BG07 phuong trinh duong tron p1

Chương trình TOÁN 10 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

MOON.VN – Học để khẳng định mình

Tài liệu bài giảng (Khóa Toán 10)

BG7. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN (P1)
Thầy Đặng Việt Hùng – www.facebook.com/Lyhung95
VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN

Ví dụ 1: [ĐVH]. Lập phương trình đường tròn biết
a) Tâm I thuộc Ox, đi qua A(3; –1) và B(1; 1).
b) Tâm I thuộc Oy và đi qua A(1; 3), B(5; 1).
c) Tâm I thuộc d: 2x + 2y – 3 = 0 và đi qua A(3; 0), B(1; –2).
Đ/s: a) ( x − 2)2 + y 2 = 2
b) x 2 + ( y + 4) 2 = 50
Ví dụ 2: [ĐVH]. Lập phương trình đường tròn biết
a) Tâm I thuộc Ox, đi qua A(3; 1) và B(0; -2).
b) Tâm I thuộc Oy và đi qua A(–1; 1), B(-3; –1).
c) Tâm I thuộc d: x + y – 1 = 0 và đi qua A(0; -4), B(2; 0).

c) ( x − 2) 2 + ( y + 1) 2 = 2

Đ/s: a) ( x − 1)2 + y 2 = 5
b) x 2 + ( y + 2)2 = 10
Ví dụ 3: [ĐVH]. Lập phương trình đường tròn biết
a) Tâm I thuộc d: 2x + y + 4 = 0 và đi qua A(0; 0), B(2; –1)
b) Tâm I thuộc d: x + y +1 = 0 và đi qua A(1; 5), B(2; –2)

c) ( x − 5)2 + ( y + 4)2 = 25

Đ/s: a) I (−1; −2), R = 5
b) I (−2;1), R = 5
Ví dụ 4: [ĐVH]. Lập phương trình đường tròn đi qua ba điểm
a) A(1; 6), B(4; 0), C(3; 0).
b) A(0; 0), B(2; 6), C(4; 2).
2

7
65

Đ/s: a)  x −  + ( y − 4) 2 =
b) ( x − 1)2 + ( y − 3) 2 = 10
2
4

Ví dụ 5: [ĐVH]. Lập phương trình đường tròn đi qua ba điểm
a) A(1; 3), B(-1; -1), C(2; 0).
b) A(1; 0), B(-3; -2), C(-5; 2).

Đ/s: a) x 2 + ( y − 1)2 = 5

b) ( x + 2)2 + ( y − 1)2 = 10

BÀI TẬP LUYỆN TẬP
Bài 1: [ĐVH]. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đường tròn (Cm ) : ( x − 1)2 + ( y + 3)2 = 4 và đường
thẳng d: x + 2y – 1 = 0. Viết phương trình đường tròn (C') đối xứng với đường tròn (C) qua đường thẳng d.
Lời giải:

Tham gia khóa TOÁN 10 tại MOON.VN : Tự tin chinh phục kì thi Trung học phổ thông Quốc gia!

Chương trình TOÁN 10 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

MOON.VN – Học để khẳng định mình

( C ) : O (1; −3)

và R = 2

Gỉa sử đường thẳng ( ∆ ) là đường thẳng đi qua tâm

O (1; −3) và vuông góc với d: x + 2y – 1 = 0
Do đó, n∆ = ud = ( 2; −1)

⇒ PT ( ∆ ) : 2 ( x − 1) − ( y + 3) = 0 ⇔ 2 x − y − 5 = 0
Tọa độ giao điểm I = d ∩ ( ∆ ) là nghiệm của hệ
phương trình:
x + 2 y −1 = 0
 11 3 
⇒ I  ;− 

 5 5
2 x − y − 5 = 0

Gọi O’ là tâm của đường tròn (C'), khi đó do tính chất đối xứng ta có:
17

 xO ' = 2 xI − xO = 5
 17 9 
⇒ O ' ; 


 5 5
y = 2y − y = 9
O'
I
O

5
2

2

9
 17  
Kết hợp với R = R ' = 2 ⇒ ( C ' ) :  x −  +  y −  = 4
5 
5


Bài 2: [ĐVH]. Cho đường cong (Cm ) : x 2 + y 2 + 4(m − 1) x + 2my − 3m + 1 = 0
Tìm m để
a) (Cm) là phương trình đường tròn?

b) (Cm) là đường tròn có bán kính R = 13.
Lời giải:
a) (Cm ) : x + y + 4(m − 1) x + 2my − 3m + 1 = 0
2

