SKKN BIẾN ĐỔI CÁC BIỂU THỨC HỮU TỈ. GIÁ TRỊ CỦA PHÂN THỨC

I - THÔNG TIN CHUNG VỀ SÁNG KIẾN
1. Tên sáng kiến: “ Kinh nghiệm giảng dạy chuyên đề : Biến đổi các biểu thức hữu tỉ.
Giá trị của phân thức.”
2. Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Toán THCS.
3. Tác giả:
Họ và tên: Nguyễn Thị Anh

Giới tính: Nữ

Ngày, tháng, năm sinh: 18/4 /1980
Trình độ chuyên môn: Đại học
Chức vụ: Giáo viên
Đơn vị công tác: Trường THCS Hưng Đạo
Điện thoại: 0977982248

Email:

Tỷ lệ đóng góp tạo ra sáng kiến: 100%
4. Đồng tác giả: không
5. Chủ đầu tư tạo ra sáng kiến: Không
6. Đơn vị áp dụng sáng kiến:
Tên đơn vị: Trường THCS Hưng Đạo
Địa chỉ: Thôn Nghĩa Xã Tây Lương - Tiền Hải - Thái Bình
Điện thoại: 0366.286.664
7. Thời gian áp dụng sáng kiến lần đầu: tháng 9 năm 2016
II - BÁO CÁO MÔ TẢ SÁNG KIẾN
1. Tên sáng kiến: “ Kinh nghiệm giảng dạy chuyên đề : Biến đổi các biểu thức hữu
tỉ. Giá trị của phân thức.”
2. Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Toán THCS.
3. Mô tả bản chất của sáng kiến:
3.1. Tình trạng giải pháp đã biết:

Sau nhiều năm trực tiếp giảng dạy học sinh và bồi dưỡng đội tuyển học sinh giỏi
lớp 8, 9 tôi nhận thấy trong việc giảng dạy môn đại số còn nhiều mảng kiến thức
mà học sinh còn nhiều lúng túng.Các bài toán về biến đổi các biểu thức hữu tỉ, giá
trị của phân thức là một dạng toán cơ bản và thường gặp với học sinh lớp 8, 9 đặc
biệt trong kì thi tuyển sinh vào THPT. Học sinh lớp 8 mới làm quen với phân thức
đại số, các phép biến đổi phân thức đại số nên các em còn gặp nhiều lúng túng, kĩ
năng biến đổi các biểu thức hữu tỉ chưa được tốt và còn những hạn chế trong việc
xử lí các câu hỏi của dạng bài tập này. Với một bộ phận HS có lực học trung bình
còn có tâm lí ”sợ” khi gặp bài tập rút gọn biểu thức. Trong khi đó thời lượng
chương trình dành cho loại toán này chưa nhiều ( thời lượng chương trình 2 tiết:
bài 9: Biến đổi các biểu thức hữu tỉ. Giá trị của phân thức (trang 55 – 59 SGK
1


toán 8 tập 1), nội dung dạng toán lại đa dạng và thường xuyên xuất hiện trong các
đề kiểm tra, đề thi chọn HSG đặc biệt trong các đề thi tuyển sinh vào THPT.
Bằng kinh nghiệm giảng dạy của mình và qua việc tìm hiểu tâm lí đối tượng học
sinh, đặc biệt trong quá trình bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 8, 9 và ôn tuyển sinh vào
THPT tôi nhận thấy các bài tập về biến đổi các biểu thức hữu tỉ, giá trị của phân
thức học sinh còn rất lúng túng, vì vậy tôi đã quyết định tiến hành nghiên cứu đề
tài “Kinh nghiệm giảng dạy chuyên đề : Biến đổi các biểu thức hữu tỉ. Giá trị của
phân thức”.
3.2. Nội dung giải pháp đề nghị công nhận là sáng kiến:
- Mục đích của giải pháp : Phương pháp giải các bài toán biến đổi các biểu thức
hữu tỉ, giá trị của phân thức với mục đích định ra hướng, phương pháp nhận dạng,
phương pháp giải với các dạng bài tập chủ yếu. Ngoài ra chuyên đề còn đưa ra cho
học sinh phương pháp, kĩ năng trình bày lời giải hợp lí nhất.
Nội dung của đề tài góp phần nâng cao kiến thức, tư duy toán học, khả năng
phân tích, tính toán cho học sinh đồng thời giúp cho giáo viên lựa chọn phương
pháp hợp lí, phù hợp với từng bài, từng đối tượng học sinh để giúp cho giáo viên

và học sinh giải quyết tốt vấn đề này.
- Nội dung giải pháp:
A/CƠ SỞ LÍ THUYẾT
I/. Khái niệm về phân thức đại số và tính chất của phân thức đại số
1. Phân thức đại số là biểu thức có dạng

