Đề thi HSG toán 8 huyện phù ninh

PHßNG gd&§T phï ninh
Đề chính thức

§Ò thi chän HäC SINH n¨ng khiÕu líp 8
N¡M HäC 2011 – 2012
Môn: Toán
Thời gian làm bài 150 phút (không kể giao đề)

Bài 1. (4,0 điểm)
Phân tích các đa thức sau đây thành nhân tử:
a. x 2  7 x  6
b. x4 + 2012x2 + 2011x + 2012
Bài 2. (4,0 điểm)
 1  x3

1  x2



x
:
Cho biểu thức A = 
 1  x  x 2  x3
 1 x

a. Rút gọn biểu thức A.
2
b. Tính giá trị của biểu thức A tại x   1 .
3
c. Tìm giá trị của x để A < 0.

Bài 3. (4,0 điểm)
2
2
2
2
2
2
a. Cho  a  b    b  c    c  a   4. a  b  c  ab  ac  bc  .
Chứng minh rằng a b c .
b. Cho x, y, z là các số lớn hơn hoặc bằng 1. Chứng minh rằng:
1
1
2

�
2
2
1 x
1 y
1  xy
Bài 4: (6,0 điểm)
Cho  ABC tam giác đều, gọi M là trung điểm của BC. Một góc xMy = 600 quay
quanh điểm M sao cho 2 cạnh Mx, My luôn cắt cạnh AB và AC lần lượt tại D và E.
Chứng minh:
a. Tam giác BMD đồng dạng với CEM , Từ đó suy ra tích BD.CE không đổi.
b. DM, EM lần lượt là tia phân giác của góc BDE và góc CED.
c. Chu vi  ADE không đổi.
Bài 5. (2,0 điểm):
Tìm số nguyên x sao cho

x  17
là bình phương của một số hữu tỷ.
x9

________________Hết______________
Ghi chú: Thí sinh dự thi môn Toán không được sử dụng máy tính cầm tay.
/>
1


PHßNG gd&§T phï ninh

HD chÊm thi chän HäC SINH n¨ng khiÕu 8
N¡M HäC 2011 – 2012
Môn Toán

Bài 1: (4,0 điểm)
2
2
1. x  7 x  6  x  x  6 x  6  x  x  1  6  x  1   x  1  x  6 
1,5đ
4
2
4
2
2
2. x + 2012x + 2011x + 2012 = x + x + 2011x + 2011x + 2011 + 1
0,5đ
= x4 + x2 + 1 + 2011(x2 + x + 1) = (x2 + 1)2 – x2 + 2011(x2 + x + 1)
1,0đ

= (x2 + x + 1)( x2 – x + 1) + 2011(x2 + x + 1) = (x2 + x + 1)( x2 - x + 2012)
1,0đ
Bài 2 ( 4,0 điểm )
a, ( 2,0 điểm )
Điều kiện: x khác -1 và 1 thì :
0,5đ
1  x3  x  x2
(1  x)(1  x)
:
A=
1 x
(1  x)(1  x  x 2 )  x(1  x)
(1  x)(1  x  x 2  x)
(1  x )(1  x )
:
=
1 x
(1  x)(1  2 x  x 2 )
1
2
= (1  x ) : (1  x)
= (1  x 2 )(1  x)

0,5đ
0,5đ
0,5đ

KL :
b, (1,0 điểm)
2

5
=  thì A =
3
3
25
5
= (1  )(1  )
9
3
34 8 272
2
 . 
10
9 3 27
27

Tại x =  1

5 ��
5 �
�
1  (  ) 2 ��
1  ( ) �
�
3 ��
3 �
�

KL
c, (1,0 điểm)

Với x khác -1 và 1 thì A<0 khi và chỉ khi (1  x 2 )(1  x)  0 (1)
Vì 1  x 2  0 với mọi x nên (1) xảy ra khi và chỉ khi 1  x  0  x  1
KL
Bài 3 (4,0 điểm)
a. Biến đổi đẳng thức để được
a 2  b 2  2ab  b 2  c 2  2bc  c 2  a 2  2ac 4a 2  4b 2  4c 2  4ab  4ac  4bc
Biến đổi để có (a 2  b 2  2ac)  (b 2  c 2  2bc)  (a 2  c 2  2ac) 0
Biến đổi để có (a  b) 2  (b  c) 2  (a  c) 2 0 (*)
Vì (a  b) 2 0 ; (b  c) 2 0 ; (a  c) 2 0 ; với mọi a, b, c
nên (*) xảy ra khi và chỉ khi (a  b) 2 0 ; (b  c) 2 0 và (a  c) 2 0 ;

Từ đó suy ra a = b = c
2
/>
0,25đ
0,25đ
0,5đ

0,25đ
0,5đ
0,25đ
0,5 đ
0,25đ
0,25đ
0,5đ
0,5đ


b.

1
1
2

�
2
2
1 x
1 y
1  xy

(1)

� 1
1 �� 1
1 �
��

�

�
��0
2
2
1 x
1  xy � �
1 y
1  xy �
�
x  y  x

y  x  y
�

�0
 1  x 2   1  xy   1  y 2   1  xy 

 y  x   xy  1
۳
0  2
 1  x 2   1  y 2   1  xy 
+ Vì x �1; y �1 => xy �1 => xy  1 �0
2

=> BĐT (2) đúng => BĐT (1) đúng (dấu ‘’=’’ xảy ra khi x = y)
Bài 4: (6,0 điểm)
+ Vẽ hình đúng.
a, Chứng minh BMD CEM (g-g)
Vì BM = CM =

x
BC
BC 2
(gt) � BD.CE =BM.MC =
(k ®æi)
2
4
D

2,0đ
0,5

y

A

E
1

3.0

2

b, Chứng minh: Từ a,=>BDCE=MD.MB
B
và B = M2 = 600 => BMD MED (c-g-c)
Từ đó suy ra Dˆ 1  Dˆ 2 , do đó DM là tia phân giác của góc BDE
Chứng minh tương tự ta có EM là tia phân giác của góc CED
c, Gọi H, I, K là hình chiếu của M trên AB, DE, AC

1

2 3

M

C

A

1.5

E
D

I
K

H

B

C

M

Chứng minh: Từ tính chất tia phân giác ta có: DH = DI, EI = EK.
Chu vi : PADE = AD+DE+EA =AD+DI+IE+KA
= AD +DH +AE+EK = AH +AK = 2.AH .(không đôỉ)
Kết luận….
Bài 5. (2,0 điểm):

1.0

2

x  17 �a � a 2
Hướng dẫn: Giả sử
= � �= 2 (Với a �N; b�N*)
x9
�b � b

+ Xét: a = 0 => x = 17
+ Xét a �0, không mất tổng quát, giả sử ƯCLN(a,b) = 1 => ƯCLN(a2,b2) = 1
/>
3


Ta có: x -17 = a2k (1)
x - 9 = b2k (2) (k- nguyên).
Từ (1) và (2) => b2k - a2k = 8
(b - a)(b + a)k = 8 (3) ; 8 = 8.1 = 4.2 =.....;
Vì : b + a – (b - a) = 2a ; b + a > b - a
Kết hợp giả thiết ta có bảng sau:
b+a
4
4
2
2

b-a
2
-2
-2
-4

k
1
-1
-2
-1

b
3
1
0, loại
-1, loại

(1,0điểm)

a
1
3

x = b2k + 9
18
8

+/ x = 17 => A = 0 = 02
+/ x = 18 => A =

1
9

+/ x = 8 = > A = 9
Đáp số: x �{17,18,8}

4
/>
(1,0điểm)