PHƯƠNG TRÌNH bậc HAI một ẩn

PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN
1. Định nghĩa
Phương trình bậc hai một ẩn là phương trình có dạng

a≠ 0

b, c là những số cho trước gọi là các hệ số và
2. Công thức nghiệm của phương trình bậc hai

ax2 + bx + c = 0

, trong đó x là ẩn; a,

.

ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)

Đối với phương trình bậc hai

và biệt thức
x1 =

· Nếu D > 0 thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt

x1 = x2 = −
· Nếu D = 0 thì phương trình có nghiệm kép

∆ = b2 − 4ac

:

−b + ∆
−b − ∆
; x2 =
2a
2a

b
2a

.

.

· Nếu D < 0 thì phương trình vô nghiệm.
Chú ý: Nếu phương trình có a và c trái dấu thì D > 0. Khi đó phương trình có 2 nghiệm
phân biệt.
3. Công thức nghiệm thu gọn
ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)

Đối với phương trình bậc hai

và

b = 2b′ ∆′ = b′2 − ac
,

x1 =

· Nếu D¢ > 0 thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt

x1 = x2 = −
· Nếu D¢ = 0 thì phương trình có nghiệm kép

:

−b′ + ∆′
−b′ − ∆′
; x2 =
a
a

b′
a

.

.

· Nếu D¢ < 0 thì phương trình vô nghiệm.
4. Hệ thức Viet
· Định lí Viet: Nếu

x1, x2

ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)

là các nghiệm của phương trình

thì:


b
c
 x1 + x2 = − ; x1x2 =
a
a

· Nếu hai số có tổng bằng S và tích bằng P thì hai số đó là hai nghiệm của phương trình:


X2 − SX + P = 0

(Điều kiện để có hai số đó là:

S2 − 4P ≥ 0

5. Dấu nghiệm số của phương trình bậc hai
ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)

Cho phương trình bậc hai:

(1)
Û

(1) có hai nghiệm trái dấu

Û

(1) có hai nghiệm cùng dấu

(1) có hai nghiệm dương phân biệt

(1) có hai nghiệm âm phân biệt

Û

Û

P<0
∆ ≥ 0
P > 0

∆ > 0

P > 0

S > 0
∆ > 0

P > 0

S < 0

Chú ý: Giải phương trình bằng cách nhẩm nghiệm:
· Nếu nhẩm được:

· Nếu

· Nếu

1

a + b+ c = 0

a − b+ c = 0

x1 + x2 = m+ n; x1x2 = mn

thì phương trình có nghiệm

x1 = 1, x2 =
thì phương trình có nghiệm

c
a

.

x1 = −1, x2 = −
thì phương trình có nghiệm

c
a

.

Giải các phương trình sau:
(x + 1)2 − 4(x2 − 2x + 1) = 0

a)

9(x − 2)2 − 4(x − 1)2 = 0

b)

x2 − 4x + 3 = 0

2

x1 = m, x2 = n

d)
ĐS:
Giải các phương trình sau:

e)

x2 + 6x − 16 = 0

2x2 − 3(2x − 3)2 = 0

c)
f)

7x2 + 12x + 5 = 0

.

).

a)

3x2 − 5x + 8 = 0

5x2 − 3x + 15 = 0

b)

5x2 −

2

3x + 7x + 2 = 0

3

d)
ĐS:
Giải các phương trình sau:

e)

c)

10
5
x+
=0
7

49

10x2 + 17x +3 = 2(2x − 1) – 15

5x2 − x −  3 = 2x(x − 1) − 1+ x2

c)

d)
−6x2 + x −  3 = −3x(x − 1) – 11

− 4x2 + x(x − 1) −  3 = x(x + 3) + 5

e)

f)
x2 −  x −  3(2x + 3) = − x(x − 2) – 1

g)

− x2 −  4x −  3(2x −7) = −2x(x + 2) − 7

h)
8x2 −  x −  3x(2x −  3) = − x(x − 2)

i)
ĐS:
Tìm m để các phương trình sau:
i) có nghiệm ii) có 2 nghiệm phân biệt
9x2 − 6mx + m(m− 2) = 0

a)

