Qua trinh ngau nhien va chuoi markov

XÁC XUẤT, QUÁ TRÌNH NGẪU
NHIÊN và CHUỖI MARKOV
N H Ó M 3 LỚ P M 1 7 C QT E 0 1 - N
1. ĐẶ N G T H A N H P H O N G
2. ĐẶ N G T Ứ Q U Ý
3. VÕ T R Ầ N N H ẬT P H ƯƠ N G
THÁNG 8/2017


PHẦN 1: TỔNG QUAN VỀ XÁC SUẤT
 Các định nghĩa xác suất cơ bản
 Biến ngẫu nhiên
 Hàm mật độ xác suất
 Vector ngẫu nhiên


Tổng quan về xác suất
 Phép thử
Những thí nghiệm, quan sát mà các kết quả của nó không thể dự báo
trước được ta gọi chúng là các phép thử ngẫu nhiên ký hiệu là C
 Biến cố
Với phép thử C ta có thể xét các sự kiện (biến cố ngẫu nhiên) mà
việc xảy ra hay không xảy ra hoàn toàn được xác định bởi kết quả của
C . Các biến cố ngẫu nhiên được ký hiệu bằng các chữ in hoa A, B, C,
… Mỗi kết quả ω (biến cố sơ cấp) của phép thử C được gọi là kết quả
thuận lợi cho biến cố A nếu A xảy ra khi kết quả của phép thử C là

ω


Tổng quan về xác suất (tt)

 Không gian mẫu
Tập hợp tất cả các biến cố sơ cấp của phép thử được gọi là
không gian mẫu, ký hiệu Ω
 Biến cố chắc chắn là biến cố luôn luôn xảy ra khi thực hiện
phép thử. Không gian mẫu Ω là một biến cố chắc chắn.
 Biến cố không thể là biến cố nhất định không xảy ra khi thực
hiện phép thử.


Tổng quan về xác suất (tt)
  Quan hệ giữa các biến cố


 Biến cố đối xảy ra khi và chỉ khi biến cố A không xảy ra.
Tổng của hai biến cố A, B là biến cố được ký hiệu A B xảy ra
khi và chỉ khi có ít nhất A hoặc B xảy ra.
Tích của hai biến cố A, B là biến cố được ký hiệu A B xảy ra khi
cả hai biến cố A , B đồng thời cùng xảy ra.
Hai biến cố A, B gọi là xung khắc nếu hai biến cố này không thể
đồng thời cùng xảy ra


Tổng quan về xác suất (tt)
  Hệ đầy đủ các biến cố


Dãy các biến cố được gọi là một hệ đầy đủ các biến cố nếu
thỏa mãn hai điều kiện sau:
1. Xung khắc từng đôi một
2. Tổng của chúng là biến cố chắc chắc

 Hai biến cố A và B là độc lập với nhau nếu việc xảy ra hay
không xảy ra biến cố này không ảnh hưởng tới việc xảy ra hay
không xảy ra biến cố kia.


Tổng quan về xác suất (tt)
  Xác suất


Giả sử phép thử C thỏa mãn 2 điều kiện sau:
1. Không gian mẫu có một số hữu hạn phần tử.
2. Các kết quả xảy ra đồng khả năng.
Khi đó ta định nghĩa xác suất của biến cố A là


Tổng quan về xác suất (tt)
 
Nếu
xem biến cố A như là tập con của không gian mẫu Ω thì

Ví dụ: Biến cố A xuất hiện mặt chẵn trong phép thử gieo con xúc
xắc có 3
trường hợp thuận lợi ( A = 3) và 6 trường hợp có thể (Ω = 6 ).
Vậy


Tổng quan về xác suất (tt)
  Xác suất có điều kiện


Xác suất của biến cố B được tính trong điều kiện biến cố A xảy
ra được gọi là xác suất của B với điều kiện A . Ký hiệu P(B| A)
Công thức xác suất đầy đủ
Giả sử là một hệ đầy đủ các biến cố. Khi đó, với mọi biến cố B
của cùng một phép thử ta có


Tổng quan về xác suất (tt)
  Công thức Bayes


Giả sử là một hệ đầy đủ các biến cố. Khi đó, với mọi biến cố B
của cùng một phép thử P(B) > 0 ta có


Tổng quan về xác suất (tt)
  Biến nhẫu nhiên


Biến ngẫu nhiên X là đại lượng nhận các giá trị nào đó phụ thuộc
vào các
yếu tố ngẫu nhiên. Đăc biệt với mọi giá trị thực : “ X nhận giá trị
nhỏ hơn bằng x ”, ký hiệu , là một biến cố ngẫu nhiên.
Đối với biến ngẫu nhiên người ta chỉ quan tâm xem nó nhận một
giá trị nào đó hoặc nhận giá trị trong một khoảng nào đó với một
xác suất bao nhiêu.
Tập hợp tất cả các giá trị của X được gọi là miền giá trị của X , ký
hiệu .

