , B  2; 4; 1 , C  2; 2;0  . Độ dài các cạnh AB, AC , BC
của tam giác ABC lần lượt là
A. 21, 13, 37 .
B. 11, 14, 37 .
C. 21, 14, 37 .
D. 21, 13, 35 .

Câu 16: Trong không gian Oxyz
giác ABC là
�5 2 4 �
A. � ; ;  �.
�3 3 3 �
Câu 17: Trong không gian Oxyz
phẳng thì tọa độ điểm D là
A. D  2;5;0  .

cho ba điểm A  1;0; 3 , B  2; 4; 1 , C  2; 2;0  . Tọa độ trọng tâm G của tam
�5 2 4 �
�5
�
B. � ; ; �.
C.  5; 2; 4  .
D. � ;1; 2 �.
�3 3 3 �
�2
�
cho ba điểm A  1; 2;0  , B  1;1;3 , C  0; 2;5  . Để 4 điểm A, B, C , D đồng
B. D  1; 2;3 .

C. D  1; 1;6  .

D. D  0;0; 2  .

r
r

r
Câu 18: Trong không gian Oxyz , cho ba vecto a  (1; 2;3),b  (2; 0;1), c  (1; 0;1) . Tìm tọa độ của vectơ
r r r r r
n ra  b  2c  3i
r
r
r
A. n   6; 2;6  .

B. n   6; 2; 6  .

C. n   0; 2;6  .
D. n   6; 2;6  .
Câu 19: Trong không gian Oxyz , cho tam giác ABC có A(1;0; 2), B ( 2;1;3), C (3; 2; 4) . Tìm tọa độ trọng tâm
G của tam giác ABC
�2
�
�1 �
2; ;3 �.
A. G � ;1;3 �.
B. G  2;3;9  .
C. G  6;0; 24  .
D. G �
� 3 �
�3
�
Câu 20: Cho 3 điểm M  2;0;0  , N  0; 3;0  , P  0;0;4  . Nếu MNPQ là hình bình hành thì tọa độ của điểm Q
là
A. Q  2; 3; 4 

B. Q  2;3; 4 

C. Q  3; 4; 2 

D. Q  2; 3; 4 

Câu 21: Trong không gian tọa độ Oxyz cho ba điểm M  1;1;1 , N  2;3; 4  , P  7;7;5  . Để tứ giác MNPQ là hình
bình hành thì tọa độ điểm Q là
A. Q  6;5; 2  .
B. Q  6;5; 2  .
C. Q  6; 5; 2  .
D. Q  6; 5; 2  .
Câu 22: Cho 3 điểm A  1;2;0  , B  1;0; 1 , C  0; 1;2  . Tam giác ABC là
A. tam giác có ba góc nhọn.
B. tam giác cân đỉnh A .
C. tam giác vuông đỉnh A .
D. tam giác đều.
Câu 23: Trong không gian tọa độ Oxyz cho ba điểm A  1; 2; 2  , B  0;1;3 , C  3; 4;0  . Để tứ giác ABCD là
hình bình hành thì tọa độ điểm D là
A. D  4;5; 1 .
B. D  4;5; 1 .
C. D  4; 5; 1 .
D. D  4; 5;1 .
r
r
r
r
r
r
Câu 24: Cho hai vectơ a và b tạo với nhau góc 600 và a  2; b  4 . Khi đó a  b bằng

A.

8 3  20.

B. 2 7.

C. 2 5.

D. 2 .

Câu 25: Cho điểm M  1; 2; 3 , khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng  Oxy  bằng
A. 2.
B. 3 .
C. 1.
D. 3.
Câu 26: Cho điểm M  2;5;0  , hình chiếu vuông góc của điểm M trên trục Oy là điểm

 2;5;0  .
A. M �

 0; 5;0  .
B. M �

 0;5;0  .
C. M �

 2; 0;0  .
D. M �

 1; 2; 0  .

A. M �

 1;0; 3 .
B. M �

 0; 2; 3 .
C. M �

 1; 2;3 .
D. M �

Câu 27: Cho điểm M  1; 2; 3 , hình chiếu vuông góc của điểm M trên mặt phẳng  Oxy  là điểm
Câu 28: Cho điểm M  2;5;1 , khoảng cách từ điểm M đến trục Ox bằng

A. 29 .
B. 5 .
C. 2.
D. 26 .
Câu 29: Cho hình chóp tam giác S . ABC với I là trọng tâm của đáy ABC . Đẳng thức nào sau đây là đẳng
thứcuu
rđúng
uur uur
uu
r uur uur r
uu
r uur uur r
uu
r uur uur r
A. IA  IB  IC .
B. IA  IB  CI  0.

C. IA  BI  IC  0. D. IA  IB  IC  0.
�

�

�

Câu 30: Trong không gian Oxyz , cho 3 vectơ a   1;1; 0  ; b   1;1;0  ; c   1;1;1 . Trong các mệnh đề sau,
mệnh đề nào sai:
r r
A. b  c.

uu
r
B. a  2.

ur
C. c  3.

r r
D. a  b.


Câu 31: Cho điểm M  3; 2; 1 , điểm đối xứng của M qua mặt phẳng  Oxy  là điểm
 3; 2;1 .
 3; 2; 1 .
 3; 2;1 .
 3; 2;0  .
A. M �
B. M �

C. M �
D. M �

 a; b; c  đối xứng của M qua trục Oy , khi đó a  b  c bằng
Câu 32: Cho điểm M  3; 2; 1 , điểm M �
4.
A. 6.
B.
C. 0.
D. 2.
r
r
r r
Câu 33: Cho u   1;1;1 và v   0;1; m  . Để góc giữa hai vectơ u , v có số đo bằng 450 thì m bằng
A. � 3 .

B. 2 � 3 .
C. 1 � 3 .
D. 3 .
Câu 34: Cho A  1; 2;0  , B  3;3; 2  , C  1; 2; 2  , D  3;3;1 . Thể tích của tứ diện ABCD bằng
A. 5.
B. 4.
C. 3.
D. 6.
Oxyz
ABCD
Câu 35: Trong không gian
cho tứ diện
. Độ dài đường cao vẽ từ D của tứ diện ABCD cho bởi
công thức nào sau đây:

uuur uuur uuur
uuur uuur uuur
�
�
�
AB
,
AC
.
AD
AB, AC �
. AD
1 �
1 �
�
�
.
.
A. h 
uuu
r uuur
B. h 
uuu
r uuur
3 �
3
�
AB
.
AC

AB
.
AC
�
�
uuu
r uuur uuur
uuur uuur uuur
�
�
�
�
AB
. AD
AB
,
AC
.
AD
� , AC �
�
�
.
..
C. h 
D. h 
uuu
r uuur
uuu
r uuur

�
�
AB
.
AC
AB. AC
�
�
Câu 36: Trong không gian tọa độ Oxyz , cho bốn điểm A  1; 2;0  , B  3;3; 2  , C  1; 2; 2  , D  3;3;1 . Độ dài

đường cao của tứ diện ABCD hạ từ đỉnh D xuống mặt phẳng  ABC  là
9
9
9
9
A.
.
B. .
C.
.
D.
.
7 2
7
2
14
Câu 37: Trong không gian Oxyz , cho tứ diện ABCD có A(1;0; 2), B(2;1;3), C (3; 2; 4), D(6;9; 5) . Tìm tọa độ
trọng tâm G của tứ diện ABCD
� 18
�

� 14 �
3;3; �
A. G �9; ; 30 �.
B. G  8;12; 4  .
C. G �
.
D. G  2;3;1 .
� 4
�
� 4�
Câu 38: Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A(1; 2;1), B(2; 1; 2) . Điểm M trên trục Ox và cách đều hai
điểm A, B có tọa độ là
�1 1 3 �
�1
�
�3
�
� 1 3�
0; ; �.
A. M � ; ; �.
B. M � ;0;0 �.
C. M � ;0;0 �.
D. M �
�2 2 2 �
�2
�
�2
�
� 2 2�
Câu 39: Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A(1; 2;1), B(3; 1; 2) . Điểm M trên trục Oz và cách đều hai

điểm A, B có tọa độ là
� 3�
�3 1 3 �
0;0; �.
A. M  0;0; 4  .
B. M  0;0; 4  .
C. M �
D. M � ; ; �.
�2 2 2 �
� 2�
�
Câu 40: Trong không gian Oxyz cho ba điểm A(1; 2;3), B(0;3;1), C (4; 2; 2) . Cosin của góc BAC
là
9
9
9
9
A.
. B.
.
C. 
.
D. 
.
2 35
35
2 35
35
r
r

r
Câu 41: Tọa độ của vecto n vuông góc với hai vecto a  (2; 1; 2), b  (3; 2;1) là
r
r
r
r
A. n   3; 4;1 .
B. n   3; 4; 1 .
C. n   3; 4; 1 .
D. n   3; 4; 1 .
r
r
r r r r r
r
r
r
r
2 r
Câu 42: Cho a  2; b  5, góc giữa hai vectơ a và b bằng
, u  ka  b; v  a  2b. Để u vuông góc với v
3
k
thì bằng
6
45
6
45
.
.
A.  . B.