A
với A, B là những đa thức và B khác
B

đa thức 0
2. Hai phân thức bằng nhau:
A C
= nếu A.D = B. C
B D

3. Tính chất cơ bản của phân thức:
Nếu M ≠ 0 thì

A A.M
=
B B.M

II/. Các phép toán trên tập hợp các phân thức đại số
1. Phép cộng:
a) Cộng hai phân thức cùng mẫu thức:
A B A+B
+
=
M M

M

b) Cộng hai phân thức khác mẫu thức:
- Quy đồng mẫu thức
- Cộng hai phân thức có cùng mẫu thức vừa tìm được
2. Phép trừ
2


a) Phân thức đối của
b)

A
A
kí hiệu bới −
B
B

A C A
C
− = + (− )
B D B
D

3. Phép nhân
A C A.C
. =
B D B.D

4. Phép chia

a) Phân thức nghịch đảo của phân thức
b)

A C A.D
: =
B D B.C

(

A
B
khác 0 là
B
A

C
≠ 0)
D

3. Biểu thức hữu tỉ. Giá trị của phân thức
1. Biểu thức hữu tỉ
Biểu thức hữu tỉ là một phân thức hoặc biểu thức biểu thị một dãy các phép
toán : cộng, trừ, nhân, chia trên những phân thức.
2. Biến đổi một biểu thức hữu tỉ thành một phân thức
Nhờ các quy tắc của các phép toán cộng, trừ, nhân, chia các phân thức ta có thể
biến đổi một biểu thức hữu tỉ thành một phân thức.
3. Giá trị của phân thức
- Khi làm những bài toán liên quan đến giá trị của phân thức thì trước hết phải
tìm điều kiện của biến để giá trị tương ứng của mẫu thức khác 0. Đó chính là điều
kiện để giá trị của phân thức được xác định.

- Nếu tại giá trị của biến mà giá trị của một phân thức được xác định thì phân
thức ấy và phân thức rút gọn của nó có cùng một giá trị.
B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN BIẾN ĐỔI CÁC BIỂU THỨC
HỮU TỈ, GIÁ TRỊ CỦA PHÂN THỨC
I/ TÌM ĐIỀU KIỆN XÁC ĐỊNH CỦA MỘT BIỂU THỨC
Ví dụ 1
Tìm điều kiện xác định của biểu thức
1 
x +1
 1
A= 2
+
: 2
 x − x x − 1  x − 2x + 1

+ Hướng dẫn tìm lời giải: Biểu thức A chứa biến ở mẫu, ta cho các mẫu khác 0.
3


Ngoài ra A còn chứa biểu thức sau phép chia ta cho biểu thức đó khác 0
+ Trình bày lời giải:
 1
1  x +1
 :
A = 
+
2
x
(
x

−
1
)
x
−
1

 ( x − 1)

x ≠ 0
x ≠ 0


A xác định ⇔  x − 1 ≠ 0 ⇔  x ≠ 1
 x +1
 x ≠ −1


≠
0
 ( x − 1) 2

Vậy A xác định khi x ≠ 0; x ≠ ±1
+ Lỗi thường gặp của HS: quên điều kiện cho

x +1
≠0
x − 2x + 1
2

* Phương pháp giải
Để tìm điều kiện xác định của một biểu thức hữu tỉ ta trả lời 2 câu hỏi sau
- Có mẫu không? Có bao nhiêu mẫu thì ta cho các mẫu đó khác 0.
- Có biểu thức sau phép chia không ? Ta cho biểu thức đó khác 0
+ Chú ý: Nếu bài hỏi tìm điều kiện xác định của biểu thức ta phải làm chi tiết
bằng cách trả lời 2 câu hỏi trên. Nếu bài không hỏi thì ta làm ra nháp để lấy kết quả
điều kiện xác định của biến.
II/ RÚT GỌN BIỂU THỨC
Ví dụ 2
Rút gọn biểu thức P =

2x 2 + 2 x3 − 1 x3 + 1
+ 2
−
x
x − x x2 + x

+ Hướng dẫn tìm lời giải:
- Biểu thức P chứa các phân thức có mẫu thức khác nhau. Nếu ta quy đồng các
phân thức này để đưa về các phân thức cùng mẫu và thực hiện phép tính thì thu
được một biểu thức rất phức tạp dẫn đến khó khăn .
- Nhận thấy các phân thức thứ 2 và thứ 3 đều có nhân tử chung ở cả tử và mẫu
nên ta đi phân tích tử và mẫu thành nhân tử rồi rút gọn mỗi phân thức ta sẽ thu
được các phân thức đơn giản hơn
+ Trình bày lời giải
ĐKXĐ: x ≠ 0; x ≠ ±1

