Sáng kiến kinh nghiệm: Giải bài toán hình học không gian bằng phương pháp tọa độ

Giải bài toán hình học không gian bằng
phơng pháp toạ độ

Ngời thực hiện:Lê Trung Tín

Sở giáo dục & đào tạo hà tây

Trờng THPT Chuyên Nguyễn
Hụê

Cộng hoà xã hội chủ nghĩa việt nam
Độc lập Tự Do Hạnh Phúc

đề tài sáng kiến kinh nghiệm
Năm học 2007 2008

I Sơ yếu lý lịch:
- Họ và tên: Lê Trung Tín
- Ngày tháng năm sinh: 1/5/1976
- Năm vào ngành: 1998
- Chức vụ : Giáo viên , đơn vị công tác: Trờng THPT Chuyên
Nguyễn Hụê
- Trình độ chuyên môn: Thạc sĩ ngành Toán , Hệ đào tạo:
Chính quy tập trung
- Bộ môn giảng dạy: Toán
Anh trình độ C

Trình độ ngoại ngữ: Tiêng

II Nội dung đề tài:
1- Tên đề tài: Giải bài toán hình học không gian bằng

phơng pháp toạ độ
2 Lý do chọn đề tài:
Trong toán học nói chung và trong hình học nói riêng
không có một phơng pháp nào chung để giải các bài toán.
Mỗi phơng pháp đều có những u, nhợc điểm riêng. Với mỗi
loại bài toán luôn đòi hỏi một phơng pháp cụ thể để giải
quyết một cách đơn giản nhất. Sự ra đời của phơng pháp
toạ độ đã đơn giản hoá đợc phần lớn các bài toán trong hình
học không gian. Thông qua phơng pháp toạ độ và phơng
pháp vectơ có thể xây dựng thêm một công cụ giải toán, cho
phép đại số hoá hình học, hình học hoá đại số.
2


Giải bài toán hình học không gian bằng
phơng pháp toạ độ

Ngời thực hiện:Lê Trung Tín

Với học sinh lớp 12, các em đã đợc làm quen với phơng
pháp toạ độ, vì thế có thể sử dụng phơng pháp toạ độ trong
không gian để giải quyết các bài toán hình học không gian
một cách thuận tiện.
3- Phạm vi , đối tợng, thời gian thực hiện:
- Khách thể: Học sinh lớp 12.
- Đối tợng nghiên cứu: Một số bài toán hình học không gian. Phạm vi nghiên cứu: Các bài toán sơ cấp về hình học không
gian trong chơng trình PTTH.
- Thực hiện đề tài trong các giờ bài tập của học sinh lớp 12
chuyên Tin, 12 chuyên Pháp, 12 A4 năm học 2007 2008
III Quá trình thực hiện đề tài:

1 Tình trạng thực tế trớc khi thực hiện đề tài:
Trớc khi thực hiện đề tài , tôi đã khảo sát chất lợng của
học sinh thông qua kiểm tra viết sử dụng phơng pháp toạ độ
trong không gian để giải quyết các bài toán hình học không
gian. Tôi đã tiến hành kiểm tra qua bài toán sau: Tìm lời giải
bằng phơng pháp toạ độ:
Cho hình lập phơng ABCD. ABCD cạnh a . Tìm
khoảng cách giữa hai mặt phẳng (ABD) và (CBD).
30% học sinh biết Dựa vào giả thiết để lựa chọn gốc toạ độ
sao cho toạ độ các điểm trong bài toán đợc thuận tiện.
10% học sinh biết cách giải bài tập hoàn chỉnh tối u
Chất lợng bài giải của học sinh thấp, kĩ năng giải toán dạng
này yếu
2- Các biện pháp thực hiện đề tài:
Bớc 1: Hệ thống hoá các kiến thức
Bớc 2: Đa ra một số ví dụ điển hình
Bớc 3: Rèn luyện kĩ năng giải các bài tập ứng cho học sinh
thông qua một số bài tập bổ sung nâng cao. Gợi mở cho học
sinh những hớng phát triển, mở rộng .
3 Kết quả thực hiện đề tài:
Tôi đã tiến hành kiểm tra qua bài toán sau: Tìm lời giải bằng
phơng pháp toạ độ: Cho hình vuông ABCD cạnh bằng a. Từ
trung điểm H của cạnh AB dung SH vuông góc với mp(ABCD)
sao cho nhị diện cạnh AD của hình chóp S.ABCD có số đo
bằng 600.
a. Tính SH và khoảng cách từ H đến mp(SCD).

3

Giải bài toán hình học không gian bằng
phơng pháp toạ độ

Ngời thực hiện:Lê Trung Tín

b. Gọi K là trung điểm của cạnh AD. Chứng minh CK SD
và tính số đo nhị diện (A, SD, C).
c. Tính góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (SCK).
Kết quả :
100% học sinh biết Dựa vào giả thiết để lựa chọn gốc toạ
độ sao cho toạ độ các điểm trong bài toán đợc thuận tiện.
80% Phiên dịch đúng từ bài toán hình học không gian sang
ngôn ngữ toạ độ
75% học sinh biết cách giải bài tập hoàn chỉnh tối u.

