CÁC PHÉP TÍNH về căn bậc HAI

CÁC PHÉP TÍNH VỀ CĂN BẬC HAI
A./ Kiến thức cơ bản :
1. Khai phương một tích. Nhân các căn bậc hai.
a) Định lý : a; b �0, ta có: a.b = a. b
b) Quy tắc khai phương một tích : Muốn khai phương một tích các số không âm, ta có thể khai
phương từng thừa số rồi nhân các kết quả với nhau ( a; b �0, ta có: a.b = a. b )
c) Quy tắc nhân các căn bậc hai : Muốn nhân các CBH của các số không âm, ta có thể nhân các
số dưới dấu căn với nhau rồi khai phương kết quả đó ( a; b �0: a. b = a.b )
d) Chú ý :

 A
- Với A > 0 ta có :

2

 A2  A

- Nếu A, B là các biểu thức : A; B �0 ta có: A.B  A. B
- Mở rộng : A.B.C  A. B . C ( A, B, C �0)
2. Khai phương một thương. Chia các căn bậc hai
a
a
a �0, b  0 ta có:
=
.
b
b
a) Định lý :
a
b) Quy tắc khai phương một thương : Muốn khai phương một thương b , trong đó số a không âm
và số b dương, ta có thể lần lượt khai phương số a và số b, rồi lấy kết quả thứ nhất chia cho kết

a
a
a �0, b  0 ta có:
=
.
b
b )
quả thứ hai (

c) Quy tắc chia hai CBH : Muốn chia CBH của số a không âm cho số b dương, ta có thể chia số a
a
a
a �0, b  0 :
=
b)
b
cho số b rồi khai phương kết quả đó (
d) Chú ý : Nếu A, B là biểu thức :
B./ Bài tập áp dụng :

A �0, B  0 :

A
A
=
B
B

Dạng 1 : Tính
Bài 1 : Thực hiện phép tính:

24 1
a ) 1 .5 .0, 01 
25 16

2

2

2

49 81 1
63
�7 � �9 � �1 � 7 9 1
. .
 � �. � �. � �  . . 
25 16 100
10 � 5 4 10 200
�5 � �4 � �

b) 2, 25.1, 46  2, 25.0, 02  2, 25(1, 46  0, 02)  2, 25.1, 44  (1,5.1, 2) 2  1,5.1, 2  1,8

c ) 2,5.16,9 

25 169
(5.13)2 5.13 13
.



10 10

102
10
2

d ) 117,52  26,52  1440  (117,5  26,5).(117,5  26,5)  1440  144.91  144.10
 144(91  10)  144.81  (12.9) 2  108
Dạng 2 : Rút gọn các biểu thức


Bài 2 : Tính giá trị các biểu thức:
a ) A  0,1  0,9  6, 4  0, 4  44,1 

1
9
64
4
441




10
10
10
10
10

1
3
8

2
2
35 35 10 7 10







10
2
10
10
10
10
10
10



b) B 









2 3 7
2 3 7
6  14
2



2
2 3  28
2 32 7
2( 3  7)

c) C 





 




3 5 4 3  3 5 4 3
3 5 3 5


4 3 4 3
4 3 4 3







12  3 3  4 5  15  12  3 3  4 5  15 24  2 15

16  3
13
Bài 3 : Rút gọn các biểu thức:


a)

9  x  5

 x �5

b)

x2 . x  2

c)

108 x 3
12 x

2

2

 x  0

 x  0 

13 x 4 y 6

 x . x  2   x  2  x   x  x  2

108x 3
 9 x2  3 x  3x
12 x

13 x 4 y 6
1
1
1
1




 x  0; y �0  
6 6
2
208 x y
16 x
4 x 4 x 4 x

208 x 6 y 6

d)

 3 x  5  3  x  5

Dạng 3 : Chứng minh
Bài 4 : Chứng minh các biểu thức sau:
a ) 6  35 . 6  35  1
VT  (6  35).(6  35)  36  35  1  VP
b) 9  17 . 9  17  8
VT  (9  17 ).(9  17)  81  17  64  8  VP

c)





2

2 1  9  8

VT  2  2 2  1  3  2 2 �
�
�� VT  VP
2
VP  3  2 .2  3  2 2 �

d)



4 3



2

 49  48

VT  4  2 12  3  7  2 22.3  7  4 3 �
�
�� VT  VP
VP  7  42.3  7  4 3
�
�




 

e) 2 2 2  3 3  1  2 2



2

6 6 9

VT  4 2  6 6  1  4 2  8  6 6  9  VP

g ) 8  2 15  8  2 15  2 3
VT 

 5  2.

  5  2. 5. 3  3   5  3   
3   5  3  5  3  2 3  VP
2

5. 3  3 

 5 3



5

5 3



2

Dạng 4 : Giải phương trình
Bài 5 : Giải các phương trình sau:
a ) 2 2 x  5 8 x  7 18 x  28  1

 1 � 2

dk : x �0

2 x  5.2. 2 x  7.3. 2 x  28 � 13 2 x  28 � 2 x 

28
784
392
� 2x 
� x
 tm 
13
169
169

1
9 x  45  4  2 
3
1
4( x 5)�۳ x 5
9( x 5) 4
dk : x 5 0
x 5
 2  �
3
1
� 2 x  5  x  5  .3 x  5  4 � 2 x  5  4 � x  5  2 � x  5  4 � x  9  tm 
3

�
� 2
�x �
�
�
3 x  2 �0
�
� 3
�
�
�
2
�x  1 �
x

1

0
x�
�
3x  2
�
�
�
�
�0 �
��
�
3
�

�
x 1
3 x  2 �0
2
�
�
�
x  1
�
�x �
�
�
�
3
x

1

0
�
3x  2
�
�
c)
3
(3)
�
�
�x  1
�

x 1
đk :
3x  2
11
(3) �
 9 � ... � 6 x  11 � x 
x 1
6
Ta có
thỏa mãn
b) 4 x  20  x  5 

� 4
5 x  4 �0
�
�x �
�۳� 5
�
�x  2  0
�
�x  2

4
x
5x  4
d)
2
5
x2
(4) đk :

� 5 x  4  2 x  2 � 5 x  4  4  x  2  � ..... � x  12
(4)
thỏa mãn

ab
� ab
Bài tập : (bất đẳng thức Cauchy) : Cho 2 số a và b không âm. Chứng minh rằng 2
.
Dấu đẳng thức xảy ra khi nào?
LG
* Cách 1 :
+ vì a �0; b �0 � a ; b xác định.



+ ta có :



2

a ��
b ��
0 a�۳
2 ab b 0

a b

2 ab

ab
2

+ dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b
* Cách 2 : ta có
2
 a  b  �0 � a 2  2ab  b 2 �0 � a 2  b 2 �2ab � a 2  2ab  b 2 �4ab
� ��
a b �۳4ab
2

a b

2 ab

ab
2

ab

ab