VẬN DỤNG các hệ THỨC về CẠNH và ĐƯỜNG CAO

VẬN DỤNG CÁC HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ ĐƯỜNG CAO
TRONG TAM GIÁC VUÔNG
A./ Kiến thức cơ bản
Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH sao cho ta có:
AH  h, BC  a, AB  c, AC  b, BH  c ' , CH  b ' khi đó:
1) b 2  a.b ' ;

c 2  a.c '

A

2) h  b .c
3) b.c  a.h
1
1 1
4) 2  2  2
h
b c
2
5) a  b2  c 2 ( Pitago)
2

'

'

b
c

B

h

c'

b'
C

H
a

B./ Bài tập áp dụng
Bài 1 : Tìm x, y trong các hình vẽ sau:
a)

+ ta có:
BC  AB 2  AC 2 ( Pitago)

A

4

x

B

� BC  42  62  52 �7, 21
+ Áp dụng định lý 1 :
AB 2 BC
�.BH
42

52.x x

6

AC 2 BC
�.CH
62
52. y
y 4,99
Hay y = BC – x = 7,21 – 2,22 = 4,99
- Xét tam giác ABC vuông tại A. áp dụng định lý 1
ta có :
AC 2  BC.CH � 122  18. y � y  8

y
C

H

b)
A

� x  BC  y  18  8  10

12

x

B

2, 22

y
C

H
18

c)

* Cách 1 :
AH2 = BH.CH = 4.9 = 36 => AH = 6
Theo Pitago cho các tam giác vuông AHB; AHC ta
có:

A

y

x

B

4

9
H

x  BH 2  AH 2  42  62  52

C

y  CH 2  AH 2  62  92  117
* Cách 2: Áp dụng định lý 1 ta có:
AB 2  BC.BH  ( BH  CH ).BH  (4  9).4  52
� AB  52 � x  52


AC 2  BC.CH  ( BH  CH ).CH  (4  9).9  117
� AC  117 � y  117
Áp dụng định lý 2, ta có:
AH 2  BH .CH � x 2  3.7  21 � x  21
Áp dụng định lý 1. ta có :
AC 2  BC.CH  ( BH  CH ).CH

d)
A

y
x

� y 2  (3  7).7  70 � y  70

3

B

( y  x 2  CH 2  21  49  70)

7

C

H

e)

Theo Pitago, ta có :
BC  AB 2  AC 2 � y  132  17 2  458
Áp dụng định lý 3, ta có :
AB. AC  BC. AH

A

13

17

x

� 13.17  458.x � x 
B

221
�10,33
458

C

H
y

g)

Áp dụng định lý 2, ta có :
52
 6, 25
4
Theo Pitago cho tam giác AHC vuông tại H, ta có :
y  AH 2  CH 2  52  6, 252 �8

A

AH 2  BH .CH � 52  4.x � x 

y
5

B



x

4

( DL1:y 2  BC.x  (4 6, 25).6, 25

y 8)

C

H

Bài 2 : Cho tam giác ABC vuông tại A, có các cạnh góc vuông AB = 15cm, AC = 20cm. Từ C kẻ
đường vuông góc với cạnh huyền, đường này cắt đường thẳng AB tại D. Tính AD và CD?
LG
�  900 , CA  BD
D
BCD, C
. Theo định lý 3, ta có :
80
CA2  AB. AD � 202  15. AD � AD 
3
x
Theo Pitago trong tgiác ACD vuông tại A, ta có :
y
A
15
B

20

C

2

100
�80 �
CD  AD  CA  � � 202 
3

�3 �
2

2


Bài 3: Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 60cm, AD = 32cm. Từ D kẻ đường thẳng vuông góc
với đường chéo AC, đường thẳng này cắt AC tại E và AB tại F. Tính độ dài EA, EC, ED, FB, FD.
LG
2
2
2
2
Xét tam giác ADC vuông tại D, ta có: AC  AD  CD  32  60  68
AD 2 322 256
AD 2  AC . AE � AE 


AC
68
17
Theo định lý 1:
Theo định lý 1, ta có:
F
A
60
B

CD 2  AC .CE � CE 

E
32

CD 2 602 900


AC
68
17

Theo định lý 2, ta có:
DE 

AE.EC  ... 

C

D

480
17

AD 2
544
 ... 
DE
15
Xét tam giác DAF, theo định lý 1:
256
256 644

AF  DF 2  AD 2  .... 
� FB  AB  AF  60 

15
15
15
Theo Pitago:
Bài 4: Cho hình vuông ABCD. Gọi E là một điểm nằm giữa A, B. Tia DE và tia CB cắt nhau ở F.
Kẻ đường thẳng qua D vuông góc với DE, đường thẳng này cắt đường thẳng BC tại G. Chứng
minh rằng:
a) Tam giác DEG cân.
1
1

2
DF 2 không đổi khi E chuyển động trên AB.
b) Tổng DE
LG
� �
�
F
a) Ta có: D1  D3 (cùng phụ với D2 )
xét ADE và CDG ta có :
AD 2  DF .DE � DF 

A

1
D

E

2
3

B

C

G

AD  DC ( gt )

�
�
�D1  �D3  cmt  �� ADE  CDG  g .c.g 
�
�A  �C  900 �
� DE  DG � DEG cân tại D
1
1

2
DE
DG 2
b) vì DE = DG
1
1
1
1




2
2
2
DF
DG
DF 2
ta có : DE
xét tam giác DGF vuông tại D, ta có :
1
1
1


2
2
CD
DG
DF 2 (định lý 4)
1
2
Vì CD không đổi khi E chuyển động trên AB, suy ra
�


1
1
1

1



2
2
2
DF
DG
DF 2 không đổi khi E thay
tổng DE
đổi trên AB.