III

Những bài học kinh nghiệm và kiến nghị sau khi
thực hiện đề tài
Qua kết quả điểu tra khảo sát thực tiễn ta thấy rằng
khi giải các bài toán hình học không gian, học sinh thờng
không chú ý đến phơng pháp toạ độ và tính u việt của nó
hoặc rất lúng túng khi giải bằng phơng pháp toạ độ. Do đó
học sinh rất ngại khi giải các bài toán không gian.
Vì vậy, để giúp học sinh có hứng thú học môn hình
học không gian và thấy đợc tính u việt của phơng pháp toạ
độ khi giải bài tập hình học không gian, thầy giáo cần đề
ra giải pháp khi giải bài toán hình học không gian bằng phơng pháp toạ độ.
- Lựa chọn những bài toán có thể quy về toạ độ trong
hệ toạ độ thích hợp.

- Dựa vào giả thiết để lựa chọn gốc toạ độ sao cho toạ
độ các điểm trong bài toán đợc thuận tiện.
- Phiên dịch đúng từ bài toán hình học không gian
sang ngôn ngữ toạ độ và ngợc lại.

Nhận xét, đánh giá , xếp loại
của

Hà Đông, ngày 1 tháng 6 năm
2008

Hội đồng khoa học cơ sở

Tác giả

(Chủ tịch HĐ ký, đóng dấu)

4


Giải bài toán hình học không gian bằng
phơng pháp toạ độ

Ngời thực hiện:Lê Trung Tín

Lê Trumg Tín

5

Giải bài toán hình học không gian bằng
phơng pháp toạ độ

Ngời thực hiện:Lê Trung Tín

Nội dung
------

- - - - - -

Chơng I

Một số kiến thức cơ bản.
1/ Hệ trục toạ độ.
Cho ba trục toạ độ xOx,
z
yOy, zOz vuông góc với nhau
từng
đôi một tại điểm O. Gọi
r r r
i, j , k là các véctơ đơn vị tr r
ơng ứng trên các trục xOx,
k j
yOy, zOz.
rO
Hệ ba trục toạ độ nh
i
vậy gọi là hệ trục toạ độ Đề
các vuông góc Oxyz hoặc x
đơn giản là toạ độ Oxyz.

+ Trục Ox gọi là trục hoành.
+ Trục Oy gọi là trục tung.
+ Trục Oz gọi là trục cao.
+ Điểm O gọi là gốc của hệ toạ độ.

y

2/ Vectơ đối với hệ toạ độ.
r

+ Cho hệ toạ độ Oxyz và một vectơ tuỳ ý v . Vì ba
r r r
vectơ i, j , k không đồng phẳng nên có duy nhất bộ ba số x,
r r r r
y, z sao cho: v = xi + y j + zk
r

Bộ ba số (x; y; z) gọi là toạ độ của vectơ v , kí hiệu là
r
r
v( x; y; z ) hoặc v = ( x; y; z ) . Số x gọi là hoành độ, số y gọi là tung
r
độ và số z gọi là cao độ của vectơ v .
+ Với hai điểm M 1 ( x1 , y1 , z1 ) và M 2 ( x2 , y2 , z2 ) thì:
uuuuuur
M 1M 2 = ( x2 x1 , y2 y1 , z2 z1 )

6

Giải bài toán hình học không gian bằng
phơng pháp toạ độ

Ngời thực hiện:Lê Trung Tín

ur

uu
r

+ Nếu có hai vectơ v1 = ( x1 , y1 , z1 ) và v2 = ( x2 , y2 , z2 ) thì:

ur uu
r

(i). v1 + v2 = ( x 1 + x2 , y1 + y2 , z1 + z2 )
ur uu
r
(ii). v1 v2 = ( x 1 x2 , y1 y2 , z1 z2 )
ur
(iii). kv1 = (kx1 , ky1 , kz1 )
ur uu
r
(iv). v1.v2 = x 1.x2 + y1. y2 + z1.z2
ur uu
r
(v). v1 v2 x1 x2 + y1 y2 + z1 z2 = 0
ur
(vi). Tích có hớng của hai vectơ v1 = ( x1 , y1 , z1 ) và
uu

r
r
v2 = ( x2 , y2 , z2 )
là một vectơ
đợc xác định bởi:
v
ur uu
r
r y
v1 , v2 = v 1


y2

z1 z1
,
z2 z2

x1 x1
,
x2 x2

y1
ữ
y2

3/ Khoảng cách giữa hai điểm.
Cho hai điểm M 1 ( x1 , y1 , z1 ) và M 2 ( x2 , y2 , z2 ) , thì khoảng cách
uuuuuur
d giữa M 1 và M 2 là độ dài của vectơ M 1M 2 :

uuuuuur
d = M 1M 2 =

( x1 x2 )

