ổn định của vòm

Chương 3. Ổn định của vòm



3-1
Chương 3.
ỔN ĐỊNH CỦA VÒM
Vòm là một loại kết cấu thuộc hệ thanh có trục là đường cong, vòm chỉ chịu nén
đúng tâm khi trục thanh trùng với đường cong áp lực. Khi mất ổn định, vòm chuyển từ
dạng cân bằng chịu nén sang dạng cân bằng chịu uốn, nghĩa là khi mất ổn định thì trong
vòm xuất hiện ứng suất phụ do uốn.
Trong phần, tôi trình bầy cách tính sự ổn định của hai loại vòm: vòm tròn và vòm
parabôn. Ngoài ra, chúng ta cũng sẽ đề cập
đến bài toán ổn định về dạng đối xứng của
vòm parabôn.
3.1 Phương trình vi phân của thanh tròn
Xét thanh tròn AB, chịu biến dạng uốn trong mặt phẳng ban đầu. Sau khi biến dạng
thanh di chuyển đến vị trí A’B’ như trên (hình 3-1), ta có thể phân tích chuyển vị của mỗi
điểm trên thanh theo hai thành phần: chuyển vị hướng tâm ký hiệu là w và chuyển vị theo
phương tiếp tuyến ký hiệu là u.
Các chuyển vị của hệ được xem là nhỏ
, đồng thời chuyển vị v thường rất nhỏ so với
chuyển vị w, nên để tính toán ta có thể bỏ qua ảnh hưởng của chuyển vị u.
Để thiết lập phương trình vi phân của chuyển vị cong ta xét một phân tố chiều dài
ds của thanh. Giả sử trước khi biến dạng phân tố có vị trí mn, sau khi biến dạng phân tố
chuyển dời tới m’n’. Tiết diện m có chuyển vị hướng tâm là w và chuyển vị
góc là dw/ds.
Tiết diện n có chuyển vị hướng tâm là (w + dw) và chuyển vị góc là:
ds
ds
wd

ds
dw
2
2
+

Từ đó ta thấy gia số chuyển vị góc từ điểm m’ đến điểm n’ là:
ds
ds
wd
∆dθ
2
2
=


Nếu chuyển vị w hướng về phía tâm cong của cung tròn là dương, còn mô men
uốn làm giảm độ cong ban đầu của thanh là dương, thì ta có sự liên hệ giữa độ biến thiên
độ cong và mô men uốn như sau:
d
θ
θ
A
A
m
n
B
m
n
B

,
,
,
,
r
0
d
θ
w
r
0
dθ
d
θ
+
∆
d
θ
dw
dS
m
n
,
m
,
n
dS
dw
+
dS

d
dS
dw
( )
dS
O

Hình 3-1. Sơ đồ biến dạng của một đoạn vòm cong.
Chương 3. Ổn định của vòm



3-2
M
r
1
r
1
EJ
0
−=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−

(3-1)
Trong đó r và r
0
lần lượt là bán kính cong trước và sau khi biến dạng.
Từ các quan hệ hình học ta có:
ds
dθ
r
1
0
=
và
∆dsds
∆dθdθ
r
1
+
+
=

Nếu khi so sánh chiều dài của phân tố ở lúc trước và sau khi biến dạng, ta bỏ qua
góc vô cùng bé dw/ds tức là xem chiều dài của phân tố m’n’ bằng (r
0
- w)dθ thì:
ds
r
w
wdθdθr w)dθ- (r∆ds
0
00

−=−=−=

Do đó:
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
+
=
0
2
r
w
1ds
ds
ds
wd
dθ
r
1

Hay:

ds
wd

r
1
r
w
1
r
1
2
00
+=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−

2
2
00
ds
wd
rr
w
r
1
r

1
+=−
(3-2)
Vì bán kính cong ban đầu r
0
và bán kính sau khi biến dạng r khác nhau rất ít nên ta
có thể thay w/r
0
r bằng w/r
2
0
. Do đó, từ (3-1) và (3-2) ta có:
EJ
M
ds
wd
r
w
2
2
2
0
−=+
(3-3)
Nhưng:
dθ
dw
r
1
ds

dθ
.
dθ
dw
ds
dw
0
==
;
2
2
2
0
0
2
dθ
wd
r
1
dθ
dw
.
r
1
ds
d
ds
wd
=
⎟

⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=

Nên phương trình (3-3) sẽ trở thành:
EJ
Mr
w
dθ
wd
2
0
2
2
−=+
(3-4)
Đó là phương trình vi phân cân bằng của thanh cong viết theo hệ toạ độ cực.
3.2 Ổn định của vành tròn chịu áp lực phân bố đều hướng tâm
Chương 3. Ổn định của vòm



3-3
Dưới tác dụng của tải trọng phân bố đều hướng tâm, vành tròn có thể mất ổn định
trong mặt phẳng như trên (hình 3a). Ta hãy xét nửa vành tròn chịu áp lực phân bố đều với

cường độ q và các phản lực N
0
, M
0
như trên (hình 3-2). Mô men uốn tại tiết diện C bất kỳ
có chuyển vị hướng tâm w được xác định theo biểu thức sau:
2
ACq
ADNMM
2
00C
−+=
, nhưng:
AOqN
0
=
, Nên:

⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−−= AD.AO2AC
2
q
MM
2
0C

.
Từ các hệ thức lượng trong tam giác, ta có:
AO.AD2AOACOC
222
−+=

Do đó:

222
AOOCAO.AD2AC −=−
.
Nên sau khi thay vào biểu thức mô men uốn ta được:

⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−−=
22
0C
AOOC
2
q
MM
.
Nhưng theo (hình 3-2) ta có:
wROC −=
và

0
wRAO −=
.
Nên sau khi thay
OC
và
AO
vào biểu thức mô men uốn đồng thời bỏ qua các số
hạng vô cùng bé bậc hai, ta được:
( )
wwqRMM
00C
−−=

Do đó, phương trình vi phân (3-4) có dạng:
2
0
0
2
2
Rw
EJ
qR
w
EJ
qR
EJ
M
w
dθ

wd
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−+−=+

ω
θ
R
N
y
C
q
M
A
x
D
O
ω
0
0
0
ω
0
Hình 3-2. Sơ đồ tính nửa vành tròn chịu áp lực.
Chương 3. Ổn định của vòm

3-4
Hay:
D
EJ
qR
1w
dθ
wd
3
2
2
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
++
(3-5)
()
EJ
qRwMR
D
00
2

−
=
(3-6)
Nghiệm của phương trình vi phân (3-5) có dạng:
2
k
D
BsinkAcoskw ++= θθ

Phương trình chuyển vị góc:
k
D
BsinkAkcosk
d
dw
++−= θθ
θ

Trong đó:
EJ
qR
1k
3
+=
(3-7)
Các điều kiện biên: khi θ = 0;
0
d
dw
=

θ
; khi θ = π/2;
0
dθ
dw
=
.
Do đó: B = 0 và
0
2
Asink =
π
.
Tải trọng tới hạn nhỏ nhất tương ứng với nghiệm:
π
2
kπ
=
; do đó k = 2.
Thay k = 2 vào công thức (3-7) ta sẽ được tải trọng tới hạn:
3
th
R
EJ
3q =
. (3-8)
3.3 Ổn định của vòm tròn chịu áp lực hướng tâm phân bố đều hướng tâm
3.3.1 Vòm hai khớp.
Dưới tác dụng của áp lực phân bố đều hướng tâm, trong vòm tròn hai khớp chỉ tồn
tại lực nén đúng tâm. Tải trọng tới hạn nhỏ nhất xảy

ra tương ứng với biến dạng phản đối xứng như trên
(hình 3-3), do đó ta không cần nghiên cứu dạng
mất ổn định đối xứng. Lực dọc tại tiết diện bất kỳ
của vòm là N = q.R. Trong đó R là bán kính củ
a
vòm tròn. ở trạng thái biến dạng, mô men uốn tại
tiết diện đó là M = N.w = q.R.w. Thay những đại
lượng này vào phương trình vi phân (3-4) ta được:
0
EJ
qR
1w
dθ
wd
3
2
2
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
++


ω

R
α α
θ
l
R
f
Hình 3-3. Sơ đồ tính vòm hai khớp.
Chương 3. Ổn định của vòm



3-5
Nếu tiết diện của vòm không đổi thì nghiệm tổng quát của phương trình có dạng:
BsinkθAcoskθw +=

Trong đó k xác định theo
EJ
qR
1k
3
+=
(3-10)
Từ điều kiện biên: khi θ = 0; w = 0; khi θ = α; w = 0,
ta xác định được: A = 0; Bsinkα = 0.
Phương trình ổn định sẽ là: sinkα = 0.
Tải trọng tới hạn nhỏ nhất tương ứng với nghiệm: kα = π
Do đó, theo (3-10) ta có:
2
23
α

π
EJ
qR
1 =+

Suy ra:
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−= 1
α
π
R
EJ
q
2
2
3
th
(3-11)
Trường hợp đặc biệt khi α = π/2 thì:
3
th
R
EJ

q 3
=
(3-12)
Đối với trường hợp vòm thoải nghĩa là khi góc α khá nhỏ so với π thì trong công
thức (3-11) ta có thể bỏ qua con số đơn vị. Lúc này công thức lực tới hạn có dạng gần
đúng như sau:
()
.RR
EJ
q
2
2
th
α
π
=
(3-13)
Lực dọc tới hạn:
()
2
2
2
2
thth
s
EJπ
αR
EJπ
.RqN ===
(3-14)

Trong đó s là nửa chiều dài theo đường cung của vòm. Như vậy đối với các vòm
thoải, ta có thể xem vòm như một thanh có liên kết khớp ở hai đầu với chiều dài tính toán
bằng một nửa chiều dài đường cung vòm và áp dụng công thức Ơle để xác định lực dọc
tới hạn. Ngoài ra cần chú ý rằng kết quả tìm được theo công thức gần đúng thường lớn
hơn kết quả tìm được theo công thứ
c chính xác.
Để xác định xem loại vòm nào là vòm thoải, ta hãy nghiên cứu sai số giữa hai công
thức (3-11) và (3-13). Ta dễ dàng tìm được sai số tỷ đối:
1
α
π
100
ε
2
2
−
=
. (3.15)
Trong trường hợp vòm có tỷ số giữa mũi tên f với chiều dài nhịp l là f/l = 1/5, ta có: