Chuyên đề: Phương trình đường thẳng trong mặt phẳng

CHUYÊN ĐỀ:
PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
TRONG MẶT PHẲNG

MỤC LỤC

A.

MỤC TIÊU DẠY HỌC
•
Căn cứ:
Chuẩn KT-KN
Yêu cầu của nhà trường
Khả năng, mong muốn của HS…
•
Mục tiêu dạy học:
 Về kiến thức:
Học sinh hiểu, nhớ được cách xác định véctơ pháp tuyến, véctơ chỉ phương của đường
thẳng.
Học sinh hiểu, biết cách viết phương trình đường thẳng đi qua một điểm và có phương
cho trước, phương trình đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt, phương trình có hệ số
góc k và các dạng phương trình chính tắc, phương trình đoạn chắn.
Học sinh hiểu được điều kiện để hai đường thẳng cắt nhau, song song, trùng nhau, vuông
góc với nhau.
Học sinh hiểu, nhớ được công thức tính góc giữa hai đường thẳng và các công thức tính
khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng, khoảng cách giữa hai đường thẳng song
song.
 Về kĩ năng:
Học sinh biết xác định véctơ pháp tuyến, véctơ chỉ phương của đường thẳng.
Học sinh viết được thành thạo phương trình tổng quát, phương trình tham số của đường
thẳng đi qua một điểm và có phương cho trước hoặc đường thẳng đi quahai điểm phân

biệt cho trước.
Học sinh tính được tọa độ của vectơ pháp tuyến nếu biết tọa độ của véctơ chỉ phương của
một đường thẳng và ngược lại.

Phạm Mai Trang – ĐHSPHN2

Page 1


-


B.

Học sinh biết chuyển đổi phương trình tổng quát và phương trình tham số của đường
thẳng.
Học sinh biết xét vị trí tương đối giữa hai đường thẳng
Học sinh sử dụng thành thạo công thức tính góc giữa hai đường thẳng và các công thức
tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng, khoảng cách giữa hai đường thẳng
song song và biết áp dụng vào các bài tập liên quan.
Về thái độ:
Rèn luyện tính cẩn thận, tính chính xác, tư duy logic,........
Học sinh có thái độ ứng dụng các kiến thức đã học vào bài tập và vào thực tế.

HÌNH THỨC, KẾ HOẠCH DẠY HỌC
1. Hình thức dạy học
- Tổ chức các hoạt động nhóm: chia lớp thành các nhóm làm bài tập, tự học theo hướng dẫn
của giáo viên,.....
- Sử dụng các phương pháp dạy học: Phương pháp gợi mở vấn đáp, phương pháp thuyết trình,
phương pháp phát hiện và giải quyết vấn đề,....

2. Kế hoạch dạy học
Nội dung
I: Viết phương
Véctơ pháp tuyến và véctơ chỉ phương
trình đường thẳng Dạng 1: Đường thẳng đi qua một điểm và biết phương.
thỏa mãn điều
kiện cho trước.
Dạng 2: Đường thẳng đi qua 2 điểm phân biệt
và
Dạng 3: Đường thẳng đi qua một điểm và có hệ số góc.
Bài tập áp dụng
II: Chuyển đổi phương trình tổng quát, phương trình tham số của đường thẳng.
III: Vị trí tương đối của hai đường thẳng.

C.

Tiết
2
1
1
1
1
1

IV: Góc giữa hai đường thẳng.

2

V: Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng.

VI: Luyện tập.

2
3

VII: Hoạt động trải nghiệm sáng tạo.

2

NỘI DUNG BÀI HỌC
I. Viết phương trình đường thẳng thỏa mãn điều kiện cho trước
1. Vectơ pháp tuyến và vectơ chỉ phương.
1.1. Vectơ pháp tuyến (VTPT): Vectơ
vectơ pháp tuyến của đường thẳng d.

có giá vuông góc với đường thẳng

+ Nếu là VTPT của đường thẳng d thì
cũng là VTPT của đường thẳng d
+ Một đường thẳng có vô số VTPT và tất cả các VTPT ấy đều cùng phương.