2

(

)

⇔ x 2 + 4 ( m − 1) x + 4. ( m − 1) + ( y 2 + 2my + m2 ) = 3m − 1 + m 2 + 4 ( m − 1)
2

2

⇔ ( x + 2 ( m − 1) ) + ( y + m ) = 5m 2 − 5m + 3
2

2

Để (Cm) là phương trình đường tròn thì 5m 2 − 5m + 3 > 0 ∀m
1 7

Mà 5m 2 − 5m + 3 = 5  m 2 − m +  + > 0 ∀m
4 4

Do đó với ∀m thì ( Cm ) là đường tròn
b) (Cm) là đường tròn có bán kính R = 13.

⇔ 5m2 − 5m + 3 = 13 ⇔ 5m 2 − 5m − 10 = 0
m = 2
⇔ m 2 − m − 2 = 0 ⇔ ( m − 2 )( m + 1) = 0 ⇔ 
 m = −1
Với m = −1 thì ( Cm ) : x 2 + y 2 − 8 x − 2 y + 4 = 0 ⇒ ( x − 4 ) + ( y − 1) = 13
2

2

Với m = 2 thì ( Cm ) : x 2 + y 2 + 4 x + 4 y − 5 = 0 ⇒ ( x + 2 ) + ( y + 2 ) = 13
2

2

Bài 3: [ĐVH]. Cho đường cong (Cm ) : x 2 + y 2 + mx + 2(m − 1) y + 1 − 3m = 0
Tham gia khóa TOÁN 10 tại MOON.VN : Tự tin chinh phục kì thi Trung học phổ thông Quốc gia!


Chương trình TOÁN 10 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

MOON.VN – Học để khẳng định mình

Tìm m để
a) (Cm) là phương trình đường tròn?
b) (Cm) là đường tròn có bán kính R =

33
.
2

Lời giải:
a) (Cm ) : x + y + mx + 2(m − 1) y + 1 − 3m = 0
2

2

(

)


m2 
m2
2
2
2
y
m
y
m
m
⇔  x 2 + mx +
+
+
2
−
1
+
−
1
=
3
−
1
+
+ ( m − 1)
(

)
(
)

4 
4

2

m
5m 2
2

⇔  x +  + ( y + m − 1) =
+m
2
4

m > 0
5m 2
Để (Cm) là phương trình đường tròn thì
+ m > 0 ⇔ m ( 5m + 4 ) > 0 ⇔ 
4
m < −
4
5

b) (Cm) là đường tròn có bán kính R =

33

.
2

 m = −3
5m 2
2
2
⇔
+ m = R ⇔ 5m + 4m − 33 = 0 ⇔ ( m + 3)( 5m − 11) = 0 ⇔ 
11
m =
4
5

2

3
33
2

Với m = −3 thì (Cm) : x 2 + y 2 − 3 x − 8 y + 10 = 0 ⇔  x −  + ( y − 4 ) =
2
4

2

2

11
11 12

28
11  
6  33

Với m =
thì (Cm) : x 2 + y 2 + x − y −
= 0⇔ x+  + y+  =
5
5
5
5
10  
5
4


Bài 4: [ĐVH]. Cho đường tròn (C): x2 + y2 – 2x – 4y + 3 = 0. Lập phương trình đường tròn (C') đối xứng với
đường tròn (C) qua đường thẳng (d): x + 2 = 0.
Lời giải:

( C ) : x 2 + y 2 − 2 x − 4 y + 3 = 0 ⇒ ( x − 1) + ( y − 2 ) = 1
⇒ ( C ) : O (1; 2 ) và R = 1
Gỉa sử đường thẳng ( ∆ ) là đường thẳng đi qua tâm
O (1; 2 ) và vuông góc với d: x + 2 = 0
Do đó, n∆ = ud = ( 0; −1)
⇒ PT ( ∆ ) : 0 ( x − 1) − ( y − 2 ) = 0 ⇔ y − 2 = 0
2

Tọa độ giao điểm I = d ∩ ( ∆ ) là nghiệm của hệ phương trình:

x + 2 = 0
⇒ I ( −2; 2 )

y − 2 = 0
Gọi O’ là tâm của đường tròn (C'), khi đó do tính chất đối xứng ta có:
 xO ' = 2 xI − xO = −5
⇒ O ' ( −5; 2 )

 yO ' = 2 yI − yO = 2
Tham gia khóa TOÁN 10 tại MOON.VN : Tự tin chinh phục kì thi Trung học phổ thông Quốc gia!