3(2x +3) = − x(x − 2) − 1

k)

iii) có nghiệm kép

2x2 − 10x + m− 1= 0

b)

c)

3x2 − 4x + 2m= 0

(m− 2)x2 − 2(m+ 1)x + m= 0

2x + y − 5 = 0

2
 y + x = 4x

3x − 4y + 1= 0
 xy = 3(x + y) − 9


iv) vô nghiệm

5x2 − 12x + m− 3 = 0

d)
e)
ĐS:
Giải các hệ phương trình sau:

a)

b)

(1;3),(5; −5)

ĐS: a)

b)

 5   11 
 3; ÷, ;3÷
 2  3 

c)

c)

Cho phương trình:
a) Giải phương trình với

.

m= −2

.

2x + 3y = 2
 xy + x + y + 6 = 0


 5 7
(4; −3), − ; ÷
 2 3

x2 − 2(3m+ 2)x + 2m2 − 3m + 5 = 0

6

2) x2 − 10x + 5+ 2 = 0

b)
2x2 − 5x −  3 = (x + 1)(x − 1) + 3

5

( 5−

x2 + 7x −  3 = x(x − 1) − 1

a)

4

f)

x2 − 4x + 1= 0


b) Tìm các giá trị của m để phương trình có một trong các nghiệm bằng –1.
c) Tìm các giá trị của m để phương trình trên có nghiệm kép.
ĐS:
x2 − 2(m− 2)x + m2 − 3m + 5 = 0

7

Cho phương trình:

.

m= 3

a) Giải phương trình với
.
b) Tìm các giá trị của m để phương trình có một trong các nghiệm bằng –4.
c) Tìm các giá trị của m để phương trình trên có nghiệm kép..
ĐS:
x2 − 2(m+ 3)x + m2 +  3 = 0

8

Cho phương trình:

.

m= −1

9

a) Giải phương trình với
và
.
b) Tìm m để phương trình có một trong các nghiệm bằng 4.
c) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt.
ĐS:
Xác định m để mỗi cặp phương trình sau có nghiệm chung:
a)

x2 + mx + 2 = 0

và

x2 + 2x + m= 0

x2 − (m+ 4)x + m+ 5 = 0

10

x2 − (m+ 2)x + m+ 1= 0

b)
và
ĐS:

Không giải phương trình, hãy nhẩm nghiệm các phương trình sau:
a)
d)

x2 − 10x + 16 = 0
x2 − 7x + 10 = 0
x2 + 5x − 6 = 0

11

m= 3

b)
e)

x2 − 15x + 50 = 0
x2 − 3x − 4 = 0
x2 + 5x + 6 = 0

x2 − 6x + 5 = 0

c)
f)

x2 − x − 20 = 0
x2 − 5x + 6 = 0

g)
h)
i)

ĐS:
Lập các phương trình bậc hai có các nghiệm là các cặp số sau:

a) 10 và 8

b) 10 và –8

c) 3 và

1
4


−
d)
ĐS:

3
4

−
và

2
3

e)

2+ 3

2− 3

và

f)

1

1

10 − 72

10 + 6 2

và

x0

12

Với các phương trình sau, tìm m để phương trình có một trong các nghiệm bằng
nghiệm còn lại:

15x2 + mx − 1= 0; x0 =

2

3x + 7x + m= 0; x0 = 1

a)

b)
x2 − 2(3m+ 1)x + 2m2 −2m− 5 = 0; x0 = −1

1
3

x2 − 2(m+ 1)x + m2 + 5m−  2 = 0; x0 = 1

c)
ĐS:

d)
(m+ 1) x2 + 4mx + 4m− 1= 0

13

Cho phương trình:

.

m= −2

a) Giải phương trình với
.
b) Với giá trị nào của m thì phương trình có hai nghiệm phân biệt.
x1 =  2x2

c) Tìm m để phương trình có hai nghiệm thoã mãn điều kiện
ĐS:

14

Cho phương trình:

2x2 − 6x + m+ 7 = 0

.

