Nghiên cứu dao động tự do của thanh lời giải bán giải tích (Luận văn thạc sĩ)

B GIÁO D C VÀ ÀO T O
TR

NG

I H C DÂN L P H I PHÒNG
-----------------------------

NGUY

Chuyên ngành: K thu t Xây d ng Công trình Dân d ng & Công nghi p
Mã s : 60.58.02.08

LU N V N TH C S K THU T

NG D N KHOA H C

TS. PH M TH LOAN

H i Phòng, 2017


-2M
Lý do l a ch n

U

tài:

-

-

và bài

thanh

N i dung nghiên c u c
- Trình bày
- Trình bày
-S d

tài:
ng l c h
c tr Gauss.
ng c a d m.

t.


-3-

PHÂN TÍCH

NG L C H C CÔNG TRÌNH

1.1. Khái ni m
Thu t ng

c hi

[19, tr.l]. V y t i tr

i theo th i gian

ng là b t c t i tr

l

ng ho c v trí

i theo th

c

truy n gia t c nên phát sinh l

t t i các kh

ng. L c quán tính

tác d ng lên công trình gây ra hi

c bi u th

i d ng chuy n v c a k t c u. Vi

n l c quán

tính xu t hi

c g i là gi

trình [10, tr.7]. Ph n ng c a k t c

ng công

i v i t i tr

võng xu t hi

ng su t

ng (bi n thiên theo th i gian). Nói chung,

ph n ng c a k t c

i v i t i tr

c bi u di n thông qua chuy n v

c ak tc

ng ph n

d

nh sau khi có s phân b chuy n v c a h .
c gi i quy

vi

i l c, ng su t, bi n

ng l c h

s
c tính toán thông qua h s
u là các giá tr c

c ti n hành b ng

i l c, chuy n v và m i tham s c a h
ng v i các k t qu tí
i ng v i m t th

t c các
nh, không ph i

là các hàm theo bi n th i gian.
1.2.

nc

T i tr

ng l c h c:

i theo th i gian nên tr ng thái ng su t - bi n d ng c a h
i theo th

ng s không có nghi m chung duy nh t
ng ph c t
c n thi t ph i k

c
c al cc

ng l c h c so v

nl

u so v i
m khác bi

n nh t
n

n phân bi t hai bài toán trên.

ng


-41.2.1. L c c n:
n

ng c a l c c

c n luôn luôn có m t và tham gia vào quá trình chuy
hi n do nhi u nguyên nhân khác nhau và

phù h p v

ng c a h . L c c n xu t

ng c

ng là r t ph c t

c

n quá trình dao

thi t khác nhau v l c c n,

u ki n th c t nh

nh.
ng s d ng mô hình v t li u

bi n d

t (ma sát nh

c W.Voigt ki n ngh :

xem l c c n t l b c nh t v i v n t

ng. Công th c c a l c c n:

Pc =

v i C là h s t t d n.
t s gi thi

n sau:

- L c c n theo gi thi t Xôrôkin: là gi thi t v l c c
c

i là l c c

ns

bi u th trong vi c làm t n th t tr

ng trong h

ng bi n d

Nó không ph thu c vào t
d

i. L c
c
ng.

bi n d ng mà ph thu c vào giá tr bi n

gi a các bi n d

võng, góc xoay) v i t i

tr ng ngoài là quan h phi tuy n.
Công th c c a l c c n: Pc= i
i;
[L

2

là h s

ng.

i (hay l c ph c h i) xu t hi n khi tách h kh i v trí cân b ng và có
v v trí cân b

v

ng c a h

ng và ph thu c vào chuy n

các h

c ng (l c gây chuy n v b

i tuy

i k là h s

)].

- L c c n ma sát khô c a Coulomb (Fms): t l v i áp l c vuông góc N và có
c v i chi u chuy
Công th c c a l c c n: Fms =

ng.
.N (v i

L c c n s làm cho chu k dao d
b c

là h s ma sát).
c t , có nh ng công trình

phá ho i ngay vì có h s c n khác không. Do còn


-5ng c a l c c n nên khi c

ng, các n i l c, chuy n v

không ph i b ng

mà có tr s l n h u h n.

