Toán kinh tế p2 bài tập mẫu

Hội sinh viên NEU phát cuồng vì toán cao cấp 1, 2

Hè 2015

Bài tập mẫu phần Toán kinh tế P2
1. Sản phẩm hiện vật cận biên
1.1.

Tập đoàn TOMMY có hàm sản xuất Q  f  K , L   120 K . 3 L2 . Giá thuê 1 đơn vị

lao động trong 1 ngày là 10$, giá thuê 1 đơn vị tư bản trong 1 ngày là 12$ . Tính:
a. Sản phẩm hiện vật cận biên theo tư bản và lao động tại mức sử dụng K  36 , L  64 và
nêu ý nghĩa
b. Để thu được sản lượng cao hơn trong 1 ngày nên thuê tư bản hay lao động thì được lợi
hơn?
1.2. Lời giải:
a. (*) Sản phẩm hiện vật cận biên theo tư bản là:
60 3 L2
60.16
 MPPK  36;64  
 160
6
K
Ý nghĩa: Tại mức sử dụng K  36 , L  64 khi giữ nguyên L  64 và tăng sử dụng thêm
1 đơn vị tư bản thì sản lượng tăng xấp xỉ 160 đơn vị sản lượng.
(*) Sản phẩm hiện vật cận biên theo lao động là:
MPPK  Q 'K 

80 K
80.6
 MPPL  36;64  

 120
3
4
L
Ý nghĩa: Tại mức sử dụng K  36 , L  64 khi giữ nguyên K  36 và tăng sử dụng thêm
1 đơn vị lao động thì sản lượng tăng xấp xỉ 120 đơn vị sản lượng
MPPK  36;64  160 40


b. Sản phẩm cận biên của 1 đồng chi phí vốn là
wK
12
3
MPPL  Q 'L 

Sản phẩm cận biên của 1 đồng chi phí lao động là:

MPPL  36;64  120

 12
wL
10

So sánh ta thấy sử dụng thêm 1 đơn vị vốn thì lợi ích thu được cao hơn.

2. Tối ưu người tiêu dùng
2.1. Bài cực trị thuận
a. Đề bài:
Một người tiêu dung 2 loại hàng hóa với lượng tiêu dung tương ứng là x,y. Hàm lợi ích
người này là U  x, y   100.x 0,5 y 0,4 . Với thu nhập dành cho tiêu dùng là $360, hãy tìm kết

họp hàng hóa đêm lại lợi ích tối đa trong điều kiện giá hai loại hàng hóa tương ứng là $10
và $8. Nếu chi cho tiêu dùng tăng 1$ và tăng 1% thì lợi ích tối đa thay đổi như thế nào?
b. Giải:
Ta cần tìm kết hợp (x,y) sao cho tối đa U trong điều kiện: g  x, y   10 x  8 y  360
Hàm Lagrange: L  100 x0,5 y 0,4    360  10 x  8 y 

1


Hội sinh viên NEU phát cuồng vì toán cao cấp 1, 2

Hè 2015

 L 'x  50 x 0,5 y 0,6  10  0
  5 x 0,5 y 0,4  5 x0,5 y 0,6

 x  y  20


Điều kiện cần:  L ' y  40 x 0,5 y 0,6  8  0   x  y
0,1
  5.20

10 x  8 y  360
L
'

360

10

x

8
y

0

 
Ta có 1 điểm dừng là M  20; 20;5.200,1 

Điều kiện đủ: g1  g 'x  10 ; g2  g ' y  8 ; L11  L''xx  25x1,5 y 0,4  0

L22  L''yy  24 x0,5 y 1,6  0 ; L21  L12  L''xy  30 x 0,5 y 0,6  0
Xét định thức:

0 10 8
10 L11 L12   0  80 L12  80 L21    64 L11  0  100 L22   160L12  64L11  100L22  0
8 L21 L22
Nên điểm dừng M là cực đại của U và do đó x = y = 20 là kết hợp tiêu dung cần tìm.
(1) Theo ý nghĩa nhân tử Lagrange, thì khi thu nhập cho tiêu dùng tăng $1 thì lợi ích cực
đại U0 tăng xấp xỉ   5.200,1 đơn vị sản lượng.
(2) Hệ số co giãn của lợi ích cực đại U0 theo thu nhập cho tiêu dùng I0 là:
dU I
I
360
9

 0,9
 IUoo  0 0  0 0 Với I0 = 360 thì  IUo o  5.200,1
0,9

100.20
10
dI 0 U 0
U0
Vậy, khi chi cho tiêu dùng tăng 1% thì lợi ích cực đại tăng 0,9%.
2.2. Bài cực trị đối
a. Đề bài:
Một người tiêu dung 2 loại hàng hóa với lượng tiêu dung tương ứng là x,y. Hàm lợi ích
người này là U  x, y   100.x 0,8 y 0,4 . Hãy tìm kết tối thiểu chi phí tiêu dùng mà vẫn đạt
đực mức lợi ích U 0  400 trong điều kiện giá hai loại hàng hóa tương ứng là $10 và $8.
b. Giải:
Hàm chi phí tiêu dùng: C  10 x  8 y . Ta cần tìm kết hợp (x,y) nhằm tối thiểu chi phí tiêu
dùng nhưng vẫn đạt mức lợi ích g ( x, y )  100 x 0,8 y 0,4  400
Hàm Lagrange: L  10 x  8 y    400  100 x0,8 y 0,4 
(*)Điều kiện cần:

5/6

x 0,2 y 0,4 x 0,8 y 0,6
 x   4.(8 / 5)0,4   x0
0,2 0,4




 L 'x  10  80 x y  0

8
5


5x


0,8 0,6
  y  0  y0
 L ' y  8  40 x y  0  5 x  8 y
8

 x 0,8 y 0,4  4

0,8 0,4
L
'

400

100
x
y

0
 


x00,2 y00,4
 0
 

8


Vậy ta có 1 điểm dừng M  x0 ; y0 ; 0 

2


Hội sinh viên NEU phát cuồng vì toán cao cấp 1, 2

Hè 2015

(*)Điều kiện đủ:
0,8 0,6
''
1,2 0,4
g1  g 'x  80 x0,2 y 0,4  0 ; g2  g ' y  40 x y  0 L11  Lxx  M   160 x0 y0  0

L22  L''yy  M   240 x00,8 y01,6  0 ; L21  L12  L''xy  M   320 x00,2 y00,6  0
Xét định thức:
0 g1 g 2

g1 L11 L12   0  g1 g 2 L12  g 2 g1L21    g 22 L11  0  g12 L22   2 g1 g 2 L12  g 22 L11  g12 L22  0
g 2 L21 L22
Nên M là cực tiểu của hàm chi tiêu C, và do đó, nó là kết hợp tiêu dùng cần tìm.

3. Tối ưu cho doanh nghiệp
3.1.

Doanh nghiệp cạnh tranh

a. Đề bài: Một doanh nghiệp cạnh tranh sản xuất 2 loại hàng hóa Q1; Q2 với hàm tổng chi

phí kết hợp TC  5Q12  2Q1Q2  5Q22  50 . Giá mỗi loại hàng hóa tương ứng là $80, $160.
Tìm kết hợp sản lượng mang lại lợi nhuận tối đa cho doanh nghiệp này.
b. Giải:
Hàm tổng doanh thu: TR  80Q1  160Q2
Hàm lợi nhuận:   TR  TC  80Q1  160Q2  5Q12  2Q1Q2  5Q22  50

 'Q  80  10Q1  2Q2  0
Q  5

Điều kiện cần:  1
=> ta có điểm dừng M  5;15 
 1

'

160

2
Q

10
Q

0
Q

15
Q
1
2


2

 2
Điều kiện đủ: a11   Q'' 1Q1  10  0 ; a22   Q'' 2Q2  10 ; a12  a21   Q'' 2Q1  2
Xét định thức:

10 2
 100  4  96  0 nên suy ra M là cực đại của hàm lợi nhuận.
2 10

Vậy mức sản lượng kết hợp cần tìm là  Q1; Q2    5;15

3.2. Doanh nghiệp độc quyền
a. Sản xuất 2 mặt hàng khác nhau
(1) Đề bài: Tập đoàn TOMMY sản xuất 2 loại quần sịp loại I, II tương ứng Q1; Q2 với hàm
tổng chi phí kết hợp TC  Q12  5Q1Q2  Q22 .Hàm cầu đối với 2 loại sịp là:

Q1  14  0, 25 p1 và Q2  24  0,5 p2 . Hãy xác định mức sản lượng và giá tối ưu cho từng
loại sịp.
(2) Giải: Đảo ngược các hàm cầu ta được: p1  56  4Q1 và p2  48  2Q2
Hàm tổng doanh thu: TR  p1Q1  p2Q2   56  4Q1  Q1   48  2Q2  Q2  56Q1  48Q2  4Q12  2Q22
Hàm lợi nhuân:   TR  TC  56Q1  48Q2  5Q1Q2  5Q12  3Q22


Q  96 / 35
 'Q  56  5Q2  10Q1  0
 96 40 
Điều kiện cần:  1
=> Điểm dừng M  ; 

 1
 35 7 
Q2  40 / 7

 'Q2  48  5Q1  6Q2  0

3


Hội sinh viên NEU phát cuồng vì toán cao cấp 1, 2

Hè 2015

Điều kiện đủ: a11   Q'' 1Q1  10  0 ; a22   Q'' 2Q2  6 ; a12  a21   Q'' 2Q1  5
Xét định thức:

10 5
 60  25  35  0 nên M là cực đại của hàm lợi nhuận.
5 6

Vậy mức sản lượng sịp kết hợp cần tìm là:  Q1; Q2    96 / 35; 40 / 7 

b. Sản xuất 1 mặt hàng tại 2 cơ sở, bán ra 1 thị trường
(1) Đề bài: Một doanh nghiệp độc quyền sản xuất ở 2 cơ sở với 2 hàm chi phí cận biên lần
lượt là:

MC1  TC '  Q1   20  0, 75Q1 và MC2  10  0,5Q2 .

