Đề đa HSG toán 6 huyện thủy nguyên 2013 2014

UBND HUYỆN THỦY NGUYÊN
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
NĂM HỌC 2013 - 2014

MÔN: TOÁN 6
Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao đề)
Bài 1. (2,25 điểm)
1. Tính giá trị của biểu thức sau một cách hợp lí:
a) A  2  5  8  11  ...  2012  2015

b) B 

1
1
1
1


 ... 
10.9 18.13 26.17
802.405

2. Tìm số nguyên x, biết: 2 + 4 + 6 + 8 + …+ 2x = 156
Bài 2. (2,0 điểm)
1. Người ta viết các số tự nhiên liên tiếp bắt đầu từ 1 đến 2014 liền nhau thành một số tự
nhiên P (P = 12345678910111213….20132014). Hỏi số tự nhiên P có bao nhiêu chữ số.
2. Tìm các chữ số x, y sao cho 1994 xy chia hết cho 72.
Bài 3. (1,75 điểm)
1. Tìm các số tự nhiên x, y sao cho

x 3 1
 
9 y 18

2. Cho n là số nguyên tố lớn hơn 3. Hỏi n2 + 2015 là số nguyên tố hay là hợp số.
Bài 4. (3,0 điểm)
1. Trên tia Ox lấy hai điểm A và B sao cho OA = 2cm, AB = 6cm.
a) Tính khoảng cách giữa trung điểm I của đoạn thẳng OA và trung điểm K của đoạn
thẳng AB.
  1000 và OMA
  2 AMB
 . Tính
b) M là điểm nằm ngoài đường thẳng AB. Biết OMB
3

số đo của AMB

2. Trong mặt phẳng cho 2014 điểm phân biệt, trong đó có đúng 6 điểm thẳng hàng. Hỏi
có thể vẽ được bao nhiêu đường thẳng qua hai điểm trong 2014 điểm đó.
Bài 5. (1,0 điểm)
Tìm các số tự nhiên a, b, c, d nhỏ nhất sao cho:

a 5 b 21 c 6
 ;  ; 
b 14 c 28 d 11

==========Hết========

UBND HUYỆN THỦY NGUYÊN
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HSG
MÔN: TOÁN 6
NĂM HỌC 2013 – 2014

Câu

Đáp án

Điểm

1 a) A  2  5  8  11  ...  2012  2015

A  (2  2015) (2015  2) :3  1 : 2  677712
1
1
1
1


 ... 
10.9 18.13 26.17
802.405
2
2
2
2




 ... 
10.18 18.26 26.34
802.810
1  8
8
8
8

 


 ... 

4  10.18 18.26 26.34
802.810 

0,75

b)B 

1 1 1 1
1
1
1
1
1 
   


 ... 


4  10 18 18 26 26 34
802 810 
1 8
2
  
4 81 81

0,25



Bài 1
(2,25 điểm)

2. Có 2 + 4 + 6 + 8 + …+ 2x = 156

2(1 + 2 + 3+…+ x) = 156

Bài 2
(2,0 điểm)

0,25



1 + 2 + 3 + …+ x = 78



[(x + 1)x] : 2 = 78



x(x + 1) = 156.

0,25

0,25
Vì 156 = 22 . 3 . 13 = 12.13


x = 12
1. Có 9 số có 1 chữ số từ 1 đến 9
Có 90 số có 2 chữ số từ 10 đến 99
Có 900 số có 3 chữ số từ 100 đến 999
Các số có 4 chữ số là từ 1000 đến 2014 có :
2014 - 1000 + 1 = 1015 (số)
Số chữ số của số tự nhiên P là :
9 + 90.2 + 900.3 + 1015.4 = 6949 (chữ số)



0,25

0,25
0,25
0,25

0,25
0,25

2. 1994xy  72.2769  32  xy  72



0,25

mà 72.2769  72 nên 32 + xy  72

0,25

Lại có 32  32  xy  32  99  131 nên 32  xy  72 suy ra xy  40 .

0,25
0,25

Vậy x = 4 và y = 0.


x 3 1
3 x 1 2x  1
 

ta có  
(x, y  N)
9 y 18
y 9 18
18

Suy ra: y(2x - 1) = 54
1. Từ

0,25

do đó y Ư(54) = 1; 2; 3; 6; 9; 18; 27; 54

0,25

vì 54 là số chẵn mà 2x - 1 là số lẻ nên y là ước chẵn của 54.
0,25

Vậy y  2; 6; 1 8 ; 5 4 
Ta có bảng sau:
Bài 3
(1,75 điểm)

y

2

6

18

54

2x - 1

27

9

3

1

2. Vì n là số nguyên tố, n > 3 nên n không chia hết cho 3.
Suy ra n2 chia cho 3 dư 1 hay n2 = 3m + 1 (m  N*)
do đó n2 + 2015 = 3m + 1 + 2015
= 3m + 2016
= 3( m + 672) chia hết cho 3.
2
Vậy n + 2015 là hợp số.

0,25

0,25

0,25
0,25
0,25

Hình vẽ đúng cho phần a)
M

O

Bài 3
(3,0 điểm)

I

A

K

B

x

1a) - Chứng tỏ được A nằm giữa O và B
Tính được IA = 1cm ; AK = 3cm.
- Chứng tỏ được A nằm giữa I và K
Suy ra IK = 4cm.

0,25
0,25
0,25

1b) Chứng tỏ được tia MA nằm giữa hai tia MO và MB

 + AMB
 = OMB

Suy ra OMA

0,25

  2 AMB


Mà OMA

0,25

3

Do đó

2 
  600
AMB  AMB  1000  AMB
3

0,25

2) Nếu 2014 điểm đã cho không có ba điểm nào thẳng hàng thì vẽ được:

2014.2013
 2027091 (đường thẳng)
2

0,5


Với 6 điểm thẳng hàng vẽ được 1 đường thẳng và số đường thẳng giảm đi là

6.5
 1  14 (đường thẳng)
2

Vậy qua 2014 điểm mà có đúng 6 điểm thẳng hàng, vẽ được
2027091 – 14 = 2027077 (đường thẳng)
Có

a 5 b 21 3 c 6
 ; 
 ; 
b 14 c 28 4 d 11

a = 5k, b = 14k với k  N*
b = 3m, c = 4m với m  N*
c = 6n, d = 11nvới n  N*
Do đó 3m = 14k suy ra 3m  14 nên m  14
và 4m = 6n suy ra 2m  3 nên m  3
Để b, c nhỏ nhất thì m nhỏ nhất hay m = BCNN(14 ;3) = 42.
Khi đó b = 126; c = 168; a = 45; d = 308

0,5

0,25
0,25

Suy ra:
Bài 3
(1,0 điểm)

Chú ý: Học sinh làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa.

0,25
0,25

0,25