Phương trình toán tử Jđơn điệu và phương pháp Newton Kantorovich (Luận văn thạc sĩ)

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

NGUYỄN VĂN ĐẠT

PHƯƠNG TRÌNH TOÁN TỬ J -ĐƠN ĐIỆU
VÀ PHƯƠNG PHÁP NEWTON–KANTOROVICH

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN-2015


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

NGUYỄN VĂN ĐẠT

PHƯƠNG TRÌNH TOÁN TỬ J -ĐƠN ĐIỆU
VÀ PHƯƠNG PHÁP NEWTON–KANTOROVICH

Chuyên ngành: TOÁN ỨNG DỤNG
Mã số:

60 46 01 12

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học:
TS. NGUYỄN THỊ THU THỦY

THÁI NGUYÊN-2015


1

Mục lục
Bảng ký hiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1 Phương trình toán tử phi tuyến
1.1 Không gian Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6
6

1.1.1
1.1.2
1.2

Không gian Banach lồi đều, trơn đều . . . . . . . . .
Ánh xạ J -đơn điệu . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6
7

1.1.3 Đạo hàm Fréchet . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Phương trình toán tử phi tuyến . . . . . . . . . . . . . . .

8
9

1.2.1
1.2.2

Phương trình toán tử đặt không chỉnh . . . . . . . . 9
Phương pháp hiệu chỉnh Browder–Tikhonov . . . . . 10

1.2.3

Phương pháp Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2 Phương pháp Newton–Kantorovich
15
2.1 Phương pháp Newton–Kantorovich và định lý hội tụ . . . . 15
2.1.1
2.1.2
2.2

Phương pháp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
Định lý hội tụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

Phương pháp hiệu chỉnh Newton–Kantorovich . . . . . . . . 30
2.2.1 Mô tả phương pháp . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.2.2

Sự hội tụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

Kết luận

37

Tài liệu tham khảo

38


2

Bảng ký hiệu

X

không gian Banach thực

X∗

không gian liên hợp của X

D(A)

miền xác định của toán tử A

R(A)

miền giá trị của toán tử A

Fix(T )

Tập điểm bất động của toán tử T

H

không gian Hilbert

C

tập con lồi đóng của H

I

ánh xạ đơn vị

PC

Phép chiếu mêtrix H lên tập con lồi đóng C của H

xn → x

dãy {xn } hội tụ mạnh tới x

xn

dãy {xn } hội tụ yếu tới x

x

3

Mở đầu
Cho X là một không gian Banach thực và X ∗ là không gian liên hợp
của X. Để đơn giản, ta sẽ ký hiệu chuẩn của không gian X và X ∗ là . .
Ta viết x, x∗ thay cho x∗ (x) với x∗ ∈ X ∗ và x ∈ X.
Đề tài luận văn này nghiên cứu bài toán tìm nghiệm của phương trình
toán tử phi tuyến:
A(x) = f,

f ∈ X,

(0.1)

ở đây A : X → X là một toán tử J-đơn điệu trên X. Nếu không có thêm
các điều kiện đặc biệt đặt lên toán tử A, chẳng hạn tính chất J-đơn
điệu đều hoặc J-đơn điệu mạnh, thì phương trình (0.1) nói chung là một
bài toán đặt không chỉnh theo nghĩa nghiệm của bài toán không phụ
thuộc liên tục vào dữ kiện ban đầu. Để giải loại bài toán này ta phải
sử dụng những phương pháp giải ổn định. Một trong những phương
pháp được sử dụng rộng rãi và khá hiệu quả là phương pháp hiệu chỉnh
Browder–Tikhonov dạng (xem [3]):
A(x) + αn (x − x+ ) = fn ,

(0.2)

với
fn − f ≤ δn → 0 khi n → +∞,

ở đây x+ là một phần tử cho trước và αn là dãy tham số dương đủ bé
thỏa mãn αn → 0 khi n → +∞. Nếu A là một toán tử phi tuyến thì


4

phương trình hiệu chỉnh (0.2) là một bài toán phi tuyến. Để khắc phục
khó khăn khi giải bài toán phi tuyến này, Bakushinskii đề xuất phương
pháp hiệu chỉnh Newton–Kantorovich trong không gian Hilbert H giải
phương trình (0.1) (xem [4]):
x0 ∈ E,

A(xn ) + A (xn )(xn+1 − xn ) + αn xn+1 = fn ,

(0.3)

với A và A là ký hiệu đạo hàm Fréchet cấp một và cấp hai tương ứng
của A, được giả thiết thỏa mãn các điều kiện:
(C1) A liên tục Lipschitz, và
(C2)

A (x) ≤ M,

∀x ∈ H, M là một hằng số dương.