C.
D.  .
45
6r
45 uu
6
r
r
Câu 43: Cho u   2; 1;1 , v   m;3; 1 , w   1; 2;1 . Với giá trị nào của m thì ba vectơ trên đồng phẳng
3
3
8
8
A. .
B.  .
C. .
D.  .
8
8
3
3


r
r
r r
Câu 44: Cho hai vectơ a   1;log 3 5; m  , b   3;log 5 3; 4  . Với giá trị nào của m thì a  b
A. m  1; m  1 .
B. m  1 .
C. m  1 .

D. m  2; m  2 .
Câu 45: Trong không gian Oxyz cho ba điểm A(2;5;3), B(3;7; 4), C ( x; y;6) . Giá trị của x, y để ba điểm
A, B, C thẳng hàng là
A. x  5; y  11 .
B. x  5; y  11 .
C. x  11; y  5 .
D. x  11; y  5 .
Câu 46: Trong không gian Oxyz cho ba điểm A(1;0;0), B (0;0;1), C (2;1;1) . Tam giác ABC là
A. tam giác vuông tại A .
B. tam giác cân tại A .
C. tam giác vuông cân tại A .
D. Tam giác đều.
Oxyz
Câu 47: Trong không gian
cho tam giác ABC có A(1;0;0), B (0;0;1), C (2;1;1) . Tam giác ABC có diện
tích bằng
1
6
6
A. 6 .
B.
.
C.
.
D. .
2
3
2
Câu 48: Ba đỉnh của một hình bình hành có tọa độ là  1;1;1 ,  2;3; 4  ,  7;7;5  . Diện tích của hình bình hành đó
bằng

83
C. 83 .
D.
.
2
r
r
r
r r r
Câu 49: Cho 3 vecto a   1; 2;1 ; b   1;1; 2  và c   x;3x; x  2  . Tìm x để 3 vectơ a, b, c đồng phẳng
A. 2.
B. 1.
C. 2.
D. 1.
r
r
�
�
Câu 50: Trong không gian Oxyz cho ba vectơ a   3; 2; 4  , b   5;1;6  , c   3;0; 2  . Tìm vectơ x sao cho
r r r
r
vectơ x đồng thời vuông góc với a, b, c
A.  1;0;0  .
B.  0;0;1 .
C.  0;1;0  .
D.  0;0;0  .
A. 2 83 .

B.

83 .

Câu 51: Trong không gian Oxyz , cho 2 điểm B (1; 2; 3) , C (7; 4; 2) . Nếu E là điểm thỏa mãn đẳng thức
uuu
r
uuu
r
CE  2 EB thì tọa độ điểm E là
8�
� 8 8�
� 8 8�
�
� 1�
3; ;  �
.
3; ; �
.
3;3;  �
.
1; 2; �
.
A. �
B. �
C. �
D. �
3�
� 3�
� 3 3�
� 3 3�
�

Câu 52: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho ba điểm A(1; 2; 1) , B (2; 1;3) , C ( 2;3;3) . Điểm
M  a; b; c  là đỉnh thứ tư của hình bình hành ABCM , khi đó P  a 2  b 2  c 2 có giá trị bằng
A. 43. .
B. 44. .
C. 42. .
D. 45.
Câu 53: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho ba điểm A(1; 2; 1) , B (2; 1;3) , C ( 2;3;3) . Tìm tọa độ
điểm D là chân đường phân giác trong góc A của tam giác ABC
A. D(0;1;3) .
B. D(0;3;1) .
C. D(0; 3;1) .
D. D(0;3; 1) .
Câu 54: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho các điểm A(1;3;5) , B(4;3;2) , C(0;2;1) . Tìm tọa độ
điểm I tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
8 5 8
5 8 8
5 8 8
8 8 5
A. I ( ; ; ) .
B. I ( ; ; ) .
C. I ( ; ; ).
D. I ( ; ; ) .
3 3 3
3 3 3
3 3 3
3 3 3
ur
r
r
Câu 55: Trong không gian Oxyz , cho 3 vectơ  a   1;1;0  , b   1;1;0  , c   1;1;1 . Cho hình hộp

uuu
r r uuu
r r uuuu
r r
OABC .O �
A���
B C thỏa mãn điều kiện OA  a, OB  b , OC '  c . Thể tích của hình hộp nói trên bằng:
1
2
A.
B. 4
C.
D. 2
3
3
Câu 56: Trong không gian với hệ trục Oxyz cho tọa độ 4 điểm A  2; 1;1 , B  1;0;0  , C  3;1;0  , D  0;2;1 . Cho
các mệnh đề sau:
1- Độ dài AB  2 .
2- Tam giác BCD vuông tại B .
3- Thể tích của tứ diện ABCD bằng 6 .


Các mệnh đề đúng là:
A. 2).

B. 3).

C. 1); 3).
D. 2), 1)
r

r
r
Câu 57: Trong không gian Oxyz , cho ba vectơ a   1,1, 0  ; b  (1,1, 0); c   1,1,1 . Trong các mệnh đề sau,
mệnh đề nào đúng:
r r
r r r r
6
A. cos b, c 
B. a  b  c  0.
.
3
r r r
rr
A. a, b, c đồng phẳng.
D. a.b  1.

 

Câu 58: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho tứ diện ABCD , biết A(1;0;1) , B (1;1; 2) , C (1;1;0) ,
D(2; 1; 2) . Độ dài đường cao AH của tứ diện ABCD bằng:
2
1
13
3 13
.
.
A.
B.
C.
D.

.
.
13
13
2
13
Câu 59: Cho hình chóp tam giác S . ABC với I là trọng tâm của đáy ABC . Đẳng thức nào sau đây là đẳng
thức đúng
uu
r 1 uur uur uuu
r
uu
r 1 uur uur uuu
r
A. SI  SA  SB  SC .
B. SI  SA  SB  SC .
2
3
uur uur uur uuu
r
uu
r uur uur uuu
r r
C. SI  SA  SB  SC.
D. SI  SA  SB  SC  0.









