Phương pháp tính góc giữa hai mặt phẳng cắt nhau

Ph ươn g pháp tính góc gi ữ
a hai m ặt
ph ẳng c ắt nhau
Bài toán: Cho hai mặt phẳng (α) và (β) cắt nhau, tính góc giữa hai mặt
phẳng (α) và (β).
Ta áp dụng một trong các phương pháp sau đây:
Phương
pháp
1
Dựng hai đường thẳng aa, bb lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng (α)(α) và (β)
(β). Khi đó, góc giữa hai mặt phẳng (α)(α) và (β)(β) là (ˆ(α),(β))=(ˆa,b).((α),
(β)^)=(a,b^). Tính góc (ˆa,b).(a,b^).
Phương
pháp
2
+
Xác
định
giao
tuyến cc của
hai
mặt
phẳng (α)(α) và (β).(β).
+ Dựng hai đường thẳng aa, bb lần lượt nằm trong hai mặt phẳng và cùng vuông góc với
giao tuyến cc tại một điểm trên c.c. Khi đó: (ˆ(α),(β))=(ˆa,b).((α),(β)^)=(a,b^).

Hiểu cách khác: ta xác định mặt phẳng phụ (γ)(γ) vuông góc
tuyến cc mà (α)∩(γ)=a(α)∩(γ)=a, (β)∩(γ)=b.(β)∩(γ)=b. Suy

(β))=(ˆa,b).((α),(β)^)=(a,b^).
Phương pháp 3 (trường hợp đặc biệt)

với giao
ra (ˆ(α),


một
đoạn
thẳng
nối
hai
điểm AA, BB (A∈(α),B∈(β))
(A∈(α),B∈(β)) mà AB⊥(β)AB⊥(β) thì qua AA hoặc BB ta dựng đường thẳng
vuông góc với giao tuyến cc của hai mặt phẳng tại H.H. Khi đó (ˆ(α),(β))=ˆAHB.
Nếu

có

((α),(β)^)=AHB^.
Ví
dụ
1. Cho
hình
chóp
tứ
giác
đều S.ABCDS.ABCD cạnh
đáy ABCDABCD bằng aa và SA=SB=SC=SD=a.SA=SB=SC=SD=a. Tính
cosin góc giữa hai mặt phẳng (SAB)(SAB) và (SAD).(SAD).

Gọi II là

trung

điểm SA.SA. Do

tam

giác SADSAD và SABSAB đều

nên:

{BI⊥SADI⊥SA{BI⊥SADI⊥SA ⇒(ˆ(SAB),(SAD))=(ˆBI,DI).⇒((SAB),
(SAD)^)=(BI,DI^).
Áp
dụng
định
lý
cosin
cho
tam
giác BIDBID ta
có:
cosˆBID=IB2+ID2–BD22IB.IDcosBID^=IB2+ID2–BD22IB.ID =(√32a)2+(√32a)2–
(a√2)22.√32a.√32a=(32a)2+(32a)2–(a2)22.32a.32a =–13.=–13.
Vậy cos(ˆ(SAB),(SAD))=13.cos((SAB),(SAD)^)=13.
Ví dụ 2. Cho hình chóp S.ABCDS.ABCD có đáy ABCDABCD là nửa lục giác đều
nội tiếp đường tròn đường kính AB=2aAB=2a, SASA vuông góc với (ABCD)
(ABCD) và SA=a√3.SA=a3. Tính góc giữa hai mặt phẳng (SBC)(SBC) và (SCD).

(SCD).

Vì ABCDABCD là nửa lục giác đều nên AD=DC=CB=a.AD=DC=CB=a.
Dựng
đường
thẳng
đi
qua AA và
vuông
góc
với (SCD).(SCD).
Trong
mặt
phẳng (ABCD)
(ABCD) dựng AH⊥CDAH⊥CD tại HH ⇒CD⊥(SAH).⇒CD⊥(SAH).
Trong
mặt
phẳng (SAH)
(SAH) dựng AP⊥SHAP⊥SH ⇒CD⊥AP⇒CD⊥AP ⇒AP⊥(SCD).⇒AP⊥(SCD).
Dựng
đường
thẳng
đi
qua AA và
vuông
góc
với (SBC).(SBC).
Trong
mặt
phẳng (SAC)(SAC) dựng AQ⊥SC.AQ⊥SC.