4

2x 2 + 2 x3 − 1 x3 + 1
+ 2
−
x
x − x x2 + x
2 x 2 + 2 ( x − 1) x 2 + x + 1 ( x + 1) x 2 − x + 1
=
+
−
x
x( x − 1)
x ( x + 1)
P=

(

(

)

) (

(

)

)

2x 2 + 2 x 2 + x + 1
x2 − x +1

+
−
x
x
x
2
2
2
2x + 2 + x + x + 1 − x + x − 1
=
x
2
2x + 2x + 2
=
x
=

Vậy P =

2x 2 + 2x + 2
với x ≠ 0; x ≠ ±1
x

+ Lỗi thường gặp của HS: Học sinh thường quy đồng dẫn đến bài toán phức tạp
và không rút gọn được
Ví dụ 3
Rút gọn biểu thức
1 
x +1
 1

A= 2
+
: 2
( x ≠ 0; x ≠ ±1 )
 x − x x − 1  x − 2x + 1

+ Phân tích tìm lời giải:
Biểu thức A chứa dấu ngoặc, các phép tính cộng và chia. Ở đây các phân thức
của A không thể rút gọn tử cho mẫu được nên ta thực hiện biến đổi thông
thường : Trong ngoặc trước, ngoài ngoặc sau
+ Trình bày lời giải
Với x ≠ 0; x ≠ ±1 ta có
1 
x +1
 1
A= 2
+
: 2
 x − x x − 1  x − 2x + 1
 1
1  x +1
 :
= 
+
2
 x ( x − 1) x − 1  ( x − 1)
1 + x ( x − 1) 2
=
.
x( x − 1) x + 1

x −1
=
x

Vậy A =

x −1
với x ≠ 0; x ≠ ±1
x

* Phương pháp giải
5


- Trước khi rút gọn biểu thức ta phải tìm điều kiện cho giá trị của phân thức được
xác định ( nếu cần). Và ghi lại điều kiện đó trước khi rút gọn. Nếu bài đã cho sẵn
điều kiện rút gọn thì ta chỉ cần ghi lại
- Ta kiểm tra xem các phân thức có thể rút gọn tử và mẫu cho nhau để đơn giản
được không? ( Tránh tình trạng HS cứ gặp bài rút gọn là đi quy đồng mẫu các
phân thức dẫn đễn dài dòng, chưa kể một số bài tập còn khó rút gọn được)
- Nếu không được ta thực hiện các bước biến đổi : Trong ngặc trước, ngoài ngoặc
sau, nhân chia trước, cộng trừ sau
- Kết quả rút gọn phải triệt để, đơn giản. Nếu cồng kềnh cần kiểm tra lại đề bài
hoặc các bước biến đổi
- Rút gọn xong phải trả lời kèm điều kiện
III. TÍNH GIÁ TRỊ CỦA BIỂU THỨC HỮU TỈ
Ví dụ 4
Cho biểu thức
1 
x +1

 1
A= 2
+
: 2
.
 x − x x − 1  x − 2x + 1

Tính giá trị biểu thức A khi
a) x = 3
b) x thỏa mãn x + 2 = 3
+ Phân tích tìm lời giải
- Trước tiên ta phải thu gọn biểu thức
- Thay giá trị của biến (nếu thỏa mãn điều kiện) vào biểu thức thu gọn rồi thực
hiện phép tính ( câu a)
- Tìm giá trị của x ( câu b) ( đối chiếu ĐK) nếu thỏa mãn thì thay vào biểu thức
+ Trình bày lời giải
Theo ví dụ 3 ta có A =

x −1
với x ≠ 0; x ≠ ±1
x

a. Với x = 3 ( thỏa mãn ĐKXĐ) thay x = 3 vào biểu thức A thu gọn ta có
A=
Vậy A =

3 −1 2
=
3
3

2
tại x = 3
3

b. Có
6


x+2 =3
x + 2 = 3
⇔
 x + 2 = −3
 x = 1(ktm)
⇔
 x = −5(tm)

Thay x = - 5 vào biểu thức A ta có
A=
Vậy A =

− 5 −1 6
=
−5
5

6
khi x thỏa mãn x + 2 = 3
5

+ Lỗi thường gặp của HS:

