TRẮC NGHIỆM ĐẠI SỐ BẤT PHƯƠNG TRÌNH

1. BẤT ĐẲNG THỨC
1. Tính chất

Điều kiện

Nội dung
aa < b  ac < bc
a < b  ac > bc
a < b và c < d  a + c < b + d
a < b và c < d  ac < bd
a < b  a2n+1 < b2n+1
0 < a < b  a2n < b2n
a < b  a b
a < b  3a 3b

c>0
c<0
a > 0, c > 0
n nguyên
dương
a>0

(1)
(2a)
(2b)
(3)
(4)
(5a)
(5b)
(6a)

(6b)

2. Bất đẳng thức Cô–si:
Với a, b  0, ta có:

a b
� ab . Dấu "=" xảy ra  a = b.
2

Hệ quả:
– Nếu x, y > 0 có S = x + y không đổi thì P = xy lớn nhất  x = y.
– Nếu x, y > 0 có P = x y không đổi thì S = x + y nhỏ nhất  x = y.
3. Bất đẳng thức về giá trị tuyệt đối
Điều kiện
Nội dung
x �0, x �x, x � x
x �a �  a �x �a

a>0

�
x �a
x �a � �
x �a
�
a  b �a  b �a  b

Bài tập trắc nghiệm
Câu 1. Tìm mệnh đề đúng
A. a  b � ac  bc

ab
�
� ac  bd
cd
�

B. a  b � a  c  b  c C. �

D. a  b �

1 1

a b

Câu 2. Tìm mệnh đúng
A.

�a  b
�
cd
�

 ac > bd

B.

�a  b
�
cd

�



a b

c d

C.

�a  b
�ac bd
�
cd
�

D.

�a  b  0
�
cd 0
�

 ac > bd

Câu 3. Tìm mệnh đề sai
A. a  b � a 2  b 2
B. a  b � a 3  b3
C. 0  a  b � a  b D. a  b � 3 a  3 b
Câu 4. Với mọi số x, y dương.Bất đẳng thức nào sau đây sai

A. x  y �2 xy

ab
2

B. ab �

1
a

C. a  �2

D. a 2  b2 �2ab

Câu 5. Cho 2 phát biểu
(1) x � x
(2) x �x
Tr.1


A. Chỉ phát biểu (1) đúng
B.Chỉ phát biểu (2) đúng
C. Cả (1) và (2) đều đúng
D.Cả (1) và (2) đều sai
a

b
;
c


d
Câu 6. Nếu
thì bất đẳng thức nào sau đây luôn đúng
A.

a b

c d

B. ac  bd

C. a  c  b  d

Câu 7. Giá trị lớn nhất của hàm số : f  x    x  3  5  x  là:
A. 16
B. 0
C. 3
Câu 8. Với x, y là hai số thực, mệnh đề nào sau đây đúng?
�
x1

�
A. xy  1 � �y  1

�
�x  1

B. �y  1 � xy  1
�

�
x1
�

C. a2  0, a

D. 5
�
x1
�

C. �y  1 � x  y  2 D. �y  1 � x  y  0
�
�

�
Câu 9. Cho x  0;y  0 và xy  6 . Giá trị nhỏ nhất cuả x2  y2 là :
A. 12
B. 6
C. 14

Câu 10. Tìm mệnh đề sai
A. a  b �a  b , a,b

D. a  c  b  d

D. 10

B. a  b �a  b , a,b
D.  a �a �a , a

2. BẤT PHƯƠNG TRÌNH - HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH MỘT ẨN
I- KHÁI NIỆM BẤT PHƯƠNG TRÌNH MỘT ẨN
1. Bất phương trình một ẩn:
Bất phương trình ẩn x là mệnh đề chứa biến dạng f(x) < g(x) hoặc f (x)  g(x) (1) trong
đó f(x) và g(x) là những biểu thức chứa của x.
Số thực x0 sao cho f(x0) < g(x0) (f(x0)  g(x0)) là một mệnh đề đúng gọi là một nghiệm của
bất phương trình (1).
Giải bất phương trình là tìm tập nghiệm của nó, khi tập nghiệm rỗng thì ta nói bất
phương trình vô nghiệm.
* Chú ý: Bất phương trình (1) cũng có thể viết lại dưới dạng sau: g(x) > f(x) hoặc g(x) 
f(x).
2. Điều kiện của một bất phương trình:
Điều kiện của ẩn số x để f(x) và g(x) có nghĩa là điều kiện xác định (hay gọi tắt là điều
kiện) của bất phương trình (1).
3. Bất phương trình chứa tham số:
Trong một bất phương trình, ngoài các chữ đóng vai trò ẩn số còn có thể có các chữ khác
được xem như những hằng số và được gọi là tham số.
II- HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH MỘT ẨN
Hệ bất phương trình ẩn x gồm một số bất phương trình ẩn x mà ta phải tìm các nghiệm
chung của chúng.
Mỗi giá trị của x đồng thời là nghiệm của tất cả các bất phương trình của hệ được gọi là
một nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.
Giải hệ bất phương trình là tìm tập nghiệm của nó.
Để giải một hệ bất phương trình ta giải từng bất phương trình rồi lấy giao của các tập
nghiệm.
III- MỘT SỐ PHÉP BIẾN ĐỔI BẤT PHƯƠNG TRÌNH
1. Bất phương trình tương đương:
Hai bất phương trình có cùng tập nghiệm (có thể rỗng) là hai bất phương trình tương
đương và dùng kí hiệu " � " để chỉ sự tương đương của hai bất phương trình đó.