Lại
có AQ⊥BCAQ⊥BC vì {BC⊥ACBC⊥SA{BC⊥ACBC⊥SA ⇒BC⊥(SAC)⇒BC⊥

(SAC) ⇒BC⊥AQ.⇒BC⊥AQ.
Vậy AQ⊥(SBC).AQ⊥(SBC).
Suy ra góc giữa hai mặt phẳng (SBC)(SBC) và (SCD)(SCD) là góc giữa hai đường
thẳng lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng ấy là APAP và AQ.AQ.
Ta
tính
góc ˆPAQPAQ^, có AH=√AD2–HD2AH=AD2–HD2 =√a2–
a24=a√32.=a2–a24=a32.

⇒1AP2=1AS2+1AH2⇒1AP2=1AS2+1AH2 ⇒AP=a√3√5.⇒AP=a35.
Tam
giác SACSAC vuông
cân
tại AA ⇒AQ=SC2=a√62.⇒AQ=SC2=a62.
ΔAPQΔAPQ vuông
tại PP ⇒cosˆPAQ=APAQ=√105⇒cos⁡PAQ^=APAQ=105 ⇒ˆPAQ⇒PAQ^ =arc
cos√105.=arccos105.
Ví dụ 3. Cho hình chóp S.ABCS.ABC có đáy ABCABC là tam giác vuông cân
với BA=BC=aBA=BC=a, SA⊥(ABC)SA⊥(ABC), SA=a.SA=a. Gọi E,FE,F lầ
n lượt là trung điểm của các cạnh AB,AC.AB,AC. Tính cosin góc giữa hai mặt
phẳng (SEF)(SEF) và (SBC).(SBC).


Nhận xét: Giao tuyến của hai mặt phẳng (SEF)(SEF) và (SBC)(SBC) là đường
thẳng StSt đi qua SS và song song với EFEF và BCBC nên ta xác định hai đường thẳng
qua SS và lần lượt nằm trong hai mặt phẳng (SEF)(SEF) và (SBC)(SBC) và cùng
vuông góc với StSt (ta đi chứng minh hai đường thẳng đó là SESE và SBSB).

Vì ⎧⎪⎨⎪⎩EF⊂(SEF)BC⊂(SBC)EF//BC{EF⊂(SEF)BC⊂(SBC)EF//BC ⇒ giao
tuyến của (SEF)(SEF) và (SBC)(SBC) là đường thẳng qua SS, song song
với BCBC, là St.St.
Ta

có {BC⊥ABBC⊥SA(vìSA⊥(ABC))

{BC⊥ABBC⊥SA(vìSA⊥(ABC)) ⇒BC⊥(SAB)⇒BC⊥(SAB) ⇒BC⊥SB⇒BC⊥
SB hay St⊥SB.St⊥SB.
Tương
tự EF⊥(SAE)EF⊥(SAE) ⇒EF⊥SE⇒EF⊥SE mà EF//StEF//St ⇒St⊥SE.⇒St⊥

SE.

Vậy SBSB và SESE cùng đi qua SS và cùng vuông góc với StSt nên góc giữa hai mặt
phẳng (SEF)(SEF) và (SBC)(SBC) bằng góc giữa hai đường thẳng SBSB và SE.SE.
Ta
tính
góc ˆBSE.BSE^.
Có SE=√SA2+AE2=a√52SE=SA2+AE2=a52; SB=√SA2+AB2=a√2SB=SA
2+AB2=a2; BE=a2.BE=a2.
Theo định lí cosin ta có: cosˆBSE=SE2+SB2–BE22.SE.SBcosBSE^=SE2+SB2–

BE22.SE.SB =3√10=310 ⇒ˆBSE=arccos3√10.⇒BSE^=arccos⁡310.
Ví dụ 4. Cho hình chóp S.ABCS.ABC có đáy ABCABC là tam giác vuông cân
tại BB, SA=aSA=a và SA⊥(ABC)SA⊥(ABC), AB=BC=a.AB=BC=a. Tính
góc giữa hai mặt phẳng (SAC)(SAC) và (SBC).(SBC).


