Cơ học đất - Chương 3

Chương 3. Ứng suất trong đất
3.1

Chương 3
ỨNG SUẤT TRONG ĐẤT
3.1. Khái niệm
Vấn đề xác định ứng suất trong đất có ý nghĩa quan trọng đối với việc xác định độ
bền, ổn định và biến dạng của đất dưới tác dụng của tải trọng ngoài và trọng lượng bản
thân của đất. Khi giải quyết vấn đề này, đến nay trong cơ học đất người ta vẫn sử dụng lý
thuyết biến dạng tuyến tính. Để xác
định ứng suất theo lý thuyết này những phương trình
và quan hệ trong lý thuyết đàn hồi đều có thể sử dụng được đối với đất vì nó xây dựng
trên quan hệ biến dạng tuyến tính giữa ứng suất và biến dạng. Muốn vậy thì nền đất được
thiết kế không ở trạng thái ứng suất giới hạn và tải trọng tác dụng phải nằm trong giới
hạn tỷ
lệ, vì rằng ở trạng thái ứng suất giới hạn quan hệ giữa ứng suất và biến dạng không
còn là quan hệ đường thẳng nữa. Khi vùng cân bằng giới hạn phát triển lớn, ví dụ khi nền
đất chịu tải trọng rất lớn của công trình thì việc sử dụng lý thuyết biến dạng tuyến tính sẽ
không còn phù hợp nữa.
Những đều kiện phụ thêm để có thể sử
dụng quy luật phân bố ứng suất của các vật
thể biến dạng tuyến tính là không có sự phân bố lại những thành phần trong đất, tức là
nguyên lý biến dạng tuyến tính chỉ thích hợp với giai đoạn ban đầu (khi trạng thái của đất
chưa bị phá hoại) và giai đoạn kết thúc (ở trạng thái ổn đinh tĩnh học của đất và để xác
định ứng suất trong khung cố
t đất).
3.2. phân bố ứng suất – trường hợp bài toán không gian
3.2.1. Bài toán cơ bản – Tác dụng của lực tập trung thẳng đứng
Chúng ta xem xét tác dụng của lực tập trung thẳng đứng P trên bề mặt bán không
gian vô hạn của khối đất (như hình 3-1). Lấy 1 điểm M trong nền đất có toạ độ
),( R

β
.
Qua M dựng mặt phẳng vuông góc với bán kính R và xác định trị số ứng suất
R
σ
tác
dụng lên nó.
Nếu điểm M càng xa điểm đặt lực P thì chuyển vị của nó càng nhỏ, khi R cố định
thì nó phụ thuộc vào góc
β
, có thể viết được biểu thức sau:
R
KS
β
cos
.
1
=
(a)
V ới K
1
là hệ số tỷ lệ; S là chuyển vị của điểm M.
Tương tự xét điểm M
1
nằm trên bán kính đó cách M một đoạn dR, chuyển vị của
điểm M
1
sẽ là:

Hình 3_ 1 Sơ đô tác dụng của lực tập trung.

Chương 3. Ứng suất trong đất
3.2

dRR
KS
+
=
β
cos
.
11
(b)
Lúc đó biến dạng tương đối của đoạn dR sẽ là:
).(
cos.cos.
).
11
(
111
dRRR
K
dR
K
dRRRdR
SS
R
+
=
+
−=

−
=
ββ
λ

Bỏ qua vi phân dR ta có:
2
1
cos.
R
K
R
β
λ
=
(c)
Vì công nhận quan hệ giữa ứng suất và biến dạng là quan hệ tuyến tính nên:
22
21
cos
.
cos
..
RR
KK
R
β
α
β
σ

==
(d)
Trong đó:
21
.KK=
α
là hệ số tỷ lệ.
Để xác định hệ số
α
ta xét cân bằng của bán cầu tâm là điểm đặt của lực P như
hình 3-2.

Hình 3_ 2 Sơ đồ ứng suất pháp dưới tác dụng của lực tập trung.
Điều kiện cân bằng cần sẽ là: Tổng hình chiếu của tất cả các lực lên trục thẳng đứng
bằng 0, tức là:
∫
=−
2/
0
0.cos.
π
βσ
dFP
R
(e)
Ở đây dF là diện tích mặt cầu hình vành khăn:
ββπ
RdRdF )sin.(2
=
(f)

Thay trị số
R
σ
từ biểu thức (d) và dF từ biểu thức (f) vào (e) và biến đổi ta được:
Chương 3. Ứng suất trong đất
3.3

