TUYỂN TẬP NHỮNG BÀI GIANG HAY VỀ NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN ÔN THI ĐẠI HỌC 2018
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (38.15 MB, 694 trang )
www.MATHVN.com
GV: Nguyễn Chín Em
CHUYÊN ĐỀ: TÍCH PHÂN
A. BẢNG ĐẠO HÀM – NGUYÊN HÀM CƠ BẢN.
Đạo hàm
Mở rộng
Nguyên hàm
(c ) ' = 0
∫ dx = x + C
n −1
(u ) = n .u '.u
n '
'
'
1 −u '
u = u2
1
1
x = −x2
'
1
'
c −c.u '
u = u2
'
u'
u =
2 u
(e ) = e
(e ) = u '.e
( )
( )
x
u '
(a ) = a .ln a
=
1
x
( loga x )
=
'
( sin x )
'
( cos x )
( cot x )
'
1
x .ln a
( sin u )
=
1
cos2 x
=−
=
'
.u '.ln a
'
=
u'
u .ln a
= u '.cos u
( cos u ) ' = −u '.sin u
= − sin x
'
u'
u
'
( loga u )
= cos x
'
( t an x )
'
( ln u )
∫e
x
x
( t an u ) ' =
u'
cos u
w.
( ln x )
u
k
∫ x .dx = k .ln x
+C
.dx = e x + C
n +1
k
k
ax +b
1
.dx = .e ax +b + C
a
∫ ax + b .dx = a .ln ax + b + C
∫e
ax
∫ a .dx = ln a + C
u
(a ) = a
u '
x
+C
1 (ax + b )
ax
+
b
dx
=
.
+C
(
)
∫
a
n +1
1
1
∫ ax + b .dx = a .ln ax + b + C
n
1
sin
ax
+
b
.
dx
=
−
cos (ax + b ) + C
(
)
∫
a
1
∫ cos x .dx = sin x + C
∫ cos (ax + b ) .dx = a sin (ax + b ) + C
Một số công thức LG thường sử
1
dụng
để tính nguyên hàm.
∫ cos2 x .dx = t an x + C
1
cos a .cosb = cos (a − b ) + cos (a + b )
2
1
∫ sin x 2x .dx = − cot x + C
1
sin a .sin b = cos (a − b ) − cos (a + b )
2
∫ t an x .dx = − ln cos x + C sin a.cosb = 1 sin (a − b ) + sin (a + b )
2
1 − cos2a
1 + cos2a
sin 2 a =
; cos2 a =
2
∫ cot x .dx = ln sin x + C sin 2a = 2sin2a .cosa
cos2 a − sin 2 a
cos2a = 2cos2 a − 1
1 − 2sin 2 a
∫ sin x .dx = − cos x + C
M
AT
x '
x n +1
.
x
dx
=
+C
∫
n +1
n
∫ x .dx = ln x
c
c
x = −x2
'
1
x =
2 x
x '
n −1
N.
co
n
HV
(x ) ' = n .x
∫ k .dx = k .x + C
m
(c.x ) ' = c
Mở rộng
1
sin 2 x
ww
( cot u ) ' = −
u'
sin 2 u
cos2 a = 1 − sin 2 a
2
2
sin a = 1 − cos a
Qui tắc đạo hàm.
'
1. (u .v ) = u '.v + u .v '
'
u u '.v − u .v '
2. =
v2
v
THPT iSCHOOL RẠCH GIÁ
www.DeThiThuDaiHoc.com
Trang 1
www.MATHVN.com
B. TÍCH PHÂN.
1.
b
b
∫ f (x ) .dx = F (x ) a = F (b ) − F (a )
GV: Nguyễn Chín Em
m
a
2. Tính chất.
b
b
a
a) − ∫ f ( x ) .dx = ∫ f ( x ) .dx
b
b
a
a
a
b) ∫ k . f ( x ) .dx = k .∫ f ( x ) .dx
b
b
b
a
a
a
c) ∫ f ( x ) ± g ( x ) .dx = ∫ f ( x )dx ± ∫ g ( x )dx
b
b
b
a
a
a
N.
co
a
d) ∫ f ( x )dx = 0
e) m ≤ f ( x ) ≤ M ⇒ ∫ m .dx ≤ ∫ f ( x ) .dx ≤ ∫ M .f ( x )dx
a
c
b
c
a
a
b
f) ∫ f ( x ) .dx = ∫ f ( x ) .dx + ∫ f ( x ) .dx
HV
3. CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍCH TÍCH PHÂN
3.1. Sử dụng bảng nguyên hàm cơ bản để tính tích phân.
b
f (x )
3.2. Tích phân hàm hữu tỷ: ∫
dx
g
x
(
)
a
- Nếu bậc f ( x ) ≥ bậc g ( x ) → Chia đa thức.
- Nếu bậc f ( x ) < bậc g ( x ) : Ta sử dụng hệ số bất định.
ax + b
A
B
=
+
( x − x 1 )(x − x 2 ) (x − x 1 ) (x − x 2 )
ax + b
M
AT
(x − x 0 )
2
=
A
B
+
( x − x 0 ) ( x − x 0 )2
b
3.3. Phương pháp đổi biến số: A = ∫ f u ( x ) .u ' ( x )dx .
a
Dạng 1:
Đặt t = u ( x ) ⇒ dt = u ' ( x ) .dx ; đổi cận:
Ta được: A =
u (b )
∫ f (t ) .dt = F (t )
u (a )
u (b )
x
t
Dạng
m
n
∫ sin x .cos x dx
m lẻ
a
n chẳn
Dạng 2:
Dạng
a2 + x 2
Đặt
b
sin x .dx
∫a f ( cos x )
w.
ww
b
)
π π
t = a t an t , t ∈ − ;
2 2
THPT iSCHOOL RẠCH GIÁ
b
u (b )
u (a )
* Một số thủ thuật đặt t .
b
Dạng b
u (x )
f
u
x
dx
(
)
∫a v n (x ) dx
∫a
t
t = v (x )
u (x )
(
a
u (a )
t = f ( cos x )
t = cos x m chẳn
t = sin x
n chẳn
b
∫e
u (x )
.v ( x )dx
a
b
∫
a
f ( ln x )
x
b
dx
t = u (x )
t = f ( ln x )
Hạ bậc
m=0
1 − cos 2a
sin 2 a =
2
1 + cos2a
2
cos a =
2
n chẳn âm
n=0
∫
f ( t an x )
cos2 x
a
t = t an x
dx
t = t an x
t = cot x
m chẳn âm
a2 − x 2
π π
x = a sin t , t ∈ − ;
2 2
x 2 −a2
a
π π
x=
, t ∈ − ; \ {0}
sin t
2 2
www.DeThiThuDaiHoc.com
Trang 2
www.MATHVN.com
GV: Nguyễn Chín Em
b
b
3.4. Phương pháp từng phần : B = ∫ u .dv = u .v a − ∫ v .du
b
a
a
Cách đặt u và dv :
b
u
f (x )
f (x )
dv
sin x
cos x .dx
)
x + x. x + x
.dx
2
x
1
∫
2
2
4. ∫ + x 3 dx
x
1
2
1
5. ∫ x 2 + 2x dx
x
1
π
2
0
ln 3
14.
3
7. ∫
+ x dx
2x − 1
1
π
ww
2
π
8. ∫ cos − 2x dx
4
0
π
2
9.
∫ ( 2 − sin 3x )dx
0
1
10.
∫ ( 2e
x
)
+ 1 dx
0
ln 2
11.
∫ (e
2x
∫
0
∫ ( 3sin x − 3 cos x + 2 )dx
0
2
∫(
)
(
)
2
15. ∫ e x + dx
x
1
1
16. ∫ x 2 ( 3 − x ) dx
2
0
2
)
+ 1 dx
∫ ( 2x − 1) dx
3
1
1
18.
∫
24. ( x − 1)(x + x + 1)dx
0
π
2
25.
e 2x + e x
dx
ex
2
17.
1
dx
sin 2 x
2
cos x
1
2
e x + 1 dx
0
1
∫ (3
x
)
+ 1 dx
π
4
2
19. ∫
− 1 dx
2
cos x
0
∫
dx
x
e −x
cos2 x
dx
1
29. x 2 ( x − 1) dx
∫
2
0
2
30.
1
∫ x . (x + 1) dx
1
2
32.