1.2.2.

ng c a h

ng c a h

ng tuy n tính:

ng tuy

ng
ng c a h

bao g m: kh i

ng c a h , tính ch

ng, t n s

ng (t n s

ic ah

c

ng riêng, d

ng tuy n tính
m m), ngu n
ng riêng), h s

t t d n...
B c t do c a h

i là s thông s hình h

nh v trí c a h t i m t th
V

m b t k khi có chuy

nh các t n s

ng riêng và các d

ng h h u h n b c t
và vecto riêng c

c l p c n thi
ng b t k .

ng riêng c a bài

ng v

nh các tr riêng

i s tuy

t công trình

ch u t i tr

thông qua t n s

riêng th nh t và d

xác

ng riêng th nh t (t n s

ng
n và d ng

n).
1.3.

ng tu n hoàn H

u hòa:

tc h k tc

ch u m t d ng t i tr

ng

t quá trình s ng c a nó (t i tr
bi t c a t i tr

ng). Các t i tr

c

c phân thành: t i tr ng tu n hoàn và t i

tr ng không tu n hoàn.
Các t i tr ng không tu n hoàn có th là các t i tr ng xung ng n h n ho c
có th là các t i tr ng t ng quát dài h n, các d

n hoá có th

c.

M t t i tr ng tu n hoàn th hi n s bi n thiên theo th i gian gi ng nhau
liên ti

iv im ts

ng l n chu k . T i tr ng tu

d ng hình sin (ho

cg

n. Nh có phân tích

Fourier mà b t c m t t i tr ng tu
m t chu i các thành ph
tu n hoàn trong k t c u.
1.3.1.

ng tu n hoàn:

n nh t có

c bi u di
n. T i tr ng tu

ng


-6c l p l i sau nh ng kho ng th i gian

L

nh

nh. N u

c bi u di n b i hàm s c a th i gian y(t) thì b t k
i th a mãn: y(t) = y(t+ ). Th i gian l p l
là chu k c
D

ng và ngh

o c a nó f = 1/

n nh t c

1.3.2.

ng tu n

ng

cg i

c g i là t n s .

ng tu

u hòa.

u hòa:
T

c mô t b ng hình chi u trên m

ng th ng c a m

di chuy n trên m t vòng tròn v i v n t c góc

nv

m

c vi t: y

= Asin t.
B

ng l p l i trong kho ng th i gian 2

nên có m i liên h :

2 f

2 /

V n t c và gia t

u hòa v i cùng t n s c

d ch chuy n l

t là

/2 và

ch v i

:

Asin( t+ /2 )
2

V

-

2

Asin t=

y => gia t c t l v

1.4.

2

Asin( t+ )

d ch chuy n.

xây d

chuy

ng:

ng c a h có th xây d ng d
c các nguyên lý bi
h

nh các chuy n v

h , nó có th

c bi u th

1.4.1.

c a

ng. Các bi u th c toán
cg

ng c a

id
ng h c:

[N

iv

h , các l c th c s tác d ng lên ch

: trong chuy

ng c

m c a h g m n i l c và ngo i l c cùng

v i các l c quán tính l p thành h l c cân b ng]
D

nh ng nguyên t c cân b ng c

l c quán tính vi

u ki n cân b

v i các l c t ng quát vi t cho h n b c t do:
Qk

J k*

k 1.. n

0

c có b sung thêm
i


-7-

Qk - l c t ng quát c a các l
theo so luc

Qk

Xi

i 1

xi
qk

yi
qk

Yi

Zi

zi
qk

J*k - l c t ng quát c a các l c quán tính c a các kh

ng v i các

chuy n v t ng quát qk.
xi
qk

theo so khoi luong

J k*

i 1

mi xi

yi

yi
qk

zi

zi
qk

xi, yi, zi - các chuy n v c a kh
thông qua các to

c to

, bi u di n

t ng quát qk.
xi = xi (q1, q2, .....,qn)
yi = yi (q1, q2, .....,qn)
zi = zi (q1, q2, .....,qn)

vi t: J*k = -Mkqk, v i Mk là kh

ng

v i chuy n v t ng quát qk.
1.4.2.

ng:
D

c n chuy

K-

nh lu t b

ng, ta có: K + U = const.

ah :
mi vi2
2

K=
U - th
c a các n i l

ng h p b qua các l

a h , có th

m( z ) dz

v(2z )
2

c bi u thông qua công c a các ngo i l c ho c công

ng h p h ph ng):
U=

1
2

Pi cos(Pi

i)

1
2

dP. cos(dP, )

Ho c:
1
U=
2
1.4.3.