Phạm Mai Trang – ĐHSPHN2

Page 2

được gọi là


1.2. Vectơ chỉ phương (VTCP): Vectơ
vectơ chỉ phương của đường thẳng d.

có giá song song với đường thẳng

được gọi là

+ Nếu là VTCP của đường thẳng thì
cũng là VTCP của đường thẳng d.
+ Một đường thẳng có vô số VTCP và tất cả các VTCP ấy đều cùng phương.
1.3. Mối quan hệ giữa VTPT và VTCP của đường thẳng d.
+ VTCP của đường thẳng vuông góc với VTPT của đường thẳng ấy
+ Nếu gọi tọa độ của VTPT của đường thẳng d là

thì VTCP là

hoặc

+ Nếu gọi tọa độ của VTCP của đường thẳng d là

thì VTPT là

hoặc

+ Đường thẳng có VTPT thì sẽ có VTCP.
1.4: Ví dụ:
a.

Phương trình đường thẳng d có VTPT
VTPT của d.

thì

Phương trình đường thẳng d có VTCP
cũng là VTCP của d.
c. Tìm VTCP và VTPT.

thì

b.

+ Đường thẳng d có VTPT
+ Đường thẳng d có VTPT

VTCP
VTCP

+ Đường thẳng d có VTCP

VTPT

VTCP

VTPT

+ Đường thẳng d có

cũng là

hoặc

2. Dạng 1: Đường thẳng đi qua một điểm và biết phương.

2.1. Đường thẳng đi qua một điểm và biết VTPT.
- Một phương trình bậc nhất hai ẩn đối với x và y có dạng:

(1), với

được gọi là phương trình tổng quát của một đường thẳng xác định, nhận
làm VTPT.

Phạm Mai Trang – ĐHSPHN2

Page 3


Ngược lại, đường thẳng đi qua điểm

•

và có VTPT

Phương trình tổng quát có dạng:
Chú ý:
+ Các dạng đặc biệt của phương trình tổng quát: Cho đường thẳng d:
trường hợp sau xảy ra, phụ thuộc vào hệ số a, b, c:

•

Nếu

thì d có dạng:

. Đường thẳng song song hoặc trùng với Ox.

•

Nếu

thì d có dạng:

. Đường thẳng song song hoặc trùng với Oy.

•

Nếu

thì d có dạng:

. Đường thẳng đi qua gốc tọa độ.

+ Nếu đường thẳng (d) đi qua hai điểm

và

(d) có dạng:

được gọi là phương trình đường thẳng theo đoạn chắn nhận:
Ví dụ: Viết phương trình đường thẳng d:
a. d đi qua điểm

nhân

d đi qua

nhận

b.

c. d đi qua 2 điểm
Lời giải
a. Vì d đi qua điểm

là VTPT.
là VTPT.

và

.

nhận

là VTPT

Pt đường thẳng d:
b. Vì d đi qua

nhận

là VTPT

Pt đường thẳng d:
c. Vì d đi qua 2 điểm

và

Pt đường thẳng d:

Phạm Mai Trang – ĐHSPHN2

Page 4

. Có các


2.2. Đường thẳng đi qua một điểm và biết VTCP.