Tr.2


Khi hai hệ bất phương trình có cùng một tập nghiệm ta cũng nói chúng tương đương với
nhau và dùng kí hiệu " � " để chỉ sự tương đương đó.
2. Phép biến đổi tương đương:
Để giải một bất phương trình (hệ bất phương trình) ta liên tiếp biến đổi nó thành những
bất phương trình (hệ bất phương trình) tương đương cho đến khi được bất phương trình (hệ bất
phương trình) đơn giản nất mà ta có thể viết ngay tập nghiệm. Các phép biến đổi như vậy được
gọi là các phép biến đổi tương đương.
3. Cộng (trừ):
P(x) < Q(x) � P(x) + f(x) < Q(x) + f(x)
4. Nhân (chia):
P(x) < Q(x) � P(x).f(x) < Q(x).f(x) nếu f(x) > 0, x
P(x) < Q(x) � P(x).f(x) > Q(x).f(x) nếu f(x) < 0, x
5. Bình phương:
P(x) < Q(x) � [P(x)]2 < [Q(x)]2
Bài tập tự luận
Câu 1. Tìm điều kiện của bất phương trình sau:
a/ 4  x  x  1  0

1
.
x 9

b/ x  1  2 �

2

c/

x  2x  1
x2

�0

d/

x
 2x  x2   x .
2
1 x

Câu 2. Giải bất phương trình :
5x  4
2
3x  1 x  2 1  2x


c/
2
3
4

1  2x x  1
�
4
5
3
3x  1 3(x  2)

5  3x

 1
d/
4
8
2

a/ 2x  1 �3 

b/

Câu 3. Giải hệ bất phương trình :
�
15x  8
8x  5 
�
�
2
a/ �
3
�
2(2x  3)  5x 
�
4

�
5
6x   4x  7
�

�
b/ �8x  7
3
�
�2x  25
� 2

�2x  3 3x  1
�
� 4  5
c/ � 5
x
�
3x   8 
�
2
3

�
3x  5 �0
�
d/ �2x  3 �0
�
x  1 0
�

Câu 4. Giải và biện luận bất phương trình theo tham số m :
a/ m(x – m)  x – 1
b/ mx + 6 > 2x + 3m
c/ (m + 1)x + m < 3x + 4

Bài tập trắc nghiệm
Câu 1. Mệnh đề nào sau đây là bất phương trình một ẩn x
A. 2x + 1 = 0
B. 2x + y < 3
C. x2 + 2x �0
Câu 2. Điều kiện của bất phương trình 1- x +

D. y = 2x + 1

x

< 0 là:
x+3
A. x �1 và x �- 3 B. x �- 1 và x �- 3 C. 1- x �0 và x �- 3 D. 1- x �0 và x + 3 �0
1
Câu 3. Điều kiện của bất phương trình 2 3 - x > x2 +
là:
x +1
A. x �3
B. x �- 1
C. x �3
D. x �- 1
Câu 4. Bất phương trình nào sau đây tương đương với bất phương trình x - 3 > 0
2

