Đề thi HSG toán 8 huyện phù ninh

phòng giáo dục & đào tạo
huyện phù ninh

Đề thi chọn học sinh năng khiếu lớp 8
Năm học 2010 - 2011
Môn toán
Thời gian làm bài 150 phút không kể thời gian
giao đề
Ngày thi: 20 tháng 4 năm 2011
Đề thi có 01 trang

Bài 1. (3 điểm).
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử :
a) 3x2 7x + 2;
b) a(x2 + 1) x(a2 + 1).
Bài 2. (6 điểm).
2
1
10 x2
x
+
+
Cho biu thc: A = 2
ữ: x 2 + x + 2 ữ
x 4 2 x x + 2

a. Rỳt gn biu thc A.
1
b. Tớnh giỏ tr ca A, bit | x| = .
2
c. Tỡm giỏ tr ca x A < 0.

d. Tỡm cỏc giỏ tr nguyờn ca x A cú giỏ tr nguyờn.
Bài 3. (5 im)
a. Tỡm x, y, z tha món phng trỡnh sau :
9x2 + y2 + 2z2 18x + 4z - 6y + 20 = 0.
b. Cho

a b c
x y z
x2 y 2 z 2
+ + = 1 v + + = 0 . Chng minh rng: 2 + 2 + 2 = 1 .
x y z
a b c
a
b
c

Bài 4. (1 im)
Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc A = a 4 2a 3 + 3a 2 4a + 5 .
Bi 5. (5 im)
Hỡnh thang ABCD (AB // CD) cú hai ng chộo ct nhau ti O. ng thng
qua O v song song vi ỏy AB ct cỏc cnh bờn AD, BC theo th t M v N.
a. Chng minh rng OM = ON.
b. Chng minh rng

1
1
2
+
=
.

AB CD MN

c. Bit SAOB= 20102 (n v din tớch); SCOD= 20112 (n v din tớch). Tớnh SABCD.
--------------- Hết --------------Lu ý: Thí sinh thi môn Toán không đợc sử dụng Máy tính cầm
tay.

/>
1


phòng giáo dục - đào tạo
huyện phù ninh

hớng dẫn chấm bài thi học sinh giỏi huyện
Năm học 2010 - 2011
Môn: toán - lớp 8

Bài 1: (3 điểm)
a. (1,5 3x2 7x + 2 = 3x2 6x x + 2 =
điểm) = 3x(x -2) (x - 2)
= (x - 2)(3x - 1).

0,5
0,5
0,5

b. (1,5 a(x2 + 1) x(a2 + 1) = ax2 + a a2x x =
điểm) = ax(x - a) (x - a) =
= (x - a)(ax - 1).

0,5
0,5
0,5

Bài 2
6 im

2
1
10 x2
x
A
=
+
+
:
x

2
+
Biu thc:
ữ
x2 4 2 x x + 2 ữ
x+2


1
a. Rỳt gn c kq: A =
x 2
1

1
1
b. x = x = hoc x =
2
2
2
4
4
A = hoc A =
3
5
c. A < 0 x > 2
1
Z ... x { 1;3}
d. A Z
x 2

1.5

1.5
1.5
1.5

Bi 3 (5 điểm)

a.
(2,5)

9x2 + y2 + 2z2 18x + 4z - 6y + 20 = 0
(9x2 18x + 9) + (y2 6y + 9) + 2(z2 + 2z + 1) = 0

9(x - 1)2 + (y - 3)2 + 2 (z + 1)2 = 0 (*)
Do : ( x 1)2 0;( y 3) 2 0;( z + 1)2 0
Nờn : (*) x = 1; y = 3; z = -1
Vy (x,y,z) = (1,3,-1).

b.
(2,5)

T :
Ta cú :

a b c
ayz+bxz+cxy
+ + =0
=0
x y z
xyz
ayz + bxz + cxy = 0
x y z
x y z
+ + = 1 ( + + )2 = 1
a b c
a b c

2
/>
1,0
0,5
0,5
0,25

0,25
0,5
0,25
0,5


x2 y 2 z 2
xy xz yz
⇔ 2 + 2 + 2 + 2( + + ) = 1
a
b
c
ab ac bc
2
2
2
x
y
z
cxy + bxz + ayz
⇔ 2 + 2 + 2 +2
=1
a
b
c
abc
x2 y 2 z 2
⇔ 2 + 2 + 2 = 1(dfcm)
a
b

c

Bài 4
(2 điểm)

0,5
0,5
0,25

Biến đổi để có A= a 2 (a 2 + 2) − 2a(a 2 + 2) + (a 2 + 2) + 3
= (a 2 + 2)(a 2 − 2a + 1) + 3 = (a 2 + 2)(a − 1) 2 + 3
Vì a 2 + 2 > 0 ∀a và (a − 1) 2 ≥ 0∀a nên (a 2 + 2)(a − 1) 2 ≥ 0∀a do đó

0,5đ
0,5đ
0,5đ

(a 2 + 2)(a − 1) 2 + 3 ≥ 3∀a

Dấu = xảy ra khi và chỉ khi a − 1 = 0 ⇔ a = 1
KL
B

A

Bài 5 (5 điểm)
M

0,25đ
0,25đ

O

N

D

a, (1,5 điểm)

C

OM OD
ON OC
=
=
,
AB BD
AB AC
OD OC
=
Lập luận để có
DB AC
OM ON
⇒
⇒ OM = ON
=
AB
AB

Lập luận để có

0,5đ
0,5đ
0,5đ

b, (1,5 điểm)
OM DM
OM AM
=
=
(1), xét ∆ADC để có
(2)
AB
AD
DC
AD
1
1
AM + DM AD
+
=
=1
Từ (1) và (2) ⇒ OM.(
)=
AB CD
AD
AD
1
1
) =1

Chứng minh tương tự ON. ( +
AB CD
1
1
1
1
2
)=2 ⇒
+
=
từ đó có (OM + ON). ( +
AB CD
AB CD MN

Xét ∆ABD để có

0,5đ

0,5đ
0,5đ

c, (2 điểm)
S AOB OB S BOC OB
S
S
=
=
⇒ AOB = BOC ⇒ S AOB .S DOC = S BOC .S AOD
,
S AOD OD S DOC OD

S AOD S DOC
Chứng minh được S AOD = S BOC
⇒ S AOB .S DOC = ( S AOD )

2

Thay số để có 20102.20112 = (SAOD)2 ⇒ SAOD = 2010.2011
Do đó SABCD= 20102 + 2.2010.2011 + 20112 = (2010 + 2011)2 = 40212 (đơn vị
DT)
/>
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
3


_________________

4
/>