2

+ ( y1 y2 ) + ( z1 z2 ) .
2

2

4/ Chia một đoạn thẳng cho trớc theo một tỷ số
cho trớc.
Điểm M ( x, y, x ) chia đoạn thẳng M 1M 2
uuuuur
uuuuur
MM 1 = k MM 2 đợc xác định bởi công thức:

theo tỉ số k:

x1 kx2

x = 1 k

y1 ky2

y =
1 k

z1 kz2

z = 1 k


Đặc biệt nếu k= - 1, thì M là trung điểm của M 1M 2 , khi đó
toạ độ của M là:

7


Giải bài toán hình học không gian bằng
phơng pháp toạ độ

Ngời thực hiện:Lê Trung Tín

x1 + x2

x
=

2

y1 + y2

y =
2

z1 + z2

z = 2


5/ Góc giữa hai vectơ
ur

uu
r

Góc giữa hai vectơ v1 = ( x1 , y1 , z1 ) và v2 = ( x2 , y2 , z2 ) xác định
bởi:

cos =

x1.x2 + y1. y2 + z1.z2
x11 + y11 + z11 . x22 + y22 + z22

.

6/ Hai vectơ cùng phơng
ur

r

uu
r

r

Hai vectơ v1 = ( x1 , y1 , z1 ) 0 và v2 = ( x2 , y2 , z2 ) 0 cùng phơng với

nhau ukhi
và
chỉ khi tồn tại số thực k sao cho:
u
r
ur
v2 = kv1 cả ba định thức sau đều bằng 0:
y1
y2

z1 z1
,
z 2 z2

x1 x1
,
x2 x2

y1
y2

.

7/ Phơng trình mặt phẳng.
a. Khái niệm.
r

r

Một vectơ n 0 đợc gọi là một vectơ pháp tuyến của

mặt phẳng ( ) nếu nằm trên đờng thẳng vuông góc với ( ) .
Mặt phẳng ( ) hoàn toàn xác định nếu cho biết một
điểm M 0 ( ) và một vectơ pháp tuyến của nó.
b. Định lý.
Mỗi mặt phẳng là tập hợp tất cả những điểm có toạ độ
thoả mãn phơng trình dạng:
Ax + By + Cz + D = 0

( A2 + B 2 + C 2 0)

8


Giải bài toán hình học không gian bằng
phơng pháp toạ độ

Ngời thực hiện:Lê Trung Tín

và ngợc lại mỗi phơng trình dạng đó là phơng trình của một
mặt phẳng.
8/ Phơng trình đờng thẳng
r

a. Định nghĩa: Vectơ a là vectơ chỉ phơng của đờng
thẳng (d)
r r
a 0
r
a //(d )

b. Phơng trình tổng quát của đờng thẳng:
Vì đờng thẳng (d) trong không gian có thể xem là giao
tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q) nào đó, nên phơng
trình tổng quát của (d) có dạng:
A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0
(d ) :
A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0

( 1)
với điều kiện
( 2)

A1 : B1 : C1 A 2 : B2 : C2

trong đó (1), (2) theo thứ tự là phơng trình của hai mặt
phẳng (P) và (Q).
9/ Phơng trình mặt cầu
Trong hệ toạ độ Oxyz tập hợp các điểm cách điểm
I (a, b, c) cho trớc một khoảng R>0 không đổi là một mặt cầu
có phơng trình:
( x a ) 2 + ( y b) 2 + ( z c ) 2 = R 2 .

9


Giải bài toán hình học không gian bằng
phơng pháp toạ độ

Ngời thực hiện:Lê Trung Tín

Chơng II

Giải bài toán hình học không gian bằng
phơng pháp toạ độ.
I/ Hớng dẫn học sinh sử dụng ph ơng pháp toạ
độ.
Để giải các bài toán hình học nói chung và hình học
không gian nói riêng chúng ta hải dựa vào các yếu tố, các
quan hệ về hình học, đồng phẳng, song song, vuông góc,
bằng nhau. . . Nếu ta chọn một hệ toạ độ thích hợp thì ta có
thể chuyển thể bài toán hình học sang bài toán đại số với
những số, những chữ, vectơ với phép toán trên nó. Với bài
toán đại số này chúng ta có sự định hớng rõ ràng hơn và khả
năng tìm đợc lời giải nhanh hơn. Để thực hiện đợc điều đó,
đòi hỏi học sinh phải có sự luyện tập, vận dụng các kiến thức
và cần nắm đợc quy trình giải toán bằng phơng pháp toạ
độ thích hợp.
Bớc 1: Chọn hệ toạ độ thích hợp.
Bớc 2: Phiên dịch bài toán từ ngôn ngữ hình học sang
ngôn ngữ toạ độ.
Bớc 3: Dùng các kiến thức về toạ độ để giải toán.
Bớc 4: Phiên dịch kết quả bài toán từ ngôn ngữ toạ độ
sang ngôn ngữ hình học.
Trong các bớc trên, bớc 2 và bớc 4 học sinh có thể hoàn
toàn làm đợc nhờ các kiến thức liên hệ giữa hình học không
gian và hệ toạ độ đã biết, ở bớc 3 học sinh có thể sử dụng
các kiến thức trên hệ toạ độ một cách sáng tạo để giải các
bài toán. Buớc 1 học sinh gặp khó khăn hơn cả do không có
phơng pháp cụ thể. Để khắc phục khó khăn đó, học sinh
phải tập luyện và phải biết dựa vào một số dặc điểm của

