Đề thi HSG toán 8 huyện hương khê

phòng giáo dục đào tạo
hơng khê

kỳ thi chọn học sinh giỏi huyện
Năm học 2011 - 2012

Môn toán LớP 8
Khúa ngy 17.18.19 4 - 2012
Thi gian lm bi: 120 phỳt (khụng k thi gian giao )

đề chính thức

Bi 1: Cho biu thc:
A=

2 ( x 4 + 4 x 2 12 ) + x 4 + 11x 2 + 30
x2 + 6

2x

1) Rỳt gn biu thc A.
2) Tỡm cỏc giỏ tr ca x A = 6
3) Tỡm giỏ tr nh nht ca A.
Bi 2:
1) Cho cỏc s thc a, b tha món a102 + b102 = a101 + b101 = a100 + b100 .
Tớnh giỏ tr biu thc:
P = a2012 + b2012.
4 x 2 + 14
5
7
9

2
= 2
+ 2
2) Gii phng trỡnh: 2
x +6
x +1 x + 3 x + 5

Bi 3: Cho hỡnh vuụng ABCD cú hai ng chộo ct nhau ti O. Mt ng thng
qua A ct on BC ti M v ct ng thng CD ti N. Trờn AB ly I sao cho BI =
CM. Chng minh:
a) Tam giỏc IOM ng dng vi tam giỏc BOC.
b) IM // BN.
Bi 4: Cho tam giỏc ABC cú I l giao im ba ng phõn giỏc trong. Mt ng
thng qua I ct tia BC v cỏc on AC, AB ln lt ti A, B, C. Chng minh rng:
BC AC AB
+
=
IA ' IB ' IC '

Bi 5: Cho ba s dng a, b, c cú tng bng 1. Chng minh rng:
a
b
c
3
+
+

2a + b + c a + 2b + c a + b + 2c 4

Bi

HNG DN
Hng dn chm

KX: x R
A=
=

2 ( x 4 + 4 x 2 12 ) + x 4 + 11x 2 + 30

x2 + 6
( x 2 + 6 ) ( 3x2 2 x + 1)
x +6
2

2x =

3 x 4 + 19 x 2 + 6 2 x 3 12 x
x2 + 6

= 3x 2 2 x + 1

A = 6 3 x 2 2 x + 1 = 6 ( x + 1) ( 3x 5 ) = 0

1

im
3

2

x = 1
x +1 = 0


x = 5
3
x

5
=
0

3

2

2
1
1 2 2


A = 3x 2 x + 1 = 3 x 2 x + ữ = 3 x ữ +
3
3
3 3 3


2

Vy GTNN ca A bng

2

2
khi v ch khi x = 1/3
3

/>
1


Ta có a + b = ( a + b ) ( a + b ) − ab ( a + b )
Theo giả thiết a102 + b102 = a101 + b101 = a100 + b100 nên ta có:
1 = a + b – ab ⇔ (a – 1)(b – 1) = 0 ⇔ a = b = 1.
Do đó P = 2.
ĐKXĐ: ∀x ∈ R.
102

102

101

101

2

A

2đ

2đ

2

⇔ x 2 − 4 = 0 ⇔ x = ±2
B
I

O
D

3

M

C

N

a)Ta có ∆BIO = ∆CMO(cgc)
·
·
·
⇒ BOI
= COM
, OI = OM ⇒ MOI
= 900
suy ra ∆MOI vuông cân
⇒∆IOM ∆BOC.

b)
Ta có:
BI CM MN
=
=
⇒ IM / / BN
AB AD AN

3đ

2.5đ

Ta có AI là phân giác trong của góc
B’AC’ của tam giác AB’C’ nên:

A

C’

4

100

4 x + 14
5
7
9
x −4
5
7

9
− 2
= 2
+ 2
⇔ 3+ 2
− 2
− 2
− 2
=0
2
x +6
x +1 x + 3 x + 5
x + 6 x +1 x + 3 x + 5
x2 − 4
5
7
9
⇔ 2
+1− 2
+1− 2
+1− 2
=0
x +6
x +1
x +3
x +5
x2 − 4 x2 − 4 x2 − 4 x2 − 4
⇔ 2
+
+

+
=0
x + 6 x2 + 1 x2 + 3 x2 + 5
1
1
1 
 1
⇔ ( x2 − 4)  2
+ 2
+ 2
+ 2
÷= 0
 x + 6 x +1 x + 3 x + 5 
2

B

100

I

AB ' AC '
=
(1)
B'I C 'I

B’

0.25đ

BI là phân giác trong góc A’BC’ nên:
C

A’

BA ' BC '
=
(2)
A' I C ' I

CI là phân giác ngoài góc A’CB’ của tam giác A’CB’ nên:

0.25đ
0.5đ

CB ' CA '
CB ' CA '
=
⇒
−
= 0 (3)
B ' I A'I
B ' I A' I

Cộng các đẳng thức (1), (2) và (3) vế theo vế ta được:
BC AC AB
+
=
IA ' IB ' IC '
a

b
c
a
b
c
P=
+
+
=
+
+
2a + b + c a + 2b + c a + b + 2c a +1 b +1 c +1
1
1 
 1
= 3 −
+
+
÷.
 a +1 b +1 c +1 

5

1
1 
 1
mà ( a +1 + b +1 + c +1) . 
+
+
÷≥ 9

 a +1 b +1 c +1 
1
1
1
9
9 3
⇒
+
+
≥ ⇒P ≤ 3 − =
a +1 b +1 c +1 4
4 4

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1/3.

Ghi chú: Các cách giải khác đầy đủ và chính xác vẫn cho điểm tối đa.
2
/>
0.5đ
2đ