Câu 60: Trong không gian Oxyz , cho tứ diện ABCD có A(1;0;0), B(0;1;0), C (0;0;1), D( 2;1; 1) . Thể tích của
tứ diện ABCD bằng
3
1
A. .
B. 3 .
C. 1.
D. .
2
2
�  600 , CSA
�  900 . Gọi G là trọng tâm tam
Câu 61: Cho hình chóp S . ABC có SA  SB  a, SC  3a, �
ASB  CSB
giác ABC . Khi đó khoảng cách SG bằng
a 15
a 5
a 7
A.
. B.
.
C.
.
D. a 3 .
3
3

3
Câu 62: Trong không gian tọa độ Oxyz cho ba điểm A  2;5;1 , B  2; 6; 2  , C  1; 2; 1 và điểm M  m; m; m  ,
uuur uuur
để MB  2 AC đạt giá trị nhỏ nhất thì m bằng
A. 2.
B. 3 .
C. 1.
D. 4.
Câu 63: Trong không gian tọa độ Oxyz cho ba điểm A  2;5;1 , B  2; 6; 2  , C  1; 2; 1 và điểm M  m; m; m  ,
để MA2  MB 2  MC 2 đạt giá trị lớn nhất thì m bằng
A. 3.
B. 4.
C. 2.
D. 1.
Câu 64: Cho hình chóp S . ABCD biết A  2;2;6  , B  3;1;8  , C  1;0;7  , D  1; 2;3  . Gọi H là trung điểm của
27
CD, SH   ABCD  . Để khối chóp S . ABCD có thể tích bằng
(đvtt) thì có hai điểm S1 , S 2 thỏa mãn yêu
2
cầu bài toán. Tìm tọa độ trung điểm I của SS
1 2

A. I  0; 1; 3 .
B. I  1; 0;3
C. I  0;1;3 .
D. I  1;0; 3 .
Câu 65: Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A(2; 1;7), B(4;5; 2) . Đường thẳng AB cắt mặt phẳng (Oyz )
tại điểm M . Điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số nào
1
1

2
A. .
B. 2 .
C. .
D. .
2
3
3
Câu 66: Trong không gian Oxyz , cho tứ diện ABCD có A(2;1; 1), B(3;0;1), C(2; 1;3) và D thuộc trục Oy .
Biết VABCD  5 và có hai điểm D1  0; y1 ;0  , D2  0; y2 ;0  thỏa mãn yêu cầu bài toán. Khi đó y1  y2 bằng
A. 0.
B. 1.
C. 2 .
D. 3 .
Câu 67: Trong không gian Oxyz , cho tam giác ABC có A(1; 2; 4), B(3;0; 2), C(1;3;7) . Gọi D là chân
uuur
đường phân giác trong của góc A . Tính độ dài OD .


207
203
201
205
C.
D.
. B.
.
.
3
3

3
3
Câu 68: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho tam giác ABC , biết A(1;1;1) , B (5;1; 2) , C (7;9;1) . Tính
độ dài phân giác trong AD của góc A
2 74
3 74
A.
B.
C. 2 74.
D. 3 74.
.
.
3
2
A.

Câu 69: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho 4 điểm A(2; 4; 1) , B (1; 4; 1) , C (2; 4;3) D(2; 2; 1) . Biết
M  x; y; z  , để MA2  MB 2  MC 2  MD 2 đạt giá trị nhỏ nhất thì x  y  z bằng
A. 7.
B. 8.
C. 9.
D. 6.
Câu 70: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho ba điểm A(2;3;1) , B (1; 2;0) , C (1;1; 2) . H là trực
tâm tam giác ABC , khi đó, độ dài đoạn OH bằng
870
870
870
870
A.
B.

C.
D.
.
.
.
.
12
14
16
15
Câu 71: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho tam giác ABC có A(3;1;0) , B nằm trên mặt phẳng
(Oxy ) và có hoành độ dương, C nằm trên trục Oz và H (2;1;1) là trực tâm của tam giác ABC . Toạ độ các
điểm B , C thỏa mãn yêu cầu bài toán là:
�3  177 17  177 � � 3  177 �
�3  177 17  177 � � 3  177 �
A. B �
;
;0 �
,C �
0;0;
. B. B �
;
;0 �
,C �
0;0;
.
�
�
� 4
2

� �
4
�
� 4
2
� �
4
�
�3  177 17  177 � � 3  177 �
�3  177 17  177 � � 3  177 �
C. B �
;
;0 �
,C �
0;0;
. D. B �
;
;0 �
,C �
0;0;
.
�
�
� 4
2
� �
4
�
� 4
2

� �
4
�
Câu 72: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hình vuông ABCD , B (3;0;8) , D(5; 4;0) . Biết đỉnh A
uuu
r uuu
r
thuộc mặt phẳng ( Oxy ) và có tọa độ là những số nguyên, khi đó CA  CB bằng:
A. 5 10.

B. 6 10.

C. 10 6.

D. 10 5.

Câu 73: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho tam giác ABC , biết A(5;3; 1) , B (2;3; 4) , C (3;1; 2) .
Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC bằng:
A. 9  2 6.
B. 9  3 6.
C. 9  3 6.
D. 9  2 6.
Câu 74: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho ba điểm M  3;0;0  , N  m, n, 0  , P  0;0; p  . Biết
2
2
�
MN  13, MON
 600 , thể tích tứ diện OMNP bằng 3. Giá trị của biểu thức A  m  2n  p bằng
A. 29.
B. 27.

C. 28.
D. 30.
Oxyz
A
(2;3;1)
B
(

1;
2;0)
Câu 75: Trong không gian với hệ trục tọa độ
, cho ba điểm
,
, C (1;1; 2) . Gọi
I  a; b; c  là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC . Tính giá trị biểu thức P  15a  30b  75c
A. 48.
B. 50.
C. 52.
D. 46.
BẢNG ĐÁP ÁN
1.A
11.B
21.B
31.C
41.B
51.A
61.A
71.A

2.B

12.D
22.A
32.C
42.D
52.B
62.A
72.B

3.A
13.A
23.A
33.B
43.D
53.A
63.B
73.B

4.C
14.C
24.B
34.C
44.C
54.C
64.C
74.A

5.A
15.C
25.D
35.D

45.A
55.D
65.A
75.B

6.D
16.A
26.C
36.A
46.A
56.A
66.B

II –HƯỚNG DẪN GIẢI

7.A
17.A
27.A
37.D
47.C
57.A
67.D

8.C
18.D
28.D
38.C
48.A
58.B
68.A

9.A
19.A
29.D
39.A
49.A
59.B
69.A

10.A
20.B
30.A
40.A
50.D
60.D
70.D


r
r
r
r
r
 là góc giữa hai vectơ a và b , với a và b khác 0 , khi đó cos  bằng
rr
rr
rr
r r
a.b
a.b

a.b
ab
A. r r .
B. r r .
C. r r .
D. r r .
a.b
a.b
a.b
a.b
r
r
Câu 2: Gọi  là góc giữa hai vectơ a   1; 2;0  và b   2;0; 1 , khi đó cos  bằng
2
2
2
A. 0.
B. .
C.
.
D.  .
5
5
5
r
r
r
Câu 3: Cho vectơ a   1;3; 4  , tìm vectơ b cùng phương với vectơ a
r
r

r
A. b   2; 6; 8  .
B. b   2; 6;8  .
C. b   2;6;8  .
r
r
Câu 4: Tích vô hướng của hai vectơ a   2; 2;5  , b   0;1; 2  trong không gian bằng
Câu 1: Gọi

A. 10.

B. 13.

Câu 5: Trong không gian cho hai điểm

6.

C. 12.

D.

r
b   2; 6; 8  .

D. 14.

A  1; 2;3  , B  0;1;1 , độ dài đoạn AB bằng

C. 10.
D. 12.

rr r
uuuu
r
Câu 6: Trong không gian Oxyz , gọi i, j , k là các vectơ đơn vị, khi đó với M  x; y; z  thì OM bằng
r r r
r r r
r r r
r r r
A.  xi  y j  zk .
B. xi  y j  zk .
C. x j  yi  zk .
D. xi  y j  zk .
r
r
r r , được xác định bằng tọa độ
Câu 7: Tích có hướng của hai vectơ a  ( a1 ; a2 ; a3 ) , b  (b1 ; b2 ; b3 ) là một vectơ, kí hiệu �
a, b �
�
�
A.

8.

B.