bài toán này. Chọn hệ toạ độ sao cho gốc trùng với điểm cố
định đã biết, dựa vào các đờng thẳng vuông góc để gắn
10


Giải bài toán hình học không gian bằng
phơng pháp toạ độ

Ngời thực hiện:Lê Trung Tín

với các trục toạ độ, các điểm đã biết gắn với các toạ độ đơn
giản, thuận lợi.

II/Giải bài toán định lợng trong hình học không
gian.
Đối với loại bài toán tính toán, nếu không chuyển về phơng pháp toạ độ thì rất khó khăn vì hầu hết sử dụng đến
khoảng cách mà chỉ có phơng pháp toạ độ ta mới biểu diễn
đợc khoảng cách một cách đơn giản.
phơng pháp chung

Ta thực hiện theo các bớc sau:
Bớc 1: Thiết lập hệ trục toạ độ thích hợp, từ đó suy ra
toạ độ của các điểm cần thiết.
Bớc 2: Thiết lập biểu thức giải tích cho giá trị cần xác
định, thông thờng bao gồm:
- Khoảng cách từ điểm đến đờng thẳng hoặc mặt
phẳng.
- Góc, khoảng cách giữa hai đờng thẳng chéo nhau.
- Tính độ dài đoạn thẳng.
Chú ý: Với hình hộp chữ nhật ABCDABCD ta thờng

thết lập hệ trục toạ độ dựa trên ba cạnh AB, AD và AA tơng
ứng với các trục Ox, Oy, Oz.
Bài 1: Cho hình lập phơng ABCD. ABCD cạnh bằng a.
a.
Tính góc và khoảng cách giữa hai đờng thẳng AB
và AC.
b.
Gọi K là trung điểm DD. Tính góc và khoảng cách
giữa 2 đờng thẳng CK và AD.
c.
Mặt phẳng (P) qua BB và hợp với hai đờng thẳng
BC, BD hai góc bằng nhau. Tính các góc này.
z

Giải.

A
B

Chọn hệ trục toạ độ Axyz với

x

B A

C

D
D y11

C


Giải bài toán hình học không gian bằng
phơng pháp toạ độ

Ngời thực hiện:Lê Trung Tín

B Ax, D Ay và A Az , khi đó:
A ( 0;0;0 ) , B ( a;0;0 ) , C ( a; a;0 ) , D ( 0; a;0 )

a.

A ( 0;0; a ) , B ( a;0; a ) , C ( a; a; a ) , D ( 0; a; a ) .
uuur
uuuu
r
Ta có AB ( a;0; a ) & AC ( a; a; a )
Gọi là góc tạo bở AB và AC ta có:
uuur uuuu
r
AB. AC

cos = uuuur uuuu
r =0 = .
2
A ' B . AC '

Gọi d1 là khoảng cách giữa AB và AC. ta có:
uuuur uuuur uuur

A ' B, A ' C . AA '
a


d1 =
=
uuuur uuuur
.
6
A ' B, A ' C



a uuur
a uuuur

K
0;
a
;
,
KC
a
;0;
b. Ta có:
ữ

ữ& A ' D ( 0; a; a ) .
2
2

Gọi là góc tạo bởi CK và AD, ta có:
uuur uuuur
KC. A ' D
1
cos = uuur uuuur =
.
10
KC . A ' D

Gọi d2 là khoảng cách giữa CK và AD, ta có:
uuur uuuur uuur
KC , A ' D , KD a


d2 =
=
uuur uuuur
3
KC , A ' D



c. Ta có BB là giao tuyến của hai mặt phẳng (ABBA) và
(BCCB) nên:
y = 0
x a = 0
( BB ' ) :
x = a

y = 0

( BB ') :

Mặt phẳng (P) qua BB có dạng: r

( P ) : x a + my = 0 ( P ) : x + my a = 0 vtpt n ( 1; m;0 )
ur
Vì (P) hợp với BC, BD (có vtcp là u1 ( 0;1;1) và

góc bằng nhau ( giả sử là ) nên:
sin =

m
2 ( m + 1)
2

=

1 m

3 ( m + 1)
2

uu
r
u2 ( 1; 1;1) ) hai

3 m = 2 1 m m 2 + 4m 2 = 0

m = 2 6 .
Với m = 2 + 6 ta đợc:

12


Giải bài toán hình học không gian bằng
phơng pháp toạ độ

Ngời thực hiện:Lê Trung Tín

6 2

sin =

2


(

)

2
6 2 + 1


=

6 2
22 8 6

6 2

=

( 4 6)

2

6 1
5

=

Với m = 2 6 ta đợc:
sin =

6+2

(

)

2 6 2 + 1


2

=

6+2
22 + 8 6

=

6+2

( 4+ 6)

2

=

6 +1
5 .