Nhận xét: Ta áp dụng phương pháp 3 (trường hợp đặc biệt).

Ta
có (SAC)∩(SBC)=SC.(SAC)∩(SBC)=SC.
Gọi FF là
trung
điểm ACAC ⇒BF⊥(SAC).⇒BF⊥(SAC).
Dựng BK⊥SCBK⊥SC tại KK ⇒SC⊥(BKF)⇒SC⊥(BKF) ⇒ˆ((SAC),

(SBC))⇒((SAC),(SBC))^ =ˆ(KB,KF)=ˆBKF.=(KB,KF)^=BKF^.
ΔCFK∼ΔCSA⇒FKFC=SASCΔCFK∼ΔCSA⇒FKFC=SASC ⇒FK=FC.SASC⇒FK=F
C.SASC =a√22.aa√3=a√6.=a22.aa3=a6.
ΔBFKΔBFK vuông
tại FF ⇒tanˆBKF=FBFK⇒tan⁡BKF^=FBFK =a√22a√6=√3=a22a6=3 ⇒ˆBKF=6
0∘⇒BKF^=60∘ =ˆ((SAC),(SBC)).=((SAC),(SBC))^.
Ví dụ 5. Cho hình chóp S.ABCDS.ABCD có đáy ABCDABCD là nửa lục giác đều
nội tiếp đường tròn đường kính AB=2aAB=2a, SASA vuông góc với (ABCD)
(ABCD) và SA=a√3.SA=a3. Tính tan của góc giữa hai mặt phẳng (SAD)
(SAD) và (SBC).(SBC).

Gọi I=AD∩BCI=AD∩BC, ABCDABCD là
nửa
lục
nên AD=DC=CB=aAD=DC=CB=a, AI=IB=a.AI=IB=a.

giác

đều

(SAD)∩(SBC)=SI(SAD)∩(SBC)=SI ⇒{BD⊥SABD⊥AD⇒{BD⊥SABD⊥AD

⇒BD⊥(SAD)⇒BD⊥SI.⇒BD⊥(SAD)⇒BD⊥SI.

Vì vậy theo trường hợp đặc biệt ta chỉ cần dựng DE⊥SIDE⊥SI với E∈SI.E∈SI.
Khi
đó, SI⊥(BED)SI⊥(BED) ⇒(ˆ(SAD),(SSBC))=(ˆEB,ED)⇒((SAD),
(SSBC)^)=(EB,ED^) =ˆBED=BED^ (Vì ΔBEDΔBED vuông
tại DD).
ΔAIBΔAIB đều
nên BD=a√3.BD=a3.

SI=√SA2+AI2=a√7.SI=SA2+AI2=a7.

Hai
tam
giác
vuông SAISAI và DEIDEI đồng
dạng
nên: DESA=DISI⇒DE=a√3√7.DESA=DISI⇒DE=a37.
ΔBDEΔBDE vuông tại DD ⇒tanˆBED=BDDE=√7.⇒tan⁡BED^=BDDE=7.
Ví dụ 6. Cho tam giác ABCABC vuông cân tại AA có AB=aAB=a, trên đường
thẳng dd vuông góc với (ABC)(ABC) tại điểm AA ta lấy một điểm D.D. Tính góc giữa
hai mặt phẳng (ABC)(ABC) và (DBC)(DBC), trong trường hợp (DBC)(DBC) là tam
giác đều.

Gọi φφ là
góc
giữa
hai
mặt
phẳng (ABC)(ABC) và (DBC).(DBC).

Theo
công
thức
diện
tích
hình
chiếu
của
đa
giác,
ta
có: SΔABC=SΔDBC.cosφ.SΔABC=SΔDBC.cosφ.
Mà: SΔDBC=12DB.DC.sin600SΔDBC=12DB.DC.sin600 =12a√2.a√2.√32=a2
√32.=12a2.a2.32=a232.