3x 3 + x + 2
22. ∫
dx
3x + 1
0
33.
2 x + 5 − 7x
dx
23. ∫
x
1
2
e −x
27. ∫ e x 2 + x dx
e
0
2
2
28. ∫ 2x + dx
x
1
0
ln 2
2x − 1
21. ∫
dx
x +1
0
1
4
26. e x 1 −
31.
1
2
4
x 3 + 2x + x 2
20. ∫
dx
2
x
1
2
∫ 1 − sin
π
π
0
w.
6.
f ( x ) .dx
M
AT
3.
3
x
ln 2
12.
1
4
4
ln x
log x
a
13. ∫ e x 2e x − 1 dx
1. ∫ x 3 + 2x 2 + 3 dx
1
1
2. ∫ 3 + 2 + x . x dx
x
x
1
x
∫a cos2 x dx
2
sin x
HV
(
a
e xdx
C. BÀI TẬP
Bài 1 : Tính các tích phân sau :
Sử dụng bảng nguyên hàm cơ
bản.
2
x
ln x
∫a f (x ) . loga x .dx
b
m
∫ f (x ) .e dx
Dạng
b
N.
co
sin x
∫a f (x ) . cos x .dx
b
∫
( 2x − 1)
2
x
1
dx
π
4
∫ cos 3x .cos x dx
0
4
∫x
2
3
1
2
2
34.
∫x
0
2
1
dx
−4
1
dx
− 3x + 2
0
THPT iSCHOOL RẠCH GIÁ
www.DeThiThuDaiHoc.com
Trang 3
www.MATHVN.com
ln 2
36.
∫(
)
2
2
51. ∫ cos4 x .dx
0
e − 1 e dx
x
2
π
0
ln 2
4
37.
∫ sin 3x .sin x dx
38.
∫
(e
−1
x
)
∫
π sin
2
1
dx
x .cos2 x
π
∫ 2x − x
2
∫
2 cos2 x + 1
∫0 1 − sin 2 x dx
56.
1
57. ∫ x + dx
x
2
1 2
x − 3x + 3
58. ∫
dx
x +1
0
43.
∫x
− 3x + 2 dx
−1
π
44.
∫
1 + cos 2x dx
x
∫ 2 − 4 dx
∫x
2
∫
− x dx
1 − cos 2x dx
63.
π
2
48. ∫ sin x .dx
ww
2
72.
3
0
64.
π
0
π
2
50. ∫ sin x .dx
4
0
2x + 1 dx
7
3
∫
3
74.
∫
65.
1
∫ (x − 2 )(x + 1)
5x − 13
dx
x
−
5
x
+
6
0
1
2
2
x4
67. ∫ 2 dx
x −1
0
THPT iSCHOOL RẠCH GIÁ
dx
1
∫ (
)
3
0
( 2x − 1)
76. ∫
6
0 ( x + 1)
4
1
dx
1
77.
∫
1 − x 2 .x 3dx
0
4
78.
4x − 1
dx
2x + 1 + 2
∫
1
∫2 2x + 1 + 4x + 1 dx
2 3
80.
∫
x +4
5
81.
∫
1
ln 3
82.
∫e
ln 2
ln 2
83.
www.DeThiThuDaiHoc.com
∫
0
x
2
64
dx
3
75. x 5 x 2 + 1 dx
3
1
66. ∫
x
∫ ( x + 1)
0
79.
1
dx
x +1 − x + 6
x +2
dx
+ 4x + 7
2
1
0
6
3x + 1 dx
0
3
∫x
3
x3
73. ∫
dx
1+x2
0
dx
0
0
5
2
49. ∫ cos2 x .dx
∫
3
4
0
1
4
62.
0
4
−1 ( 3 − 5x )
w.
47.
60. ∫ ( −2x + 1) dx
61. ∫
0
3π
2
1
0
0
0
2
46.
2
x
x
59. ∫ 1 + sin cos .dx
2
2
0
7
0
3
45.
π
M
AT
2
4
∫ (1 + x ) x dx
0
1
2
4
dx
x 2 − 6x + 9.dx
2
71.
4
∫ 1 − x dx
0
4
42.
a
1
0
0
3
41.
A = ∫ f u ( x ) .u ' ( x )dx
2
∫ cos 2x dx
6
2
2x + 1
dx
x
+
3
x
−
4
−1
2
b
8
55.
)
Bài 2: Tích các tích phân sau:
(Đổi biến số)
DẠNG 1:
π
4
40.
)
+ 2x dx
2x − 1
54. ∫
dx
x
+
1
0
dx
π
39.
x
(
0
70. ∫
0
1
2
ex
0
∫ (e
53.
0
1
69.
52. ∫ sin 3x .cos x .dx
0
x 2 − 3x + 2
∫1 x x 2 + 2x + 1 dx
2
π
x
N.
co
∫
1
m
2
HV
35.
GV: Nguyễn Chín Em
3x − 1
68. ∫ 2
dx
x
+
6
x
+
9
0
π
3x + x x + x
dx
x
1
4
dx
1
dx
x +3x
x
1
dx
−1
1
dx
1 + e −x
Trang 4
∫
0
1
101.
(10 − e )
e −1
x
102.
103.
1 + ln x
88. ∫
dx
x
1
89.
90.
1 + 3ln x .ln x
dx
x
)
104.
x .cos x dx
5
∫ cos x .sin xdx
0
x dx
0
π
109.
2
3
∫ cos x .dx
0
0
∫
3
1 + 7 cos x .sin xdx
0
112.
ww
π
2
97.
∫
1 + 3sin x .sin 2x .dx
0
98.
sin x .dx
∫ ( 2 + cos x )
113.
3
114.
0
π
2
99.
∫
0
x
ln 8
∫
ex + 1
ln 3
cos x
dx
1 + 3 sin x
THPT iSCHOOL RẠCH GIÁ
∫
∫
1
∫
4
x 3dx
x2 +9
xdx
7
2x + 1
0
1+2sin x
e
122. ∫
.cosxdx
0
π
6
123.
∫ sin 2x .cos x .dx
0
π
2
124.
∫ sin
4
x .cos3 x .dx
0
π
∫
3
2
125. I = sin x .cos x .dx
0
π
4
126.
1
∫
π sin
4
x
.dx
6
π
x +1 +1
4
x 3 (1 − x 2 )3dx
0
∫
4
2
x .dx
0
1+x3
1
2
3
3
π
2x
e dx
x 5 .dx
2
3
dx
1
127. ∫ cos4 x .dx
0
π
2
π
2
x +1
3
0
∫
x5
3
∫
dx
0
111.
2
∫
2
2
121. I = x x + 3dx
sin 2xdx
e sin x sin 2xdx
110. ∫
w.
1 + 3sin x .cos xdx
π
96.
e
4
2
∫
3
e −x xdx
2
π
π
2
2
120.
x
108. 1
2
5
∫ (1 + sin x )
2
2
0
∫
π
95.
(1 + x )
M
AT
2
94.
∫x
dx
π
107.
∫ sin
sin x .cos x
dx
2
+
x
1
cos
0
∫
1
0
93.
3
4
π
92.
119.
π
106.
∫ sin
dx
1 + ln x .x
∫
cos x
105. ∫
dx
2
sin x − 5sin x + 6
0
2
91.
118.
6
π
4
4 sin x
∫0 1 + cos x dx
2
e
1
117.
dx
π
∫(
∫
2
3
1
1
dx
2
ln x − 3ln x + 2 .x
1
∫1+x
e3
3
e
x
5
2
ln x
∫1 ( 2 + ln x ).x dx
e
∫
116. 0
π
dx
e
87.
∫
1
0
ex
x
ln 2
100.
sin x .cos x
dx
1 + 3 sin x
N.
co
86.
2
HV
ln 5
GV: Nguyễn Chín Em
π
m
www.MATHVN.com
ln 5
e 2x
84. ∫
dx
x
ln 2 e − 1
1 2
x + e x + 2x 2e x
85. ∫
dx
x
1
+
2
e
0
115.