Không đối chiếu với điều kiện xác định nên vẫn tính giá trị biểu thức tại x = 1
* Phương pháp giải
- Để tính giá trị của biểu thức tại những giá trị cho trước của biến, ta thay giá trị
cho trước đó vào biểu thức rồi thực hiện phép tính. Tuy nhiên cần kiểm tra xem
giá trị của biến đó có thỏa mãn điều kiện xác định của biểu thức hay không.
- Khi chưa có giá trị của x ta phải tìm giá trị của x rồi làm tương tự như trên
IV/TÌM ĐIỀU KIỆN CỦA BIẾN ĐỂ GIÁ TRỊ BIỂU THỨC THỎA MÃN
ĐẲNG THỨC ĐÃ CHỈ RA
Ví dụ 5
1
1 
x +1
+
: 2
.
 x − x x − 1  x − 2x + 1


Cho A = 

2

Tìm x để
a) A có giá trị là số nguyên âm lớn nhất
b) A = 3
c) A.

x−4
=3
x−2

+ Phân tích tìm lời giải
Trước tiên ta phải thu gọn biểu thức
a) A là số nguyên âm lớn nhất ⇔ A = −1 , thay vào giải phương trình ta tìm
được x
A = 3
rồi giải như trên
 A = −3

b) A = 3 ⇔ 

7


c) Tương tự
+ Trình bày lời giải
Theo ví dụ 3 ta có A =

x −1
với x ≠ 0; x ≠ ±1 (*)
x

a) Để A có giá trị là số nguyên âm lớn nhất
⇔ A = −1
x −1
⇔
= −1
x
⇒ x −1 = −x
⇔ 2x = 1

1
⇔ x = (tm*)
2

Vậy x = ½ là giá trị cần tìm
b)

A = 3
A =3⇔ 
 A = −3
+A=3
x −1
⇔
=3
x
⇒ x − 1 = 3x
⇔ 2 x = −1
−1
⇔x=
(tm*)
2

+ A = −3
x −1
⇔
= −3
x
⇒ x − 1 = −3 x
⇔ 4x = 1
1

⇔ x = (tm*)
4

−1 1
;  thì A = 3
 2 4


Vậy x ∈ 

c)

A.

x−5
=3
x−2

ĐKXĐ x ≠ 2(**)

x −1 x − 5
.
=3
x x−2
⇒ x 2 − 6 x + 5 = 3x 2 − 6 x
⇔

⇔ 2x 2 = 5
5
⇔ x2 =

2
⇔x=±

Vậy x = ±

5
( thỏa mãn điều kiện * và **)
2

5
là giá trị cần tìm
2

+ Lỗi thường gặp của HS
- Tìm ra giá trị của x không đối chiếu với điều kiện *
8


- HS thường quên điều kiện mới cho phương trình ở câu c (đk **)
* Phương pháp giải
- Cho biểu thức thu gọn thỏa mãn đẳng thức đã chỉ ra
- Giải phương trình trên, tìm x
- Đối chiếu điều kiện và trả lời
V/TÌM ĐIỀU KIỆN CỦA BIẾN ĐỂ GIÁ TRỊ BIỂU THỨC THỎA MÃN BẤT
ĐẲNG THỨC ĐÃ CHO
Ví dụ 6
1
1 
x +1
+

: 2
.
 x − x x − 1  x − 2x + 1


Cho A = 

2

Tìm x để
a) Biểu thức A luôn dương
b) A < 1
+ Phân tích tìm lời giải
- Trước tiên phải rút gọn biểu thức (A =
- Biểu thức A luôn dương khi A > 0 ⇔

x −1
)
x

x −1
> 0 khi và chỉ khi x – 1 và x cùng dấu.
x

Từ đó ta có 2 trường hợp
- Để A < 1 ⇔

x −1
x −1
−1

<1⇔
−1 < 0 ⇔
< 0 suy ra tử và mẫu trái dấu mà -1 < 0
x
x
x

nên x >0
+ Trình bày lời giải
Theo ví dụ 3 ta có A =

x −1
với x ≠ 0; x ≠ ±1 (*)
x

a) Biểu thức A luôn dương
x −1
>0
x
 x − 1 > 0
 x > 1


x > 1
x > 0
x > 0

⇔
⇔
⇔

 x − 1 < 0
 x < 1
x < 0


 x < 0
 x < 0
⇔

Đối chiếu điều kiện (*) suy ra − 1 ≠ x < 0; x > 1
Vậy − 1 ≠ x < 0; x > 1 thì biểu thức A luôn dương
9


b)

Để A < 1
x −1
<1
x
x −1
⇔
−1 < 0
x
−1
⇔
<0
x
⇔

mà -1< 0 nên x> 0
Đối chiếu điều kiện (*) suy ra 0 < x ≠ 1
Vậy 0 < x ≠ 1 là giá trị cần tìm
+ Lỗi thường gặp của HS:
- Kết hợp điều kiện sai ( do không sử dụng trục số ). GV nên đối chiếu điều kiện
bằng cách vẽ trục số ra nháp cho HS hiểu. Nhấn mạnh rằng, với các bất đẳng
thức cùng chiều thì lớn lấy lớn nhất, nhỏ lấy nhỏ nhất. Các bất đẳng thức ngược
chiều thì gộp x giữa 2 giá trị
Ví dụ
x < 3
+
⇔ x < −2
 x < −2
x > 2
+
⇔2< x<6
x < 6
x < 2
+
⇔ 6 < x < 2 ( vô lí) ⇒ x ∈ Φ
x > 6

