ĐỀ THI MÔN TOÁN LỚP 9 CÓ LỜI GIẢI CỤ THỂ

ĐỀ SỐ 23
Câu 1.
1) Tính giá trị của A =

(

)

20 − 3 5 + 80 . 5

4x + 7x − 2 = 0
4

2) Giải phương trình
Câu 2.

.

2

.
y=

y = −3 x + 6

5
x − 2m + 1
2

1) Tìm m để đường thẳng
và đường thẳng

cắt nhau tại một
điểm nằm trên trục hoành.
2) Một mảnh đất hình chữ nhật có độ dài đường chéo là 13m và chiều dài lớn hơn
chiều rộng 7m. Tính diện tích của hình chữ nhật đó.
Câu 3. Cho phương trình

x 2 − 2x + m − 3 = 0

1) Giải phương trình khi
m

2) Tìm giá trị của

m=3

m

với

là tham số.

.

để phương trình trên có hai nghiệm phân biệt

x1 , x 2

thoả mãn

x − 2 x 2 + x1 x 2 = −12

2
1

điều kiện:
.
Câu 4. Cho hai đường tròn (O, R) và (O’, R’) với R > R’ cắt nhau tại A và B. Kẻ tiếp
tuyến chung DE của hai đường tròn với D ∈ (O) và E ∈ (O’) sao cho B gần tiếp tuyến đó
hơn so với A.
·
·
DAB
= BDE

1) Chứng minh rằng
.
2) Tia AB cắt DE tại M. Chứng minh M là trung điểm của DE.
3) Đường thẳng EB cắt DA tại P, đường thẳng DB cắt AE tại Q. Chứng minh rằng
PQ song song với AB.

Câu 5. Tìm các giá trị x để

4x + 3
x2 +1

là số nguyên âm.

ĐÁP ÁN
Câu 1.
1) A =
2) Đặt

(

)

20 − 3 5 + 80 . 5
t=x

2

,

t≥0

=

(2

)

5 − 3 5 + 4 5 . 5 = 3 5. 5 = 15

4t + 7t − 2 = 0

.

2

phương trình trở thành

.


∆ = 7 2 − 4.4.( −2) = 81

Biệt thức
t1 =

Phương trình có nghiệm
1
t=
4

Với
Câu 2.

ta có

5
y = x − 2m + 1
2

,

1
1
x2 =
x=±
4 ⇔
2

(d1 )

1) Ta gọi

1
4 t 2 = −2

(d 2 )

,

(loại).
x=±

. Vậy phương trình có nghiệm

1
2

y = −3 x + 6

lần lượt là các đường thẳng có phương trình
( d1 )

. Giao điểm của

5
0 = .2 − 2 m + 1
⇔

⇔ m=3
2

thoả mãn khi và chỉ khi
cũng đi qua A
2) Gọi x là chiều rộng của hình chữ nhật (đơn vị m, x > 0)
⇒ chiều dài của hình chữ nhật là x + 7 (m).
Vì đường chéo là 13 (m) nên theo định lý Piatago ta có :
2

⇔

và

và trục hoành là A(2, 0). Yêu cầu của bài toán được

(d 2 )

132 = x 2 + ( x + 7 )

.

.

2x 2 + 14x + 49 = 169

x = 5
⇔
⇔ x 2 + 7x − 60 = 0
 x = −12

x =5

. Chỉ có nghiệm
thoả mãn.
Vậy mảnh đất có chiều rộng 5m, chiều dài 12m và diện tích là S = 5.12 = 60 (m2).
Câu 3.
1) Khi

m=3

phương trình trở thành

x 2 − 2 x = 0 ⇔ x( x − 2 ) = 0 ⇔ x = 0 x = 2

2) Phương trình có hai nghiệm phân biệt
Khi đó theo định lí Vi-et ta có:
Điều kiện bài toán

⇔ 2 x1 − 2 x 2 = −12

Từ (1) và (3) ta có:
⇔ m = −5

Vậy

x1 + x 2 = 2

.

(1) và

x1 x 2 = m − 3

(2).

x − 2 x 2 + x1 x 2 = −12 ⇔ x1 ( x1 + x 2 ) − 2 x 2 = −12
2
1

(do (1))

⇔ x1 − x 2 = −6

x1 = −2, x 2 = 4

, thoả mãn điều kiện.

m = −5

;

x1 , x 2 ⇔ ∆' = 1 − ( m − 3) > 0 ⇔ m < 4

(3).

. Thay vào (3) ta được:

( − 2 ) .4 = m − 3

.

.


Câu 4.
1) Ta có

·
DAB

=

1
2

sđ

»
DB

·
·
DAB
= BDE

cung). Suy ra

(góc nội tiếp) và
.

2) Xét hai tam giác DMB và AMD có:
∆AMD
⇒

MD MA
=
MB MD

hay

MD 2 = MA.MB

·
BDE

·
DMA

1
2

= sđ

chung,

Tương tự ta cũng có: ∆EMB ∼ ∆AME ⇒
Từ đó: MD = ME hay M là trung điểm của DE.
3) Ta có
⇒

,

(góc giữa tiếp tuyến và dây

·
·
DAM
= BDM

nên

∆DMB ∼

.
ME MA
=
MB ME

·
·
DAB
= BDM

»
DB

hay

ME 2 = MA.MB

.

·
·
EAB
= BEM

·
·
·
·
·
·
·
·
PAQ
+ PBQ
DAB
+ EAB
+ PBQ
= BDM
+ BEM
+ DBE
= 1800

=

·
·

PQB
= PAB

·
·
PAB
= BDM

⇒ tứ giác APBQ nội tiếp ⇒
. Kết hợp với
Hai góc này ở vị trí so le trong nên PQ song song với AB.
D

M
E
B
P

Q

O

O'

A

y=

Câu 5. Đặt

4x + 3
x2 +1

.

y ( x + 1) = 4 x + 3 ⇔ y.x 2 − 4 x + ( y − 3) = 0
2

Khi đó ta có
Ta tìm điều kiện của y để (1) có nghiệm.

(1).

suy ra

·
·
PQB
= BDM

.


x=−

y=0

Nếu

thì (1) có nghiệm

y≠0

Nếu

4
3

.

2
⇔ ∆' = 2 − y ( y − 3) ≥ 0 ⇔ y − 3 y − 4 ≤ 0 ⇔ − 1 ≤ y ≤ 4
2

, (1) có nghiệm

Kết hợp lại thì (1) có nghiệm
y

⇔ −1 ≤ y ≤ 4
⇔ y = −1

.

.
x = −2

Theo giả thiết là số nguyên âm
. Khi đó thay vào trên ta có
.
Lời bình:

Câu V 1) Từ cách giải bài toán trên ta suy biểu thức
có GTNN bằng − 1 và
y=

4x + 3
x2 + 1

GTLN bằng 4.
2) Phương pháp giải bài toán trên cũng là phương phương pháp tìm GTNN,
GTLN của các biểu thức dạng
(với b'2− 4ac < 0), chẳng hạn
P=

P=

;

ax 2 + bx + c
a ' x2 + b ' x + c '

20 x + 10 x + 3
x − 8 xy + 7 y
Q=
2
3x + 2 x + 1
x2 + y 2
2

2

2

với x2 + y2 > 0;

F = x2 + 2xy − y2 với 4x2 + 2xy + y2 = 3.