B.  a2b3  a3b2 ; a3b1  a1b3 ; a1b2  a2 b1  .
 a2b3  a3b2 ; a3b1  a1b3 ; a1b2  a2b1  .
C.  a2b3  a3b2 ; a3b1  a1b3 ; a1b2  a2b1  .
D.  a2b2  a3b3 ; a3b3  a1b1 ; a1b1  a2b2  .
r

r
rr
Câu 8: Cho các vectơ u   u1 ; u2 ; u3  và v   v1 ; v2 ; v3  , u.v  0 khi và chỉ khi
A.

u1v1  u2 v2  u3v3  1 .
C. u1v1  u2 v2  u3v3  0 .
r
r
Câu 9: Cho vectơ a   1; 1; 2  , độ dài vectơ a là

u1  v1  u2  v2  u3  v3  0 .
D. u1v2  u2 v3  u3 v1  1 .

A.

B.

D. 4.
 6.
Câu 10: Trong không gian Oxyz , cho điểm M nằm trên trục Ox sao cho M không trùng với gốc tọa độ, khi đó tọa độ điểm M

6.

A.

B. 2.

C.

có dạng
A.

M  a;0;0  , a �0 .

B.

M  0; b;0  , b �0 .

C.

M  0;0; c  , c �0 .

D.

M  a;1;1 , a �0 .

Oxyz , cho điểm M nằm trên mặt phẳng  Oxy  sao cho M không trùng với gốc tọa độ và không nằm
trên hai trục Ox, Oy , khi đó tọa độ điểm M là ( a, b, c �0 )
A.  0; b; a  . B.  a; b;0  .
C.  0;0; c  .
D.  a;1;1
r
r
r
r
Câu 12: Trong không gian Oxyz , cho a   0;3; 4  và b  2 a , khi đó tọa độ vectơ b có thể là
Câu 11: Trong không gian

D.  8;0; 6  .

r
r
r
r
u, v�
Câu 13: Trong không gian Oxyz cho hai vectơ u và v , khi đó �
�
�bằng
r r
r r
r r
r r
rr
r r
rr
r r
A. u . v .sin u , v .
B. u . v .cos u , v .
C. u.v.cos u , v .
D. u.v.sin u, v .
r
r
r
ur r r r
Câu 14: Trong không gian Oxyz cho ba vectơ a   1; 1; 2  , b   3;0; 1 , c   2;5;1 , vectơ m  a  b  c có tọa độ là
A.

 0;3; 4  .

B.

 4;0;3 .

C.

 

 

 

 

D.  0;6; 6  .
 6; 6;0  .
Câu 15: Trong không gian Oxyz cho ba điểm A  1;0; 3  , B  2; 4; 1 , C  2; 2;0  . Độ dài các cạnh
A.

 6;0; 6  . B.  6;6;0  .

 2;0;1 .

giác

ABC lần lượt là
21, 13, 37 .

C.

AB, AC , BC của tam

C. 21, 14, 37 .
D. 21, 13, 35 .
11, 14, 37 .
Câu 16: Trong không gian Oxyz cho ba điểm A  1;0; 3  , B  2; 4; 1 , C  2; 2;0  . Tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC
A.

B.

là
A.

�5 2 4 �
� ; ;  �.
�3 3 3 �

B.

�5 2 4 �
� ; ; �.
�3 3 3 �

C.

 5; 2; 4  .

D.

�5
�

� ;1; 2 �.
�2
�


Câu 17: Trong không gian

Oxyz cho ba điểm A  1; 2;0  , B  1;1;3 , C  0; 2;5  . Để 4 điểm A, B, C , D đồng phẳng thì tọa

D là
A. D  2;5;0  .
độ điểm

B.

D  1; 2;3 .

C.

D  1; 1;6  .

D.

D  0; 0; 2  .

Hướng dẫn giải

uuu
r uuur uuur
�

AB
. AD  0
Cách 1:Tính �
� , AC �
Cách 2: Lập phương trình (ABC) và thế toạ độ D vào phương trình tìm được.
Câu 18: Trong không gian

r r r r r
n r a  b  2c  3i

r
r
r
Oxyz , cho ba vecto a  (1; 2;3),b  (2; 0;1), c  (1;0;1) . Tìm

tọa độ của vectơ

r
r
r
n   6; 2; 6  .
C. n   0; 2;6  .
D. n   6; 2;6  .
Câu 19: Trong không gian Oxyz , cho tam giác ABC có A(1;0; 2), B ( 2;1;3), C (3; 2; 4) . Tìm tọa độ trọng tâm G của tam
giác ABC
�2
�
�1 �
2; ;3 �.
A. G � ;1;3 �

.
B. G  2;3;9  .
C. G  6;0; 24  .
D. G �
� 3 �
�3
�
Câu 20: Cho 3 điểm M  2;0;0  , N  0; 3;0  , P  0;0;4  . Nếu MNPQ là hình bình hành thì tọa độ của điểm Q là
A.

n   6; 2;6  .

B.

A.

Q  2; 3; 4 

B.

Q  2;3; 4 

C.

Q  3; 4; 2 

D.

Q  2; 3; 4 

Hướng dẫn giải

�x2
uuuu
r uuu
r
�
Gọi Q ( x; y; z ) , MNPQ là hình bình hành thì MN  QP � � y  3
�z  4  0
�
Câu 21: Trong không gian tọa độ
thì tọa độ điểm
A.

Oxyz cho ba điểm M  1;1;1 , N  2;3; 4  , P  7;7;5  . Để tứ giác MNPQ là hình bình hành

Q là

Q  6;5; 2  .

B.

Q  6;5; 2  .

C.

Q  6; 5; 2  .

D.

Q  6; 5; 2  .

Hướng dẫn giải

Q  x; y; z 
uuuu
r
uuu
r
MN   1; 2;3 , QP   7  x;7  y;5  z 
uuuu
r uuu
r
Vì MNPQ là hình bình hành nên MN  QP � Q  6;5; 2 

Điểm

A  1;2;0  , B  1;0; 1 , C  0; 1;2  . Tam giác ABC là
A. tam giác có ba góc nhọn.
B. tam giác cân đỉnh A .
C. tam giác vuông đỉnh A .
D. tam giác đều.
Hướng dẫn giải
uuu
r
uuur
uuu
r uuur
AB  (0; 2; 1); AC  ( 1; 3;2) . Ta thấy AB. AC �0 � ABC không vuông.
Câu 22: Cho 3 điểm

uuu
r uuur
AB �AC � ABC không cân.
Câu 23: Trong không gian tọa độ Oxyz cho ba điểm
thì tọa độ điểm D là
A.

D  4;5; 1 .

B.

A  1; 2; 2  , B  0;1;3 , C  3; 4;0  . Để tứ giác ABCD là hình bình hành

D  4;5; 1 .

C.

D  4; 5; 1 .

D.

D  4; 5;1 .

D.

2.

Hướng dẫn giải

D  x; y ; z 
uuu
r
uuur
AB   1; 1;1 , DC   3  x; 4  y;  z 
uuur uuur
Vì ABCD là hình bình hành nên AB  DC � D  4;5; 1
r
r
r r
r
r
Câu 24: Cho hai vectơ a và b tạo với nhau góc 600 và a  2; b  4 . Khi đó a  b bằng
Điểm

A.

8 3  20.

B.

2 7.

C.

2 5.

Hướng dẫn giải

r r2 r2 r2

r r
r r
r r
Ta có a  b  a  b  2 a b .cos a, b  4  16  8  28 � a  b  2 7.

 


M  1; 2; 3  , khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng  Oxy  bằng
B. 3 .
C. 1.
D. 3.

Câu 25: Cho điểm
A. 2.

Hướng dẫn giải

M  a; b; c  � d  M ,  Oxy    c

Với

M  2;5;0  , hình chiếu vuông góc của điểm M trên trục Oy là điểm
A. M �
B. M �
C. M �
 2;5;0  .
 0; 5; 0  .
 0;5;0  .
Câu 26: Cho điểm

D.

M�
 2;0;0  .

Hướng dẫn giải

M  a; b; c  � hình chiếu vuông góc của M lên trục Oy là M 1  0; b;0 

Với

M  1; 2; 3  , hình chiếu vuông góc của điểm M trên mặt phẳng  Oxy  là điểm
A. M �
B. M �
C. M �
D. M �
 1; 2;0  .
 1;0; 3 .
 0; 2; 3 .
 1; 2;3 .
Câu 27: Cho điểm

Hướng dẫn giải

M  a; b; c  � hình chiếu vuông góc của M lên mặt phẳng  Oxy  là M 1  a; b;0 

Với

Câu 28: Cho điểm

29 .