Đường cầu đối với hàng hóa của doanh nghiệp này là: Q  320  8 p  Q  Q1  Q2  .
Tìm mức sản lượng tối ưu cho mỗi cơ sở của doanh nghiệp này.

(2) Giải:
Đảo ngược đường cầu ta có: p  D1  Q   40  0,125Q
Hàm tổng doanh thu: TR  pQ   40  0,125Q  Q  40Q  0,125Q2  40 Q1  Q2   0,125 Q1  Q2 

2

Hàm lợi nhuận:   TR  TC1  TC2


40  0, 25Q1  20  0, 75Q1  0
Q  20
 'Q  TR 'Q1  MC1  0
Điều kiện cần:  1

 1
40  0, 25Q2  10  0,5Q2  0
Q2  40

 'Q2  TR 'Q2  MC2  0
Ta có 1 điểm dừng là M  20; 40 
Điều kiện đủ:  Q'' 1Q1  1  0 ;  Q'' 2Q2  0,75 ;  Q'' 1Q2   Q'' 2Q1  0 .
Xét định thức:

1
0
 0,75  0  0,75  0 => M là cực đại của hàm lợi nhuận.
0 0,75

Vậy, mức phân chia sản lượng tối ưu là: Q1  20 và Q2  40 .

c. Sản xuất 1 mặt hàng, bán tại hai thị trường khác nhau
(1) Đề bài: Một công ty độc quyền sản xuất một loại sản phẩm và bán tại hai thị trường khác
nhau. Cho biết hàm chi phí cận biên MC  10,5  0,3Q  Q  Q1  Q2  Và cầu của các thị
trường đối với sản phẩm: p1  72  0,9Q1

và p2  54  0, 45Q2 . Hãy xác định giá bán

trên mỗi thị trường để công ty thu được lợi nhuận tối đa.
(2) Giải:
Hàm tổng doanh thu: TR   79  0,9Q1  Q1   54  0, 45Q2  Q2  79Q1  54Q2  0,9Q12  0, 45Q22
Hàm lợi nhuận:   TR  TC
(*) Trường hợp doanh nghiệp có thể phân biệt giá trên 2 thị trường:
79  1,8Q1  10,5  0,3  Q1  Q2 

TR 'Q1  MC

Điều kiện tối đa hóa lợi nhuân: 


TR 'Q2  MC
54  0,9Q2  10,5  0,3  Q1  Q2 



4


Hội sinh viên NEU phát cuồng vì toán cao cấp 1, 2

Hè 2015

2,1Q1  0,3Q2  68,5
Q  2303 / 81

 1
0,3Q1  1, 2Q2  43, 7
Q2  2374 / 81

Điều kiện đủ: a11   Q'' 1Q1  1,8  0,3  2,1  0 ; a22   Q'' 2Q2  0,9  0,3  1, 2 ; a12  a21  0,3
Xét định thức:

2,1 0,3
 2,1.1, 2  0,3.0,3  2, 43  0
0,3 1, 2

Nên  Q1; Q2    2303 / 81; 2374 / 81 là cực đại của hàm lợi nhuận. Từ đó ta có giá bán
trên các thị trường tương ứng là: p1  4117 / 90 và p2  3673 / 81
(*) Trường hợp doanh nghiệp không thể phân biệt giá:
Lúc đó ta có ràng buộc p1  p2  72  0,9Q1  54  0, 45Q2  0,9Q1  0, 45Q2  18
Đặt g  Q1; Q2   0,9Q1  0, 45Q2 , ta có hàm Lagrange: L  TR  TC   18  0,9Q1  0, 45Q2 
Điều kiện cần:

72  1,8Q1  10,5  0,3  Q1  Q2   0,9  0
 L 'Q1  TR 'Q1  MC  0,9  0


 L 'Q2  TR 'Q2  MC  0, 45  0  54  0, 45Q2  10,5  0,3  Q1  Q2   0, 45  0 

0,9Q  0, 45Q  18
1

2
18  0,9Q1  0, 45Q2  0

2,1Q1  0,3Q2  0,9  61,5
Q1  35


0,3Q1  0, 75Q2  0, 45  43,5  Q2  30
0,9Q  0, 45Q  18
  70 / 3
1
2


Điều kiện đủ:
''
''
g1  g 'Q1  0,9 ; g2  g 'Q2  0, 45 ; L11  LQ1Q1  2,1 ; L22  LQ2Q2  0,75

L12  L21  L''Q2Q1  0,3

.

Xét định thức:
0
0,9 0, 45

0,9
2,1 0,3   0  0,1215  0,1215   0, 42525  0  0, 6075  1, 27575  0
0, 45 0,3 0, 75

Nên  Q1; Q2    35;30  là cực đại của hàm lợi nhuận. Thay tương ứng vào các hàm cầu
ta có đươc giá của các thị trường là p1  p2  40,5

5