Bài 2: Cho tứ diện ABCD có góc tam diện vuông đỉnh A,
AB=a. AC=b, AD=c.
a) Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ
diện ABCD.
b) Tính khoảng cách từ đỉnh A đến mp(ABCD).
Giải

D

Chọn hệ trục toạ độ Oxyz sao cho:
A = (0;0;0); B = (a;0;0)
C = (0; b;0); D = (0;0; c)

2

g

A I

C y

B

a/ Gọi I là tâm mặt cầu ngoại tiếp
tứ diện, giả sử toạ độ của I là I ( x; y; z ) .
a

x = 2

b

Toạ độ điểm I là:
Tacó y =
2

c

z = 2
* Xác định bán kính R
2

z

x

a b c
I = ( ; ; ).
2 2 2

2

a
b
c
1 2
R = IA =
+ +
=
a + b2 + c 2
4
4 4
2
a b c
Vậy mặt cầu ngoại tiếp tứ diện có tâm I = ( ; ; )
2 2 2
1 2
a + b2 + c 2
và bán kính: R =
2
13


Giải bài toán hình học không gian bằng
phơng pháp toạ độ

Ngời thực hiện:Lê Trung Tín

b. Phơng trình mp(BCD):
x y z
x y z
+ + = 1 + + 1 = 0
a b c
a b c
Gọi khoảng cách từ A đến mp(BCD) là h. ta có:
0 0 0
+ + 1
1
abc
a b c
h=
=
=
1
1
1
1
1 1
a 2b 2 + b 2 c 2 + c 2 a 2
( )2 + ( )2 + ( )2
+
+
a
b
c

a2 b2 c2
Vậy khoảng cách từ A đến mp(BCD) là:
abc
h=
a 2b 2 + b 2 c 2 + c 2 a 2
Bài 3:
Chứng minh rằng
trong hình lập phơng
ABCD.ABCD có AC vuông góc với mặt phẳng (BCD).
Giải

z

A

Chọn hệ toạ độ nh hình vẽ.
B
Giả sử hình lập phơng có cạnh a.
Ta có toạ độ các điểm là:
A
A(0;0;0); B(a;0;a); C(a;a;0);
O
D(0;a;a); C(a;a;a).
B
x
Ta
có:
uuuu
r
uuuu

r
AC = ( a; a; a ) ; BC = ( 0; a; a )
uuuur
D ' C = ( a;0; a ) .

uuuu
r uuuu
r
uuuu
r uuuur
AC .BC = a.0 + a.a + a. ( a ) = 0 AC ' B ' C AC ' B ' C
uuuu
r uuuur
uuuu
r uuuur
AC '.D ' C = a.a + a.0 + a.(a ) = 0 AC ' D ' C AC ' D ' C
Từ (1) và (2) suy ra AC ' ( B ' CD ') .

D
C
D y
C

(1)
(2).

Vậy suy ra điều phải chứng minh.
* Bài tập làm thêm
Bài 1: Cho hình lăng trụ tứ giác đều ABCDABCD đờng cao
h. Mặt phẳng (ABD) hợp với mặt bên (ABBA) một góc .

Tính thể tích và diện tích xung quanh hình lăng trụ.

14


Giải bài toán hình học không gian bằng
phơng pháp toạ độ

Ngời thực hiện:Lê Trung Tín

Bài 2: Cho hình hộp ABCDABCD có đáy ABCD là hình thoi
tâm O cạnh bằng a, góc àA = 600 , BO vuông góc với đáy ABCD,
cho BB=a.
a. Tính góc giữa cạnh bên và đáy.
b.
Tính khoảng cách từ B, B đến mp(ACD)
Bài 3: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông
cạnh bằng a, SA vuông góc với đáy. Tính độ dài đoạn SA biết
rằng số đo góc nhị diện (B. SC. D) bằng 1200.
Bài 4: Cho hình vuông ABCD cạnh bằng a. Từ trung điểm H
của cạnh AB dung SH vuông góc với mp(ABCD) sao cho nhị
diện cạnh AD của hình chóp S.ABCD có số đo bằng 600.
d. Tính SH và khoảng cách từ H đến mp(SCD).
e. Gọi K là trung điểm của cạnh AD. Chứng minh CK SD
và tính số đo nhị diện (A, SD, C).
f. Tính góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (SCK).