A.

M  2;5;1 , khoảng cách từ điểm M đến trục Ox bằng
5.

B.

C. 2.

26 .

D.
Hướng dẫn giải

M  a; b; c  � d  M , Ox   b 2  c 2
Câu 29: Cho hình chóp tam giác S . ABC với I là trọng tâm của đáy ABC . Đẳng thức nào sau đây là đẳng thức đúng
uu
r uur uur
uu
r uur uur r
uu
r uur uur r
uu
r uur uur r
A. IA  IB  IC .
B. IA  IB  CI  0.
C. IA  BI  IC  0. D. IA  IB  IC  0.

Với

Câu 30: Trong không gian

�

�

�

Oxyz , cho 3 vectơ a   1;1;0  ; b   1;1;0  ; c   1;1;1 . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào

sai:
r
A.

r
b  c.

B.

uu
r
a  2.

C.

ur
c  3.

D.

r r
a  b.

D.

M�
 3; 2;0  .

Hướng dẫn giải

rr
Vì b.c  2 �0.

M  3; 2; 1 , điểm đối xứng của M qua mặt phẳng  Oxy  là điểm
A. M �
B. M �
C. M �
 3; 2;1 .
 3; 2; 1 .
 3; 2;1 .
Câu 31: Cho điểm

Hướng dẫn giải

M  a; b; c  � điểm đối xứng của M qua mặt phẳng  Oxy  là M  a; b; c 
Câu 32: Cho điểm M  3; 2; 1 , điểm M �
 a; b; c  đối xứng của M qua trục Oy , khi đó a  b  c bằng
A. 6.

B. 4.
C. 0.
D. 2.
Với

Hướng dẫn giải

M  a; b; c  � điểm đối xứng của M qua trục Oy là M �
 a; b; c 
� M�
 3; 2;1 � a  b  c  0.
r
r
r r
Câu 33: Cho u   1;1;1 và v   0;1; m  . Để góc giữa hai vectơ u , v có số đo bằng 450 thì m bằng
Với

A.

�3.

cos  

B.

2� 3 .

1.0  1.1  1.m
3. m 2  1



C.

1� 3 .

D.
Hướng dẫn giải

3.

m �1
�
1
�
� 2  m  1  3 m 2  1 � � 2
2
3  m  1  2  m  1
2
�
� m  2� 3

Câu 34: Cho
A. 5.
Tính

A  1; 2;0  , B  3;3; 2  , C  1; 2; 2  , D  3;3;1 . Thể tích của tứ diện ABCD bằng
B. 4.

C. 3.

uuu
r
uuur
uuur
AB   2;5; 2  , AC   2; 4; 2  , AD   2;5;1

D. 6.
Hướng dẫn giải


1 uuur uuur uuur
�
AB, AC �
. AD  3
�
6�
Sử dụng Casio
uuur
w 8 1 1 (nhập vectơ AB )
uuur
q 5 2 2 2 (nhập vectơ AC )
uuur
q 5 2 3 1 (nhập vectơ AD )
V

C1a6qc(abs) q53q54q57q55= (tính V )
Câu 35: Trong không gian Oxyz cho tứ diện ABCD . Độ dài đường cao vẽ từ
đây:

uuu
r uuur uuur
�
AB
. AD
1 � , AC �
�
A.
h
.
uuu
r uuur
3 �
�
AB
.
AC
�
�
uuur uuur uuur
�
AB, AC �
. AD
�
�
C.
h
..
uuu
r uuur

AB. AC

D của tứ diện ABCD cho bởi công thức nào sau

uuur uuur uuur
�
AB, AC �
. AD
1 �
�
B.
h
.
uuu
r uuur
3
AB. AC
uuur uuur uuur
�
AB, AC �
. AD
�
�
D.
h
.
uuu
r uuur
�
�

AB
.
AC
�
�

Hướng dẫn giải

Vì

VABCD

uuur uuur uuur
�
AB, AC �
. AD
r uuur uuur
1 1 uuur uuur
1 uuu
�
�
� �
�
.
 h. �
AB
.
AC
AB
,

AC
.
AD
nên h 
u
u
u
r
u
u
u
r
� 6�
�
3 2�
�
�
AB
.
AC
�
�

Câu 36: Trong không gian tọa độ Oxyz , cho bốn điểm

A  1; 2;0  , B  3;3; 2  , C  1; 2; 2  , D  3;3;1 . Độ dài đường cao của tứ

ABCD hạ từ đỉnh D xuống mặt phẳng  ABC  là
9
9

9
A.
.
B. .
C.
.
7
7 2
2
diện

D.

9
.
14

Hướng dẫn giải
uuu
r
uuur
uuur
Tính AB  2;5; 2  , AC  2; 4; 2  , AD  2;5;1
1 uuur uuur uuur
V �
AB, AC �
. AD  3
�
6�
r uuur

1
1 uuu
h  d  D,  ABC  
V  B.h , với B  SABC  �
AB
, AC �
� 7 2 ,
3
2�
3V
3.3
9
�h


B 7 2 7 2
Câu 37: Trong không gian Oxyz , cho tứ diện ABCD có A(1;0; 2), B( 2;1;3), C (3; 2; 4), D(6;9; 5) . Tìm tọa độ trọng tâm G
của tứ diện ABCD
� 18
�
� 14 �
9; ; 30 �.
3;3; �
A. G �
B. G  8;12; 4  .
C. G �
.
D. G  2;3;1 .
� 4
�

� 4�
Câu 38: Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A(1;2;1), B (2; 1; 2) . Điểm M trên trục Ox và cách đều hai điểm A, B có tọa
độ là
A.

�1 1 3 �
M � ; ; �.
�2 2 2 �

M �Ox � M  a;0;0 

B.

�1
�
M � ;0;0 �.
�2
�

C.

�3
�
M � ;0;0 �.
�2
�

D.

� 1 3�

M�
0; ; �.
� 2 2�

Hướng dẫn giải

M cách đều hai điểm A, B nên MA2  MB 2 �  1  a   22  12   2  a   22  12
3
� 2a  3 � a 
2
Câu 39: Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A(1;2;1), B (3; 1; 2) . Điểm M trên trục Oz và cách đều hai điểm A, B có tọa
2

độ là

2


� 3�
�3 1 3 �
M�
0;0; �.
D. M � ; ; �
.
�2 2 2 �
� 2�
�
Câu 40: Trong không gian Oxyz cho ba điểm A(1; 2;3), B(0;3;1), C (4; 2; 2) . Cosin của góc BAC
là
9

9
9
9
A.
.
B.
.
C. 
.
D. 
.
2 35
35
2 35
35
r
r
r
Câu 41: Tọa độ của vecto n vuông góc với hai vecto a  (2; 1; 2), b  (3; 2;1) là
r
r
r
r
A. n   3; 4;1 .
B. n   3; 4; 1 .
C. n   3; 4; 1 .
D. n   3; 4; 1 .
r
r
r r r r r

r
r
r
r
2 r
Câu 42: Cho a  2; b  5, góc giữa hai vectơ a và b bằng
, u  k a  b; v  a  2b. Để u vuông góc với v thì k bằng
3
6
45
6
45
. B.
.
.
.
A. 
C.
D. 
45
6
45
6
A.

M  0;0; 4  .

B.

rr

r r
u.v  ka  b

M  0;0; 4  .

C.

Hướng dẫn giải

r r
r r
2
a  2b  4k  50   2k  1 a b cos
3
 6k  45
r
r
uu
r
Câu 43: Cho u   2; 1;1 , v   m;3; 1 , w   1; 2;1 . Với giá trị nào của m thì ba vectơ trên đồng phẳng



A.

3
.
8

B.



3
 .
8



C.

8
.
3

D.