3
∫
0
∫
x + 1 dx
2
sin 2x
128. ∫ cos2 x + 3 .dx
0
π
π
2
0
∫
x
5
e sin x cos xdx
x3
7
0
3
1+x
2
dx
2
sin 2x
129. ∫ 3 − sin 2 x .dx
0
2
130.
www.DeThiThuDaiHoc.com
∫1+
1
x
x −1
.dx
Trang 5
www.MATHVN.com
GV: Nguyễn Chín Em
ln 2
2
0
(
)
ln 2
cos2 x + 4 sin 2 x
dx
150. ∫ x
e + 2e −x − 3
ln 3
π
ln 5
sin 2x
151. ∫
dx
2
+
x
(2
sin
)
0
π
ln 4
1
135. ∫ e x + 3 .dx
ln 3
sin 2x + sin x
152. ∫
dx
1 + 3cos x
0
2
2
π
1
136. ∫ x .ln 4 x .dx
e
sin 2x cos x
153. ∫
dx
1
+
cos
x
0
1
137. ∫ e x + 5 .dx
ln 3
∫
x
2
)
+ 4 e 2x
ex + 2
0
154. ∫ (e
ln x . 2 + ln 2 x
.dx
141. ∫
x
1
π
sin x
142. ∫ 4 cos x − 3 .dx
π
155.
π
∫
(e
x
)
+ 3 ex
e −1
x
ln 3
π
dx
ww
4
1
145. ∫ sin 2 x .cot x .dx
π
6
π
∫
π
cos3 x .dx
3
sin x
6
π
4
147.
∫
0
0
1
157.
∫
0
2
∫
t an x .dx
cos2 x
THPT iSCHOOL RẠCH GIÁ
e
x
ex + 2
x5 +x3
(x
+1
)
8
x +x
5
3
)
(x
2
+2
2
2
dx
dx
dx
π
6
sin 2x
159. ∫
dx
2 sin 2 x + cos2x
0
w.
sin 2x
143. ∫ cos 2x + 3 .dx
0
146.
∫
156.
0
2
2
1 − 2sin 2 x
∫0 1 + sin 2x dx
ln 2
158.
2
144.
π
x
e
ln 5
1
e
166.
+ cos x )cos xdx
4
x 2
∫
sin x
0
dx
(1 + e ) .e
.dx
ex − 1
ln 3
ln 4
140.
π
M
AT
138.
(e
π
sin(ln x )
dx
x
1
∫
π
167.
1 + sin 2x
dx
2
x
cos
0
∫
π
2
168.
sin x
∫ 1 + 3cos x dx
0
169.
2
0
e3
171.
1
∫2 x (1 − ln x ) dx
e
π
2
172. ∫ sin 3 x .cos x dx
π
6
1
173. ∫ x ( x − 1) dx
7
0
π
174.
sin 2x
∫
π 1 + cos
2
x
dx
2
1
175. ∫ 3 x ( x − 2 )dx
0
2
cosxsin 3x
dx
2
1
+
sin
x
0
x −1
∫1 x − 2x − 3 dx
2
π
2
177.
cos x .dx
∫π (1 + sin x )
−
π
sin 2x
162. ∫
dx
2
(2
+
sin
x
)
0
178.
e 2 ln x +1
dx
163. ∫
x
1
179.
∫
3xdx
3
0
e3
www.DeThiThuDaiHoc.com
∫x
1
2
6
19
2
dx
sin x
dx
8cos x + 1
170. ∫
2
1 + ln 2 x
161. ∫
dx
x
1
2
π
176.
e
e
∫x
1
x
1
160. ∫
e
∫
2
2
ln 4
ln 5
dx
165.
4
2
e 2x
134. ∫ e x + 1 .dx
ln 2
e
∫
0
ln 5
dx
e −1
x
sin 2x
N.
co
∫
133.
ex + 3 ex
149.
1 + 3ln x ln x
dx
x
e
2
−x
e
132. ∫ 2e −x + 1 .dx
ln 2
ln 5
1 + ln 2 x
164. ∫
dx
x ln x
e
π
0
ln 3
∫
148.
2 + sin x
.sin 2x .dx
131. ∫ e
e −e
dx
e x + e −x
e2
HV
2
−x
x
m
π
x2 +8
dx
4 − ln x
Trang 6
www.MATHVN.com
GV: Nguyễn Chín Em
180. ∫ x x 2 + 1 dx
196.
−
(
0
sin 2 x
.cos2xdx
)
183. ∫ xe
1−x 2
198.
−1 (1 − x )
ln x .dx
1 x ( ln x + 3 )
201.
0
2
∫
2
4x + 1 dx
x
2
dx
1−x2
1
1
194. ∫ 2
dx
x +x +1
0
0
1
195.
∫
205. ∫ x cos x dx
0
1
206. ∫ xe xdx
w.
ww
2 − x 2dx
2x − x dx
2
0
THPT iSCHOOL RẠCH GIÁ
x + sin x
dx
cos2 x
0
3
216.
∫
217. ∫ x (2cos2 x − 1)dx
0
2
218.
0
1
207. ∫ x .e dx
ln(1 + x )
∫1 x 2 dx
1
219. ∫ x ln(1 + x 2 )dx
0
1
220. ∫ (x − 2)e 2xdx
0
e
221.
ln x
∫ (x + 1)
0
e
223.
ln x
∫1 x dx
224.
∫ (3x + 2) ln xdx
225.
∫
e
∫
e2
∫
e2
π
2
208. ∫ (x − 1)cos xdx
226.
0
227.
π
6
209. ∫ (2 − x )sin 3xdx
0
π
dx
222. ∫ (2x + 7)ln(x + 1)dx
e
1
3x
0
2
1
e
2
1
π
2
0
∫
∫ (x + cosx)s inxdx
204. ∫ ln(x + x )dx
1
193.
203.
2
Bài 3: Tính các tích phân sau:
(Đổi biến số)
Dạng 2:
a2 + x 2
a2 − x 2
x = a t an t
x = a sin t
1
1
191. ∫
dx
3+x2
0
2
2
+ 1)dx
0
2
dx
1 + e −x
0
∫
2
π
4
1
)ln xdx
x
π
4 − xdx
215. ∫ x cos2 x dx
π
M
AT
∫
∫ x ln(x
1
0
0
−5
ln 3
∫ x ln xdx
∫
187. ∫ x x + 1 dx
dx
0
202. (x +
3
192.
4 − x dx
2
0
e
7
∫x
1
5
2
2
1
1
e
ln x
∫x
π
e
186. ∫
190.
1−x2
dx
Bài 4: Tính các tích phân sau
(Tích phân từng phần)
dx
4
200.
1
e
189.
∫
199. ∫ x
1 + ln 2 x
dx
x
e
185. ∫
0
HV
x2
184. ∫
213. ∫ x .ln(3 + x 2 ).dx
214.
x2
0
2
dx
1
1
2
1
0
0
188.
2
2
2
4x
dx
2x 2 + 1
1
212. ∫ 4x .ln x .dx
dx
4 −x
1
197. ∫ 2
dx
x
−
x
+
1
0
4
1
182. ∫
∫
N.
co
∫π e
1
0
1
0
0
181.
3
m
1
1
1
ln x
dx
x3
1
1
1
x ln xdx
ln xdx
x
(
)
228. ∫ x ln 1 + x 2 dx
0
2
210. ∫ x .sin 2x dx
0
e
229.
∫
1
e
211. ∫ (1 − x ).ln x .dx
2
2
∫
x log 2 xdx
3
x
230. (2x − )ln xdx
1
www.DeThiThuDaiHoc.com
1
Trang 7
www.MATHVN.com
+ x + 1)dx
ln ( x + 1)
∫ (x + 2 )
3
249. ∫ xe 2x −1dx
0
dx
2
π
∫e
233.
x
234.
cos xdx
251. ∫ x sin 2x .dx
3 + ln x
1
252.
1
236. ∫ ( x + 1)e xdx
(
2
4
π
1
2
Bài 5: Tính các tích phân sau:
(TỔNG HỢP)
238. ∫ 2x cos x dx
0
1
π
239. ∫ ( 2x − 1) cos xdx
240. ∫ ( 2x + 1) ln xdx
(
)
241. ∫ x 2 + 1 e 2xdx
0
1
242. ∫ ( 2x − 1)e dx
x
0
ln 2
−x
∫ (x − 1)e dx
0
2
x + ln x
257. ∫
dx
x
1
1
1
259.