M 2 ds
EJ

N 2 ds
EF

ng d ng nguyên lý công o:

Q 2 ds
GF


-8[N i dung c
gi và d
ho

u ki n c

m

c cân b ng t i m t v

ng tác d ng lên h

liên k

ng

ng công o c a t t c các l c

u b ng không trong di chuy n o b t k t v

cho][3, tr.33].
c áp d

Ui

Ti

(i=1 n )

0

U i - công kh

a n i l c.

Ti - công kh

a ngo i l c (g m l c kích thích, l c c n, l c

quán tính).
i thi u
cách gi i quy

n cho h m t s b c t do. S c n thi t ph i xem xét các

l c liên k t và các bi
is

v t th t

n nh ng

i v i nh ng h có b c t
ng kh c ph

ng. Tuy nhiên, nguyên

c nh
ng cùng các to

cm

v t lý ch

gi i h n s d ng cho h m t b c t do.

Nguyên lý công o kh c ph
và là m t công c m

c nh ng h n ch c a c

i v i h nhi u b c t do. Tuy nhiê

i là

m t th t

c là c n

thi t trong vi

nh công o [20, tr.215].

1.4.4.

i 2):
t th t c hoàn toàn

phát t

ng c

di n thông qua các to

suy r

Lagrange là d ng và s
h và s chuy

ng, xu t
c bi u

m n i b t c

ng c a chúng không ph thu c vào s v t th thu

ng c a các v t th

a, n u liên k
t các ph n l c liên k

Gi s h có n b c t do và các to
ng Lagran

suy r ng c a h là q1, q2, ...., qn.
c vi

ng thì
t.


-9-

d T
( )
dt qi

T
qi

U
qi

Qi
ah .

+ Qi là các l c suy r

ng v i các l c không có th

c áp d ng r ng rãi trong nhi

n

c khoa h c và k thu t,

c áp d ng v i t t c h tuy n tính và phi tuy n.
1.4.5.

ng d ng nguyên lý Hamilton:
[Nguyên lý Hamilton có n

các l

t s có chuy

u ki n

th

c ch

ng (trong t t c các chuy

ng c a

ng có th và cùng

u c a kho ng th i gian) sao cho bi
c c a các l c không b o toàn trong kho ng th

ng

không].
N i dung nguyên lý có th

t2

c bi u th : ( T

U

R )dt 0

t1

T, U - bi

ah .

R - bi n phân công do các l c không b o toàn (l c kích thích, l c c n) tác d ng
lên h .
T

ng Lagrange s xây d ng nguyên lý bi n

ng h c Ha

c l i. Vì v y có th

ng l c h c các h holonom.
[Theo ngôn ng c a G.Hertz: h
bi u di

c nào ch có nh ng liên k

i d ng h u h n (liên k t hình h c) g i là h holonom; n u h

nh ng liên k t bi u di n b
không holonom].

c
u

tích thì g i là h

-10ng c a h h u h n b c t do:

1.5.
1.5.1.

ng t do:
Khi h chuy

ng t do, v trí c a các kh

mb tk

i v i h n b c t do, các kh

t i th
t p, g

ng v i n t n s

v c a các kh

i

nh d ng c a h
ng có chuy

khác nhau. Nói chung, t s gi a các chuy n

ng riêng bi t liên t

u sao cho m i kh

ng ph c

ch

ng ch

ng v i m t t n s

ph t n s . Nh ng d

g i là d

u ki n
nt

i

ng riêng (hay d ng

ng chính).
S d ng chính b ng s b c t do c a h . Trong các d
quan h các chuy n v c a các kh

ng là h ng s

ng chính,

i v i th i gian. N u cho

c các d

ct ns .

Vi

nh các d

ng riêng và t n s

trò quan tr

ng c a h h u h n b c t do.