- Một hệ phương trình 2 ẩn đối với x và y có dạng:

(2) (

số) được gọi là phương trình tham số của một đường thẳng nhận:
Ngược lại, đường thẳng đi qua điểm

•

và t là tham
là VTCP.

và có VTCP

Pt tham số có dạng:
Chú ý:

Bằng cách khử tham số t từ 2 phương trình của hệ phương trình (2) trên ta đượcphương trình:

Phương trình này được gọi là phương trình chính tắc của đường thẳng trong mặt phẳng.
Ví dụ: Viết phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng d:
a. d đi qua

có VTCP

b. d đi qua
Lời giải:

có VTCP

có vtcp

a. Vì d đi qua

nên PT tham số d:

Không có PT chính tắc.
b. Vì d đi qua

có VTCP

nên:

+ PT tham số d:

PT chính tắc d:
+

2.3. Đường thẳng đi qua một điểm và vuông góc hoặc song song với đường thẳng cho trước
- Pt đường thẳng d qua điểm

và song song

Pt đường thẳng d:

Phạm Mai Trang – ĐHSPHN2

Page 5

:


- Pt đường thẳng d qua điểm

•

và vuông góc

:

Pt đường thẳng d:
Chú ý:
+ Hai đường thẳng song song thì chúng cùng VTPT hoặc cùng VTCP.
+ Hai đường thẳng vuông góc thì VTPT của đường thẳng này đóng vai trò là VTCP của
đường thẳng kia và ngược lại.
Ví dụ: Lập phương trình đường thẳng d:

a)

d đi qua

b)

d đi qua

c)

d là đường trung trực của đoạn thẳng với hai đầu mút
Lời giải

a.

Đường thẳng
Do

và song song với đường thẳng

và vuông góc với đường thẳng

nhận

nên d nhận

và

là VTPT.
là VTPT mà d đi qua

Phương trình d:
b)

Đường thẳng

Do

nhận

nên d nhận

là VTPT.

là VTPT mà d đi qua

Phương trình d:

c)

Gọi I là trung điểm của AB ta có:
là VTCP của đường thẳng AB

Do d là đường trung trực của đoạn AB nên: d đi qua

Phạm Mai Trang – ĐHSPHN2

Page 6

và vuông góc với AB

Vậy phương trình d:

3. Dạng 2: Đường thẳng đi qua 2 điểm phân biệt
+ Cách tìm phương trình tham số:

Tìm VTCP:
+ Cách tìm phương trình tổng quát:
Tìm VTPT:

và

PT tham số AB:

PTtổng quát AB:

- Ví dụ : Viết PTTQ, PTTS của đường thẳng đi qua
Lời giải:
Đường thẳng AB đi qua

và

có VTCP là:

Pt tham số có dạng:
Đường thẳng AB đi qua

và nhận VTPT

PT tổng quát AB là:

4. Dạng 3: Đường thẳng đi qua một điểm và có hệ số góc.
- Phương trình bậc nhất 2 ẩn:
Trong đó

được gọi là phương trình hệ số góc.

( là góc tạo bởi chiều dương của trục Ox với đường thẳng)

- Cách viết phương trình:
Đường thẳng đi qua điểm

Phạm Mai Trang – ĐHSPHN2

và có hệ số góc k.

Page 7


Pt đường thẳng:
Ví dụ: Viết phương trình đường thẳng d.
a.

d đi qua điểm

b.

d đi qua
Lời giải:

và có hệ số góc k=2.

tạo với Ox góc

.

a. Pt đường thẳng d là:

tạo với Ox góc

b. d đi qua

5. Bài tập áp dụng
Bài 1: Cho
có
,
,
. Viết phương trình tổng quát:
a. Đường cao hạ từ đỉnh A.
b. Đường trung trực của đoạn AB.
c. Đường thẳng qua A và song song với đường trung tuyến CM.
Bài 2: Cho

có

. Các đường cao xuất phát từ B và C của tam giác lần lượt có

phương trình là:

và

. Viết phương trình các cạnh của tam giác.

Bài 3: Cho
có
,
,
a.
Lập phương trình các cạnh của tam giác.
b. Lập phương trình đường trung tuyến AM.
Bài 4: Cho
lần lượt là:

có

. Đường cao và phân giác trong kẻ từ A và C có phương trình
và

. Viết phương trình các cạnh của tam giác.

Bài 5 : Cho
có
,
,
lần lượt là trung điểm của cạnh AB, AC,
BC của tam giác. Viết phương trình các cạnh của tam giác.