8
 .
3

Hướng dẫn giải

r r
r r uu
r
�  2; m  2; m  6  , �
�
u
,

v
u
,
v
.w
Ta có: �
� �
� �  3m  8
r r uu
r
r r uu
r
8
�
u
,
v
.w

0
�
m


u , v, w đồng phẳng � �
� �
3
r
r
r r

Câu 44: Cho hai vectơ a   1;log 3 5; m  , b   3;log 5 3; 4  . Với giá trị nào của m thì a  b
A. m  1; m  1 .
B. m  1 .
C. m  1 .
D. m  2; m  2 .
Câu 45: Trong không gian Oxyz cho ba điểm A(2;5;3), B(3;7; 4), C ( x; y;6) . Giá trị của x, y để ba điểm A, B , C thẳng hàng
là
A.

x  5; y  11 .

B.

x  5; y  11 .

C. x  11; y
Hướng dẫn giải

 5 .

D.

x  11; y  5 .

uuu
r
uuur
AB   1; 2;1 , AC   x  2; y  5;3
uuur uuur
x2 y 5 3

A, B, C thẳng hàng � AB, AC cùng phương �

 � x  5; y  11
1
2
1
Câu 46: Trong không gian Oxyz cho ba điểm A(1;0;0), B(0;0;1), C (2;1;1) . Tam giác ABC là
A. tam giác vuông tại A .
B. tam giác cân tại A .
C. tam giác vuông cân tại A .
D. Tam giác đều.
Hướng dẫn giải
uuu
r
uuu
r
uuu
r
BA   1;0; 1 , CA   1; 1; 1 , CB   2; 1;0 
uuu
r uuu
r
BA.CA  0 � tam giác vuông tại A , AB �AC .
Câu 47: Trong không gian Oxyz cho tam giác ABC có A(1;0;0), B (0;0;1), C (2;1;1) . Tam giác ABC có diện tích bằng
1
6
6
A. 6 .
B.
.

C.
.
D. .
2
3
2
Hướng dẫn giải

uuu
r
uuur
r uuur
1 uuu
6
AB   1;0;1 , AC   1;1;1 . S ABC  �
�
AB
.
AC
� 2
2�
Câu 48: Ba đỉnh của một hình bình hành có tọa độ là  1;1;1 ,  2;3; 4  ,  7;7;5  . Diện tích của hình bình hành đó bằng
A.

2 83 .

B.

83 .

C.

83 .

D.
Hướng dẫn giải

Gọi 3 đỉnh theo thứ tự là

A, B, C

83
.
2


uuu
r
uuur
AB   1; 2;3 , AC   6;6; 4 
uuu
r uuur
�  10  2  142   6  2  2 83
S hbh  �
AB
,
AC
�
�
r

r
r
r r r
Câu 49: Cho 3 vecto a   1; 2;1 ; b   1;1; 2  và c   x;3x; x  2  . Tìm x để 3 vectơ a, b, c đồng phẳng
A. 2.
B. 1.
C. 2.
D. 1.
Hướng dẫn giải

u
ruur r
r r r
�
a
.c  0 � x  2.
a, b, c đồng phẳng thì �
�, b �
r
r
r
�
�
Câu 50: Trong không gian Oxyz cho ba vectơ a   3; 2; 4  , b   5;1;6  , c   3;0; 2  . Tìm vectơ x sao cho vectơ x
r r r
đồng thời vuông góc với a, b, c
A.  1;0;0  .
B.  0;0;1 .
C.  0;1;0  .
D.  0;0;0  .

Hướng dẫn giải

r
rr rr rr
Dễ thấy chỉ có x  (0;0;0) thỏa mãn x.a  x.b  x.c  0.
Câu 51: Trong không gian Oxyz , cho 2 điểm
độ điểm E là
A.

� 8 8�
3; ;  �
.
�
� 3 3�

B.

uuu
r
uuu
r
B (1; 2; 3) , C (7; 4; 2) . Nếu E là điểm thỏa mãn đẳng thức CE  2 EB thì tọa

� 8 8�
3; ; �
.
�
� 3 3�

C.

8�
�
3;3;  �
.
�
3�
�

D.

� 1�
1; 2; �
.
�
� 3�

Hướng dẫn giải

�
�x  3
uuu
r
uuu
r �
� 8
E ( x; y; z ) , từ CE  2 EB � �y  .
� 3
8
�

z
�
3
�
Câu 52: Trong không gian với hệ trục tọa độ
đỉnh thứ tư của hình bình hành
A. 43. .

Oxyz , cho ba điểm A(1; 2; 1) , B (2; 1;3) , C ( 2;3;3) . Điểm M  a; b; c  là

ABCM , khi đó P  a 2  b2  c 2 có giá trị bằng
B. 44. .
C. 42. .

D. 45.

Hướng dẫn giải

M ( x; y; z ) , ABCM là hình bình hành thì
�x  1  2  2
uuuu
r uuur �
AM  BC � �y  2  3  1 � M ( 3;6; 1) � P  44. .
�z  1  3  3
�
Câu 53: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho ba điểm
chân đường phân giác trong góc A của tam giác ABC
A. D (0;1;3) .
B. D (0;3;1) .

A(1; 2; 1) , B (2; 1;3) , C ( 2;3;3) . Tìm tọa độ điểm D là
C.

D(0; 3;1) .

D.

D(0;3; 1) .

Hướng dẫn giải
Ta có

AB  26, AC  26 � tam giác ABC cân ở A nên D là trung điểm BC � D(0;1;3).

Câu 54: Trong không gian với hệ toạ độ
đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
A.

8 5 8
I( ; ; ) .
3 3 3

Oxyz , cho các điểm A(1;3;5) , B(4;3;2) , C(0;2;1) . Tìm tọa độ điểm I tâm
B.

5 8 8
I( ; ; ) .
3 3 3

C.

Hướng dẫn giải

5 8 8
I ( ; ; ).
3 3 3

D.

8 8 5
I( ; ; ) .
3 3 3


AB  BC  CA  3 2  ABC đều. Do đó tâm I của đường tròn ngoại tiếp ABC là trọng tâm của nó. Kết luận:
� 5 8 8�
I�
 ; ; �.
� 3 3 3�
ur
r
r
Câu 55: Trong không gian Oxyz , cho 3 vectơ  a   1;1;0  , b   1;1;0  , c   1;1;1 . Cho hình hộp OABC.O �
A���
B C thỏa mãn
uuu
r r uuu
r r uuuu
r r
điều kiện OA  a , OB  b , OC '  c . Thể tích của hình hộp nói trên bằng:

1
2
A.
B. 4
C.
D. 2
3
3
Ta có:

Hướng dẫn giải
uuu
r r
uuu
r r
uuuu
r r
OA  a , � A(1;1;0), OB  b � B(1;1;0), OC '  c � C '(1;1;1)
uuu
r uuu
r uuuur
uuur uuur
uuuu
r
uuuu
r
�
OA
,
OB

OO '
AB  OC � C (2;0;0) � CC '  ( 1;1;1)  OO ' � VOABC .O ' A ' B ' C '  �
�
�
Câu 56: Trong không gian với hệ trục Oxyz cho tọa độ 4 điểm A  2; 1;1 , B  1;0;0  , C  3;1;0  , D  0;2;1 . Cho các mệnh đề
sau:
Câu 57: Độ dài AB  2 .
Câu 58: Tam giác BCD vuông tại B .
Câu 59: Thể tích của tứ diện ABCD bằng 6 .
Các mệnh đề đúng là:
A. 2).
B. 3).
Câu 60: Trong không gian Oxyz , cho ba vectơ

C. 1); 3).

D. 2), 1)

r
r
r
a   1,1, 0  ; b  (1,1, 0); c   1,1,1 . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào

đúng:

r r
6
cos b, c 
.
3

r r r
A. a, b, c đồng phẳng.
A.

 

r r r r
a  b  c  0.

D.

rr
a.b  1.