.

m= −3

a) Giải phương trình với
.
b) Với giá trị nào của m thì phương trình có một trong các nghiệm bằng –4.
x1 =  −2x2

x1, x2

c) Tìm m để phương trình có hai nghiệm
ĐS:

thoã mãn điều kiện

.

x2 −  2(m− 1) x + m+ 1= 0

15

Cho phương trình:

.

m= −4

a) Giải phương trình với
.
b) Với giá trị nào của m thì phương trình có hai nghiệm phân biệt.
x1 =  3x2

x1, x2

c) Tìm m để phương trình có hai nghiệm
ĐS:

. Tìm

thoã mãn điều kiện

.


x1, x2

16

Giả sử

là các nghiệm của mỗi phương trình sau. tính giá trị của các biểu thức:

A = x12 + x22

B = x13 + x23

;

;

x2 + mx + 1= 0

a)
ĐS:

1 1
C= +
x1 x2

D=
;

x12
x22

x12
x2 − (m− 3)x + 2m+ 1= 0

x2 + 6x + m= 0

b)

+

x22

c)

x2 −  2(m+ 4)x + m2 −8 = 0

17

Cho phương trình:

.
A = x12 +  x22  −  x1 − x2

a) Tìm m để biểu thức

đạt giá trị nhỏ nhất.
B =  x1 + x2 − 3x1x2

b) Tìm m để biểu thức

đạt giá trị lớn nhất.
C = x12 +  x22 − x1x2

c) Tìm m để biểu thức
ĐS:

đạt giá trị lớn nhất.

x1, x2

18

Tìm m để mỗi phương trình sau có các nghiệm

x12 + x22 = 1

mx2 − 2(m− 2)x + m− 3 = 0

a)

thoả hệ thức đã cho:

;

.

1 1 x1 + x 2
+
=
5
x − 2(m− 2)x + m + 2m− 3 = 0 x1 x2
b)
;
.
2

2

x12 + x22 = 8

x2 − 2(m− 1)x + m2 − 3m= 0

c)
ĐS:

;

.

x2 − 2(m− 1)x + m2 −3m = 0

19

Cho phương trình:
.
a) Tìm m để phương trình có một trong các nghiệm bằng –2. Tìm nghiệm còn lại.
x12 +  x22 = 8

x1, x2

b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm

thoả mãn

A = x12 +  x22 
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
.

.


ĐS:
x2 − (2a − 1)x − 4a − 3 = 0

20

Cho phương trình:
.
a) Chứng minh rằng phương trình luôn có nghiệm với mọi giá trị của a.
x1, x2

b) Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm

không phụ thuộc vào a.

A = x12 +  x22 
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
.

ĐS:
mx2 − 2(m+ 1)x + m− 4 = 0

21

Cho phương trình:

.
x1 + 4x2  = 3

x1, x2

a) Xác định m để phương trình có các nghiệm

thoả mãn

.

x1, x2

b) Tìm hệ thức giữa
ĐS:

mà không phụ thuộc vào m.
mx2 − (m+ 3)x + 2m+ 1= 0

22

Cho phương trình:

.
x1, x2

a) Tìm m để phương trình có hiệu hai nghiệm

bằng 2.

x1, x2

23

b) Tìm hệ thức liên hệ giữa
không phụ thuộc m.
ĐS:
Với mỗi phương trình sau, tìm m để phương trình:
i) Có hai nghiệm trái dấu
ii) Có hai nghiệm dương phân biệt
iii) Có đúng một nghiệm dương.
x2 − 2(m− 1)x + m+ 1= 0

a)

x2 − 2(m− 1)x + m2 − 3m= 0

b)
2x2 + (2m− 1)x + m− 1 = 0

c)
ĐS:

(m− 4)x2 − 2(m− 2)x + m− 1 = 0

d)
2x2 + (2m− 1)x + m− 1= 0

24

Cho phương trình:

.
x1, x2

a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt

3x1 − 4x2 = 11
thoả mãn
.


b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm âm phân biệt .
x1, x2

c) khi phương trình có hai nghiệm
ĐS:

x1, x2

, tìm hệ thức giữa

không phụ thuộc vào m.