Phạm Mai Trang – ĐHSPHN2

Page 8

Bài 6: Cho

cân tại A, cạnh BC, AB có phương trình lần lượt là:
, đường thẳng AC đi qua

Bài 7: Cho

có

lượt là:
Hướng dẫn:
Bài 1:
a.

và

thuộc AC. Viết phương trình AC.

. Đường phân giác và trung tuyến kẻ từ A có phương trình lần
và

. Lập phương trình cạnh BC.

Ta có
Gọi d là đường cao hạ từ A nên d vuông góc với BC và đi qua A.
d nhận

là VTPT.

PT d:

b.

Gọi M là trung điểm của AB ta có:
là VTCP của đường thẳng AB.

Do d là đường trung trực của đoạn AB nên: d đi qua

Vậy phương trình d:

c.

Ta có
Gọi d là đường thẳng đi qua A và song song với CM.

d nhận

là VTCP.

PT d:
.
Bài 2:
Gọi H và K lần lượt là chân đường cao kẻ từ B và C.
PT

và PT CK:

Phạm Mai Trang – ĐHSPHN2

Page 9

và vuông góc với AB.


+ Đường thẳng BH có VTCP
Giả thiết

nên đường thẳng AC nhận

là VTPT.

Lại có
PT AC:
+ Đường thẳng CK có VTCP
Do

nên đường thẳng AB nhận

Lại có
+ Gọi

là VTPT.

PT AB:
Tọa độ điểm I là nghiệm của hệ phương trình sau:

Tọa độ điểm B là nghiệm của hệ phương trình sau:

Vì I là trực tâm của tam giác ABC .

là VTPT của BC
PT BC:
Bài 3:

.

a. + Đường thẳng AB có VTCP:

là VTPT.

Lại có AB đi qua điểm
PTTQ AB:
+ Đường thẳng BC có VTCP:

Phạm Mai Trang – ĐHSPHN2

là VTPT.

Page 10


Lại có BC đi qua điểm
PTTQ BC:
+ Đường thẳng AC có vtcp:

là VTPT.

Lại có AC đi qua điểm
PTTQ AC:

.+ Ta có M là trung điểm của BC ta có:

b

Đường thẳng AM nhận

là VTCP

là VTPT.

PT AM:
Bài 4:
Gọi H và D là chân đường cao và chân đường phân giác kẻ từ A và C.
AH có phương trình:

và CD có phương trình:

+ Đường thẳng AH có VTCP
Do

nên đường thẳng BC nhận
là VTPT.

Lại có

Phương trình BC:

+ Ta có

Tọa độ điểm C là nghiệm của hệ phương trình sau:

Gọi I là hình chiếu vuông góc của B lên CD.
Gọi

là đường thẳng đi qua

Phạm Mai Trang – ĐHSPHN2

và vuông góc với CD.

Page 11


Phương trình

:

Tọa độ điểm I là nghiệm của hệ phương trình sau:

Gọi E là điểm đối xứng với B qua I
Theo cách dựng

cân tại C

CI là đường phân giác trong của

là VTCP của đường thẳng AC

là VTPT của AC.

PT AC:
+ Ta có

Tọa độ điểm A là nghiệm của hệ phương trình sau:

là VTCP của AB

PT AB:

Bài 5:
Theo giả thiết
,
,
lượt là trung điểm của cạnh AB, AC, BC.
,

lần

và

Ta có:
+

. Vì

VTCP của BC

là
là VTPT của BC

Lại có
PT BC:
+
AB.

. Vì

Phạm Mai Trang – ĐHSPHN2

là VTCP của AB

Page 12

là VTPT của


Lại có
PT AB:
+

. Vì

là VTCP của AC

là VTPT của AC.

Lại có
PT AC:
Bài 6:

Gọi
BC

là đường thẳng đi qua

Phương trình

và song song với

có dạng:
nên

Vì
Phương trình

:

+ Gọi
phương trình sau:

Theo cách dựng

Ta có

Vì

Tọa độ điểm N là nghiệm của hệ

cân tại A.

