Bài giảng điện tử: Bài tập về phương trình đường thẳng trong không gian

Tiết 40
Bài tập: PHƯƠNG TRÌNH
ĐƯỜNG THẲNG TRONG
KHÔNG GIAN (Tiếp theo)
Giáo viên : Nguyễn Văn Tình
Đơn vị: Trường THPT Pò Tấu


A. Lý thuyết

1. Phương trình tham số của đường thẳng d đi qua M(xo; yo; zo)
r
có vtcp: a = (a1; a2; a3)
 x = xo + a1t

d :  y = yo + a2t ; t ∈ R
z = z + a t
o
3


2. Phương trình chính tắc của d:
Với

a1.a2 .a3 ≠ 0

x − xo
a1

=

y − yo
a2

=

Muốn viết phương trình tham số và
phương trình chính tắc ta cần xác
định mấy yếu tố ?

z − zo
a3


Bài làm

B. Các dạng bài tập
Dạng 1: Hình chiếu của một điểm
trên đường thẳng, điểm đối xứng
qua đường thẳng, khoảng cách từ
một điểm đến một đường thẳng
Bài 1: Cho điểm A(2;-1;-1) và
 x = 3+ t
đường thẳng

d :  y = −2− 2t
 z = −16 − 7t


a, Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu
vuông góc của A trên d.

b, Tìm tọa độ điểm B đối xứng với A
qua d.
c, Tính khoảng cách từ A đến d.

A

d

H


B. Các dạng bài tập

Bài làm
a, Ta có: H(3+t; -2-2t; -16-7t)

uuur
Dạng 1: Hình chiếu của một điểm
trên đường thẳng, điểm đối xứng ⇒ AH = (1+ tr; −1− 2t; −15− 7t)
qua đường thẳng, khoảng cách từ d có vtcp là u= (1; −2; −7)
một điểm đến một đường thẳng
Ta lại có:
Bài 1: Cho điểm A(2;-1;-1) và
AH
uuur r⊥ d
 x = 3+ t
đường thẳng

⇔ AH .u = 0
d :  y = −2− 2t

⇔ (1+ t) + (−1− 2t)(−2) + (−15− 7t)(−7) = 0
 z = −16 − 7t

a, Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu ⇔ 54t + 108 = 0 ⇔ t = −2.
vuông góc của A trên d.
b, Tìm tọa độ điểm B đối xứng với A
qua d.
c, Tính khoảng cách từ A đến d.

Vậy

H (1;2; −2)

CÁCH KHÁC


Bài làm

B. Các dạng bài tập
Dạng 1: Hình chiếu của một điểm
trên đường thẳng, điểm đối xứng
qua đường thẳng, khoảng cách từ
một điểm đến một đường thẳng
Bài 1: Cho điểm A(2;-1;-1) và
 x = 3+ t
đường thẳng

d :  y = −2− 2t
 z = −16 − 7t


a, Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu
vuông góc của A trên d.
b, Tìm tọa độ điểm B đối xứng với A
qua d.
c, Tính khoảng cách từ A đến d.

A

d

H

B


Bài làm

B. Các dạng bài tập

B(xB ; yB ; zB )
Dạng 1: Hình chiếu của một điểm b, Gọi
trên đường thẳng, điểm đối xứng Vì B đối xứng với A qua d nên H
qua đường thẳng, khoảng cách từ là trung điểm của AB. Do đó ta có:
một điểm đến một đường thẳng
 2+ x
Bài 1: Cho điểm A(2;-1;-1) và
 x = 3+ t
đường thẳng


d :  y = −2− 2t
 z = −16 − 7t


.

a, Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu
vuông góc của A trên d.
b, Tìm tọa độ điểm B đối xứng với A
qua d.
c, Tính khoảng cách từ A đến d.

B
1=
2
 xB = 0


−1+ yB

⇔  yB = 5
2 =
2

 z = −3
−
1
+
z


 B
B
−
2
=

2


Vậy B(0;5; −3)


Bài làm

B. Các dạng bài tập
Dạng 1: Hình chiếu của một điểm
trên đường thẳng, điểm đối xứng
qua đường thẳng, khoảng cách từ
một điểm đến một đường thẳng
Bài 1: Cho điểm A(2;-1;-1) và
 x = 3+ t
đường thẳng

d :  y = −2− 2t
 z = −16 − 7t


a, Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu
vuông góc của A trên d.
b, Tìm tọa độ điểm B đối xứng với A

qua d.
c, Tính khoảng cách từ A đến d.

A

d

H


Bài làm

B. Các dạng bài tập

Dạng 1: Hình chiếu của một điểm c, Ta có:
trên đường thẳng, điểm đối xứng d( A, d) = AH
qua đường thẳng, khoảng cách từ
= (1− 2)2 + [2 − (−1)]2 + [(−2) − (−1)]2
một điểm đến một đường thẳng
Bài 1: Cho điểm A(2;-1;-1) và
 x = 3+ t
đường thẳng

d :  y = −2− 2t
 z = −16 − 7t


a, Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu
vuông góc của A trên d.
b, Tìm tọa độ điểm B đối xứng với A

qua d.
c, Tính khoảng cách từ A đến d.