Hướng dẫn giải

rr
r r
b.c
cos(b, c)  r r
b.c

Câu 61: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho tứ diện
dài đường cao AH của tứ diện ABCD bằng:
A.

B.

2
.

13

B.

ABCD , biết A(1;0;1) , B (1;1; 2) , C (1;1;0) , D(2; 1; 2) . Độ

1
.
13

13
.
2

C.

D.

3 13
.
13

Hướng dẫn giải

uuu
r uuur uuur
�
�
AB
. AD

1
� , AC �
Sử dụng công thức h 

.
uuu
r uuur
13
AB. AC
Câu 62: Cho hình chóp tam giác S . ABC với

uu
r 1 uur uur uuu
r
SA  SB  SC .
A. SI 
2
uur uur uur uuu
r
C. SI  SA  SB  SC.





I là trọng tâm của đáy ABC . Đẳng thức nào sau đây là đẳng thức đúng
uu
r 1 uur uur uuu
r
SA  SB  SC .

B. SI 
3
uu
r uur uur uuu
r r
D. SI  SA  SB  SC  0.





Hướng dẫn giải

uu
r uur uur
SI  SA  AI �
uu
r uur uur �
r uur uur uur uur uur uur
� uu
SI  SB  BI �� 3SI  SA  SB  SB  AI  BI  CI
uu
r uuu
r uur �
SI  SC  CI �





uur uur uur r uu
r 1 uur uur uuu
r
ABC � AI  BI  CI  0 � SI  SA  SB  SC .
3
Câu 63: Trong không gian Oxyz , cho tứ diện ABCD có A(1;0;0), B (0;1;0), C (0;0;1), D( 2;1; 1) . Thể tích của tứ diện
ABCD bằng
3
1
A. .
B. 3 .
C. 1 .
D. .
2
2



Vì I là trọng tâm tam giác



Hướng dẫn giải

1 uuur uuur uuur
 AB,  AC �
. AD
Thể tích tứ diện: VABCD  �
�

6�
�  600 , CSA
�  900 . Gọi G là trọng tâm tam giác
Câu 64: Cho hình chóp S . ABC có SA  SB  a, SC  3a, �
ASB  CSB
ABC . Khi đó khoảng cách SG bằng
a 15
a 5
a 7
A.
.
B.
.
C.
.
D. a 3 .
3
3
3
Hướng dẫn giải
Áp dụng công thức tổng quát: Cho hình chóp

S . ABC

có

�   , CSA
�   . Gọi G
SA  a, SB  b, SC  c và có �
ASB   , BSC

là trọng tâm tam giác ABC, khi đó

SG 

1 2
a  b 2  c 2  2ab cos   2ac cos   2bc 
3

Chứng minh:

uuu
r 1 uur uur uuu
r
SG  SA  SB  SC
3
uur uur uuu
r 2 uur 2 uur 2 uuu
r2
uur uur uur uuu
r uur uuu
r
SA  SB  SC  SA  SB  SC  2SA.SB  2SA.SC  2SB.SC

Ta có:









1 2
a  b 2  c 2  2ab cos   2ac cos   2bc 
3
a 15
Áp dụng công thức trên ta tính được SG 
3
Câu 65: Trong không gian tọa độ Oxyz cho ba điểm A  2;5;1 , B  2; 6; 2  , C  1; 2; 1 và điểm M  m; m; m  , để
uuur uuur
MB  2 AC đạt giá trị nhỏ nhất thì m bằng
Khi đó

A. 2.

SG 

B. 3 .

C. 1.

D. 4.
Hướng dẫn giải

uuur
uuur
AC  1; 3; 2  , MB  2  m;  6  m; 2  m 
uuur uuur

2
2
MB  2 AC  m2  m2   m  6   3m 2  12m  36  3  m  2   24
uuur uuur
Để MB  2 AC nhỏ nhất thì m  2
Câu 66: Trong không gian tọa độ Oxyz cho ba điểm

A  2;5;1 , B  2; 6; 2  , C  1; 2; 1 và điểm M  m; m; m  , để

MA2  MB 2  MC 2 đạt giá trị lớn nhất thì m bằng

A. 3.

B. 4.

C. 2.

D. 1.
Hướng dẫn giải

uuur
uuur
uuuu
r
MA   2  m;5  m;1  m  , MB   2  m; 6  m; 2  m  , MC   1  m; 2  m; 1  m 
MA2  MB 2  MC 2  3m 2  24m  20  28  3  m  4  �28
2

MA2  MB 2  MC 2 đạt giá trị lớn nhất thì m  4
Câu 67: Cho hình chóp S . ABCD biết A  2; 2;6  , B  3;1;8  , C  1;0;7  , D  1; 2;3  . Gọi H là trung điểm của CD,

27
SH   ABCD  . Để khối chóp S . ABCD có thể tích bằng
(đvtt) thì có hai điểm S1 , S 2 thỏa mãn yêu cầu bài toán. Tìm tọa
2
độ trung điểm I của SS
1 2
Để

A.

I  0; 1; 3 .

B.

I  1; 0;3

C. I  0;1;3  .

Hướng dẫn giải

D.

I  1;0; 3 .


uuu
r
uuur
r uuur
1 uuu

3 3
AB   1; 1; 2  , AC   1; 2;1 � S ABC  �
AB
, AC �

�
�
2
2
uuur
uuu
r
uuur
uuu
r
9 3
DC   2; 2; 4  , AB   1; 1; 2  � DC  2. AB � ABCD là hình thang và S ABCD  3S ABC 
2
1
Vì VS . ABCD  SH .S ABCD � SH  3 3
3
Lại có H là trung điểm của CD � H  0;1;5 
uuur
uuur
uuu
r uuur
�
AB
Gọi S  a; b; c  � SH   a;1  b;5  c  � SH  k �
� , AC � k  3;3;3    3k ;3k ;3k 

Ta có

3 3  9k 2  9k 2  9k 2 � k  �1
uuur
+) Với k  1 � SH   3;3;3 � S  3; 2; 2 
uuur
+) Với k  1 � SH   3; 3; 3  � S  3; 4;8 
Suy ra

Suy ra

I  0;1;3

Câu 68: Trong không gian Oxyz , cho hai điểm
Điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số nào
A.

1
.
2

B.

2.

C.

A(2; 1;7), B(4;5; 2) . Đường thẳng AB cắt mặt phẳng (Oyz ) tại điểm M .

1

.
3

D.

2
.
3

Hướng dẫn giải

Đường thẳng AB cắt mặt phẳng (Oyz ) tại điểm M � M (0; y; z )
uuur
uuur
� MA  (2; 1  y;7  z ), MB  (4;5  y; 2  z )

�
2  k.4
�
uuur
uuur
1
1  y  k  5  y  � k 
Từ MA  k MB ta có hệ �
2
�
7

z


k

2

z


�

Oxyz , cho tứ diện ABCD có A(2;1; 1), B(3;0;1), C(2; 1;3) và D thuộc trục Oy . Biết
VABCD  5 và có hai điểm D1  0; y1 ;0  , D2  0; y2 ;0  thỏa mãn yêu cầu bài toán. Khi đó y1  y2 bằng
A. 0.
B. 1 .
C. 2 .
D. 3 .
Câu 69: Trong không gian

Hướng dẫn giải

D �Oy � D (0; y;0)
uuu
r
uuur
uuur
Ta có: AB   1; 1; 2  , AD   2; y  1;1 , AC   0; 2; 4 
uuur uuur
uuur uuur uuur
1
�  0; 4; 2  � �
�

��
AB
.
AC
AB
.
AC
.
AD


4
y

2
V

5
�
4 y  2  5 � y  7; y  8
ABCD
�
�
�
�
6
� D1  0; 7;0  , D2  0;8;0  � y1  y2  1
Câu 70: Trong không gian Oxyz , cho tam giác ABC có A(1; 2;4), B(3;0; 2),C(1;3;7) . Gọi D là chân đường phân giác
uuur
trong của góc A . Tính độ dài OD .

A.

Gọi

207
.
3

B.

203
3

D  x; y; z 

C.