A. ( x - 5) ( x - 3) > 0

B. x - 3 + 1- x > 1- x
Tr.3

D. x ( x - 3) > 0

C. ( x - 3) x - 3 > 0
Câu 5. Bất phương trình
A.  1;�

2x - 5 x - 3
>
có nghiệm là
3
2
�1
�4

B.  2;�

�

C.  �;1 � 2; � D. � ; ��
�

Câu 6. Cặp bất phương trình tương đương là:
A. 3x 

1
1
�3 
và 3x �3
x3

x3

B. 1  x �x và 1  x �x2

C. x  1 �x và  2x  1 x  1 �x  2x  1

D. 3x  1  1  x và  3x  1   x  3
2

Bài 7. Tập nghiệm của bất phương trình 2x  3 



5

�

A. ��;
�

19�
�
10�

� 19
�
; ��
� 10
�

�1

�

�

�

�

B. ��;
�

3
�

B. �

C. ��; 
�

Bài 8. Tập nghiệm của bất phương trình 3 
A. � ; ��
2



3 2x  7

41�

�
28 �

2

là

19 �
�
10 �

2x  1
3
 x  là
5
4
� 11�
C. ��; �
� 3�

Câu 9. Tập nghiệm của bất phương trình x2  1  0
A. �
B. �
C.  1;0

�19
�10

�

�13
�3

�

D. � ; ��
�

D. � ; ��
�

D.  1; �

�
�3x  1 �2x  7

Câu 10. Tập nghiệm của bất phương trình �4x  3  2x  19
�
A.  6;9

6;9
B. �
�

C.  9;�

6; �
D. �
�

�
x  3  4  2x
�

Câu 11. Tập nghiệm của bất phương trình �5x  3  4x  1
�
A.  �; 1
B.  4; 1
C.  �;2
Câu 12. Số 2 thuộc tập nghiệm của bất phương trình
2
A.  2x  1  1  x   x B. 2x  1  1  x

C.

1
 2 �0
1 x

D.  1;2
D.  2  x   x  2  0
2

�
2 x  0
�

Câu 13. Hệ bất phương trình �2x  1  x  2 có tập nghiệm là
�
A.  �; 3

B.  3;2

C.  2;�

3  x �0
�
có tập nghiệm là:
�x  1 �0

D.  3; �

Câu 14. Hệ bất phương trình �
A. �

B.  1;3

C. �

Câu 15. Cho bất phương trình : mx  2m �2x  8 
Xét các mệnh đề sau
 I  Bất phương trình tương đương với x  2 2  m

D.  1;3

2

 II  Một điều kiện để mọi x �12 là nghiệm của bất phương trình  
 III  Giá trị của m để   thỏa x �12 là‫ڳ‬m  2 m 4

là m �2

Tr.4


Mệnh đề nào đúng?
A. Chỉ  I 

B.Chỉ  II 

C.  II  và  III 

D.  I  ,  II  và  III 

3. DẤU CỦA NHỊ THỨC
I- ĐỊNH LÍ VỀ DẤU CỦA NHỊ THỨC BẬC NHẤT
1. Nhị thức bậc nhất:
 Nhị thức bậc nhất đối với x là biểu thức dạng f(x) = ax + b với a, b, c là hai số đã cho,
a ≠ 0.
 Nghiệm của nhị thức: f(x) = ax + b là x0 = 

b
(nghiệm của phương trình ax + b = 0)
a

2. Dấu của nhị thức bậc nhất:
Định lí: Nhị thức f(x) = ax + b có giá trị cùng dấu với hệ số a khi x lấy các giá trị trong
khoảng ( 

b

b
; +) và trái dấu với hệ số a khi x lấy các giá trị trong khoảng (-;  ).
a
a
b
-
+
x
a

ax + b

trái dấu a

0

cùng dấu a

Bài tập tự luận
Câu 1. Xét dấu biểu thức sau :
a/ f(x) = 2x – 5
c/ f(x) = (2x + 1)(x – 5)

b/ f(x) = -11 – 4x
d/ f(x) = (3x - 1)(2 - x)(5 + x)

(x)(x  3)2
5x  10
2x2  3x
g/ f x 

1 x

f/ f  x 

e/ f  x 

3
2

;
4  x 3x  1

 

Câu 2. Giải các bất phương trình
a/ (x + 1)(x – 1)(x – 2) > 0
c/ x² – x – 20 – 2(x – 11) > 0
Câu 3. Giải bất phương trình :
4
3

3x  1 2x  1
(x  1)(x  2)
0
e/
x  3
2x 2  x
h/
≥1–x
1  2x

a/

b/ (2x – 7)(5 – x) ≥ 0
d/ x³ + 8x² + 17x + 10 < 0.

2
5
�
x  1 2x  1
x3 x5

f/
x1 x2

b/

2x  5
�1
2 x
2x  5
g/
+x≥0
2x

c/

Câu 4. Giải các bất phương trình
a/ |5x – 12| < 3
b/ |3x + 15| ≥ 3

c/ |x – 2| > x + 1
Câu 5. Giải và biện luận các bất phương trình
a/

2x  m  1
0
x 1

b/

mx  m  1
0
x 1

2x  5
�1
2 x
2x  3
h/
≤x+1
x 1

d/

d/ |2x – 5| ≤ x + 1

c/ x  1(x  m  2)  0

Bài tập trắc nghiệm
Câu 1. Nhị thức f ( x) = 2x - 4 luôn âm trong khoảng nào sau đây:

Tr.5


A. ( - �;0)

B. ( - 2; +�)

C. ( - �;2)

D. ( 0;+�)

Câu 2. Cho biểu thức f ( x) = ( - x + 1) ( x - 2) Khẳng định nào sau đây đúng:
A. f ( x) < 0, " x �( 1;+�)

B. f ( x) < 0, " x �( - �;2)

C. f ( x) > 0, " x ��
C. f ( x) > 0, " x �( 1;2)
Câu 3. Nhị thức nào sau đây dương với mọi x > 3
A. f ( x) = 3 - x
B. f ( x) = 2x - 6
C. f ( x) = 3x + 9
D. f ( x) = x + 3
Câu 4. Bất phương trình ( m - 1) x + 1 > 0 có nghiệm với mọi x khi
A. m > 1
B. m = 1
C. m = - 1
Câu 1. Cho bảng xét dấu:
x
�

�
2

 



f x

D. m < - 1



0

Hàm số có bảng xét dấu như trên là:
A. f  x   x  2
B. f  x  x  2

C. f  x   16  8x

D. f  x   2  4x

3;3�
C. �
�
�

D. �\ ( - 3;3)

Câu 2. Tập nghiệm của bất phương trình  x  3  2x  6 �0 là :
A.  3;3

B.  �; 3 � 3; �

Câu 3. Tập nghiệm của bất phương trình  3  2x   2x  7 �0
� 7 3�

� 7 2�

�

 ; �
A. �
B. � ; �
� 2 2�
� 2 3�
Câu 4. Hàm số có kết quả xét dấu
x
�
-1

 



f x

7 � �3

�

�
2 7�

C. ��;  ��� ; �� D. � ; �
2 � �2
3 2�
�
� �
2



0

P

�


là hàm số
x1
A. f  x   x  1  x  2 B. f  x 
x2

Câu 5 . Hàm số có kết quả xét dấu
x

�

 

x 1
x2

D. f  x   x  1  x  2

�

1
P



f x

C. f  x 



là hàm số

 

A. f x  x  1

 

B. f x 

x1

 x  1

2

C. f  x  

10
x1

Câu 6. Hàm số có kết quả xét dấu
x

 

�

f x



0
0



2

D. f  x   x  1

�

0



C. f  x 

x
x2

là hàm số
A. f  x   x  x  2

B. f  x  x  2

Câu 7. Tập nghiệm của bất phương trình
1;2�
A. �
�
�

B.  1;2

x1
0
2 x

C.  �; 1 � 2; �

D. f  x  x  2  x 

1;2
D. �
�

Tr.6


Câu 8. Tập nghiệm của bất phương trình
� 1�

�1 �
�2 �

2; �
A. �
2
�

B. � ;2�

�

2x  1
�0
3x  6
�

1 �
C. � ;2�
2 �
�

� 1�

2; �
D. �
2
�

Câu 9. Điều kiện m đê bất phương trình  m  1 x  m  2 �0 vô nghiệm là
A. m ��

B. m ��

C. m � 1; �





�

D. m � 2; �

2
Câu 10. Điều kiện m đê bất phương trình m  1 x  m  2 �0 vô nghiệm là

A. m ��

C. m � 1; �

B. m ��

Câu 11. Tập nghiệm của bất phương trình

D. m � 2; �

1
�1 là
x1
C. �;1

1;2�
 
A. �
B.  1;2�
D.  �;1�
�
�
�
�
Câu 12. Cho 0  a  b , Tập nghiệm của bất phương trình  x  a  ax  b  0 là:

A.  �;a  � b; �

�

b�

�

�

B. ��;  �� a; � C.  �;  b � a; �
a

�b
a
�

�

D.  �;a �� ; ��

3; �
Câu 13. Tim m để bất phương trình x  m �1 có tập nghiệm S  �
�
A. m  3
B. m  4
C. m  2
D. m  1
Câu 14. Tìm m để bất phương trình 3x  m  5 x  1 có tập nghiệm S   2; � là
A. m  2
B. m  3
C. m  9
D. m  5

�

�
1
15
x

2

2
x

�
�
3 có tập nghiệm nguyên là:
Câu 15. Hệ bất phương trình �
3
x

14
�
2(x  4) 
�
2

A.  1

B.  1;2

C. �

D.  1

�
2x  4  0

�
Câu 16. Cho hệ bất phương trình �mx  m  2  0. Giá trị của m để hệ bất phương trình vô
�

nghiệm là:
2
3

A. 0 �m �

2
3

B. m �

C. m �0

D. Kết quả khác.

�
x  2m �2
�
Câu 17. Với giá trị nào của m thì hệ bất phương trình �x  m2 �1 có nghiệm duy nhất?
�

A.  1;3

B.  1; 3

C.  4; 3

D. �

Câu 18. Tập nghiệm của bất phương trình 4  3x �8 là
�4
�3

�

 ; ��
A. �
�

�4 �
�3 �

 ;4�
B. �

C.  �;4�
�

Câu 19. Tập nghiệm của bất phương trình 2x - 3 �x + 12
A.  �;15�

�

3;15�
B. �
�
�

Câu 20. Tập nghiệm của bất phương trình

C.  �; 3�
�

�

4�

�

�

4; �
D. ��;  ���
�
3
15; �
D.  �; 3�
���
�

2x - 1

> 2 là
x- 1

Tr.7


A. ( 1;+�)

�
�
3�
�
�
�
;
�( 1; +�)
�
B. �
�
4�
�
�

�
�
3
�
�
�
;

+�
�
C. �
�
�
4
�
�

�
3 �
�
�
�
D. � ;1�
�
�
4 �
�

Câu 21. Tập nghiệm của bất phương trình x - 15 �3 là
B. ( - �;4�
C. �
�
Câu 22. Tập nghiệm của bất phương trình x - 2 > x + 1
A.

�
6; +�)
�

A. �

� 1�
�
0; �
�
B. �
�
�
�
� 2�

� 1�
�
�
�
�
;
�
C. �
�
� 2�
�

D. �
�
�
1
�

�
�
;
+�
�
D. �
�
�
2
�
�

4. BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN
I- BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN
Bất phương trình bậc nhất hai ẩn x, y có dạng tổng quát là ax + by  c (1) (hoặc ax + by < c,
ax + by  c, ax + by > c) trong đó a, b, c là những số thực đã cho, a và b không đồng thời bằng
0, x và y là các ẩn số.
II- BIỂU DIỄN TẬP NGHIỆM CỦA BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tập hợp các điểm có tọa độ là nghiệm bất phương trình (1)
được gọi là miền nghiệm của nó.
Quy tắc biểu diễn hình học tập nghiệm(hay miền nghiệm) của bất phương trình ax + by  c
(1):
Bước 1: Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, vẽ đường thẳng
: ax + by = c.
Bước 2: Xét một điểm M(x0;y0) không nằm trên  (thường lấy O(0;0) nếu O  ).
Bước 3: Thay x0 và yo vào biểu thức ax + by.
Bước 4: Kết luận:
 Nếu ax0+by0  c là mệnh đề đúng thì nửa mặt phẳng (kể cả bờ ) chứa điểm M là
miền nghiệm của bất phương trình ax + by + c  0.
 Nếu ax0+by0  c là mệnh đề sai thì nửa mặt phẳng (kể cả bờ ) không chứa điểm M là

miền nghiệm của bất phương trình ax + by + c  0.
* Lưu ý: Miền nghiệm của bất phương trình ax + by  c bỏ đi đường thẳng ax + by = c là
miền nghiệm của bất phương trình ax + by < c.
III- HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN
Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn gồm một số bất phương trình bậc nhất hai ẩn x, y mà ta
phải tìm các nghiệm chung của chúng. Mỗi nghiệm chung đó được gọi là một nghiệm của hệ
bất phương trình đã cho.
Ta có thể biểu diễn hình học tập nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn.
Bài tập trắc nghiệm
�
3x  4y  12 �0
�
Câu 1. Miền nghiệm của hệ bất phương trình : � x  y  5 �0
� x  1 0
�

Là miền chứa điểm nào trong các điểm sau?
A. M  1; 3
B. N  4;3

C. P  1;5

Câu 2. Cặp số  1; 1 là nghiệm của bất phương trình

D. Q  2; 3

Tr.8


A. x  y  2  0

B. x  y  0
C. x  4y  1
Câu 3. M 0  0; 3 thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình:
�
2x  y  3
�

A. �2x  5y �12x  8
�

�
2x  y  3
�

B. �2x  5y �12x  8
�

D. x  3y  1  0

�
2x  y �3
�

C. �2x  5y �12x  8
�

�
2x  y �3
�

D. �2x  5y �12x  8
�

5. DẤU CỦA TAM THỨC
I- ĐỊNH LÍ VỀ DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI
1. Tam thức bậc hai:
 Tam thức bậc hai đối với x là biểu thức có dạng f(x) = ax 2 + bx + c trong đó a, b, c là
những số thực cho trước gọi là các hệ số với a ≠ 0.
 Nghiệm của tam thức bậc hai là nghiệm phương trình ax2 + bx + c = 0.
2. Dấu của tam thức bậc hai:
Cho f(x) = ax2 + bx + c (a ≠ 0),  = b2 - 4ac
 Nếu  < 0 thì f(x) cùng dấu với hệ số a, với mọi x  R.
b
a