1.5.1.1. Các t n s riêng và các d

ng riêng:

ng t do không c n c a các kh

ng:
(1.1)

v i M và K là các ma tr n vuông c

ng là ma tr

i x ng. Nghi m c a

i d ng:
Y(t) = A sin( t + )
Thay (1.2) vào (1.1) nh
[K-

c:
2

M ]A = 0

h (1.3) có nghi m không t
K

(1.2)

2

(1.3)
ng (t c là t n t

M =0

is b

(1.4)

(

2

iv i
m

s

i

g m t t c các t n s
1

2

........

n

ng) thì:

cg

cg

ns

(v i i = 1 n ) c a (1.4) là các t n
ng riêng x p theo th t

ns

ng riêng (hay ph t n s :

n


-111
2

....
n

T ns

ng riêng th p nh t 1 g i là t n s
c vi
m11

11

u1

m2

m21

21

u2

m2

...
mn1

Thay các

un

n1

mn

i d ng gi
... mn

12

1n

... mn

22

n2

2n

... mn

0 v i ui

1
2
i

nn

ch

i

n.

i s tuy n tính thu n nh

xác

nh các thành ph n c
2
i M

K

Ai = 0

Vì (1.5) là h

(1.5)

i s tuy n tính thu n nh t có det các h s b ng 0

nên các thành ph n c

nh sai khác m t h ng s nhân, ch ng

h n có th ch n Ali tu ý.
ki

Aki
và d th y:
Ali

Ma tr n vuông

li

1

bi u th t t c các d

ng riêng có th c a h

cg i

là ma tr n các d ng riêng (hay ma tr n d ng chính):
11

12 .............. 1n

21

22 ............. 2 n

...........................
n1
n 2 ..............

M im

nm

t c a (1.6) cho ta m t d
li
i

1

2i

2i

....

....

ni

ni

(1.6)

ng riêng c a h :


-121.5.1.2. Gi i bài toán riêng (eigen problem):
Khi h

ng t do không c

ng t do tr thành bài toán

riêng t ng quát:
[K -

2

M]A = 0

Các t n s (vòng) riêng c
i (i

ng ( ng v i các t n s fi) là các nghi m

1 n) c

c n:
[K -

t

(1.7)

2

2

M] = 0

(1.8)

(1.8) tr thành:
[K -

Khi phân tích d ng

M] = 0

(1.9)

ng, ta có bài toán riêng t ng quát:

M

K

1,

2 ,..............

1,

2 .............

n - các tr riêng.
n-

ng.

1 ,...... n

Có nhi

gi i bài toán riêng [17]:

K

i

iM i

i.
T

K

T

K =I

diag ( i )

+ Nhóm 3: các k thu t l
p(

c
) = det(K- M)

i

+ Nhóm 4: s d
p( )
p(r ) (

c tính sturm c
det( K
(r)

)

M)

det( K ( r )

(r)

M (r) )


-131.5.1.3. Tính ch t tr c giao c a các d ng chính - D ng chu n:
Tính ch t tr c giao c a các d ng chính th hi n

ch : công c a ngo i l c (hay

n i l c) c a m t d ng chính này trên chuy n v (hay bi n d ng) c a m t d ng
chính khác b ng 0.
Bi u th c bi u th tính tr c giao c a các d ng chính có th vi t qua ma tr
c ng ho c ma tr n kh
T
i M

0 ho c

j

T
i M

0 (v i

j

i

j)

(1.10)

d ng gi i tích, bi u th c tính tr c giao vi t theo ma tr n kh
n
k 1

mk yki ykj

ho c có th bi u th

0

i d ng công c a các n i l c:

MiM j
EJ

Ni N j

ds

EF

Qi Q j

ds

GF

ds 0

t quan trong trong vi c gi i quy

ng b c

ng t do c a hê h u han bâc t do.
- D ng chu n: là d
Ký hi u là

ng riêng tho mãn bi u th c:

T
i M

j

1

i, ch

i, ch

Vi

=

1
ai

d

i

v i a ai2

T
i M i

(1.11)

ng riêng v d ng chu n g i là chu n hoá các d ng dao

ng riêng. Khi các d

c chu n hoá, ta vi

u

ki n tr c chu
T
ch M

ch

E ho c

T
ch K

,

diag (

u ki n tr c chu
c ah

1.5.2.

ch

(1.12)

2
i )

ng trong vi c rút g n quá trình tính toán

ng.
ng b c c a h h u h n b c t do:
ng c a h :


-14là bài toán ph c t p và hay g p trong th c t . Có nhi
gi i quy

c s d ng là

ng d

n theo các d ng riêng).