∫
=
2/
0
2
.sin.cos2
π
βββπα
dP
(g)
∫
==
2/
0
2
3
2
)(cos.cos2
π
παββπα
dP
Tính
α

từ biểu thức (g):
π
α
2
3P
=

Như vậy ứng suất theo phương bán kính trên mặt phẳng vuông góc với nó sẽ là:
β
π
σ
cos.
2
3
2
R
P
R
=
(3-1)
Chiếu ứng suất pháp
R
σ
lên mặt phẳng song song với mặt phẳng giới hạn như trên
hình 3-3a và gọi nó là
'
R
σ
:
βσσ

cos.'
RR
=

Vì
R
z
=
β
cos
⇒
4
2
2
3
'
R
Pz
R
π
σ
=
(3-2)
Chiếu
'
R
σ
lên phương của 3 trục toạ độ ta có (hình 3-3b):
);'cos('. z
RRz

σσσ
=

);'cos('. y
RRzy
σστ
=

);'cos('. z
RRz
σστ
=

Vì
R
x
x
R
y
y
R
z
z
RRR
=== );'cos(;);'cos(;);'cos(
σσσ
nên ta có các thành phần ứng
suất:
5
3

2
3
R
Pz
z
π
σ
=

5
2
2
3
R
Pyz
zy
π
τ
=
(3-3)
5
2
2
3
R
Pxz
zx
π
τ
=

Chúng ta thấy rằng ứng suất pháp
Z
σ
và ứng suất tiếp
zxzy
ττ
,
trên các mặt phẳng
song song với mặt phẳng giới hạn không phụ thuộc vào các hệ số biến dạng
),(
00
µ
E
của
bán không gian. Còn biểu thức
xyyx
τσσ
,,
là phụ thuộc vào hệ số biến dạng và phức tạp
hơn. Chúng ta chỉ dẫn ra các công thức tính tổng ứng suất
θ
tại một điểm trong bán
không gian vô hạn và công thức tính chuyển vị của 1 điểm trên mặt bán không gian
),0(
rRz ==
là các công thức thường dùng trong các chương sau.
Chương 3. Ứng suất trong đất
3.4

Tổng ứng suất chính:
3
0321
).1.(
R
zP
zyx
µ
π
σσσσσσθ
+=++=++=
(3-4)
Chuyển vị thẳng đứng:
RC
P
W
z
..
π
=
(3-5)
Trong đó:
2
0
0
1
µ
−
=
E

C
gọi là hệ số biến dạng tuyến tính;
0
E
là mô đun tổng biến dạng;
0
µ
là hệ số biến dạng hông, tương tự như hệ số Poisson.
Trong việc tính toán độ lún, ứng suất
z
σ
có ý nghĩa quan trọng, để thuận tiện cho
việc tính ứng suất này người ta biến đổi công thức và lập bảng để tính toán.
Thay
2/1
2
22
1
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜

⎝
⎛
+=+=
z
r
zrzR
vào biểu thức
z
σ
ta có:
2
2/5
2
.12
3
z
z
r
P
z
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠

⎞
⎜
⎝
⎛
+
=
π
σ

Đặt:
2/5
2
12
3
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
=

z
r
P
K
π

Ta có:
2
.
z
P
K
z
=
σ
(3-6)
Ứng suất
z
σ
là ứng suất nén thẳng đứng, người ta lập bảng để tra hệ số K khi biết tỷ
số r/z (bảng 8), trong đó r là khoảng cách nằm ngang, z là khoảng cách thẳng đứng từ
điểm đặt lực đến điểm tính ứng suất.
Nếu như bề mặt có một số lực tập trung P
1
, P
2
, P
3
(hình 3-3) thì ứng suất nén
z

σ
tại
điểm M có thể xác định theo nguyên lý cộng tác dụng.
Chương 3. Ứng suất trong đất
3.5


Hình 3_ 3 Sơ đồ tác dụng của một số lức tập trung.
2
3
3
2
2
2
2
1
1
...
z
P
K
z
P
K
z
P
K
z
++=
σ

Trong đó:
K
1
, K
2
, K
3
là hệ số phụ thuộc vào
z
r
z
r
z
r
3
21
,,
tra từ bảng 8.
Mặc dù trong thức tế không có trường hợp tải trọng tập trung thuần tuý nhưng kết
quả do Bussinet nêu ra trên đây là bài toán cơ bản dùng để tính toán ứng suất trong đất
của tải trọng thực tế.
3.2.2. Tác dụng của lực tập trung nằm ngang
Khi có lực tập trung nằm ngang Q đặt trên bề mặt song song với mặt phẳng bán
không gian giới hạn, Ceruttic (năm 1858) đã lập được công thức tính các thành phần ứng
suất tại điểm M có toạ độ (x,y,z) (như hình vẽ 3-4).

Hình 3_ 4 Sơ đồ tác dụng của tải trọng ngang Q.
2
5

2
3
xz
R
Q
z
π
σ
=