π
2
244. ∫ 2x .sin xdx
0
π
4
ww
245. ∫ ( x + 1) sin 2xdx
0
e
246. ∫ 2x ( ln x − 1)dx
1
2
247. ∫ ( ln x − 2 ) x dx
1
π
248. I = ∫ e x sin xdx
2
272. ∫ ln (1 + cos x ) .sin 2xdx
0
2
273.
x2 −x +1
0
dx
(
2
)
274. ∫ cos2 x 1 − sin 3 x dx
0
1
275.
∫
0
1
3xe x + e x + 2
dx
xe x + 1
276.
x e +1
dx
x
1
277.
1
x 2 + 2x + ( x + 1) ln 1 + x 2
∫
2 x
261. ∫ x ( x + cos x )dx
x +e
262. ∫
x
1
x +1
π
dx
∫
π
4
e
4
∫ (x + cos x ) sin xdx
279.
dx
(
0
278.
x
x +1 −x
2
∫
π
2x cos x + ( x − 2 ) sin x
∫x
1
) dx
x cos x − sin x
dx
ln 3 xdx
1 + 3ln 2 x
e2
0
π
1 − sin x
dx
1 + cos x
0
2
264. ∫
1 + x ln x
dx
x
1
265. ∫
∫
2
4
x
0
0
e
∫
2x 3 − 3x 2 + x
π
x
π
263.
1
2
xe + 1 + x
dx
x
e
+
1
0
∫
2
260.
∫
x .dx
3
2x + 2
π
e
258. ∫ ( x ln x + 1)dx
w.
0
)
M
AT
0
e
(
256. ∫ e x 3.e −x − 5x dx
4
3
271.
−
255. ∫ e x dx
0
1
3
1 −ex
xe x + 1
0
1
254. ∫ 2x ln ( x − 1)dx
)
1 − sin 3 x
dx
2
1
sin
x
−
0
4
269. ∫
270. ∫
1
3
237. ∫ 2x e − 1 dx
243.
∫ (1 − x ) cos xdx
253. ∫ ln x .dx
0
1
)
π
−π
e
235. ∫ (x − 2)e 2xdx
(
1
0
0
2
x
2
268. ∫ 1 + 2xe x dx
4
∫ (x + 1) dx
0
1
1 + x ln x
dx
2
x
1
)
π
0
3
(
e
267. ∫
0
2
)
0
250. ∫ 1 + e x xdx
0
(
266. ∫ x x 2 + e x dx
N.
co
1
232.
2
0
2
m
∫ x ln(x
GV: Nguyễn Chín Em
1
HV
231.
1
2
1 + x 2 ln 3 x
dx
280. ∫
x .ln x
e
π
2
sin 3 x
x
−
dx
2
sin
x
3cos
x
+
1
0
2
281. ∫
0
THPT iSCHOOL RẠCH GIÁ
www.DeThiThuDaiHoc.com
Trang 8
2
299. ∫ x e x +
sx
x
+
1
0
300.
π
t an x ln ( cos x )
3
284.
∫
cos x
0
π
dx
Cđ
cos2x
2012
∫0 sin x sin x + 1 + 3cos x dx
D. TÍCH PHÂN TRONG ĐỀ
THI TỐT NGHIỆP.
NĂM
ĐỀ THI
2
dx
π
t an 2 x + 3 t an x + 2
285. ∫
dx
2 + sin 2x
0
4
1
2014
x cos2x + 1
dx
cos
x
sin
x
+
0
286. ∫
287.
∫
)
+ 2x + 1 e x
2 x
xe x + 1
0
4
288. ∫ e
2013
2
2. ∫ ( x + 1) cos x .dx
0
ln 2
dx
2012
0
e
2x +1 −2
dx
2011
4.
0
289. ∫
π
4
1
∫
2e − e
2x
e +1
x
ln 3
π
6
cos x
∫0 4 − sin 2 x dx
π
e8
294.
2 1−x2
295. ∫ x +
dx
x +x3
1
1
3x + 2ln ( 3x + 1)
296. ∫
dx
2
(x + 1)
0
ww
4
297. ∫ x
1
e
298.
∫x
1
(
− 1 e dx
x
B
4 + 5ln x
dx
x
)
x + ln x dx
∫ (x + 1) sin 2x .dx
1 + x sin x
dx
cos2 x
0
3
∫
4x − 1
dx
2x + 1 + 2
∫
A
x 2 + e x + 2x 2e x
∫0 1 + 2e x dx
1
Cđ
2x − 1
∫ x + 1 dx
0
2010
e
B
ln x
∫ x ( 2 + ln x )
2
dx
1
e
D
3
∫ 2x − x ln xdx
1
π
∫ ( cos
2
A
3
)
x − 1 cos2 xdx
0
3
2009
B
∫1+
∫x
3
D
dx
2x − 1
2 − x 2dx
1
∫
0
∫e
1
A
2008
2
x2 +1
2
dx
dx
−1
x
π
t an 4 x
∫0 cos2x dx
6
2
( x + 1)
3 + ln x
∫ ( x + 1)
1
0
D
2x + 1
∫ x (x + 1) dx
0
x −1
ln xdx
2
x
1
∫
1
1
B
dx
D
2
5
2013
x sin x + cos x
4
2
Cđ
x sin x + ( x + 1) cos x
1
0
ln xdx
THPT iSCHOOL RẠCH GIÁ
x
A
∫
4
π
3
1 + 3ln 2 x
∫ ( 4x + 1)e dx
D
4
π
2011
E. TÍCH PHÂN TRONG ĐỀ
THI ĐẠI HỌC CAO ĐẲNG.
Năm
ĐỀ THI
Kh
B 2 x 2 + 3x + 1
∫1 x 2 + x dx
2014
dx
∫3 x ln x 1 + ln x
e
2
Cđ
6. ∫ x (1 + cos x )dx
7.
∫ x (1 + sin 2x )dx
2
0
w.
293. ∫ e 2x sin 2 xdx
0
)
4
0
1
dx
D
2
π
2008
π
0
0
x
B
x3
∫0 x 4 + 3x 2 + 2 dx
π
5. ∫ x 2 ( x − 1) dx
0
2009
x 3 − 2x
290. ∫ 4
dx
x +1
0
ln 8
2010
0
1
2
M
AT
3cot x + 1 + x
dx
sin 2 x
2
292.
∫
1
1
π
291.
∫ (e
3.
x
∫
1
A
π
2
(x e
x
0
π
1
∫ (1 − xe )dx
1.
x
dx
x +1
N.
co
π
x
3
HV
1 − 2x + t an
283. ∫
cos2 x
0
2014
4
GV: Nguyễn Chín Em
3
1 + ln ( x + 1)
dx
A ∫
x2
1
1
m
www.MATHVN.com
2
x + ln ( x + 1)
282. ∫
dx
2
x
1
D
dx
www.DeThiThuDaiHoc.com
ln x
∫x
3
dx
1
Trang 9
www.MATHVN.com
F. ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN.
1. ỨNG DỤNG 1:
Diện tích hình phẳng.
a) Hình ( H ) được giới hạn bởi:
GV: Nguyễn Chín Em
Thể tích vật thể do hình ( H ) xoay quanh trục Ox :
b
V Ox = π ∫ f ( x ) − g ( x ) dx
2
2
a
m
y = f ( x )
x = a
x = b
Truïc Ox
Diện tích hình ( H )
ww
w.
M
AT
HV
N.
co
BÀI TẬP
Bài 1: Tính diện tích của hình ( H ) được giới hạn
bởi:
1. y = x 3 − 3x + 2 ; x = −1; x = 3 và trục Ox
2. y = −4 − x 2 và y = 2x 2 − x 4
3. y = x 3 − 2x và tiếp tuyến của nó tại điểm có
b
hoành độ bằng −1
S (H ) = ∫ f ( x ) dx
a
4. y = x 3 − x và y = x − x 2
b) Hình ( H ) được giới hạn bởi:
1
2
5. y = − x 3 + x 2 − ;x = 0; x = 2 và trục Ox
3
3
y = f ( x )
3
2
6. y = 2x − 3x ; x = 0;x = 2 và trục Ox
y = g ( x )
7. y = x 4 − 2x 2 − 3;y = x 2 + 1; x = 0; x = 2
x = a
2x − 1
8. y =
; tiệm cận ngang; x = 0;x = 2
x
=
b
x +1
9. y = x 3 − 12x ; y = x 2
Diện tích hình ( H )
b
10. y = x 3 − 1 và tiếp tuyến của nó tại điểm có hoành
S (H ) = ∫ f ( x ) − g ( x ) dx
độ bằng −2
a
11. y = x 3 − 3x + 2 và trục hoành
2. ỨNG DỤNG 2:
1
3
Thể tích vật thể tròn xoay.