2


Chương trình TOÁN 10 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

MOON.VN – Học để khẳng định mình

Kết hợp với R = R ' = 1 ⇒ ( C ' ) : ( x + 5 ) + ( y − 2 ) = 1
2

2

Bài 5: [ĐVH]. Lập phương trình đường tròn nội tiếp tam giác ABC biết phương trình 3 cạnh của tam giác là
x + 2 y − 7 = 0; x − 2 y − 3 = 0; 2 x − y + 1 = 0
Lời giải:
Không mất tính tổng quát giả sử AB : x + 2 y − 7 = 0; AC : x − 2 y − 3 = 0; BC : 2 x − y + 1 = 0.
Gọi K là tâm và r là bán kính đường tròn nội tiếp ∆ABC.
x + 2 y − 7 = 0
x = 5

Tọa độ của A là nghiệm của hệ 
⇔
⇒ A ( 5;1) .
x − 2 y − 3 = 0
y =1
5

x
=
−

x − 2 y − 3 = 0
 5 7
3
⇔
⇒ B  − ; − .
Tọa độ của B là nghiệm của hệ 
 3 3
2 x − y + 1 = 0
y = − 7

3
2x − y + 1 = 0
x = 1
⇔
⇒ C (1;3) .
Tọa độ của C là nghiệm của hệ 
x + 2 y − 7 = 0
y = 3
PT đường phân giác của góc tạo bởi AB và AC là

 d1 : y − 1 = 0
x + 2y − 7 = x − 2y − 3
4 y = 4
x + 2y − 7
x − 2y −3
=±
⇔
⇔
⇔
2
 x + 2 y − 7 = − x + 2 y + 3  2 x = 10
d2 : x − 5 = 0
12 + 22
12 + ( −2 )
Thay tọa độ điểm B, C vào d1 ta được

7
10
10
f B = yB − 1 = − − 1 = − ; fC = yC − 1 = 3 − 1 = 2 ⇒ f B . fC = − .2 < 0
3
3
3
⇒ B, C khác phía so với d1 ⇒ d1 là phân giác trong của BAC.
PT đường phân giác của góc tạo bởi BA và BC là
 d3 : x − 3 y + 8 = 0
 x + 2 y − 7 = 2x − y +1
x + 2y − 7
2x − y +1
=±

⇔
⇔
2
 x + 2 y − 7 = −2 x + y − 1  d 4 : 3 x + y − 6 = 0
12 + 22
22 + ( −1)
Thay tọa độ điểm A, C vào d3 ta được
g A = x A − 2 y A + 8 = 5 − 2.1 + 8 = 11; gC = xC − 2 yC + 8 = 1 − 2.3 + 8 = 3 ⇒ g A .gC = 11.3 > 0
⇒ A, C cùng phía so với d3 ⇒ d 4 là phân giác trong của ABC.

5
+ 2.1 − 7
y =1
y
−
1
=
0

2 5

3
5 
⇔
=
.
Tọa độ của K là nghiệm của hệ 
5 ⇒ K  ;1 ⇒ r = d ( K ; AB ) =
2
2

3
3 
3x + y − 6 = 0
1 +2
 x = 3
2

2
2 5
5
20
2

Vậy (T ) :  x −  + ( y − 1) = 
 = .
3
9

 3 

Bài 6: [ĐVH]. Lập phương trình đường tròn nội tiếp tam giác OAB với A(−8; 0), B ( 0; 6 )
Lời giải:
Gọi K là tâm và r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác OAB.
Do A ( −8; 0 ) , B ( 0; 6 ) ⇒ OK : x + y = 0 ⇒ K ( t ; −t ) .
AB nhận AB = ( 8; 6 ) làm VTCP nên nhận a = ( 3; −4 ) làm VTPT. Kết hợp với AB qua A ( −8; 0 )

⇒ AB : 3 ( x + 8 ) − 4 ( y − 0 ) = 0 ⇒ AB : 3x − 4 y + 24 = 0.
Tham gia khóa TOÁN 10 tại MOON.VN : Tự tin chinh phục kì thi Trung học phổ thông Quốc gia!

Chương trình TOÁN 10 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Có d ( K ; AB ) =

3t + 4t + 24
32 + ( − 4 )

2

=

MOON.VN – Học để khẳng định mình

7t + 24
; d ( K ; Ox ) = −t = t
5

7t + 24 = 5t
t = −12
= t ⇔
⇔
5
7t + 24 = −5t
t = −2
+) Với t = −12 ⇒ K ( −12;12 ) ⇒ d ( K ; Oy ) = 12 > 8 = OA ⇒ K ở ngoài tam giác ABC ⇒ Loại.
d ( K ; AB ) = d ( K ; Ox ) ⇒

7t + 24

+) Với t = −2 ⇒ K ( −2; 2 ) ⇒ r = d ( K ; Ox ) = 2.