1.5.2.1.

n theo các d ng riêng:

Xét h h u h n b c t do ch u l

-

ng b c và không k

n l c c n.

n t i tr ng theo các d ng riêng:

Gi s l c Pk(t) v i m t giá tr

m c giá tr 0) tác d ng lên kh i

ng mk b t k , l

c khai tri n theo các d

i

d ng các thành ph n Pki(t)
n

Pk(t) =

n

Pki (t )

k 1

n

mk

ki H i (t ) v

k 1

i H i (t )

Pki (t ).

k 1
n

ki

(1.13)
mk

2

ki

k 1

T i tr ng khai tri n theo d ng chính th i vi
Pi =

T
i P

T
i M i

M

i

i d ng ma tr n:

T
i ,ch PM i ,ch

(1.14)

c n h l c Pki(t) thay cho h l
ng v i d ng chính có t n s

i, ta có các l c P1i(t), P2i(t),

c th

hi

Hình 1.1
Các l c này s gây ra các chuy n v t l v i các chuy n v d ng chính th i. Vì
v y, h ch u t i tr
N u có m t s

có th
ng b t k các l

thì c n ph i thay th chúng b ng các t i tr

v i m t b c t do..
t không ph i lên các kh
2.

ng


-15-

Hình 1.2.
Các l c Pi*(t) tác d ng t i các kh

ng sao cho: chuy n v

ng do chúng gây ra gi

a các kh i

n v do các l

Các t i tr ng thay th d
*
k 1 P1 ( t )

*
k 2 P2 (t ) ......

*
kn Pn ( t )

n
i 1

kPi Pi (t )

G i Pkh là ma tr n bao g m các t i tr ng khai tri n theo các d ng chính.

Pkh

P1 ,

P2 ,

-

Pn

P11

P12

P1n

P21

P22

P2 n

.......................
Pn1 Pn 2
Pnn

t ng quát:

Chuy n v c a h có th phân tích thành t ng c a các chuy n v thành ph n ng
v i t ng d

ng chính:
Y(t) =

n

n

Yi (t )

k 1

v i:

Z i (t )

1
Mi

k 1

i Z i ( t ) k=l

k=l

t

Pi ( ) sin

i (t

)d

(1.15)

i 0

c g i là to

t ng quát c a h

ng v i các d ng chính.
Ma tr n các to

t ng quát c a h :

Z(t) = [Z,(t), Z2(t), ,Zn(t)]T
1.5.2.2. Trình t tính toán h
Theo [1, tr.150], h h u h n b c t
trình t sau:

ng b c:
ng b

c tính toán theo


-16nh t n s

ng riêng và các d

+ Khai tri n t i tr ng theo các d
t

ng riêng.
ng riêng theo (1.14), ho

nh các

t ng quát ng vái các d ng riêng theo (1.15).
nh chuy n v c a h t k t qu nh

ho c ma tr n các t

c ma tr n t i tr ng khai tri n

t ng quát.

Y(t) = M-1PkhKai(t)

(1.16)

-h s
chính th i; Kai(t) =

ng h c theo th i gian c a d ng
1

t

f ( ). sin

i (t

(1.17)

)d

i 0

Ho c:

Y(t)= .Z(t)

(1.18)

nh n i l c c a h , c n ph i bi t l

ng v i quá

ng c a h .
V

n theo các d

ng riêng:
(1.19)

t

Ki (t )

f ( ). sin

i

i (t

)d

(1.20)

0

V

t

1.5

ng c a h chiu t i tr

u hòa

ng h p hay g p trong k thu
v d ng g
s h

i tr ng P(t)

u hoà ho c phân tích theo chu i Furie r i l y m t vài
u. Do v y, vi c nghiên c

hay Pcosrt là m

nt
ng b c c a h

ng v i l c kích thích có d ng Psinrt
ng l c h c công trình.
i d ng t ng quát bao g m hai ph n: dao

ng v i l
nh thì ph

ng chuy

ng riêng c a h không còn, h s

n n

ng có chu k cùng

v i chu k c a l c kích thích.
P1

Khi h ch u tác d ng c a t i tr

u hoà: P(t) =

P2
...
Pn

sinrt thì chuy n v c a h :


-17Y = GP
- ma tr n gi i th c Green: G =

chD chT

1

D= diag (Si) v i Si =

2
i

r2

Khi t n s r c a l c kích thích b ng m t trong các tr s c a t n s
u x y ra hi

1

ng c

ng (r =

i

).