12. y = 1 + ; tiếp tuyến tại A 2; và x = 5
x
2
a) Hình ( H ) được giới hạn bởi:
3
13. y = x − 3x ;y = x
y = f ( x )
2x − 4
x
14.
y
=
;
y
=
−
+ 1 và trục Ox
x = a
x
−
4
4
1
x = b
15. y = x 3 − x 2; y = ( x − 1)
Truïc Ox
9
−1
Thể tích vật thể do hình ( H ) xoay quanh trục Ox :16. y = ln x ; x = e ; x = e và trục Ox
ln x
b
17. y = x +
;y = x ; x = e
2
V Ox = π ∫ f ( x ) dx
x
a
18. y = 2x ; x + y = 4 và trục hoành.
b) Hình ( H ) được giới hạn bởi:
19. y = x 2 − 2x ; x = −1; x = 2 và trục Ox
y = f ( x )
20. y = −x 3 − 3x 2 và trục hoành.
21. y = (e + 1) x ; y = 1 + e x x
y = g ( x )
−3x − 1
x = a
22. y =
; x = 0 và trục Ox
x
−
1
x = b
23. y = x 2 − 2x ; y = −x 2 + 4x
(
24. y = 4 −
THPT iSCHOOL RẠCH GIÁ
)
x2
x2
;y=
4
4 2
www.DeThiThuDaiHoc.com
Trang 10
www.MATHVN.com
25. y = x 3 ; x = −2; x = 2 và trục Ox
26. y = x 3 ; y = −x 2
x (1 − x )
27. y = 2
;y =0
x +1
28. y = −x 2 + 6x và trục hoành
10. 2e − 1 11.
13. e (e − 1 )
21.
30. y = x ; y = 2 − x và trục Ox
Bài 2: Tính thể tích vật thể được giới hạn bởi24.
hình ( H ) khi quay quanh trục Ox .
29.
1
1. y = x 3 − x 2; x = 0; x = 3 và trục Ox
3
2. y = x ln x ; x = e; y = 0
3. y = xe x ; x = e; y = 0
4. y = 4 − x 2; y = x 2 + 2
5. y = ln x ; x = 2; y = 0
6. y = e x ; y = e 2−x ; x = 0; x = 2
1
−e 2 + 2e + 1
2 3
8
37.
38.
39.
40. 1 41.
42. 1
4
e
3
3
17
1 + 4 ln 2
π
43.
44. 2 2 45.
46. 1 47. 3 2 48.
2
ln 2
4
π
3π
3π
1
49.
50.
51.
52.
53. 1 + ln 2 2
4
16
16
2
1 π
π
275
54. 2 − 3ln 2 55. +
56. 1 +
57.
8 16
2
12
7
1
11
26
58. − + 7 ln 2 59. + 2 60. 0 61.
62.
2
2
288
3
15
68 4
1
63.
64. −
+
6 65. ln 2 66. − ln 18
4
15 5
3
13 1
64 5
8
67.
− ln 3 68. ln
− 69. ln − 1
24 2
27 6
3
11
7
70. ln 2 − ln 3
5
5
HV
7. y = sin x ; x = 0; x =
33.
π
và trục Ox
2
8. y = −3x + 10; y = 2; y = x 2 ( x > 0 )
π
4
15. y
16. y
17. y
w.
14. y
; Ox
2
; x = 0; x = 1; Ox
2−x
= 2x − x 2;y = x
= x 3 − 3x 2 ; y = x − 3
2x − 4
4 −x
=
;y =
; Ox
x −4
4
= 2x ; x + y = 4; Oy
= cos x ; x = 0; x = π ; Ox
= 1 − e x ; x = 1; Ox
11. y =
12. y
13. y
M
AT
9. y = x 3 − 3x ; x = 0; x = 2; Ox
10. y = t an x ; x = 0; x =
17
2 + ln 3
π
5
17. 10 18.
19. 2 −
20.
+ 2ln 2
10
ln 3
4
2
11 28
2 − 3ln 2 22.
+ ln 2 23. −11 + 4 2 + 5ln 2
8 27
π
3
π
5
1
− 25. − 2 26. e 4 − 2 27. 28. 2(ln 2 +
)
5
4
2
ln 2
1
1
30. 2ln ( 2 ) − ln 3 31. 2 + 2ln 2
32.
30
4
1 5
3
181
1
ln
34. ln
35.
36.
4 3
2
6
3
m
29. y = − 4 − x 2 ; x 2 + 3y = 0
12.
2
2
14. 2 + ln 3 15. 2ln ( 2 ) + e 2 − e
N.
co
16.
2ln ( 2 ) + 3
GV: Nguyễn Chín Em
2ln ( 2 ) + 7
ww
18. y = e x x ; x = 1; Ox
19. y = 2 − x 2 ; y = 1
20. y = x ; y = x − 2; Ox
ĐÁP SỐ www.MATHVN.com
2179
137
19
15
1.
2.
3.
4.
+ ln 4
+ 2ln 2
12
160
2
4
1
2
3 3
9. − + π
5. 9 6. π 7. + ln 3 8.
2 2
2
3
THPT iSCHOOL RẠCH GIÁ
15
1 3
1 1
1
37
72. ln + ln 2 73. − ln 2
74.
75.
2 2
2 2
4
16
8
11
2
34
3
3 1
76.
77.
78. + 10 ln
79. ln −
80. 1
2 12
160
15
3
5
2
4
3
8 10
81. 11 + 6 ln 82. ln 83. ln 84. − +
2
2
3
3
3 3
1 1 + 2e 1
1 5
4
5
3
116
85. ln
+ 86. ln 87. ln + 1 88. 89. 90.
4
2
2
3
3
3 3
9
135
3π
8
8
2
14
45
232
5
91.
92.
93.
94. 95.
96.
97.
98.
16
15
15
3
9
28
135
72
2
8
1
1
1 1
99. 100.
101. ln 2 − 102. 2 103. 2 104. − ln 2
2
4
2 2
3
27
10
16
7
32
106. ln
107. 108. 2e 2 − 2e 109.
110. e − 1
105. ln
9
9
3
3
5
1
848
141
1 1
111. 112.
113.
114. e − 1 115.
116. −
3
40
105
20
2 2e
71.
www.DeThiThuDaiHoc.com
Trang 11
www.MATHVN.com
GV: Nguyễn Chín Em
m
1 1
1
7
249.
+ e 250. 3 + e 2 251. 252. −2 253. 1 254. − + 8ln 2
4
2
4e 4
1
3
1
255. 2e 2 256. −2 257. 1 + ln 2 2 258. − + e 2 + e
2
4 4
3
π3
14
262.
− 2e + 2e 2
259. ln 2 − ln (e + 1) + 260. e 2 + ln 2 261. −2 +
2
3
3
1
2π 1
5 1
3 1
−
+
2 264. 1 − ln 2 265. + e 2 266. 5 + e 2 267. −
4 4
4
8
2
2 e
3
12
1
4
268. 1 + 2e 2 269. 3 −
2 270. 1 − ln (e + 1) 271. 272. 273.
2
2
5
3
N.
co
263.
2 π
2 2
π 1
277. −
274. − + 275. 2 + ln (e + 1) 276.
2 2
5 4
3
2 π
4
1 2
1 4
10
+ ln
− 1 279. 280. − 2 e + ln 2 + 2 e 281.
2
27
3
2 4
3
2016
π
1 1
282. 4 ln 2 −
283.
+ ln 2 − 284. 1 − 2 ln 2 285. + ln 3
2 2
2 ln 3
2015
2
278.
π
π
(
)
2
ln 3 + 2 2 287. 1 + ln (e + 1) 288. 2e
2
4
π 1
2
1
π
58
1 5
289.
2 + + ln 2 − 290. ln 2 − 291.
292. ln
4
4
3
4 2
3
3
4 3
1 1 2π
3
7
4
3
293. − + e 294. ln 295. + ln 296. − + 4 ln 2
2
2
5 5
3
5
173
4
118 π
297.
+ 16 ln 2 298.