Phương pháp (0.3) được phát triển từ không gian Hilbert lên không gian
Banach bởi Ryazantseva ở dạng (xem [11]):
x0 ∈ E,

A(xn ) + A (xn )(xn+1 − xn ) + αn J s (xn+1 ) = fn ,

với A là một ánh xạ đơn điệu từ X vào X ∗ thỏa mãn điều kiện
(C3)

A (x) ≤ ϕ( x ),

(1)

ở đây ϕ(t) là một hàm không âm, không giảm với mọi t ≥ 0. Năm 2008,
Giáo sư Nguyễn Bường và học trò (xem [6]) đã cải tiến phương pháp
(0.3) trong trường hợp A là toán tử m-J-đơn điệu trong không gian
Banach và chứng minh sự hội tụ mạnh của phương pháp với việc sử
dụng điều kiện trơn của nghiệm, nghĩa là tồn tại phần tử ω ∈ X sao cho
A (x∗ )ω = x+ − x∗ , và điều kiện đặt lên ánh xạ đạo hàm A :
A(x) − A(x∗ ) − J ∗ A (x∗ )∗ J(x − x∗ ) ≤ τ A(x) − A(x∗ )

∀x ∈ E,

ở đây τ là hằng số dương và J ∗ là ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc của X ∗ .
Mục đích của đề tài luận văn nhằm trình bày phương pháp Newton–
Kantorovich và phương pháp hiệu chỉnh Newton–Kantorovich giải phương


5

trình toán tử J-đơn điệu (0.1) và trình bày một số định lý hội tụ của
các phương pháp này.
Nội dung của luận văn được trình bày trong hai chương. Chương 1
với tiêu đề "Phương trình toán tử phi tuyến" nhằm giới thiệu về phương
trình toán tử phi tuyến J-đơn điệu đặt không chỉnh và phương pháp

hiệu chỉnh Browder–Tikhonov hiệu chỉnh bài toán này. Phần cuối của
chương trình bày phương pháp Newton giải phương trình phi tuyến. Nội
dung của chương được tham khảo trong các tài liệu [1]-[9].
Chương 2 với tiêu đề "Phương pháp Newton–Kantorovich" nhằm giới
thiệu phương pháp Newton–Kantorovich và phương pháp hiệu chỉnh
Newton–Kantorovich giải phương trình toán tử J-đơn điệu. Nội dung
của chương này được viết từ bài báo [5], [8] và [10].
Tôi xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc tới người cô kính mến TS. Nguyễn
Thị Thu Thủy đã tận tình hướng dẫn tôi hoàn thành đề tài này. Tôi
cũng vô cùng biết ơn các thầy, cô giáo, đặc biệt là các thầy cô giáo trong
Khoa Toán - Tin, trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên đã
dạy dỗ, đóng góp về nội dung cũng như về cách thức trình bày đề tài
này.
Thái Nguyên, ngày 15 tháng 4 năm 2015
Nguyễn Văn Đạt


6

Chương 1

Phương trình toán tử phi tuyến
Trong chương này, chúng tôi giới thiệu một số khái niệm và tính chất
về không gian Banach phản xạ có chuẩn khả vi Gâteaux đều, toán tử Jđơn điệu, toán tử đối ngẫu. Phần thứ hai của chương giới thiệu về phương
trình toán tử J-đơn điệu và phương pháp hiệu chỉnh Browder–Tikhonov.
Phần cuối của chương trình bày phương pháp Newton giải phương trình
phi tuyến. Nội dung của chương này được tham khảo trong các tài liệu
[1]-[11].
1.1
1.1.1

Không gian Banach
Không gian Banach lồi đều, trơn đều

Cho X là một không gian Banach thực, X ∗ là không gian liên hợp
của X và x∗ , x là ký hiệu giá trị của x∗ ∈ X ∗ tại x ∈ X. Ký hiệu 2X là
một họ các tập con khác rỗng của X. Cho T là một ánh xạ với miền xác
định là D(T ) và miền giá trị là R(T ) và Fix(T ) là tập điểm bất động
của ánh xạ T , nghĩa là Fix(T ) = {x ∈ D(T ) : T (x) = x}. Ký hiệu mặt
cầu đơn vị của X là SX , trong đó SX = {x ∈ X : x = 1}.
Định nghĩa 1.1. Không gian Banach E được gọi là không gian