Có th s d
h

iv ih

ng riêng

nh các l c quán tính trong

i x ng, có th phân tích t i tr

i x ng và ph n x ng

v n d ng cách tính theo n a h ho c chuy n v kép.
1.6.

ng l c h c công trình:

tìm t n s
àn h

c gi

c, ho c thay h có s b c t do l n b ng

h s có b c t

t qu

v it ns

n

1.

i

Th c t

nt ns

n

i ta ch
ki

1

u ki n c

ng.

1.6.1.
thi

c các d

lu t b

nh t n s và d

Khi h

ng t do không k

ng, có th thi t l

K=

m( z ) v z2
2

nl cc

dz

2

2

2

M dz
=
2 EJ

EJ
2

m z y 2 k ( z , t ) dz

2

a h (khi ch xét t i
U=

quy lu t b

mtb tk :
m(i ) vi2

ng c a mô men u n):
2

yk (t , z )
z2

nh

ng.

c m i quan h : Umax = Kmax.

a h t i th

Th

ng và d a tr

2

dz
c:

mi y 2 k ( z , t )


-182

EJ

2

yk ( t , z )

dz

z2

2

m( z ) y 2 k ( t , z ) dz mi y 2 k ( t , z )
N u bi u th chuy n v c a h kh

ng t

i d ng ma tr n:

Y(t) = L.Z(t) = L.Z 0 sin t
2

thì:

ng gi

nh, Z(t) -

d ng gi

nh

LT KL
LT ML

1.6.2.

- Galoockin:
-

c xây d ng d

nguyên lý

Hamilton ho c nguyên lý chuy n v kh
V

ng t do c a d

ad

ng

chính th j:
2

2

z

2

EJ (z)

y j ( z ,t )
z

2

Gi thi t nghi m c

y j( z) =

2
j m( z ) y j ( z , t )

-

0

(1.21)

t và có th bi u di
n
i l

(1.22)

ai i ( z )

ng s
mãn toàn b (ho c m t ph
1.6.3.

t, các hàm
u ki

i (z)

c n ph i ch n sao cho tho

ng h

c) c a bài toán.

- Ritz:
-

c xây d

nghiên c u th

ph n c a h
[N
kh

dung nguyên lý Lagrang
ng thái cân b

c phát bi

t c các tr ng thái

i tác d ng c a các l c có th s

ng v i tr ng

nâng toàn ph n c a h s có giá tr d ng: U 0
Th

nd

c bi u di n

i d ng công ngo i l c và công n i l c c a

h khi chuy n t tr ng thái bi n d ng v tr ng thái không bi n d ng


-19l

EJ (z)

0

2

U=

2

y( z , t )

2

z2

1

dz

q( z , t ) y( z , t ) dz

Pi ( t ) y zi ,t )

0

m các l c kích thích và l c quán tính do các kh i
ng phân b và t p trung gây ra khi h
gi thi t d ng chính c

ng.V

ng riêng,

ng:

yj(z)=

n
i l

ai i ( Z )

i (z)

tho

u ki

ng h

u ki n

tho mãn trong các bi u th c th
T

u kiên th

a hê có giá tri d ng, ta có:

T

U
ak

0 (v i k = 1..n

c ch a a1, a2,..., an.

1.6.4.

kh

ng:
n

kh

ng ph n b và t p trung trên k t c u thành các kh
tt im ts

Có th chia các kh

ng: thay th các kh i
ng t p trung v i s

c bi t.

ng phân b thành nhi u kho ng, t p tr ng các kh

phân b trên m i kho ng v tr ng tâm c a nó ho c phân b các kh
nguyên t
kh

y: kh

ng phân b trên m

ng theo

c thay th b ng hai

t

1.6.5.