- Khi giải câu b HS thường mắc sai lầm sau
A< 1
x −1
<1
x
x −1 x
⇔
<

x
x
⇔ x −1 < x
⇔ −1 < 0
⇔

( luôn đúng)
Vậy x ≠ 0; x ≠ ±1 là giá trị cần tìm
GV chú ý HS tuyệt đối với bất phương trình chứa ẩn ở mẫu không bao giờ được
quy đồng bỏ mẫu khi chưa biết mẫu mang dấu gì.
* Phương pháp giải
- Cho biểu thức đã rút gọn thỏa mãn bất đẳng thức đã cho
- Giải bất phương trình nhận được
10


- Tìm được x đối chiếu điều kiện và kết tuận
VI/ TÌM GIÁ TRỊ NGUYÊN CỦA BIỂN ĐỂ BIỂU THỨC NHẬN GIÁ TRỊ
NGUYÊN
Ví dụ 7
Cho A =

2x 2 − x + 5
.Tìm x nguyên để biểu thức nguyên
x+3

+ Phân tích tìm lời giải
Ta phân tích
2 x 2 + 6 x − 7 x − 21 + 26
x+3

2 x( x + 3) − 7( x + 3) + 26
=
x+3
26
= 2x − 7 +
x+3
A=

Sau đó cho 26 chia hết cho x + 3
GV có thể hướng dẫn để mọi HS đều có thể tách được bằng cách thực hiện phép
chia ra ngoài nháp như sau (tách theo những dòng thứ 2 và dư ( dòng in đậm))
2x 2 -

x

+5

x + 3

2x2 + 6x

2x - 7

- 7x + 5
- 7x - 21
26
+ Trình bày lời giải
ĐKXĐ x ≠ −3
2 x 2 + 6 x − 7 x − 21 + 26
x+3

2 x( x + 3) − 7( x + 3) + 26
=
x+3
26
= 2x − 7 +
x+3
A=

Với x nguyên để A nhận giá trị nguyên thì 2 x − 7 +

26
nguyên mà 2x – 7 ∈ Z
x+3
11


⇒

26
∈Z
x+3

⇒ x + 3 ∈ Ư (26) = { ± 1;±2;±13;±26}

⇒ x ∈ { − 29;−16;−5;−4;−2;−1;10;23} ( thỏa mãn điều kiện)

Vậy x ∈ { − 29;−16;−5;−4;−2;−1;10;23} thì A nhận giá trị nguyên
Ví dụ 8
Cho A =

x −1
tìm x nguyên để A nhận giá trị nguyên
2x + 3

+ Phân tích tìm lời giải
Ta thấy không thể thực hiện phép chia tử cho mẫu vì tử không chia hết cho mẫu.
Nếu ta nhân tử với 2 thì thực hiện được phép chia này. Chú ý rằng nếu
A ∈ Z ⇒ 2 A ∈ Z là đúng nhưng 2 A ∈ Z ⇒ A ∈ Z là khẳng định sai. Vì vậy ta cần thêm
bước thử lại
+ Trình bày lời giải
ĐKXĐ x ≠
2A =

−3
2

2x − 2 2x + 3 − 5
5
=
= 1−
2x + 3
2x + 3
2x + 3

Với x ∈ Z để 2A∈ Z thì 1 −
mà – 1 ∈ Z suy ra

5
∈Z
2x + 3

5
∈Z
2x + 3

⇒ 2x + 3 ∈ Ư(5) = { ± 1;±5}

Ta có bảng sau
2x+3

1

-1

5

-5

x

-1

-2

1

-4

A

-2

3

0

1

ĐCĐK

TM

TM

TM

TM

Vậy x ∈ { − 4;−2;−1;1} thì A nhận giá trị nguyên
* Phương pháp giải
- Thực hiện tách tử theo mẫu để tạo thành tổng 1 biểu thức nguyên và 1 phân thức
có tử là số nguyên ( nếu không chia tử cho mẫu được ta thường phải nhân thêm
với 1 biểu thức nguyên khác)
- Lí luận cho mẫu của phân thức là ước của tử thức
- Tìm biến, đối chiếu trả lời
12