 Nếu  = 0 thì f(x) cùng dấu với hệ số a, trừ khi x = - .
 Nếu  > 0 thì f(x) có hai nghiệm x 1 , x 2 (x1 < x2). Khi đó f(x) trái dấu với hế số a với
mọi x nằm trong khoảng (x1; x2) và f(x) cùng dấu với hế số a với mọi x nằm ngoài đoạn [x1; x2].
* Chú ý: Khi hệ số b chẵn ta có thể thay  bằng ' = b'2 - ac.
Các bước lập bảng xét dấu tam thức bậc hai:
f(x) = ax2 + bx + c (a≠0)
 Tính  = b2 - 4ac
 Nếu  < 0 thì f(x) vô nghiệm và
x
-
+
2
ax + bx
cùng dấu với a
+c

b
a

 Nếu  = 0 thì f(x) có nghiệm kép x = - và
x

-

-

b
a

+

ax2 + bx+
cùng dấu với a
0
cùng dấu với a
c
 Nếu  > 0 thì f(x) có 2 nghiệm x1, x2 (với x1 < x2) và
x
-
x1
x2
+
2
ax +bx + cùng dấu với a 0 trái dấu với a 0 cùng dấu với a
c
II- ÁP DỤNG GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI

1. Bất phương trình bậc hai:
Bất phương trình bậc hai ẩn x là bất phương trình dạng ax 2 + bx + c < 0 (hoặc ax 2 + bx +
c  0 hoặc ax2 + bx + c > 0, ax2 + bx + c  0), trong đó a, b, c là những số thực đã cho với a ≠ 0.
2. Giải bất phương trình bậc hai:
Giải bất phương trình bậc hai là tìm các giá trị x để ax 2 + bx + c âm (dương, không âm,
không dương) tương ứng với < 0 (> 0,  0,  0) của bất phương trình.
Bài tập tự luận
Tr.9


Câu 1. Xét dấu các biểu thức sau
a/ 3x² – 2x + 1

b/ (x² – 4x + 3)(x – 5) c/ 2x² – 7x + 5

Câu 2. Giải các bất phương trình
a/ –2x² + 5x < 2
b/ 5x² – 4x < 12
e/

2

3x  x  4
2

x  3x  5

0

f/

2

4x  3x  1
x 2  5x  7

d/

c/ –2x² + 3x ≥ 7

(3x 2  x)(3  x 2 )
4x 2  x  3

d/ x² – x – 6 ≤ 0

0

Câu 3. Giải các hệ bất phương trình sau
�x 2  6x  5  0
�2x 2  x  6  0
a/ � 2
b/ � 2
c/
3x  3 �10x
�x  x  6  0
�
x 2  2x  7
x 2  2x  2
e/ –4 ≤
≤

1
f/
1/13
≤
≤1
x2  1
x 2  5x  7

�
2x 2  5x  4
�2
�x  3x  10

�4x  7  x 2
d/ � 2
�x  2x  1 �0

Câu 4. Tìm m để các bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi x
a. 3x² + 2(m – 1)x + m + 4 > 0
b. x² + (m + 1)x + 2m + 7 > 0
c. mx² + 9m – 1)x + m – 1 < 0
d. (m – 1)x² – 2(m + 1)x + 3(m – 2) > 0
e. |3(m + 6)x² – 3(m + 3)x + 2m – 3| – 3 > 0
Câu 5. Tìm m để các bất phương trình sau vô nghiệm
a/ (m – 3)x² + (m + 2)x – 4 > 0
b/ (m² + 2m – 3)x² + 2(m – 1)x + 1 < 0
c/ mx² + 2(m – 1)x + 4 ≥ 0
d/ (3 – m)x² – 2(2m – 5)x – 2m + 5 > 0
Câu 6. Giải các bất phương trình
a. 2x² < |5x – 3|

b. x – 8 > |x² + 3x – 4|
c. |x – 3| – |x + 1| < 2
d. |x² + 4x + 3| > |x² – 4x – 5|
x2
≥3
x  5x  6
2x  5
1  0
h.
x 3

e. |x² – 3x + 2| + x² – 2x > 0
g.

x 2  4x
x2  x  2

f.

≤1

Câu 7. Giải các bất phương trình sau
a. x 2  x  12  8  x
c.  x 2  4x  21  x  3

2

b. x 2  x  12  7  x
d. x 2  3x  10  x  2
Bài tập trắc nghiệm

Câu 1. Hàm số có kết quả xét dấu
x

 

�

1
0



f x

2



0

là hàm số
2
A. f  x  x  3x  2

 

�

f x

là hàm số





1
0



2
A. f  x   x  3 x  3x  2

�

2
B. f  x   x  3x  2

C. f  x   x  1  x  2
Câu 2. Hàm số có kết quả xét dấu
x



2
D. f  x  x  3x  2



2

0



3
0



�





2
B. f  x   1  x  x  5x  6

Tr.10






2
C. f  x   x  2 x  4x  3

D. f  x    1  x  2  x   3  x 

Câu 3. Hàm số có kết quả xét dấu
x

 

�

f x

1
0





2

3
0



0



�

là hàm số
2
A. f  x   x  2 x  4x  3

2
B. f  x   x  1 x  5x  6

C. f  x    x  1  3  x   2  x 

2
D. f  x   3  x x  3x  2







Câu 4. Cho bảng xét dấu
x

�

2

1

 

+

g x
f  x

g x 
f  x  x2  4x  3

A.
g  x  x2  4x  4
f  x   x  2  x  1

C.
x3
g x 
f x

0


0




0



P







�

3





+

0

0



   x2  4x  3
B.
x2
g x 
f  x  x2  4x  3

D.