III/ Giải bài toán định tính trong hình học
không gian
phơng pháp chung

Ta thực hiện theo các bớc sau:
Bớc 1: Thiết lập hệ trục toạ độ thích hợp, từ đó suy ra
toạ độ của các điểm cần thiết.
Bớc 2: Thiết lập biểu thức giải tích cho điểu kiện, từ đó
suy ra kết quả cần chứng minh.
Bài 1: Cho tứ diện ABCD có các cặp cạnh bằng nhau:
AB=CD=a;
BC=AD=b;
AC=BD=b.
Chứng minh rằng đoạn thẳng nối hai trung điểm vủa
z cạnh đó.
cặp cạnh là đờng vuông góc chung của hai
B

g

I

Giải
A
x

C

y

gK

D

15


Giải bài toán hình học không gian bằng
phơng pháp toạ độ

Ngời thực hiện:Lê Trung Tín

Gọi I, K lần lợt là trung điểm AB và CD.
IK AB
Ta cần chứng minh:
IK CD
Chọn hệ trục toạ độ Đề các Oxyz sao cho
A(0;0;0) .
Giả sử trong hệ trục toạ độ đó
B = ( x1; y1; z1 ); C = ( x2 ; y2 ; z2 ); D = ( x3 ; y3 ; z3 )
Khi đó
x y z
x + x y + y3 z2 + z3
I = ( 1 ; 1 ; 1 );
K =( 2 3; 2
;
)
2 2 2
2
2
2
uur x + x x y + y y z + z z
3
1

IK = ( 2 3 1 ; 2
; 2 3 1)
2
2
2
Theo giả thiết, ta có:

uuu
r
AB = AB = a x12 + y12 + z12 = a 2
uuur
AC = AC = b x22 + y22 + z22 = b 2
uuur
AD = AD = c x32 + y32 + z32 = c 2
BC = c BC 2 = c 2 ( x2 x1 ) 2 + ( y2 y1 ) 2 + ( z2 z1 ) 2 = c 2
Ta có

a 2 + b 2 2( x1 x2 + y1 y2 + z1 z2 )

= c2

a2 + b2 c2
x1 x2 + y1 y2 + z1 z2 =
2
2
2
Tơng tự ta cũng có: BD = b BD = b
a 2 + b2 c 2
x1 x2 + y1 y2 + z1 z2 =
2

2
2
2
b +c a
và
x2 x3 + y2 y3 + z2 z3 =
2
uur uuu
r
x +x x
y + y3 y1
z +z z
IK . AB = x1 2 3 1 + y 2
+ z1 2 3 1
2
2
2

16


Giải bài toán hình học không gian bằng
phơng pháp toạ độ

Ngời thực hiện:Lê Trung Tín

x1 x2 + x1 x3 x12 + y1 y2 + y1 y3 y12 + z1 z2 z12
2
2
2

2
2
2
a + b c a + c b2
ì
a2
2
2
=
2
=0
uur uuu
r
IK AB
uur uuur
Chứng minh tơng tự ta có: IK CD
uur uuu
r
IK AB
uur uuur
IK CD
IK là đờng vuông góc chung của cặp cạnh đối diện
AB và CD.
Chứng minh tơng tự ta cũng có IK là đờng vuông góc
chung của các cặp đối diện còn lại.
ĐPCM.
=

Bài 2: Cho hình lập phơng ABCD. ABCD cạnh a.
Trên BD và AD lần lợt lấy hai điểm thay đổi M,N sao cho

DM = AN = x
(0 x a 2)
CMR: MN luôn song song với một mặt phẳng cố định.
Giải
Chọn hệ trục toạ độ Oxyz sao cho:
A = (0;0;0); B = (a;0;0)
D = (0; a;0); A = (0;0; a)
Khi đó
z
C = ( a; a;0)
A
D = (0; a; a)
Gọi M = ( x1; y1; z1 ), N = ( x2 ; y2 ; z2 )
B
A
x

B

D
C
N
M

D y
17
C


Giải bài toán hình học không gian bằng

phơng pháp toạ độ

Ngời thực hiện:Lê Trung Tín

uuur
uuu
r
BC = (0; a;0); BA = (a;0;0);
r
Ta có: uuuu
MN = ( x2 x1; y2 y1; z2 z1 )
Vặt khác theo giả thiết:
DM = AN = x
Đặt k =

(0 x a 2)
x
a 2

(0 k 1)

x1 a = k (a ) x1 = a ka
uuuur
uuur


DM = k DB y1 = ka
y1 = ka
z = 0
z = 0

1
1
x2 = ka
uuur
uuuu
r

AN = k AD y2 = 0
z = ka
2
uuur uuur uuuu
r
Xét D ( BC , BA ', MN ) = a. ( a ) . ( z2 z1 ) + 0. ( y2 y1 ) .0 + ( x2 x1 ) .0.a

( x2 x1 ) . ( a ) .0 a ( y2 y1 ) .a 0.0. ( z2 z1 )

= a 2 ( z2 z1 ) a 2 ( y2 y1 )
= a 2 ( z2 z1 y2 + y1 )
= a2 ( ka 0 0 ka )

uuur uuur uuuu
r =0
Suy ra BC , BA ', MN luôn luôn đồng phẳng.