Vậy (T ) : ( x + 2 ) + ( y − 2 ) = 4.
2

2

1 
Bài 7: [ĐVH]. Lập phương trình đường tròn nội tiếp tam giác ABC với A(−2;3), B  ; 0  , C (2;0)
4 
Lời giải:
2

15
7
2
9

9
7 
Có AB  ; −3  ⇒ AB =   + ( −3) = ; AC ( 4;3) ⇒ AC = 42 + 32 = 5; BC  ;0  ⇒ BC = .
4
4
4

4
4 
Gọi AD là tia phân giác trong của BAC ( D ∈ BC ) .

15
3
3

AB DB 4 3
=
=
= ⇒ BD = BC ⇒ BD = BC
7
7
AC DC 5 4
1 3

 xD = 1
1

 3  7   3   xD − =
⇒  xD − ; yD  = .  ;0  =  ;0  ⇒ 
⇒ D (1; 0 ) ⇒ AD ( 3; −3) .
4 4⇒
4

 7  4   4  y = 0
 yD = 0
 D
15
+5
AK AB AC AB + AC AB + AC 4
=
=
=
=
=
= 5 ⇒ AD = 6 KD ⇒ AD = 6 KD

7
KD BD CD BD + CD
BC
4
1

xK =

6 (1 − xK ) = 3 
1 1
2
⇒ ( 3; −3) = 6 (1 − xK ; − yK ) ⇒ 
⇒
⇒K ; 
2 2
−6 yK = −3
y = 1
K

2
1
1 
B  ; 0  , C ( 2; 0 ) ⇒ BC : y = 0 ⇒ r = d ( K ; BC ) = .
2
4 
2

2

2

1 
1 1 1

Vậy (T ) :  x −  +  y −  =   = .
2 
2 2
4


Bài 8: [ĐVH]. Cho các đường thẳng d1 : 4 x − 3 y − 12 = 0; d 2 : 4 x + 3 y − 12 = 0. Tìm tâm và bán kính đường
tròn nội tiếp tam giác có 3 cạnh là d1; d2 và trục Oy.
Lời giải:
Gọi J ( a; b ) là tâm và r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC.
d ( J ; Oy ) = a ; d ( J ; d1 ) =

4a − 3b − 12
4 2 + ( −3 )

2

=

4a − 3b − 12
5

; d ( J ; d2 ) =

4a + 3b − 12
4 +3

2

2

=

4a + 3b − 12
5

Tham gia khóa TOÁN 10 tại MOON.VN : Tự tin chinh phục kì thi Trung học phổ thông Quốc gia!


Chương trình TOÁN 10 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

MOON.VN – Học để khẳng định mình

4a + 3b − 12
5
 4a + 3b − 12 = 5a
 a − 3b + 12 = 0
 a − 3b + 12 = 0
⇔ 4a + 3b − 12 = 5 a ⇔ 
⇔
⇔
 4a + 3b − 12 = −5a
9a + 3b − 12 = 0
3a + b − 4 = 0

d ( J ; Oy ) = d ( J ; d1 ) ⇒ a =

d ( J ; d1 ) = d ( J ; d 2 ) ⇒

4a − 3b − 12
5

=

4a + 3b − 12

5
 4a − 3b − 12 = 4a + 3b − 12
b = 0
⇔ 4a − 3b − 12 = 4a + 3b − 12 ⇔ 
⇔
 4a − 3b − 12 = −4a − 3b + 12
a = 3

•

b = 0
b = 0
 4 


  a = −12  J  ;0 
⇒ 3 
  a − 3b + 12 = 0 ⇔  
 3a + b − 4 = 0
a = 4
 J ( −12; 0 )


 
3

•

a = 3
a = 3
 J ( 3;5 )


  a − 3b + 12 = 0 ⇔  b = 5 ⇒ 


 J ( 3; −5 )
 3a + b − 4 = 0
 b = −5

4
4 
Kiểm tra ta thấy chỉ có J  ;0  là thỏa mãn. Khi đó r = d ( J ; Oy ) = .
3
3 

Tham gia khóa TOÁN 10 tại MOON.VN : Tự tin chinh phục kì thi Trung học phổ thông Quốc gia!