I là trung điểm của BC ta có:
cân tại A

là VTPT của đường thẳng AI.

Phương trình AI:
Gọi

Tọa độ điểm A là nghiệm của hệ phương trình sau:

Phạm Mai Trang – ĐHSPHN2

Page 13


là VTCP của AC
Phương trình AC:
Bài 7:
Gọi D và M lần lượt là chân đường phân giác và trung tuyến kẻ từ A.
Phương trình AD:
Ta có

Gọi

và phương trình AM:
Tọa độ điểm A là nghiệm của hệ phương trình sau:

là đường thẳng đi qua

Phương trình

và vuông góc với AD

:

Tọa độ điểm I là nghiệm của hệ phương trình sau:

Gọi E là điểm đối xứng với C qua I
Theo cách dựng I là trung điểm của CE và M là trung điểm của CB
là VTCP của MI

Phương trình IM:

Tọa độ điểm M là nghiệm của hệ phương trình sau:

là VTCP của BC

PT BC:

II. Chuyển đổi phương trình tổng quát, phương trình tham số của đường thẳng.
1. Lý thuyết:
1.1.
Chuyển đổi giữa phương trình chính tắc và phương trình tham số:
1.1.1. Chuyển phương trình chính tắc về phương trình tham số:

Phạm Mai Trang – ĐHSPHN2

Page 14

a)

Cách làm:



Cách 1: Ta có PT chính tắc:

Ta đặt :

Từ đó ta có :



(PT tham số)

Cách 2: TừPT chính tắc của đt (d):
Ta suy ra đường thẳng d đi qua điểm

Suy ra
b)

và có VTCP là

PT tham số của đt d là:

Ví dụ :

n PT chính tắc sau về dạng PT tham số (d):
Chuyể

Giải:

+ Cách 1:Ta đặt:

suy ra

(PT tham số)

+Cách 2: TừPT chính tắc ta suy ra đường thẳng d đi qua điểm

PT tham số là :
1.1.2. Chuyển PT tham số vềPT chính tắc:
a) Cách làm:



Cách 1: Ta có PT tham số:

Phạm Mai Trang – ĐHSPHN2

Page 15

và có VTCP là


Rút t từ hệ ta có

(điều kiện a 0 và b 0)

(a 0 và b 0) (PT chính tắc)



Cách 2: TừPT tham số của đường thẳng (d)
đi qua điểm

•
b)

ta suy ra đường thẳng d

và có VTCP

Nên PT chính tắc của đường thẳng d là
(a 0 và b 0)
Chú ý : Đường thẳng có thể không có PT dạng chính tắc.
Ví dụ:

Ví dụ1 : Đưa pt tham số sau vềPT chính
Giải:

tắc (d) :

+ Cách 1: Từ hệ ta rút t:
+ Cách 2: TừPT tham số ta suy ra đt d đi qua điểm (2;1) và có VTCP (-3;2)

Nên d có PT chính tắc là :

Ví dụ2
Giải:

: Đưa PT tham số sau về pt chính tắc:

Do

nên không có dạng pt chính tắc.
1.2.
Chuyển đổi giữa phương trình tham số và phương trình tổng quát:
1.2.1. Chuyển phương trình tham số về phương trình tổng quát:
a) Cách làm:
 Cách 1:

Phạm Mai Trang – ĐHSPHN2

Page 16


•

Đưa PT tham số

vềPT chính tắc:

•

Chuyển về quy đồng ta có:

•


Ta được PT tổng quát.
Cách 2:

•

TừPTtham số

•

TừVTCP ta suy ra được VTPT

•

Nên PT tổng quát của đường thẳng d đi qua

•

Chú ý:

ta suy ra đt d đi qua điểm

có VTPT

Khi PT của đường thẳng không có dạng chính tắc tức là
số vềPT tổng quát như sau:

+ Khi

+Khi
b) Ví dụ:

Đưa PT
Giải:

ta có PT tham số:

ta có PT tham số:

ta suy ra PT tổng quát :

ta suy ra ra PT tổng quát :

tham số sau về dạng PT tổng quát :

+ Cách 1:Chuyển vềPT dạng chính tắc ta được :
Chuyển vế quy đồng ta có:

Phạm Mai Trang – ĐHSPHN2

hoặc

Page 17

và có VTCP

là :

thì ta chuyển pt tham

+Cách 2: TừPT tham số ta suy ra đường thẳng d đi qua điểm

và có VTCP là

suy ra VTPTcủa d là
Đường thẳng d đi qua điểm

1.2.2.
a)


và có VTPT

nên pt tổng quát của đường thẳng

d là:
Chuyển phương trình tổng quát về phương trình tham số:
Cách làm:
Cách 1: Dựa vào PT tổng quát
.

lấy một điểm M

TừPT tổng quát ta suy ra VTPT
Đuờng thẳng d đi qua điểm M

suy ra VTCP
và có VTCP

PT tham số của đường thẳng (d):



Cách 2: PT tổng quát:

•

Với a

-

Cho

0 và b 0

sau đó thay và PT ta có

Ta có PT tham số

-

Hoặc cho

sau đó thay vào PT ta có

Tacó PT tham số:
•

Với

và a

0 PT tổng quát:

Cho

ta được PT tham số:

Phạm Mai Trang – ĐHSPHN2

Page 18

nên:

thuộc đường thẳng (d)




Với b 0 và

Cho
b)

PT tổng quát:

ta được PT tham số:

Ví dụ:
Ví dụ 1: Đưa PT sau về dạng PT tham số: (d)
Giải:

+ Cách 1: Có VTPT của (d):

và ta lấy M

PT tham số của đường thẳng đi qua điểm M

+ Cách 2: Đặt

thuộc đường thẳng

và có VTCP

VTCP của (d)

là :

thay vào pt tổng quát ta có:

PT tham số :
• Chú ý:
Khi biết một dạng nào đó của PT đường thẳng d ta có thể tìm tất cả các dạngPT còn lại của
đường thẳng d.
Ví dụ 2:Cho tam giác ABC biết A(-1 ; 2) ; B(2 ; -4) C(1 ; 0).
a Viết PT tham số của đường thẳng BC. TừPT tham số viết tất cả các dạng PT còn lại của các
đường thẳng trên
b Viết PT tổng quát của đường cao AH . TừPT tổng quát viết PT tham số , PT chính tắc của
đường cao AH
Giải:
a)

Vì BC đi qua 2 điểm B và C nên nhận

làm VTCP

PT tham số của BC là :

Rút t ta có

=

PT chính tắc

PT tổng quát:

Phạm Mai Trang – ĐHSPHN2

Page 19


a)

Gọi H là trực tâm tam giác ABC thì đường cao AH qua A và có nhận
PT :
Đặt

là VTPT

(PT tổng quát)
thay vào ta có

PT tham số

t=y=

Pt chính tắc: y=

Từ hệ trên
2.

Bài tập
Bài 1: Viết PT chính tắc và PT tham số của các PT sau:
a)
Bài 2: Viết PT tổng quát của các PT sau.

b)

c)

a)
b)
c)
Bài 3: Viết PTtham số, PT chính tắc (nếu có), PT tổng quát trong các trường hợp sau:
a) Đi qua điểm

và song song với trục hoành.

b) Đi qua điểm

và song song với trục tung.

c) Đi qua điểm
Giải:
Bài 1:
a

và vuông góc với đt

Ta có PT tổng quát:

. Đặt

ta có PT tham số :

thay vào PT ta có

từPT tham số rút t ta được

Ta có PT chính tắc: x=
b

Ta có PT tổng quát:
Đặt

. Vì

Phạm Mai Trang – ĐHSPHN2

Page 20

=

Ta có PT tham số :
Không có dạng PT chính tắc.
c

Ta có PT tổng quát:
Đặt

.