= 11


Bài làm

B. Các dạng bài tập
Dạng 2: Hình chiếu của một điểm
trên mặt phẳng, điểm đối xứng
qua mặt phẳng
Bài 2: Cho điểm A(1;2;-5) và mặt
phẳng
(α ): 2x + y − 3z − 5 = 0.
a, Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu
vuông góc của A trên (α ) .
b, Tìm tọa độ điểm B đối xứng với A
qua (α ) .

r
n(α )

A

H

α)

B. Các dạng bài tập

Bài làm
a, Mặt phẳng (α) có vtpt là

r
Dạng 2: Hình chiếu của một điểm
n(α ) = (2;1; −3)
trên mặt phẳng, điểm đối xứng
r
qua mặt phẳng
Vì AH vuông góc với (α) nên n(α )
chính là vtcp của AH.
Bài 2: Cho điểm A(1;2;-5) và mặt
phẳng
Phương trình tham số của AH là:
(α ): 2x + y − 3z − 5 = 0.
a, Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu
 x = 1+ 2t
vuông góc của A trên (α ).

b, Tìm tọa độ điểm B đối xứng với A
qua (α ) .

 y = 2 + 1 ,(t ∈ ¡ )
 z = −5− 3t


Ta có H là giao điểm của AH và (α).

B. Các dạng bài tập

Bài làm

Xét phương trình (ẩn t):
Dạng 2: Hình chiếu của một điểm
2(1+ 2t) + (2 + t) − 3(−5− 3t) − 5 = 0
trên mặt phẳng, điểm đối xứng
qua mặt phẳng
⇔ 14t + 14 = 0 ⇔ t = −1.
Bài 2: Cho điểm A(1;2;-5) và mặt
Vậy H (−1;1; −2)
phẳng
(α ): 2x + y − 3z − 5 = 0.
a, Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu
vuông góc của A lên (α ).
b, Tìm tọa độ điểm B đối xứng với A
qua (α ) .


Bài làm

B. Các dạng bài tập

A

Dạng 2: Hình chiếu của một điểm
trên mặt phẳng, điểm đối xứng
qua mặt phẳng

Bài 2: Cho điểm A(1;2;-5) và mặt
phẳng
(α ): 2x + y − 3z − 5 = 0.
a, Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu
vuông góc của A lên (α ).
b, Tìm tọa độ điểm B đối xứng với A
qua (α ) .

H

α)
B


B. Các dạng bài tập

Bài làm

Gọi B(xB ; yB ; zB )
Dạng 2: Hình chiếu của một điểm Vì B đối xứng với A qua (α) nên H
là trung điểm của AB. Do đó ta có:
trên mặt phẳng, điểm đối xứng
qua mặt phẳng

1+ xB
−1=
Bài 2: Cho điểm A(1;2;-5) và mặt
2
 xB = −3


phẳng
(α ): 2x + y − 3z − 5 = 0.

 2 + yB
⇔  yB = 0
1=
a, Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu
2

z = 1
(
α
)
vuông góc của A lên
.
−5+ zB

 B
−
2
=
b, Tìm tọa độ điểm B đối xứng với A 
2

qua (α ) .
Vậy B(−3;0;1).


CỦNG CỐ
A. Lý thuyết

1. Phương trình
r tham số của đường thẳng d đi qua M(xo; yo; zo)
có vtcp: a = (a1; a2; a3)
 x = xo + a1t

d :  y = yo + a2t ; t ∈ R
z = z + a t
o
3


2. Phương trình chính tắc của d:
Với a1.a2 .a3 ≠ 0

x − xo
a1

=

y − yo
a2

=

z − zo
a3


CỦNG CỐ

B. Các dạng bài tập

Dạng 1: Hình chiếu của một điểm trên đường thẳng, điểm đối
xứng qua đường thẳng, khoảng cách từ một điểm đến một đường
thẳng
* Hình chiếu H của điểm A trên đường thẳng d

H (x0 + a1t; y0 + a2t; z0 + a3t)

uuur uu
r
AH .ud = 0 ⇒ t ⇒ H

* Điểm B đối xứng với A qua đường thẳng d
H là trung điểm của AB ⇒ B
* Khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng d

d( A, d) = AH


CỦNG CỐ
B. Các dạng bài tập

Dạng 2: Hình chiếu của một điểm trên mặt phẳng, điểm đối xứng
qua mặt phẳng
* Hình chiếu H của điểm A trên mặt phẳng (P)
Viết phương trình đường thẳng AH
H là giao điểm của AH với (P) ⇒ H
* Điểm B đối xứng với A qua mặt phẳng (P)
H là trung điểm của AB ⇒ B

BÀI TẬP VỀ NHÀ

- Bài tập 7, 8 (SGK-Tr 91)
- Bài tập 2, 3, 4 (Ôn tập chương III)