Tổng quan về xác suất (tt)
  Ví dụ biến ngẫu nhiên


Gieo đồng thời hai con xúc xắc. Ký hiệu , k = 2,3,...,12 là biến cố
tổng số chấm xuất hiện của hai con xúc xắc là k .
Nếu gọi X là tổng số chấm xuất hiện khi gieo hai con xúc xắc thì
X là một biến ngẫu nhiên có miền giá trị = {2,3,...,12} và {X =
k} = với k = 2,3,...,12


Tổng quan về xác suất (tt)
  Phân loại biến ngẫu nhiên


Biến ngẫu nhiên X là rời rạc nếu miền giá trị gồm một số hữu
hạn hoặc vô hạn đếm được các giá trị, nghĩa là có thể liệt kê các
giá trị của miền giá trị thành một dãy có dạng , ,... Hàm phân
bố của biến ngẫu nhiên rời rạc có đồ thị dạng hình thang
Biến ngẫu nhiên X là biến ngẫu nhiên liên tục nếu các giá trị
của nó có thể lấp đầy một hoặc một số các khoảng hữu hạn
hoặc vô hạn (như vậy miền giá trị là một khoảng hoặc hợp của
một số khoảng hữu hạn hoặc vô hạn) và xác suất X nhận giá trị
tại từng điểm đều bằng 0 (nghĩa là P{X = a} = 0 với mọi a).
Hàm phân bố là hàm số liên tục


Tổng quan về xác suất (tt)
  Hàm phân bố xác suất


Hàm phân bố xác suất (cumulative distribution function, viết tắt
CDF) của
biến ngẫu nhiên X là hàm số () xác định với mọi bởi công thức:
trong đó P là ký hiệu biến cố “biến ngẫu nhiên X nhận giá trị nhỏ
hơn hay bằng ”.


Tổng quan về xác suất (tt)
 Hàm mật độ xác suất
Giả sử X là một biến ngẫu nhiên liên tục có hàm phân bố xác
suất F(x) , nếu tồn tại hàm f(x) sao cho

thì f(x) được gọi là hàm mật độ xác suất của biến ngẫu nhiên X
(probability density function, viết tắt PDF).


Tổng quan về xác suất (tt)
 Hàm khối lượng xác suất của biến ngẫu nhiên rời rạc
Đối với biến ngẫu nhiên rời rạc X ta đặt

là hàm khối lượng xác suất (probability mass function) của biến ngẫu nhiên rời
rạc X.


Tổng quan về xác suất (tt)
 Kỳ vọng
Với mọi biến ngẫu nhiên X ta ký hiệu E X là kỳ vọng của X được
xác định:

Tổng quan về xác suất (tt)

Kỳ vọng mang ý nghĩa là giá trị trung bình (average, mean
value) của biến ngẫu nhiên X


Tổng quan về xác suất (tt)
 Phương sai & độ lệch chuẩn
Phương sai (variance) hay độ lệch (deviation) bình phương trung
bình của biến ngẫu nhiên X là đại lượng đo sự phân tán bình
phương trung bình của X xung quanh giá trị trung bình E X.
Phương sai của X được ký hiệu DX

Độ lệch chuẩn của X là:


Tổng quan về xác suất (tt)
  Biến ngẫu nhiên nhiều chiều (vector ngẫu nhiên)


Một véc tơ ngẫu nhiên n chiều là một bộ có thứ tự {, …, }với các
thành phần , …, là các biến ngẫu nhiên xác định trong cùng một
phép thử. Ta ký hiệu véc tơ ngẫu nhiên hai chiều là (X,Y) , trong
đó X là biến ngẫu nhiên thanh phần thứ nhất và Y là biến ngẫu
nhiên thành phần thứ hai.


PHẦN 2: QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN
 Quá trinh ngẫu nhiên

 Phân loại quá trinh ngẫu nhiên


Quá trình ngẫu nhiên (tt)
 Quá trinh ngẫu nhiên
Quá trình ngẫu nhiên là một họ các biến ngẫu nhiên {X (t,ω);t ∈ T} xác
định trong cùng một phép thử. Các quá trình này vừa phụ thuộc vào thời
gian t và khi cố định tham số t thì X (t,ω) là biến ngẫu nhiên theo ω. Các
giá trị nhận được theo
thời gian được gọi là hàm mẫu hoặc một thể hiện của quá trình ngẫu
nhiên. Tập chỉ số T thường biểu diễn tham số thời gian.
Để đơn giản ta ký hiệu quá trình ngẫu nhiên {X (t);t∈T} thay cho{X
(t,ω);t∈T} , hàm mẫu tương ứng được ký hiệu {x(t);t∈T}


Phân loại quá trình ngẫu nhiên

  Phân loại quá trinh ngẫu nhiên theo không gian trạng thái
Không gian trạng thái của quá trình là tập các giá trị của X (t) kí hiệu E,
mỗi
giá trị của X (t) được gọi là một trạng thái.
• Nếu E là tập đếm được thì {X (t);t∈T} gọi là quá trình có trạng thái rời rạc.
• Nếu E là 1 khoảng của tập số thực R thì {X (t);t∈T} được gọi là quá trình
thực hoặc quá trình trạng thái liên tục.
• Nếu E tập con của tập số phức C thì {X (t);t∈T} là quá trình trạng thái
phức.
• Nếu E ⊂ thì {X (t);t∈T} là quá trình trạng thái k-véc tơ.


Phân loại quá trình ngẫu nhiên

(tt)
  Phân loại quá trình ngẫu nhiên theo tập các chỉ số T


• Nếu T ⊂ Z thì quá trình {X (t);t∈T} được gọi là quá trình có thời
gian rời rạc hoặc tham số rời rạc. Trường hợp này ta ký hiệu
thay cho X (t) và gọi là một dãy ngẫu nhiên.
• Nếu T = [0;∞) hoặc T = R thì {X (t);t∈T} được gọi là quá trình
có thời gian liên tục.


Phân loại quá trình ngẫu nhiên
(tt)
  Phân loại theo các tính chất xác suất của quá trình

ngẫu nhiên

• Quá trình độc lập:
Quá trình {X (t);t∈T} được gọi là quá trình độc lập nếu với mọi
thời điểm
thì các biến ngẫu nhiên sau là độc lập