7

(i) lồi chặt nếu với x, y ∈ SE , x = y thì
(1 − λ)x + λy < 1,

∀λ ∈ (0, 1),

(ii) lồi đều nếu với mọi ε thỏa mãn 0 < ε ≤ 2, mọi x, y thỏa mãn
x ≤ 1, y ≤ 1 và x − y ≥ ε, tồn tại δ = δ(ε) ≥ 0 sao cho
x+y
≤ 1 − δ.
2
Chú ý rằng mọi không gian Banach lồi đều đều là không gian phản
xạ và lồi chặt.
Định nghĩa 1.2. Không gian Banach X được gọi là
(i) có chuẩn khả vi Gâteaux (hoặc không gian trơn) nếu giới hạn
lim

t→0

x + ty − x
t

tồn tại với mọi x, y ∈ SX ;
(ii) có chuẩn khả vi Gâteaux đều nếu với mỗi y ∈ SX giới hạn trên
tồn tại đều với x ∈ SX .
Các không gian Lp , lp là các ví dụ về không gian trơn đều.
1.1.2

Ánh xạ J -đơn điệu

Mục này trình bày định nghĩa ánh xạ đối ngẫu, ánh xạ J-đơn điệu,
J-đơn điệu mạnh, mối liên hệ với ánh xạ đơn điệu trong không gian
Hilbert và một số ví dụ.
Định nghĩa 1.3. Cho X là một không gian Banach thực và X ∗ là không
gian liên hợp của X. Với s ≥ 2, ánh xạ J s từ X vào X ∗ xác định bởi
J s (y) = {g ∈ X ∗ : y, g = y

g

s−1

, g = y ,

∀y ∈ X},

được gọi là ánh xạ đối ngẫu tổng quát của X. Khi s = 2, J 2 thường
được ký hiệu là J, gọi là ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc của X.

8

Trong trường hợp ánh xạ J đơn trị, ta sẽ ký hiệu là j.
Định nghĩa 1.4. Một ánh xạ A từ X vào X được gọi là ánh xạ
(i) J-đơn điệu (accretive) nếu với mọi x, y ∈ D(A), tồn tại j(x − y) ∈
J(x − y) sao cho:
A(x) − A(y), j(x − y) ≥ 0;
(ii) m-J-đơn điệu (m-accretive) nếu A là J-đơn điệu và R(A+αI) = X
với mỗi α > 0, ở đây I là ánh xạ đơn vị trong X;
(iii) α-J-đơn điệu mạnh, nếu tồn tại một số α > 0, j(x−y) ∈ J(x−y)
sao cho
A(x) − A(y), j(x − y) ≥ α x − y

2

∀x, y ∈ D(A);

(vi) L-liên tục Lipschitz, nếu tồn tại một hằng số L > 0 sao cho
A(x) − A(y) ≤ L x − y

∀x, y ∈ D(A).

Chú ý rằng nếu A là một ánh xạ J-đơn điệu trên X, D(A) = X, và
L-liên tục Lipschitz thì A là ánh xạ m-J-đơn điệu. Nếu X ≡ H là một
không gian Hilbert thực, thì ánh xạ J-đơn điệu và m-J-đơn điệu tương
ứng là ánh xạ đơn điệu, đơn điệu cực đại.
1.1.3

Đạo hàm Fréchet

Cho X, Y là các không gian Banach, điểm x0 ∈ X và r > 0. Hình cầu
mở (tương ứng đóng) tâm tại x0 với bán kính r được ký hiệu là B(x0 ; r)
(tương ứng B(x0 ; r)). Ký hiệu L(X, Y ) là không gian tất cả các toán tử
tuyến tính liên tục từ X vào Y . Cho Ω là một tập con mở của không
gian X. Ánh xạ f : Ω ⊂ X → Y được gọi là khả vi tại điểm a ∈ Ω nếu
có một phần tử f (a) ∈ L(X, Y ) sao cho
f (a + h) = f (a) + f (a)h + δ(h)


Luận văn đầy đủ ở file: Luận văn full