Suy ra MN luôn luôn song song với (ABCD) cố định.
Bài 3: Cho tứ diện DABC trong đó góc tam diện đỉnh D là
vuông. Gọi O là tâm hình cầu ngoại tiếp tứ diện. Chứng
minh nếu ( ) là mặt phẳng bất kỳ qua O thì khoảng cách
từ D xuống ( ) bằng tổng đại số 3 khoảng cách A, B, C
xuống ( ) .

z

Giải
Chọn hệ trục toạ độ Oxyz

A

vuông góc sao cho:
D
Gọi O là tâm hình cầu ngoại
tiếp tứ diện. thì toạ độ của O

O

C

y

B
x
18


Giải bài toán hình học không gian bằng
phơng pháp toạ độ

Ngời thực hiện:Lê Trung Tín

b c a
là: O ; ; ữ

2 2 2
Mặt phẳng ( ) bất kỳ đi qua O có dạng:
x + y + z + d = 0

Không mất tính tổng quát. giả sử d 0
Do ( ) qua O nên:
b
c
a
+ + + d = 0
2
2
2
b + c + a + 2d = 0 ( 1)




Kí hiệu hD , hA , hB , hC tơng ứng là khoảng cách từ D, A, B, C xuống
mặt phẳng ( ) . Theo công thức tính khoảng cách ta có:
hD =
hB =
hA =
hC =

d

+ +
2

2

2

a + d
2 + 2 + 2

a + d
+ +
2

2

2

c+d
+ +
2

2

2

=

d

+ 2 + 2
2

a + d
2 + 2 + 2

a + d
2 + 2 + 2
c + d
+ 2 + 2
2

, ( 2)
= hB Sgn ( a + d ) , ( 3)
= hA Sgn ( a + d ) , ( 4 )
= hC Sgn ( c + d ) , ( 5 )

Cộng trừ vế (3), (4), (5) ta đợc:
b + c + a + 3d
2 + 2 + 2

= Sgn ( a + d ) hA + Sgn ( b + d ) hB + Sgn ( c + d ) hC

( 6)

Từ (1), (2), (6) suy ra:
hD = Sgn ( a + d ) hA + Sgn ( b + d ) hB + Sgn ( c + d ) hC

Điều đó chứng tỏ hD là tổng đại số của hA , hB , hC

19


Giải bài toán hình học không gian bằng
phơng pháp toạ độ

Ngời thực hiện:Lê Trung Tín

1

Chú ý: Sgn( x) = 0
1


x>0
x=0
x<0

*Bài tập làm thêm.
Bài 1: Cho hình lập phơng ABCDABCD cạnh bằng a. CMR
khoảngcách từ một điểm bất kì trong không gian đến một
trong các đờng thẳng AA, AC, CD không thể đồng thời nhỏ
hơn

a
.
2

Bài 2: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông
cạnh ằng a, SA vuông góc với đáy. Gọi M, N là hai điểm theo
a
2

thứ tự thuộc BC, DC sao cho BM = . DN =

3a
. CMR hai mặt
4

phẳng (SAM) và (SMN) vuông góc với nhau.
Bài 3: Đờng thẳng (d) tạo với 2 đờng thẳng (d1) và (d2) cắt
nhau các góc bằng nhau, ngoài ra nó không vuông góc với
mặt phẳng ( ) chứa các đờng thẳng này. CMR hình chiếu
vuông góc (d) của đờng thẳng (d) lên mặt phẳng ( ) cũng
tạo thành những góc bằng nhau với 2 đờng thẳng (d1) và (d2)

20


Giải bài toán hình học không gian bằng
phơng pháp toạ độ

Ngời thực hiện:Lê Trung Tín

Iv/ Giải bài toán về điểm và quỹ tích trong hình học
không gian
phơng pháp chung

Ta thực hiện theo các bớc sau:
Bớc 1: Thiết lập hệ trục toạ độ thích hợp, từ đó suy ra
toạ độ của các điểm cần thiết.
Bớc 2: Thiết lập biểu thức giải tích cho điểm càn tìm
quỹ tích, từ đó suy ra quỹ tích của nó.
Bài 1:
Cho hình lăng trụ đứng ABCA1B1C1 có đáy ABC
vuông cân với AB=AC=a và AA1=h. Gọi E, F lần lợt là trung
điểm của BC và A1C1. Tìm trên đoạn EF điểm I cách đều
hai mặt phẳng (ABC) và (ACC1A1). Tính khoảng cách đó.
Giải.
z
Chọn hệ trục toạ độ Axyz với
Ax, khi đó:

A1
F

C1

A

C

B1

A(0;0;0). B(a;0;0). C(0;a;0).
A1(0;0;h). B1(a;0;h). C1(0;a;h).
Vì E, F là trung điểm của

x

BC và A1C1 nên:
a a
2 2

B

B

y

E

a
2

E ( , ,0) và F (0, , h) .
Phơng trình đờng thẳng EF đợc cho bởi:
a a

x= t

a a
2 2


Qua E ( 2 , 2 ,0)
a

EF :
EF y =
t R.
uuur a
2
vtcp EF ( ,0, h)

z = ht

2



21


Giải bài toán hình học không gian bằng
phơng pháp toạ độ

Ngời thực hiện:Lê Trung Tín

a
2

a a
2 2

Vì I EF nên I ( t , , ht ) . t[0. 1].
Vì I cách đều (ABC) và (ACC1A1) nên
a a

a
ah a ah
t = ht t =
I(
, ,
).
2 2
a + 2h
a + 2h 2 a + 2h

Khi đó điểm I chia đoạn EF theo tỉ sô k, tức là:
a
x kxF
a
a
xI = E

= 2 k=
1 k
a + 2h 1 k
2h

*Khoảng cách từ I đến mặt phẳng (ABC) và (ACC1A1) là
d = zI =

ah
.
a + 2h

Bài 2: Cho 2 điểm A, B cố định. Tìm tập hợp các điểm M

sao cho:
AM:BM=k. với 0Giải
Chọn hệ trục toạ độ Oxyz sao cho A( - a;0;0) & B(a;0;0),
khi đó với điểm M(x;y;z) ta có:
2
2
AM
AM 2 ( x + a ) + y + z
= k k2 =
=
BM
BM 2 ( x a ) 2 + y 2 + Z 2
2

2

a(1+ k2 )
2ak
2
2
x +

+
y
+
z
=

2 ữ

1 k 2
1 k


2

Phơng trình trên là phơng trình mặt cầu có:
a ( 1 + k 2 )

2ak
ữ bán kính R =
;0;0
tâm I
.
2
ữ
1 k
1 k 2



22


Giải bài toán hình học không gian bằng
phơng pháp toạ độ

Ngời thực hiện:Lê Trung Tín

*Bài tập làm thêm.

Bài 1: Trong mặt phẳng cho đờng tròn (C) đờng kính
AB=2R, SA=h (0M là điểm di động trên đờng tròn (C). Tính h theo R để tồn
tại điểm M trên (C) để đoạn nối trung điểm hai đoạn AM và
SB là đoạn vuông góc chung của chúng, khi đó tính độ dài
của đoạn vuông góc chung này.
Bài 2: Cho hình trụ có hai đáy là hai đờng stròn tâm O và
O1, bán kính R, chiều cao hình trụ bằng h. Trên hai đờng
tròn (O) và (O1) có hai điểm di động A, B. Gọi I, K theo thứ tự
là trung điểm OO1 và AB.
a. CMR IK là đờng vuông góc chung của OO1 và AB.
b. Tính độ dài IK trong các trờng hợp:
+ AB=kh. với 1
4R2
h2

uuu
r uuur

+ ( OA, O1B ) =
Từ đó suy ra quỹ tích điểm K khi AB di động.
Bài 3: Cho góc tam diện vuông Oxyz trên Ox, Oy, Oz lấy các
điểm A, B, C sao cho OA=OB=OC. Giả sử (d) là đờng thẳng
qua O, các điểm A, B, C là các điểm đối xứng với A, B, C
qua (d). Các mặt phẳng đi qua A, B, C tơng ứng vuông góc
với các đờng thẳng OA, OB, OC cắt nhau tại M. Tìm tập hợp
23

Giải bài toán hình học không gian bằng
phơng pháp toạ độ

Ngời thực hiện:Lê Trung Tín

các điểm M.

24


Giải bài toán hình học không gian bằng
phơng pháp toạ độ

Ngời thực hiện:Lê Trung Tín

-

Tài liệu tham khảo
1. Đặng Khắc Nhân, Lê Đỗ Tập. Giải các bài toán hình
học trong không gian bằng phơng pháp toạ độ. NXB
Giáo dục - 1997.
2. Phan Huy Khải, Phơng pháp toạ độ để giải các bài
toán sơ cấp. NXB Thành phố Hồ Chí Minh
3. Văn Nh Cơng, Trần Đức Huyên. Hình học 11. NXB Giáo
dục - 1993
4. Lê Hồng Đức, Lê Hữu Trí. Phơng pháp giải toán hình
học giải tích trong không gian. Nhà xuất bản Hà Nội 2002.

25

Giải bài toán hình học không gian bằng
phơng pháp toạ độ

Ngời thực hiện:Lê Trung Tín

Mục lục
Nội
dung...4
Chơng
I.
Một
số
kiến
thức
cơ
bản







......
..2
Chơng II. Giải bài toán hình học không gian bằng phơng
pháp toạ độ.4
1. Hỡng dẫn học sinh sử dụng phơng pháp toạ
độ.......5

2. Giải bài toán định lợng trong hình học không
gian.......5
3. Giải bài toán định tính trong hình học không
gian..9
4. Bài toán về điểm và quỹ tích trong không
gian..13

26