VII/ TÌM GIÁ TRỊ CỦA BIẾN ĐỂ BIỂU THỨC CÓ GIÁ TRỊ NGUYÊN
Ví dụ 9

Cho B =

3x 2
. Tìm x để B nhận giá trị nguyên
x2 +1

+ Phân tích tìm lời giải
GV cần để HS nhận thấy 2 dạng bài tập này hoàn toàn khác nhau. Ở đây là điều
kiện để B nhận giá trị nguyên với bất kì giá trị nào của x ( không phải x nguyên).
Vì vậy ta tìm cách chỉ ra B nằm trong một khoảng giá trị nào đó rồi chọn ra các giá
trị nguyên ấy
+ Trình bày lời giải

3x 2
Vì x ≥ 0∀ x ⇒ x + 1 > 0 ⇒ 2
≥ 0 ⇒ B ≥ 0 (1)
x +1
2

Có B =

2

3x 2
3
= 3− 2
< 3 (2)
2
x +1
x +1

Từ (1) và (2) ⇒ 0 ≤ B < 3 mà B nhận giá trị nguyên nên B ∈ { 0;1;2}
3x 2
= 0 ⇒ 3x 2 = 0 ⇔ x = 0
x2 +1
3x 2
1
+ B =1⇔ 2
= 1 ⇒ 3x 2 = x 2 + 1 ⇔ x = ±
2
x +1
2
3x
+B=2⇔ 2
= 2 ⇒ 3x 2 = 2 x 2 + 2 ⇔ x = ± 2
x +1
+B=0⇔



Vậy x ∈ 0;±



1
;± 2  thì B nhận giá trị nguyên
2


+ Lỗi thường gặp của HS:

Nhầm lẫn dạng bài 7 và dạng bài 8, giáo viên cần nhấn mạnh điểm khác nhau này.
* Phương pháp giải
- Dùng các điều kiện để chứng tỏ n> A > m
- Mà A nhận giá trị nguyên suy ra các giá trị của A
- Sau đó tìm x
VIII/ TÌM GIÁ TRỊ CỦA BIẾN ĐỂ GIÁ TRỊ BIỂU THỨC ĐẠT GIÁ TRỊ LỚN
NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT
13


Ví dụ 10
Cho A = x 2 + x + 1 . Tìm x để A đạt giá trị nhỏ nhất
+ Phân tích tìm lời giải
2

1
3

Ta thấy có thể phân tích A =  x +  + từ đó tìm được giá trị nhỏ nhất của
2
4


biểu thức
+ Trình bày lời giải
2

1
3


A = x+  +
2
4

2

1

Vì  x +  ≥ 0∀x
2

2

1
3 3

⇔  x +  + ≥ ∀x
2
4 4

3
⇔ A ≥ ∀x
4
2

1
1
1

Dấu “=” xảy ra khi  x +  = 0 ⇔ x + = 0 ⇔ x = −

2
2
2


Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức A =

3
1
tại x = −
4
2

Ví dụ 11
Cho A =

1
. Tìm giá trị lớn nhất của A
x + 2x 2 + 7
4

+ Phân tích tìm lời giải
Nhận thấy x 4 ≥ 0∀x;2 x 2 ≥ 0∀x ⇒ x 4 + 2 x 2 ≥ 0 ⇒ x 4 + 2 x 2 + 7 ≥ 7 ⇒ A ≤

1
7

+ Trình bày lời giải
 x 4 ≥ 0∀x
⇒ x 4 + 2 x 2 ≥ 0∀x

 2
2 x ≥ 0∀x
⇔ x 4 + 2x 2 + 7 ≥ 7
1
1
⇔ 4
≤
2
x + 2x + 7 7
1
⇔ A≤
7

Dấu “=” xảy ra khi x = 0
14


Vậy giá trị lớn nhất của A bằng

1
khi x = 0
7

+ Lỗi thường gặp của HS
Tương tự như ví dụ trên ta thấy x 4 + 2 x 2 + 7 = ( x 2 + 1) + 6 ≥ 6 Dấu “=” xảy ra khi
2

x2 = -1 ( vô lí) vậy không tồn tại giá trị lớn nhất của biểu thức A
Lời giải trên hoàn toàn sai!
GV nhấn mạnh khi dấu “=” không xảy ra thì xuất phát từ điều kiện của x ta có

thể trình bày lời giải như sau
Cách 2:
Ta có x 4 + 2 x 2 + 7 = ( x 2 + 1) + 6
2

Vì
x2 ≥ 0
⇔ x2 +1 ≥ 1

(
⇔ (x

)
+ 1)

2

⇔ x2 +1 ≥ 1
2

+6≥7
1
1
⇔ 4
≤
2
x + 2x + 7 7
1
⇔ A≤
7

2

Dấu “=” xảy ra khi x = 0
Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức A =