. Vì

Ta có PT tham số :
Không có dạng PT chính tắc.
Bài 2:

a

PT tham số:

Đưa PT tham số vềPT chính tắc ta có PT chính tắc:

Chuyển vế quy đồng ta có :
PT tổng quát:

b

PT tham số:
Ta có PT tổng quát:

c

PT tham số :
Ta có PT tổng quát:
Bài 3:

a

Đường thẳng cần tìm có VTCP

và đi qua A nên có PT tham số :

PTTQ:
Đường thẳng không có PT chính tắc.

b

Đường thẳng cần tìm có VTCP

và đi qua B nên có PT tham số là :

PTTQ:

Phạm Mai Trang – ĐHSPHN2

Page 21


Đường thẳng không có PT chính tắc.

c

Do đường thẳng cần tìm vuông góc với đường thẳng có VTPT là
VTCP của đường thẳng cần tìm .

nên

là

PT tham số :

PT chính tắc là :
PT tổng quát là :
III. Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng.
1. Lý thuyết
Trong mặt phẳng tọa độ cho hai đường thẳng

,

có phương trình:

;

TH1:

cắt

tại một điểm A

Khi đó tọa độ điểm A là nghiệm của hệ phương trình:

Đặc biệt: Khi

, hai đường thẳng

thì

Nếu

,

có VTPT tương ứng là

.

thì

có dạng:

TH2:

Khi đó hệ phương trình
Nếu

vô nghiệm.
thì

có dạng:

Phạm Mai Trang – ĐHSPHN2

Page 22

và


TH3:

Khi đó hệ phương trình
vô số nghiệm.
2. Ví dụ:
Ví dụ 1: Xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng sau:
a)

và

b)

và

c)

và
Giải:

a)

Ta có

b)

Ta có

c)

Phương trình tổng quát của

Ta có

. Vậy

cắt

. Vậy

. Vậy

.

.
là:

.

Phạm Mai Trang – ĐHSPHN2

Page 23


Ví dụ 2: Xét vị trí tương đối của mỗi cặp đường thẳng sau và tìm giao điểm ( nếu có ) của chúng:
a)

và

b)

và

c)

và
Giải:

a)

Ta thấy:

cắt

Ta có

và

lần lượt là các VTPT của

Có

. Vậy

Giao điểm của

Vậy

và

Ta có

c)

Phương trình

.

.

. Vậy

Ta có

.

là nghiệm của hệ phương trình

tại điểm

b)

và

, hai đường thẳng không có điểm chung.

có dạng tổng quát là:

. Vậy

, hai đường thẳng có vô số điểm chung.

IV. Góc giữa hai đường thẳng
1. Lý thuyết:
Góc giữa hai đường thẳng
VTPT

và

,

có phương trình

và

có

được tính bởi công thức:

Chuyên đề: Phương trình đường thẳng trong mặt phẳng

Page 24


2. Ví dụ:
Ví dụ : Tìm góc giữa hai đường thẳng

a.
(d1): x + 2y + 1 = 0 và (d2): x + 4y + 3 = 0.

b.

(d1):

c.

(d1):

và (d2):

(t

, (t, u

R).

R) và (d2): x + y – 7 = 0.

Giải:
a.

b.

c.

(d1): x + 2y + 1 = 0

VTPT của (d1) là

(d2): x + 4y + 3 = 0

VTPT của (d2) là

(d1):

VTCP của (d1) là

(d2):

VTCP của (d2) là

(d1):

VTCP của (d1) là

(d2): x + y – 7 = 0

VTPT của (d1) là

VTPT của (d2) là

VTPT của (d1) là

VTPT của (d2) là

3. Bài tập áp dụng:

Chuyên đề: Phương trình đường thẳng trong mặt phẳng

Page 25