201
.
3

D.

205
.
3

Hướng dẫn giải

DB AB 2 14



2
DC AC
14
� 5
�
3  x  2  1  x 
�x  3
uuur
uuur
�
�
 y  2  3  y 
� �y  2
Vì D nằm giữa B, C (phân giác trong) nên DB  2 DC � �
�
�z  4
�2  z  2  7  z 
�
�


Suy ra

205
�5
� uuur
D � ; 2; 4 �� OD 
3

�3
�

Câu 71: Trong không gian với hệ toạ độ
trong AD của góc A

2 74
.
3

A.

Oxyz , cho tam giác ABC , biết A(1;1;1) , B (5;1; 2) , C (7;9;1) . Tính độ dài phân giác
3 74
.
2

B.

C.

2 74.

D.

3 74.

Hướng dẫn giải

D( x; y; z ) là chân đường phân giác trong góc A của tam giác ABC .

Ta có

uuur
uuur
DB AB 1
17 11
2 74

 � DC  2 DB � D( ; ; 1) � AD 
.
DC AC 2
3 3
3

Oxyz , cho 4 điểm A(2; 4; 1) , B (1; 4; 1) , C (2; 4;3) D(2; 2; 1) . Biết M  x; y; z  ,
để MA2  MB 2  MC 2  MD 2 đạt giá trị nhỏ nhất thì x  y  z bằng
Câu 72: Trong không gian với hệ toạ độ
A.

B.

7.

C.

8.

9.

D.

6.

Hướng dẫn giải
Gọi

�7 14 �
G là trọng tâm của ABCD ta có: G � ; ;0 �.
�3 3 �

Ta có:


MA2  MB 2  MC 2  MD 2  4MG 2  GA2  GB 2  GC 2  GD 2

�7 14 �
GA2  GB 2  GC 2  GD 2 . Dấu bằng xảy ra khi M �G � ; ;0 �� x  y  z  7 .
�3 3 �

Câu 73: Trong không gian với hệ trục tọa độ
ABC , khi đó, độ dài đoạn OH bằng
A.

870
.
12

Oxyz , cho ba điểm A(2;3;1) , B (1; 2;0) , C (1;1; 2) . H là trực tâm tam giác

B.

870
.
14

C.

870
.
16

D.

870
.
15

Hướng dẫn giải

H ( x; y; z ) là trực tâm của ABC  BH  AC , CH  AB, H �( ABC )
uuur uuur
�BH . AC  0
r
�
29
1
�uuur uuu
� 2
2 29 1 �
870

��
CH . AB  0
� �x  ; y  ; z    H �
.
; ;  �� OH 
�
15
3
r uuur uuur
� 15
15 15 3 �
15
�
�uuu
�
�
AB, AC �
. AH  0
��
Oxyz , cho tam giác ABC có A(3;1;0) , B nằm trên mặt phẳng (Oxy ) và có hoành độ
dương, C nằm trên trục Oz và H (2;1;1) là trực tâm của tam giác ABC . Toạ độ các điểm B , C thỏa mãn yêu cầu bài toán là:
�3  177 17  177 � � 3  177 �
A. B �
;
;0 �
,C �
0;0;
.
�
� 4

2
� �
4
�
Câu 74: Trong không gian với hệ tọa độ

B.

�3  177 17  177 � � 3  177 �
B�
;
;0 �
,C �
0;0;
.
�
� 4
2
� �
4
�

C.

�3  177 17  177 � � 3  177 �
B�
;
;0 �
,C �
0;0;

.
�
� 4
2
� �
4
�

D.

�3  177 17  177 � � 3  177 �
B�
;
;0 �
,C �
0;0;
.
�
� 4
2
� �
4
�
Hướng dẫn giải

Giả sử

B ( x; y;0) �(Oxy ), C (0;0; z ) �Oz .

uuur uuur
�AH  BC
r
�uuur uuu

CH  AB
H là trực tâm của tam giác ABC  �
r uuur uuur
�uuu
o�
ngpha�
ng
�AB, AC, AH �

uuur uuur
�AH .BC  0
r
�
�uuur uuu
CH . AB  0
�
�uuur uuur uuur
AB, AH �
. AC  0
�
�
��

�x  z  0
�

3  177
17  177
3  177
 �
 x
2x  y  7  0
;y 
;z 
4
2
4
�
3x  3 y  yz  z  0
�


�3  177 17  177 � � 3  177 �
B�
;
;0 �
,C �
0;0;
.
�
� 4
2
� �
4
�

Oxyz , cho hình vuông ABCD , B (3;0;8) , D(5; 4;0) . Biết đỉnh A thuộc mặt
uuu
r uuu
r
phẳng ( Oxy ) và có tọa độ là những số nguyên, khi đó CA  CB bằng:
Câu 75: Trong không gian với hệ tọa độ

A.

5 10.

B.

6 10.

C.

10 6.

D.

10 5.

Hướng dẫn giải
Ta có trung điểm BD là

I (1; 2; 4) , BD  12 và điểm A thuộc mặt phẳng (Oxy ) nên A( a; b;0) .

�AB 2  AD 2
( a  3) 2  b 2  82  ( a  5) 2  (b  4) 2

�
�
2 �
ABCD là hình vuông � � 2 �1
� �
( a  1) 2  (b  2) 2  4 2  36
�AI  � BD � �
�
2
�
�
� 17
a
�
b  4  2a
a 1
�
�
17 14 �
� 5
�
��
��
� A(1; 2; 0) hoặc A � ;
;0 �(loại). Với A(1; 2;0) 
hoặc �
2
2
b2
14

5 5
( a  1)  (6  2a )  20
�
�
�
�
�
b
�
5
C ( 3; 6;8) .
Câu 76: Trong không gian với hệ tọa độ
tròn nội tiếp tam giác ABC bằng:
A.

9  2 6.

Oxyz , cho tam giác ABC , biết A(5;3; 1) , B (2;3; 4) , C (3;1; 2) . Bán kính đường
B.

9  3 6.

C.

9  3 6.

D.

9  2 6.

Hướng dẫn giải
Ta có

AC 2  BC 2  9  9  AB 2 � tam giác ABC vuông tại C .

Suy ra:

r

1
CA.CB
2

S ABC
3.3 2


 93 6
1
p
3
2

3

3
AB

BC


CA


2

Câu 77: Trong không gian với hệ trục tọa độ

Oxyz , cho ba điểm M  3;0;0  , N  m, n, 0  , P  0;0; p  . Biết

2
2
�
MN  13, MON
 600 , thể tích tứ diện OMNP bằng 3. Giá trị của biểu thức A  m  2n  p bằng
A. 29.
B. 27.
C. 28.
D. 30.

Hướng dẫn giải

uuuu
r
uuur
uuuu
r uuur
OM   3;0;0  , ON   m; n;0  � OM .ON  3m
uuuu
r uuur
uuuu

r uuur uuuu
r uuur
OM .ON
1
m
1
0
OM .ON  OM . ON cos 60 � uuuu

r uuur  �
2
2
2
OM . ON 2
m n
MN 
Suy ra

 m  3

2

 n 2  13

m  2; n  �2 3


uuuu
r uuur uuu
r

1
�
�
OM
,
ON
.
OP

6
3
p
�
V

6 3p  3 � p  � 3
�
�
6
Vậy A  2  2.12  3  29.
Câu 78: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho ba điểm A(2;3;1) , B ( 1; 2;0) , C (1;1; 2) . Gọi I  a; b; c  là tâm
đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC . Tính giá trị biểu thức P  15a  30b  75c
A. 48.
B. 50.
C. 52.
D. 46.
Hướng dẫn giải

I ( x; y; z ) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC  AI  BI  CI , I �( ABC )
�AI 2  BI 2

� 2
61
1
14 61 1 �
� 14
�
��
CI  BI 2
� �x  ; y  ; z   � I � ; ;  �� P  50.
30
3
15 30 3 �
r uuur uur
� 15
�
�uuu
�
�
AB
,
AC
AI

0
�
��