1
khi x = 0
7

Ví dụ 12
3x 2 + 8
Cho A = 2
. Tìm giá trị lớn nhất của A
x +2

+ Phân tích tìm lời giải
Thực hiện chia nháp và tách tử theo mẫu như ví dụ 7
ta được A = 3 +

2
x +2
2

+ Trình bày lời giải

A=

3x 2 + 6 + 2 3( x 2 + 2) + 2
2
=

= 3+ 2
2
2
x +2
x +2
x +2

Vì
15


x2 ≥ 0
⇔ x2 + 2 ≥ 2
2
⇔ 2
≤1
x +2
2
⇔ 3+ 2
≤4
x +2
⇔ A≤4

Dấu “=” xảy ra khi x = 0
Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức A = 4 khi x = 0
C. BÀI TẬP TỔNG HỢP
Cho biểu thức
3
5x − 7  2 x + 3
 2

A=
+
− 2
: 2
 x − 2 2 x + 1 2 x − 3 x − 2  5 x − 10 x

a. Tìm điều kiện xác định
b. Chứng minh rằng A =

5x
với mọi x thuộc điều kiện xác định
2x + 1

c. Tính A khi x 2 − 3x + 2 =0
d. Tìm x nguyên để A nhận giá trị nguyên
e. Tìm x để A =

3
2

f. Tìm x để A + A = 0
g. Tìm x để A >

5
2

Hướng dẫn giải
Ta có 2 x 2 − 3x − 2 = 2 x 2 − 4 x + x − 2 = 2 x( x − 2) + ( x − 2) = (2 x + 1)( x − 2)
5 x 2 − 10 x = 5 x ( x − 2)

a. A xác định
x ≠ 2
x − 2 ≠ 0

2 x + 1 ≠ 0
x ≠ − 1


2
⇔ 5 x ≠ 0
⇔
 2x + 3
x ≠ 0


≠0
−3
 5 x ( x − 2)
x ≠
2


16


Vậy A xác định khi x ≠
b. Với điều kiện x ≠

−3
−1

;x ≠
; x ≠ 0; x ≠ 2
2
2

−3
−1
;x ≠
; x ≠ 0; x ≠ 2 ta có
2
2

 2
 2x + 3
3
5x − 7
 :
A = 
+
−
x
−
2
2
x
+
1
(
x
−

2
)(
2
x
+
1
)

 5 x ( x − 2)
 2( 2 x + 1)
 2x + 3
3( x − 2)
5x − 7
 :
= 
+
−
 ( x − 2)(2 x + 1) ( 2 x + 1)( x − 2) ( x − 2)(2 x + 1)  5 x( x − 2)
4 x + 2 + 3 x − 6 − 5 x + 7 5 x( x − 2)
.
( x − 2)(2 x + 1)
2x + 3
2x + 3
5 x ( x − 2)
5x
=
.
=
( x − 2)(2 x + 1) 2 x + 3
2x + 1

=

Vậy A =

5x
−3
−1
với x ≠ ; x ≠ ; x ≠ 0; x ≠ 2
2x + 1
2
2

c) Ta có A =

5x
−3
−1
với x ≠ ; x ≠ ; x ≠ 0; x ≠ 2
2x + 1
2
2

vì x 2 − 3x + 2 =0
⇔ ( x − 1)( x − 2 ) = 0
x −1 = 0
 x = 1(tm)
⇔
⇔
x − 2 = 0
 x = 2(ktm)

Thay x = 1 vào biểu thức A ta có
A=

5.1
5
=
2.1 + 1 3
5
3

Vậy A = khi x thỏa mãn x 2 − 3x + 2 = 0
d) Ta có A =
2A =

5x
−3
−1
với x ≠ ; x ≠ ; x ≠ 0; x ≠ 2
2x + 1
2
2

10 x
10 x + 5 − 5
5
=
= 5−
2x + 1
2x + 1

2x + 1

Với x nguyên để 2A có giá trị nguyên thì 5 −
mà 5 ∈ Z ⇒

5
∈Z
2x + 1

5
∈ Z ⇒ 2 x + 1 ∈ U (5) = { ± 1;±5}
2x + 1

Ta có bảng
2x+1

-1

1

5

-5

X

-1

0

2

-3

A

5

3
17


ĐCĐK

TM

KTM

KTM

TM

Vậy x ∈ { − 3;−1} thì A nhận giá trị nguyên
e. Ta có A =

5x
−3
−1
với x ≠ ; x ≠ ; x ≠ 0; x ≠ 2
2x + 1

2
2
3
2
5x
3
⇔
=
2x + 1 2
⇒ 10 x = 6 x + 3
⇔ 4x = 3
3
⇔ x = (tmđm)
4
A=

3
4

Vậy x = thì A =
f. Ta có A =

3
2

5x
−3
−1
với x ≠ ; x ≠ ; x ≠ 0; x ≠ 2
2x + 1

2
2
A +A=0
⇔ A = −A
⇔ A≤0
5x
⇔
≤0
2x + 1
5 x ≤ 0

2 x + 1 > 0
⇔
⇔
5 x ≥ 0

2 x + 1 < 0

ĐCĐKXĐ suy ra
Vậy

 x ≤ 0

−1
 x > − 1
 2 
2
⇔


x
≥
0

0 ≤ x < − 1 (vôlí )