299. 3 − 2 ln 2 300.
+
20
27
405 4
286. −1 +
2
+
187.
M
AT
HV
8
32
134
10
8 7
1
1
117. 118. 119.
120.
121. +
7 122. e 3 − e
2
2
9
9
3
3
3 3
2 1
2
4
4
4
4
3 124.
125. 126. 2 3 − 127. 128. ln
123. −
3 4
35
15
3
3
3
3
11
1
6
129. ln 130. − 4 ln 2 131. e 3 − e 2 132. ln 133. 1 + ln 16
2
3
2 5
1
7
3
134. 3 − ln 2 135. ln 2 − ln 7 136.
137. ln 2 − ln 3
24
3
5
3
13
3
2
1 3
138. 20 + 4 ln 140. + 4 ln 141. −
2 + 3 142. ln
2
2
7
3
4 7
1
1
9 45 3
2
2 147.
143. ln 2 144. 2 + 4 ln 2 145. ln 3 146. −
2
2
8 64
3
5
2
3
9 2
34
148. ln 149. 150. ln 151. ln − 152.
153. −1 + ln 4
4
2
3
4 3
27
π
1
1 1
44
154. + e − 1 155. ln 2 156. 4 − 2 3 157. − ln 2 158. − ln 5
4
2
2 2
15
3
5
1 1
4
9 2
e −e
159. ln 160. − ln 2 161. 162. ln − 163.
4
2 2
2
3
4 3
3
116
2
166. 1 − cos1 167. ln 2 + 1 168. ln 2
164. + ln 2 165.
2
135
3
1
15
1
15
173. − 1 74. ln 2 175. −
169. e − e 170. 171. − ln 2 172.
2
4
64
72
3
1
45
1 2
176. − ln 2 + ln 3 177. 178. 179. 2 180. − +
2
4
4
6
3 3
1 1
1
1
1
13
181. −
182. ln 3 183. e − 184.
185.
186. 2 − 3 ln 2
2
2
24
24
2 2e
1209
506
13
3π
1 π
188. −
189. ln 2 190.
191.
192. +
2 4
28
15
3
18
π 1
3π
π
π
2 3π
π 1
− 194.
195. 196. 197.
198. −
4
8 4
9
6
9
8 4
3 2π
1 1
1
3 1
3
199.
+
200. + e 2 201. − + ln 2 202. + e 2 203.
4 4
2
4 4
2
4
3
π
1 2 3
π
5
204. −2 + 3 ln 3 205. − 1 206. 1 207. + e 208. − 2 209.
2
2
9 9
9
π
8 2 3
3
1
210. 211. − e 212. −8 + 18 ln 3 213. − ln 3 − + 4 ln 2
4
2
2
9 9
193.
ww
w.
15
1
1 π2
3π
1 π
− ln 2 215. − +
216. 1 +
− ln 2 217. − +
256 64
4 16
3
4 8
3
1
5 3
218. 3 ln 2 − ln 3 219. − + ln 2 220. − e 2 221. 0
2
2
4 4
11 3 2
1 3
222. −14 + 24 ln 3 223. 4 − 2 e 224. + e 225. − 2
4 4
4 4e
4 8 3
1
−3 + 8 ln 2
1
226. + e 227. 4 228. − + ln 2 229.
230. −1 + e 2
2
4 ln 2
2
9 9
214.
3π 3
1 17
1
1 1 π
+ ln 3 232. − + ln 2 − ln 3 233. − + e 2
12 4
2 2
12 18
2
4
2 1
5 3
234. ln 3 + − ln 5 235 . − e 2 236.e 237. 1 238. π − 2
4 4
5
5 2
3 1
3 15
1
239. π − 3 240. + e 2 241. − + e 6 242. 3 − e 243. − ln 2
2 2
4 4
2
3
3 1
15
1 1
244. 2 245. 246. − e 2 247.
+ 2 ln 2 248. + e π
4
2 2
4
2 2
231. −
THPT iSCHOOL RẠCH GIÁ
www.DeThiThuDaiHoc.com
Trang 12
www.MATHVN.com - Toán học Việt Nam
GROUP NHÓM TOÁN
NGÂN HÀNG ĐỀ THI TRẮC NGHIỆM
CHUYÊN ĐỀ : TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
ĐỀ SỐ 01
C©u 1 :
A.
Hàm số nào dưới đây không là nguyên hàm của hàm số f ( x)
x2 x 1
x1
B.
x2 x 1
x1
C.
x(2 x)
( x 1)2
x2 x 1
x1
D.
x2
x1
C©u 2 : Cho đồ thị hàm số y f ( x) . Diện tích hình phẳng (phần gạch trong hình) là:
A.
0
0
3
4
4
3
1
4
4
f ( x)dx f ( x)dx
3
C.
1
0
B.
f ( x)dx f ( x)dx
D.
f ( x)dx f ( x)dx
f ( x)dx
3
0
C©u 3 : Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị: y x 2 2 x và y x2 x có kết quả là:
A. 12
B.
10
3
D. 6
C. 9
C©u 4 : Kết quả nào sai trong các kết quả sao?
A.
2 x1 5x1
1
2
10x dx 5.2x.ln 2 5x.ln 5 C
B.
C.
x2
1 x1
1 x2 dx 2 ln x 1 x C
D.
tan
x4 x4 2
1
dx ln x 4 C
3
x
4x
2
xdx tan x x C
C©u 5 : Thể tích vật thể tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường
1
x
y x 2 .e 2 , x 1 , x 2 , y 0 quanh trục ox là:
Nguồn: Group Nhóm Toán FB
1
www.MATHVN.com - Toán học Việt Nam
A. (e2 e)
B. (e2 e)
D. e
C. e2
C©u 6 : Thể tích vật thể tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường
y
4
, y 0 , x 1 , x 4 quanh trục ox là:
x
A. 6
B. 4
4
Giá trị của (1 tan x)4 .
0
C©u 8 :
1
5
Nếu
B.
1
dx bằng:
cos 2 x
1
3
1
2
C.
d
d
b
a
b
a
D.
1
4
f ( x)dx 5 ; f ( x)dx 2 , với a d b thì f ( x)dx bằng:
A. 2
C©u 9 :
D. 8
C©u 7 :
A.
C. 12
B. 3
Hàm số f ( x)
e2 x
t ln tdt
C. 8
D. 0
C. ln 2
D. ln 4
đạt cực đại tại x ?
ex
A. ln 2
B. 0
C©u 10 :
2
Cho tích phân I e sin x .sin x cos3 xdx . Nếu đổi biến số t sin2 x thì
2
0
1
A.
1
I e t (1 t )dt
20
B.
1
1 t
I 2 e dt te t dt
0
0
1
2 0
1
1
t
C. I 2 e (1 t )dt
1
0
t
t
D. I e dt te dt
0
C©u 11 : Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường thẳng x = 0, x và đồ thị của hai hàm số y =
cosx, y = sinx là:
A. 2 2
B. 2
C.
2
D. 2 2
C©u 12 : Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y x 2 ,trục Ox và đường thẳng
x 2 là:
A. 8
B.
8
3
C. 16
Nguồn: Group Nhóm Toán FB
D.
16
3
2
www.MATHVN.com - Toán học Việt Nam
C©u 13 : Cho hình phẳng H giới hạn bởi các đường y sin x ; x 0 ; y 0 và x . Thể tích vật thể
tròn xoay sinh bởi hình H quay quanh Ox bằng
A. 2
C©u 14 :
B.
Cho tích phân I
2
2
A. I t dt
2
2
t 1
C.
2
4
D.
2
x2 1
1 x2
.
Nếu
đổi
biến
số
thì
t
dx
x
x2
3
1
3
2
2
2
3
B.
t 2 dt
I 2
2 t 1
C. I
3
tdt
2 t 1
3
D. I
tdt
t2 1
2
2
C©u 15 : Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y x x 2 1 và trục ox và đường thẳng x=1
là:
A.
C©u 16 :
3 2 2
3
B.
Tìm nguyên hàm:
(
3
3 2 1
3
C.
2 2 1
3
D.
4
x 2 )dx
x
A.
53 5
x 4ln x C
3
B.
C.
33 5
x 4ln x C
5
D.
33 5
x 4ln x C
5
C.
3
2
C©u 17 :
3 2
3
33 5
x 4ln x C
5
Tích phân cos2 x sin xdx bằng:
0
A.