áp kh
c xây d ng trên gi thi
t ns
i y(z) và ch

1.6.6.

i ch n

c t n s th p nh t c a h th c
ng l c h c công trình:

1.6.6.1.
L

sai phân:
ig

ng b ng

gi i h
o hàm b

thành n ph n t , t i m
l

m chia, thay
ng. K t qu thu


-20c là h

i s tuy n tính v i các n s là giá tr nghi m c a
m chia và các giá tr nghi m t i m

c

m chia lân

dàng gi

thông s

i: ti t di n, kh

1.6

ng c a h có các

ng, t i tr ng...

n t h u h n:
H

h uh

c r i r c hoá thành các ph n t h u h

nt

c n i l i v i nhau t i m t s

ph n t ) g i là nút và t
c ah

nh c a m i

i ph n t h u h n. Tính liên t c v bi n d ng

c th hi n qua chuy n v

o hàm c a chuy n v t i các nút c

i

ng n s ) là các chuy n v t i nút c

i

ph n t h u h n.
S ph n t h u h n (hay s
ph n t h u h
m

i ph n t h u h n càng mau thì càng làm vi c sát h th c và

c a k t qu tính càng cao.
n v nút c

H

i ph n t h u h n: {Y} = {y1 y2... yn}
u th

l cc

t t i th

M Y (t )

C Y (t )

ng c

i ph n t h u h n có k

n

mtb tk :

K Y (t )

P( t )

1.6.6.

c ti p:
c ti p không nh ng cho phép gi i các bài toán
ng tuy n tính mà còn cho phép gi

ng phi tuy n ph c

t p. G
c tuy
r ng: s

i c a gia t c chuy

ng trong m

c th i gian t

n (t+

t) là tuy n tính.
c ch t c
phân tr c ti p h

c, tích
ng kho ng chia

c chia th i gian

t (gi i bài toán

n l c quán tính và l c c n,


-21ng th

c gi i nhi u l

kho ng th

iv

m chia trong

ng).

Giá tr gia t c c a chuy n v
th

i trong ph

c chia

nh:
1
Y (t
t2

Y (t )

t

2 Y (t

Y (t

t

p gia t

p Neimark):

pháp này gi thi t r ng:
b ng h ng s

m

c th i gian

t, gia t c chuy

c tính b ng giá tr trung bình hai giá tr

c a kho ng

ng

u và cu i

t:

Y (t

)

Y (t

t)
2

Y (t )

v

t)

1.7. M t s nh n xét:
ng l c h c công trình nghiên c u ph n ng c a h k t c u khi
ch u t i tr

ng (mà t i tr

ng h

c bi t). Có nhi

gi

u xu t phát

t

ng. Xu t phát t

u ki n d ng c a phi m hàm c a th

n c a h : U = 0, n u l y bi n phân c a phi m hàm theo chuy n v
thì ta nh

ng, n u l y bi n phân c a phi m hàm

theo l

n d ng.
+ Vi

nh các t n s

ng riêng và các d

ng v
c

nh các tr riêng và vecto riêng

i s tuy n tính) là m t nhiêm v quan tr ng c a
Bài toán riêng: [K - M ] A = 0 (v i

riêng

sao cho K

M =0 hau det K

=

c

i v i h có nhi u b c t do.

ng.

2

ng v i vi c tìm tr

M

b c n,v i n là b c t do c a h ), có nhi u thu
thi t l p ma tr

ng riêng c a

d ng ma tr

c
gi

c t p. Vi c
i khó


-22-

C TR GAUSS
IV

NG L C H C C A D M

2.1. Nguyên lý c c tr Gauss
c nhà toán h

c K.F. Gauss phát bi

cho h ch
T i m i th

m, chuy

ng c a m t h ch

t c d ng b t k - s x y ra r t g n v i chuy
ng h

y ra v i m

b c ít nh t có th n

mà nó chi

và ch u

ng mà các ch

ct
as c

ng c a m i ch

m - liên k

mv

ng

ng b c là t ng các tích s gi a kh i

l ch c a v trí ch

cn

i v trí

c t do [12, tr.45].

l ch v v trí c a ch
nguyên lý Gauss là:

m th i kh

-

ng vào ch

yi -

n trong

Fi
mi

yi

i

ng mi

c chuy

m khi có liên k t.

ng c a ch

c gi i phóng kh i liên

k t.
N u h có n ch

m, l
n

Z=
i

mi

2
i

ng b c c a h (so v i chuy
n

i

mi yi

Theo nguyên lý c c tr Gauss, chuy
ng b c c c ti
Z
Bi n phâ
2.2. S d
c u:

Fi
mi

ng t do) là:

2

ng th c cùa h ch

m s x y ra ng v i

u ki n:

min hay Z

0

(2.1)

c l y v i gia t c, hay còn g i là bi n phân theo ki u Gauss.
c tr

gi

ck t


-23xu
c

gi i bài

d ng nguyên lý

c v t r n bi n d ng.