Mặt

khác: SΔABC=12AB.AC=12a2.SΔABC=12AB.AC=12a2.

⇒cosφ=SΔABCSΔDBC=√33⇒cos⁡φ=SΔABCSΔDBC=33 ⇒φ=arccos√33.⇒φ=arcc
os⁡33.
Ví dụ 7. Cho lăng trụ đứng OAB.O′A′B′OAB.O′A′B′ có các đáy là các tam giác vuông
cân OA=OB=a,AA′=a√2.OA=OB=a,AA′=a2. Gọi M,PM,P lần lượt là trung
điểm các cạnh OA,AA′.OA,AA′. Tính diện tích thiết diện khi cắt lăng trụ bởi (B′MP).(B

′MP).


Gọi RR là giao điểm của MPMP và OO′OO′, QQ là giao điểm của B′RB′R với OB.OB.
Thiết diện là tứ giác MPB′QMPB′Q, ta có: OQO′B′=RORO′=13OQO′B′=RORO

′=13 ⇒OQ=a3.⇒OQ=a3.
Tứ giác AMQBAMQB là hình chiếu vuông góc của tứ giác PMQB′PMQB′ trên mặt
phẳng (OAB)(OAB) nên: SPMQB′=SAMQBcosφ.SPMQB′=SAMQBcosφ.
Với φφ là góc tạo bởi hai mặt phẳng (OAB)(OAB) và (MPB′Q).(MPB′Q).
Ta
có: SAMQB=SOAB–SOMQSAMQB=SOAB–SOMQ =12a2–
112a2=512a2.=12a2–112a2=512a2.
Hạ OH⊥MQOH⊥MQ, ta
có: {MQ⊥OHMQ⊥OR⇒MQ⊥(OHR).
{MQ⊥OHMQ⊥OR⇒MQ⊥(OHR).
Vậy: φ=ˆOHRφ=OHR^ (ˆOHROHR^ nhọn).
Ta có: cosφ=cosˆOHR=OHRHcosφ=cosOHR^=OHRH =OH√OH2+OR2=OHO
H2+OR2 =a√13√a213+a22=√2√15.=a13a213+a22=215.
Vậy: SPMQB′=5a2√1512√2.SPMQB′=5a215122.
Ví dụ 8. Cho lăng trụ đứng ABC.A′B′C′ABC.A′B′C′ có đáy ABCABC là một tam giác
cân
với AB=AC=a,ˆBAC=1200,AB=AC=a,BAC^=1200, cạnh
bên BB
′=a.BB′=a. Gọi II là trung điểm CC′.CC′. Chứng minh rằng tam giác AB′IAB′I vuông
ở A. Tính cosin của góc giữa hai mặt phẳng (ABC)(ABC) và (AB′I).(AB′I).

Áp

dụng

định

lý

cosin

cho ΔABCΔABC ta

có: BC2=a2+a2–

2a2cos1200BC2=a2+a2–2a2cos1200 =3a2.=3a2.
Áp

dụng

định

lý

Py-ta-go

cho

các

tam

giác:


ΔB′BAΔB′BA: B′A2=2a2.B′A2=2a2.
ΔICAΔICA: AI2=a2+(12)2=5a24.AI2=a2+(12)2=5a24.
ΔB′C′IΔB′C′I: B′I2=3a2+a24=13a24.B′I2=3a2+a24=13a24.
Ta

có: B′A2+AI2=2a2+5a24B′A2+AI2=2a2+5a24 =13a24=B′I2⇒ΔAB
′I=13a24=B′I2⇒ΔAB′I vuông
ở A.A.
Ta
có: SΔAB′I=12AI.AB′SΔAB′I=12AI.AB
′ =12.a√52.a√2=a2√104.=12.a52.a2=a2104.
SΔABC=12a2sin1200=a2√34.SΔABC=12a2sin1200=a234.
Gọi φφ là góc giữa hai mặt phẳng (ABC)(ABC) và (AB′I).(AB′I). Khi đó:
cosφ=SΔABCSΔABI′cosφ=SΔABCSΔABI′ =a2√34a2√104=√3√10=√3010.