C©u 18 :
A.
2
3
B.
2
3
Hàm số nào sau đây không là nguyên hàm của hàm số f ( x)
x2 x 1
x 1
B.
x2 x 1
x 1
C.
D. 0
x(2 x)
( x 1)2
x2
x 1
D.
x2 x 1
x 1
C©u 19 : Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y x2 4 x 5 và hai tiếp tuyến với đồ thị
hàm số tai A(1;2) và B(4;5) có kết quả dạng
A. 12
B.
13
12
a
khi đó: a+b bằng
b
C. 13
Nguồn: Group Nhóm Toán FB
D.
4
5
3
www.MATHVN.com - Toán học Việt Nam
C©u 20 :
2
Giá trị của tích phân I x 2 1 ln xdx là:
1
A.
C©u 21 :
2 ln 2 6
9
Kết quả của
x
1 x
2
C.
2 ln 2 6
9
D.
6 ln 2 2
9
dx là:
1 x2 C
A.
6 ln 2 2
9
B.
1
B.
1 x
2
C
1
C.
1 x2
C
D. 1 x2 C
C©u 22 : Hàm số F( x) ln sin x 3cos x là một nguyên hàm của hàm số nào trong các hàm số sau
đây:
A.
f ( x)
cos x 3sin x
sin x 3cos x
B.
f ( x) cos x 3sin x
C.
f ( x)
cos x 3sin x
sin x 3cos x
D.
f ( x)
C©u 23 :
A.
x 2 2 ln x
Giá trị của tích phân I
dx là:
x
1
e
e2 1
2
e2 1
2
B.
4
C©u 24 :
Giả sử I sin 3x sin 2xdx a b
0
A.
C©u 25 :
1
6
Tìm nguyên hàm:
(x
x3
4 3
3ln x
x C
3
3
C.
x3
4 3
3ln x
x C
3
3
Tìm nguyên hàm:
2
C. e2 1
D. e 2
2
, khi đó, giá trị của a b là:
2
3
10
B.
A.
C©u 26 :
sin x 3cos x
cos x 3sin x
C.
3
10
D.
1
5
3
2 x )dx
x
B.
x3
4 3
3ln X
x
3
3
D.
x3
4 3
3ln x
x C
3
3
1
dx
x( x 3)
Nguồn: Group Nhóm Toán FB
4
www.MATHVN.com - Toán học Việt Nam
A.
2
x
ln
C
3 x3
1
3
B. ln
x
C
x3
C.
1 x3
ln
C
3
x
C©u 27 : Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường (P): y=2x2 , (C): y=
B. 2 2
A. 3 2 2
C©u 28 :
2
C.
8 2
3
2
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số y=x 2 ; y=
A. 27ln2-3
63
8
B.
C©u 29 : Tìm nguyên hàm:
C.
27ln2
D.
1 x 2
1
x
ln
C
3 x3
và Ox là:
D. 4 2
x2
27
; y=
là:
8
x
D. 27ln2+1
(1 sin x) dx
2
A.
2
1
x 2cos x sin 2 x C ;
3
4
B.
2
1
x 2cos x sin 2 x C ;
3
4
C.
2
1
x 2cos 2 x sin 2 x C ;
3
4
D.
2
1
x 2cos x sin 2 x C ;
3
4
C©u 30 :
2
Cho I 2 x x2 1dx và u x2 1 . Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau:
1
2
A. I udu
1
C©u 31 :
A.
3
B. I udu
C.
0
2
I
27
3
5
5
5
2
2
2
D.
2 3
I u2
3
3
0
Cho biết f x dx 3 , g t dt 9 . Giá trị của A f x g x dx là:
Chưa xác định
được
B. 12
C. 3
D. 6
C©u 32 : Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y x2 và đường thẳng y 2x là:
A.
4
3
B.
3
2
C.
5
3
D.
23
15
C©u 33 : Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = 2 x2 - 4x - 6 trục hoành và hai đường
thẳng x=-2 , x=-4 là
A. 12
B.
40
3
C.
92
3
Nguồn: Group Nhóm Toán FB
D.
50
3
5
www.MATHVN.com - Toán học Việt Nam
C©u 34 :
3x 2 5x 1
2
dx a ln b . Khi đó, giá trị của a 2b là:
x2
3
1
0
Giả sử rằng I
A. 30
B. 40
C. 50
D. 60
C©u 35 : Kết quả của ln xdx là:
A.
C©u 36 :
x ln x x C
x ln x C
D.
x ln x x C
D.
1 x 3
ln
C
3
x
5
x
2 5
x C
5
C. 5ln x
A.
C.
Tìm nguyên hàm: ( x3 )dx
A. 5ln x
C©u 37 :
B. Đáp án khác
B. 5ln x
2 5
x C
5
Tìm nguyên hàm:
D. 5ln x
2 5
x C
5
2 5
x C
5
1
x( x 3)dx .
1
x
ln
C
3 x 3
B.
1 x3
ln
C
3
x
C.
1
x
ln
C
3 x3
C©u 38 : Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường cong y x3 và y x5 bằng:
A. 4
B.
C©u 39 :
1
6
C. 0
2
2
0
0
D. 2
Cho hai tích phân sin 2 xdx và cos 2 xdx , hãy chỉ ra khẳng định đúng:
2
A.
sin
0
C.
B. Không so sánh được
2
2
xdx cos xdx
2
0
2
2
2
2
0
0
2
sin xdx
2
cos xdx
0
0
C©u 40 :
D.
2
2
0
0
2
2
sin xdx = cos xdx
Cho hai tích phân I sin 2 xdx và J cos 2 xdx . Hãy chỉ ra khẳng định đúng:
A. I J
B.
IJ
C. I J
Nguồn: Group Nhóm Toán FB
D.
Không so sánh
được
6
www.MATHVN.com - Toán học Việt Nam
C©u 41 : Hàm số F( x) e x là nguyên hàm của hàm số
2
2
A.
C©u 42 :
f ( x) 2 xe
Tính 2
x
x2
B.
ln 2
x
B. 2 x C
Cho tích phân I
0
A.
C.
ex
f ( x)
2x
D.
2
f ( x) x2 e x 1
dx , kết quả sai là:
x
A. 2 2 1 C
C©u 43 :
f ( x) e 2 x
2
sin x
1 2 cos x 2
C. 2
x
D. 2 2 1 C
C
, với 1 thì I bằng:
B. 2
x 1
C. 2
D.
2
C©u 44 : Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số y x2 1 , y x 5 có kết quả là
A.
C©u 45 :
35
12
B.
d
Nếu
C.
d
f ( x)dx 5 ,
a
A.
10
3
D.
73
6
b
f ( x)dx 2 với a < d < b thì
b
-2
73
3
f ( x)dx
bằng
a
B.
0
C. 8
D. 3
C©u 46 : Kết quả nào sai trong các kết quả sao?
A.
dx
1
x
1 cos x 2 tan 2 C
C.
x ln x.ln(ln x) ln(ln(ln x)) C
dx
dx
B.
1
x x2 1 2 ln
D.
3 2x
xdx
2
x2 1 1
x 1 1
2
C
1
ln 3 2 x2 C
4
C©u 47 : Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong y = x3 – x và
y = x – x2 là :
A. Đáp án khác
C©u 48 :
B.
37
6
C.
33
12
D.
37
12
2
x
Tìm nguyên hàm: ( x3 x )dx
Nguồn: Group Nhóm Toán FB
7
www.MATHVN.com - Toán học Việt Nam
A.
1 4
2 3
x 2ln x
x C
4
3
B.
1 4
2 3
x 2ln x
x C
4
3
C.
1 4
2 3
x 2ln x
x C
4
3
D.
1 4
2 3
x 2ln x
x C
4
3
C©u 49 : Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y x và y x quay xung quanh trục Ox . Thể tích
khối tròn xoay tạo thành bằng:
A.
B.
6
C. 0
D.
C©u 50 : Thể tích vật thể tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường
y x , y 0 , y 2 x quanh trục ox là:
A.
C©u 51 :
7
12
B. 6
3
1
Biến đổi
0
x
1 x
C.
2
dx thành
f (t)dt , với t
35
12
D.
6
5
1 x . Khi đó f (t ) là hàm nào trong các hàm
1
số sau?
A.