2.2.1 Bài toán d m ch u u n thu n tuý:
Xét m t d m ch u u n thu n tuý có chi
thi t v t li u làm vi c trong gi i h

c ng m t c t là EJx. Gi

i và tuân theo hai gi thi t sau: + Gi thi t

v m t c t ngang (gi thi t Becnuli): m t c t ngang d

c và sau khi bi n d ng

v n ph ng và vuông góc v i tr c d m.

+ Gi thi t v các th d c: trong quá trình bi n d ng, các th d c không ép lên nhau
y xa nhau.
T

a
d2y
dz2

i:

Mx
EJ x

Mômen u n t i m t c

nh theo công th c:

d2y
Mx(z)= - EJx
dz 2

nh lu t II Newton:
F = - ma
Vì v y, m

toán h c, có th xem:

+ Mômen u n Mx t i m t c

c tác d ng.

c ng m t c t EJx c a d m khi u n là kh
d2y
+
dz 2

c chuy

ng c

ng.

m.

Ch n d m so sánh (có th ch u liên k

ng d m th c v

c t và t i tr ng.
d 2 y0
Gia t c c a d m so sánh s là
v
dz 2

ng b

c vi

võng c

m so sánh.

c ng m t


-24l

Z= EJ x
0

d2y
dz 2

l

hay

Z=

1
Mx
0 EJ x
0
x

dz

(2.2)

2

M x0 dz

(2.3)

là momen u n c a d m so sánh.

Chuy
hay

2

d 2 y0
dz 2

ng c a d

t g n v i chuy

ng t do n u Z >min

Z = 0.

* Khi h so sánh không có liên k t thì M = 0, công th

c vi t l i

l

Z=

1
M x 2 dz
0 EJ x
l

Z= EJ x

hay

0

d2y
dz 2

2

dz

+ Khi trên d m có l c phân b
l

Z=

EJ x
0

+ Khi trên d

(2.4)

(2.5)
u q trên toàn b chi u dài Z1:

2

d2y
dz 2

2qy dz

p trung P t i v
l

Z= EJ x
0

d2y
dz 2

2

dz 2 Py( z1)

+ Khi trên d m có mômen t p trung M t i v
l

EJ x

Z=

0

d2y
dz 2

2

dz 2 M

( Z 2)

(p(z2) là góc xoay t i ti t di n có mômen t p trung. V i gi thi t chuy n v
bé, ta có: (

Bài toán d m ph ng:


-25D m có các thành ph n n i l c là Mx, Qy, Nz. Chuy n v
c ng m t c t là EJX. Chuy n v trong
c ng m t c t là GF. Chuy n v
co ng

1
0
0
x,

n tính ch

c l p tác d ng c

ng

c vi

1
(M x
EJ x

Z=

ng h p c t là s

ng h p kéo (ho c nén) là s d n dài (ho c

c ng m t c t là EF. K
ng b

ng h p u n

M x0 ) 2

1
(Q y Q 0y ) 2
GF

1
(N z
EF

N z0 ) 2

Q 0y , N 0z là các thành ph n n i l c c a d m so sánh.

* Khi h so sánh không có liên k t (các thành ph n n i l c c a h so sánh b ng không),
công th c (2.9) tr thành:
1

Z=
0

1
( M x )2
EJ x

1
(Q y ) 2
GF

1
( N z )2
EF

2

dz

(2.10)

N u t i tr ng vuông góc v i tr

2.3. S d

c vi
c tr

Xét m t d m ch u t i tr

gi

ng l c h c:

ng, d m có chi u dài 1, kh

ng c a d m là

võng c a d m có d ng: y = y(z,t) ph i tho

u ki n biên

c ng m t c t là EJX.
u ki

u (n u có).

khi d m ch u t i tr

xu t hi n thêm thành ph n l

c

chi u v i gia t c c a h :
2
qt

m( z )

F =

y( z , t )

Coi l

t2
il

b c do l c quán tính gây ra:
l

Z qt =
0

2 F qt y( z , t ) dz

ng