2 x
g x 
f x

Câu 5. Cho các mệnh đề
2
1;4�
 I  Với mọi x ��
�
�, f  x   x  4x  5 �0

 II  Với mọi x � �;4 � 5;10 , g x  x2  9x  10  0
2;3�
 III  h  x  x2  5x  6 �0 Với mọi x ��
�
�
A. Chỉ mệnh đề  III  đúng
B. Chỉ mệnh đề  I  và  II 

đúng
D. Cả ba mệnh đề điều đúng

C. Cả ba mệnh đề điều sai
Câu 6. Khi xét dấu biểu thức f  x 

x2  3x  10
x2  1

ta có

A. f  x  0 khi 5  x  1 hay 1  x  2

B. f  x  0 khi x  5 hay 1  x  1 hay x  2
C. f  x  0 khi 5  x  2

D. f  x  0 khi x  1
Câu 7. Tập nghiệm của bất phương trình x2  4x  3 �0 là
1; � B.  3; 1
3; � D. �
3; 1�
A.  �; 3�
C.  �; 1�
���
�
���
�
�
�
2
Câu 8. Tập nghiệm của bất phương trình x  x  6 �0 là
3; � B. �
6; � D. �
2;3�
A.  �; 2�
C.  �; 1�
���
�
���
�
�

�
Câu . Bất phương trình có tập nghiệm ( 2;10) là
A. x2 - 12x + 20 > 0

B. x2 - 3x + 2 > 0

C. x2 - 12x + 20 < 0

2
Câu 9. Tìm m để f  x   x   m  2 x  8m  1 luôn luôn dương

D. ( x - 2)

2

10 - x > 0

Tr.11


A.  0;28

B.  �;0 � 28; �

28; �
C.  �;0�
���
�

2

Câu 10. Tìm m để f  x  mx  2 m  1 x  4m luôn luôn dương

� 1�

�1
�3

�

�

B.  �; 1 �� ; �� C.  0;�

A. �1; �
3
�

�

0;28�
D. �
�
�

2
Câu 11. Tìm m để f  x   2x  2 m  2 x  m  2 luôn luôn âm

A.  0;2

B.  �;0 � 2; �

2; �
C.  �;0�
���
�

2
Câu 12. Tìm m để f  x  mx  2 m  1 x  4m luôn luôn âm

� 1�

�1

�

A. �1; �
B.  �; 1 �� ; �� C.  �; 1
� 3�
�3
�
2
m
Câu 13. Tìm để x  mx  m  3 �0 có tập nghiệm là �
6;2�
A.  6;2
B.  �; 6 � 2; �
C. �
�
�
2

Câu 14. Tìm m để mx  4 m  1 x  m  5  0 vô nghiệm

�

1�

�

�

A. �1;  �
3

�

1�

�

�

C.  �;0

1;  �
B. �
3

�1

�

�

�

D. � ; ��
3
0;2�
D. �
�
�
�1

�

�

�

D. � ; ��
3
2; �
D.  �; 6�
���
�
�1
�3

�

 ; ��
D.  �; 1�
���

Câu 15. Tìm m để 2x  2 m  2 x  m  2  0 có hai nghiệm phân biệt

�

2

� 1�

A. �0; �
2
�

�

�1

�

� 1�

0; �
B.  �;0 �� ; �� C. �
�2
�
� 2�

Câu 16. Tìm m để  m  4 x  2 m  1 x  1  2m  0 vô nghiệm

�
1
2
�

�

D.  �;0�
��� ; ��
�

2

A. �

B. �

C.  4; �

D.  �; 4

C. �

D.  1;2

2
0;1�
Câu 17. Tìm m để f  x   x  2 m  1 x  m  2 �0 x ��

�
�

A.  �;2

B.  1;�

�
x2  7x  6 �0
�
Câu 18. Tập nghiệm của hệ �2
là
x  8x  15 �0
�
1;3�
5;6�
1;3�
5;6�
A. �
B. �
C. �
�
�
�
�
�
���
�
�
2