C©u 52 :
f (t ) 2t 2 2t
B.
f (t) t 2 t
C.
f (t ) t 2 t
D.
f (t ) 2t 2 2t
Cho I e cos xdx ; J e sin xdx và K e x cos 2 xdx . Khẳng định nào đúng trong các
x
x
2
2
0
0
0
khẳng định sau?
(I) I J e
(II) I J K
e 1
(III) K
5
A. Chỉ (II)
B. Chỉ (III)
C. Chỉ (I)
D. Chỉ (I) và (II)
C©u 53 : Hàm số y tan 2 2x nhận hàm số nào dưới đây là nguyên hàm?
A. 2 tan 2x x
B.
1
tan 2x x
2
C. tan 2x x
D.
1
tan 2x x
2
C©u 54 : Thể tích vật thể tròn xoang khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x2 ;x
y2
quanh trục ox là
Nguồn: Group Nhóm Toán FB
8
www.MATHVN.com - Toán học Việt Nam
A.
2
4
3
B.
10
C.
3
10
D.
10
C©u 55 :
6
Cho I sin n x cos xdx
0
A. 3
1
. Khi đó n bằng:
64
C. 6
B. 4
D. 5
C©u 56 : Tìm nguyên hàm: (2 e3 x )2 dx
4
3
1
6
B. 4 x e3 x e6 x C
4
3
1
6
3x
6x
D. 4 x e e C
A. 3x e3 x e6 x C
3x
6x
C. 4 x e e C
C©u 57 :
5
Giả sử
dx
2x 1 ln K . Giá trị của K
4
3
5
6
4
3
1
6
là:
1
A. 3
B. 8
C. 81
D. 9
C©u 58 : Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x 3 + 11x - 6, y = 6x2, x
kết quả dạng
A. 2
0, x
2 có
a
khi đó a-b bằng
b
B. -3
C. 3
D. 59
C©u 59 : Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = -x2 + 4x và các tiếp tuyến với đồ thị
hàm số biết tiếp tuyến đi qua M(5/2;6) có kết quả dạng
A.
12
11
B. 14
C. 5
a
khi đó a-b bằng
b
D. -5
C©u 60 : Diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C): y= x2+3x2, d1:y = x1 và d2:y=x+2 có kết quả là
A.
1
8
B.
2
7
C.
1
12
D.
1
6
C©u 61 : Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong y = x2 + 1, tiếp tuyến với đường này tại điểm
M(2; 5) và trục Oy là:
A.
7
3
B.
5
3
C. 2
Nguồn: Group Nhóm Toán FB
D.
8
3
9
www.MATHVN.com - Toán học Việt Nam
C©u 62 :
1
Giá trị của I x.e x dx là:
0
C©u 63 :
A.
2
e
C.
B. 2 1 x C
C.
B. 1
A. 1
Tính
C
1 x
dx
1 x
2
e
D. 2e 1
, kết quả là:
2
1 x
C
C©u 64 : Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số y = (e
A. 2
e
2
B. 2
C.
e
1
2
D. C 1 x
1)x và y
(1
D.
e x )x là:
3
1
e
C©u 65 : Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y 2x2 x 3 và trục hoành là:
A.
C©u 66 :
A.
125
24
B.
125
34
C.
125
14
D.
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường thẳng y 4 x và patabol y
28
3
B.
25
3
C.
22
3
125
44
x2
bằng:
2
D.
26
3
C©u 67 : Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị: y x 2 4 x 3 và y=x+3 có kết quả là:
A.
C©u 68 :
55
6
B.
205
6
C.
109
6
D.
126
5
3
x
Tìm nguyên hàm: ( x 2 2 x )dx
Nguồn: Group Nhóm Toán FB
10
www.MATHVN.com - Toán học Việt Nam
A.
3
1
x 2s inx sin 2 x C
2
4
B.
3
1
x 2s inx- sin 2 x C
2
4
C.
3
1
x 2cos x sin 2 x C
2
4
D.
3
1
x 2s inx sin 2 x C
2
4
C©u 69 : Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường cong y x sin x và y x , với 0 x 2
bằng:
A. 4
C©u 70 :
B. 4
C. 0
Cho F x là một nguyên hàm của hàm số y
B. tan x 1
A. tan x
D. 1
1
và F 0 1 . Khi đó, ta có F x là:
cos 2 x
C. tan x 1
D. tan x 1
C©u 71 : Thể tích vật thể tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số y2 = 8x và
x=2 quanh trục ox là:
A. 12
B. 4
C. 16
D. 8
C©u 72 : Thể tích vật thể tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường y 1 x2 , y 0 quanh
a
trục ox có kết quả dạng
khi đó a+b có kết quả là:
b
A. 11
C©u 73 :
C. 31
D. 25
2
x2 1
Nguyên hàm F( x) của hàm số f ( x)
là hàm số nào trong các hàm số sau?
x
A. F( x)
C.
B. 17
x3 1
2x C
3 x
B. F( x)
x3 1
2x C
3 x
3
x3
x
F ( x) 3 2 C
x
2
D.
x3
x
F ( x) 3 2 C
x
2
C©u 74 : Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường (P): y =x2-2x+2 và các tiếp tuyến bới (P) biết
tiếp tuyến đi qua A(2;-2) là:
A.
8
3
B.
64
3
C.
16
3
D.
40
3
C©u 75 : Thể tích khối tròn xoay tạo nên khi quay quanh trục Ox hình phẳng giới hạn bởi các đường y
=(1- x)2, y = 0, x = 0 và x = 2 bằng:
Nguồn: Group Nhóm Toán FB
11
www.MATHVN.com - Toán học Việt Nam
A. 2
B.
8 2
3
C.
5
2
D.
2
5
C©u 76 : Thể tích khối tròn xoay được tạo bởi phép quay quanh trục Ox hình phẳng giới hạn bởi các
đường y = x2 và x = y2 bằng:
A. 10
C©u 77 :
B.
10
3
3
10
C. 3
D.
C. e 4
D. 3e 4
2
Giá trị của 2e 2 x dx bằng:
0
A. e 4 1
B. 4e 4
C©u 78 : Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = - x 3 + 3x + 1 và đường thẳng y=3 là
A.
57
4
B.
45
4
C.
27
4
D.
21
4
C©u 79 : Tìm khẳng định sai trong các khẳng định sau:
A.
2
x
sin
dx
2
0 2
0 sin xdx
1
C.
B.
0
(1 x) dx 0
x
0
1
sin(1 x)dx sin xdx
0
1
1
D.
x
2007
1
Nguồn: Group Nhóm Toán FB
(1 x)dx
2
2009
12
www.MATHVN.com - Toán học Việt Nam
ĐÁP ÁN
01
02
03
04
05
06
07
08
09
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
{
)
{
)
{
{
)
{
)
)
{
{
{
)
{
{
{
{
{
{
{
)
{
{
{
{
{
)
|
|
|
|
|
|
)
|
|
|
)
)
|
|
|
)
|
|
)
|
|
)
)
|
|
|
}
}
)
}
)
)
}
}
}
}
}
}
}
}
)
}
}
}
)
}
}
}
}
}
}
}
)
~
~
~
~
~
~
~
~
~
~
)
~
~
~
~
)
~
)
~
~
)
~
~
~
)
)
~
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
{
{
)
{
)
{
{
{
{
{
{
{
{
)
{
)
{
{
)
{
{
{
{
)
)
{
{
|
|
|
)
|
|
)
|
|
|
)
|
)
|
)
|
|
|
|
|
|
)
|
|
|
)
|
)
}
}
}
}
)
}
}
}
}
}
}
}
}
}
}
)
}
}
}
}
}
)
}
}
}
)
~
)
~
~
~
~
~
)
)
)
~
)
~
~
~
~
~
)
~
)
)
~
~
~
~
~
~
Nguồn: Group Nhóm Toán FB
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
)
{
)
{
{
{
{
{
{
{
)
)
{
{
{
{
{
{
)
{
{
{
)
{
{
|
|
|
|
|
|
|
)
)
|
|
|
|
|
)
)
|
|
|
|
|
|
|
|
)
}
}
}
)
)
)
}
}
}
)
}
}
)
}
}
}
)
)
}
)
}
}
}
)
}
~
)
~
~
~
~
)
~
~
~
~
~
~
)
~
~
~
~
~
~
)
)
~
~
~
13