2

−1
x
<

2


−1
2

−1
< x < 0 thì A + A = 0
2

g) Ta có A =

5x
−3
−1
với x ≠ ; x ≠ ; x ≠ 0; x ≠ 2

2x + 1
2
2

5
2
5x
5
⇔
>
2x + 1 2
A>

⇔

5x
5
− >0
2x + 1 2
18


10 x − 10 x − 5
>0
2(2 x + 1)
−5
⇔
>0
2( 2 x + 1)
⇔

Vì -5 < 0 nên 2(2x+1) < 0 ⇔ 2 x + 1 < 0 ⇔ x <
ĐCĐKXĐ suy ra
Vậy

−1
2

−3
1
≠x<−
2
2

−3
1
5
≠ x < − thì A >
2
2
2

3.3. Khả năng áp dụng của giải pháp:
Đề tài này được xây dựng, nghiên cứu và triển khai trong chương trình đại số
8, đại số 9. Đề tài này đã được cung cấp cho HS và GV trong quá trình ôn tập phụ
đạo, bồi dưỡng học sinh giỏi, đặc biệt trong quá trình ôn thi tuyển sinh vào THPT
những năm qua, làm chuyên đề báo cáo trước tổ chuyên môn ở những năm trước,
được bổ sung trong năm học này và được sự thống nhất cao của đồng nghiệp trong
đơn vị. Áp dụng đề tài trong quá trình phụ đạo bồi dưỡng HS đã mang lại những
kết quả tích cực.

3.4. Hiệu quả, lợi ích thu được hoặc dự kiến có thể thu được
do áp dụng giải pháp:
Nội dung của đề tài góp phần nâng cao kiến thức, tư duy toán học, khả năng
phân tích , tính toán, trình bày lời giải cho học sinh đồng thời giúp cho giáo viên
lựa chọn phương pháp hợp lí, phù hợp với từng bài, từng đối tượng học sinh để
giúp cho giáo viên và học sinh giải quyết tốt vấn đề này.
Sau khi tiến hành dạy thực nghiệm phụ đạo bồi dưỡng HS khối 8, kết hợp
với việc dự giờ của đồng nghiệp và đánh giá chất lượng học sinh qua bài kiểm tra,
qua kì thi HSG huyện tôi thấy đề tài đã đạt được hiệu quả:
- Học sinh nắm được phương pháp giải các dạng bài tập liên quan đến biến
đổi biểu thức hữu tỉ, giá trị của phân thức, học sinh trình bày được lời giải cho các
dạng bài tập, học sinh phân biệt được các dạng câu hỏi và bài tập, khắc phục được
các lỗi sai hay gặp, vận dụng trong các bài rút gọn biểu thức trong các kì thi đặc
biệt trong kì thi tuyển sinh vào THPT.
- Đối với các em học sinh khá giỏi, học sinh trong đội tuyển thực hiện thành
thạo các dạng bài tập. Trong nhiều năm áp dụng đề tài này,các em học sinh đội
tuyển toán 8 đã đạt kết quả cao trong các kì thi HSG của huyện, kì thi giải toán qua
mạng, các kì kiểm tra của phòng GD
3.5. Những người tham gia tổ chức áp dụng sáng kiến lần đầu : Không có
3.6. Các thông tin cần được bảo mật : Nội dung sáng kiến.
3.7. Các điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến:
19


Sáng kiến được áp dụng trong quá trình bồi dưỡng phụ đạo học sinh ôn thi
học sinh giỏi và trong quá trình ôn thi tuyển sinh vào THPT
3.8. Tài liệu kèm: Không có
4. Cam kết không sao chép hoặc vi phạm bản quyền
Tôi xin cam đoan không sao chép hoặc vi phạm bản quyền, mọi thông tin
nói trên là trung thực, đúng sự thật và hoàn toàn chịu trách nhiệm trước pháp luật.

T ây L ương, ngày 12 tháng 05 năm 2017
CƠ QUAN ĐƠN VỊ
ÁP DỤNG SÁNG KIẾN

TÁC GIẢ SÁNG KIẾN

Nguyễn Thị Anh

20