�
x  4x  3  0
�
Câu 19. Tập nghiệm của hệ �
là
x2 x5  0
�
�
A. 1;3
B. 3;5
C. 2;5

 



 









D. Kết quả khác

D.  2;1 � 3;5

Câu 20. Hệ bất phương trình sau vô nghiêm
�
x2 - 4 > 0
�
�
x2 - 5x + 2 < 0
�
�
B. �
C. �
1
1
�
�
x2 + 8x + 1 �0
<
�
�
�
�
�x + 2 x + 1
�
5
�
6x + > 4x + 7
�
�
7
Câu 21. Số nghiệm nguyên của hệ �
�

8
x
+
3
�
< 2x + 25
�
�
� 2
A. 0
B. Vô số
C. 4
�
x2 - 2x �0
�
A. �
�
2x + 1 < 3x + 2
�
�

Câu 22. cho biêu thức f  x   2x  1  5  x   x  7 chọn đáp án đúng

�x - 1 �2
�
D. �
�

2x + 1 �3
�

�

D. 8

Tr.12


�1 �
�2 �
�1 �
C. f x  0trên � ;5�� 7; �
�2 �

�

A. f  x  0 trên � ;5�� 7; �

1�

B. f  x  0 trên ��;  �� 7; �
2

�
�
�
1�
D. f x  0 trên ��;  �� 5;7
2�
�
Câu 23. Tập nghiệm của phương trình 3  2 x  2  x  x  2  x là

A. ( 1;2)
B.  1; 2
C.  �;1
D.  �;1

 





 

 

2
2
Câu 24. Tìm m để phương trình x   m  1 x  2m  3m  5  0 có hai nghiệm trái dấu

� 5�
1; �
A. �

� 5�

� 5�

� 5�

1; �

B. �1; �
C. �1; �
D. �
� 2�
� 2�
� 2�
� 2�
Câu 25. Tìm m để bất phương trình x2  mx  m  3  0 có tập nghiệm là �
A. m  2 hoặc m  6
B. 2  m  6
C. m  6 hoặc m  2
D. 6  m  2
x2  2x  5
�0 nghiệm đúng với mọi x?
Câu 26 Với giá trị nào của m để bất phương trình 2
x  mx  1
2;2�
2; � D. Kết quả khác
A. �
B. 2;2
C. �; 2�
�
�
���
�









Câu 27. Để giải bất phương trình x4  3x3  2x2  0 , một học sinh lập luận ba giai đoạn như
sau:
 1 Ta có: x4  3x3  2x2  0 � x2(x2  3x  2)  0

 2

nx2(x2  3x  2)  0 � x2  3x  2  0
Do x2 �0 ne�

�
x1
 3x  2  0 � �
Suy rax2  3x  2  0 � 1  x  2
x2
�
Vậy: Tập nghiệm của bất phương trình là: 1;2

 3 x

2

 

Hỏi: Lập luận trên đúng hay sai? Nếu sai thì sai từ giai đoạn nào?
A. Sai từ  3
B. Lập luận đúng

C. Sai từ  2
D. Sai từ  1
Câu 28. Cho phương trình bậc hai x2  2mx  m 2  0. Phát biểu nào sau đây là đúng?
A. Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt.
B. Phương trình luôn vô nghiệm.
C. Phương trình chỉ có nghiệm khi m > 2.
D. Tồn tại một giá trị m để phương trình có nghiệm kép.
Câu 29. Tìm m để bất phương trình x2  2mx  m2  2m 4  0 vô nghiệm
A. m �2
B. m  2
C. m �2
D. m �2
�
x2  5x  4 �0
�
Câu 30. Tìm m để hệ bất phương trình �2
có nghiệm duy nhất
x

(
m

1
)
x

m
�
0
�

A. m  1

B. m  2

C. m  1

D. m  4

�x  7 x  12  0
. Hệ có nghiệm khi và chỉ khi giá trị của m là
�x  m  0
2

Câu 31. Cho hệ bất phương trình �

A. m  3
B. m  4
C. m  4
D. 3  m  4
2
Câu 32. Tìm m để bất phương trình mx  2(m  1)x  m  1  0 nghiệm đúng với mọi x
A. m  1
B. m  1
C. 1  m  3
D. Kết quả khác
2
m
Câu 33. Với giá trị nào của để hai bất phương trình x  m  4m  3  0 và 2x  3m  x  3
tương đương?

Tr.13


A. m  7 hoặc m  0 B. m  1 hoặc m  3 C. m ��
D. m ��
2
Câu 34. Tìm m để bất phương trình (m  2) x �m  m  2 nghiệm đúng với mọi x ?
A. 3
B. 1
C. 2
D. 2
2
2
Câu 35. Tìm m để bất phương trình m x  4m  3  x  m vô nghiệm?
A. 1
B. 3
C. 1
D. 2

Tr.14