BG10 phuong trinh duong tron p4

Chương trình TOÁN 10 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

MOON.VN – Học để khẳng định mình

Tài liệu bài giảng (Khóa Toán 10)

BG10. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN (P4)
Thầy Đặng Việt Hùng – www.facebook.com/Lyhung95
VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN

Ví dụ 1: [ĐVH]. Xét vị trí tương đối của hai đường tròn
2
2
(C1 ) : x + ( y + 1) = 4
a) 
2
2
(C2 ) : x + y − 2 x − 4 y + 1 = 0

2
2
(C1 ) : ( x + 1) + y = 9
b) 
2
2
(C2 ) : ( x − 3) + ( y − 1) = 4

(C1 ) : ( x − 1) 2 + ( y − 2) 2 = 4
Ví dụ 2: [ĐVH]. Chứng minh rằng hai đường tròn 
tiếp xúc ngoài với nhau.
2

2
(C2 ) : ( x − 4) + ( y + 2) = 9
2

1

Ví dụ 3: [ĐVH]. Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn (C ) : ( x − 1)2 +  y −  = 1 và điểm A(1; 0); B(0; 2).
2


Đường tròn đường kính AB cắt đường tròn (C) tại hai điểm P, Q. Lập phương trình đường thẳng PQ.
(C1 ) : x 2 + y 2 − 2 x + 4 y − 4 = 0
Ví dụ 4: [ĐVH]. Cho hai đường tròn 
2
2
(C2 ) : x + y + 2 x − 2 y − 14 = 0
a) Chứng minh rằng hai đường tròn (C1) và (C2) cắt nhau.
b) Viết phương trình đường tròn qua giao điểm của (C1) và (C2) và qua điểm M(0; 1).
Ví dụ 5: [ĐVH]. Trên mặt phẳng hệ tọa độ Oxy cho các điểm A(1; 0); B(0; 2); O(0; 0) và đường tròn
2

1

(C ) : ( x − 1) +  y −  = 1 . Viết phương trình đường thẳng đi qua các giao điểm của đường thẳng (C) và
2

2

đường tròn ngoại tiếp ∆OAB.
(C1 ) : x 2 + y 2 = 9

Ví dụ 6: [ĐVH]. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho 2 đường tròn 
.
2
2
(C2 ) : x + y − 2 x − 2 y − 23 = 0

Viết phương trình trục đẳng phương d của 2 đường tròn (C1) và (C2). Chứng minh rằng nếu K thuộc d thì
khoảng cách từ K đến tâm của (C1) nhỏ hơn khoảng cách từ K đến tâm của (C2).

Ví dụ 7: [ĐVH]. Cho họ đường tròn (C ) : x 2 + y 2 = 1 và (C ') : x 2 + y 2 − 2(m + 1) x + 4my − 5 = 0.
Tìm m để hai đường tròn tiếp xúc với nhau

Đ/s : m = −1; m =

3
5

Ví dụ 8: [ĐVH]. Cho họ đường tròn (C ') : x 2 + y 2 − 4mx − 2my +

9m 2
1
− m − = 0.
2
2

Tìm m để (Cm) tiếp xúc với đường tròn (C ) : x2 + y 2 − 6 x + 7 = 0.

Đ/s : m = 3; m =

1

3

Tham gia khóa TOÁN 10 tại MOON.VN : Tự tin chinh phục kì thi Trung học phổ thông Quốc gia!


Chương trình TOÁN 10 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

MOON.VN – Học để khẳng định mình

BÀI TẬP LUYỆN TẬP
Bài 1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C ) : x 2 + y 2 − 12 x − 4 y + 36 = 0. Viết phương
trình đường tròn (C1) tiếp xúc với hai trục tọa độ Ox, Oy đồng thời tiếp xúc ngoài với đường tròn (C).

Lời giải.
Đường tròn (C) đã cho có tâm I ( 6; 2 ) , R = 2 < d ( I ;Ox ) < d ( I ; Oy ) nên (C) nằm trong góc phần tư thứ nhất
của hệ trục tọa độ. Đường tròn (C1) tiếp xúc với hai trục tọa độ và tiếp xúc ngoài với C nên có tâm dạng

I1 ( a; a ) ∨ I1 ( a; −a ) , a > 0 , bán kính r = a .
Xét điều kiện tiếp xúc

•

Với I1 ( a; a )

II1 = r + R ⇔ a + 2 =

( 6 − a )2 + ( 2 − a )2

⇔ a 2 + 4a + 4 = 2a 2 − 16a + 40

( C1 ) : ( x − 2 ) 2 + ( y − 2 )2 = 4
⇔ a − 20a + 36 = 0 ⇔ a ∈ {2;18} ⇒ 
( C1 ) : ( x − 18 )2 + ( y − 18 )2 = 324

2

•

Với I1 ( a; −a ) , a > 0
II1 = r + R ⇔ a + 2 =

( 6 − a )2 + ( 2 + a )2

⇔ a 2 + 4a + 4 = 2a 2 − 8a + 40

⇔ a 2 − 12a + 36 = 0 ⇔ ( a − 6 ) = 0 ⇔ a = 6 ⇒ ( C1 ) : ( x − 6 ) + ( y + 6 ) = 36
2

2

2

Vậy có ba đường tròn cần lập như trên.

(C1 ) : x 2 + y 2 = 8
Bài 2. Trong mặt phẳng Oxy cho 2 đường tròn 
2
2
(C2 ) : x + y − 4 x = 0
a) Chứng minh rằng hai đường tròn cắt nhau tại hai điểm phân biệt A; B.

b) Viết phương trình đường tròn qua A, B và tiếp xúc với đường thẳng d: x – 2y + 4 = 0.
Lời giải.
a) Hai đường tròn đã cho có tâm và bán kính lần lượt: I1 ( 0; 0 ) , R1 = 2 2 và I 2 ( 2; 0 ) , R2 = 2 .
Dễ thấy I1I 2 = 2 < R1 + R2 nên hai đường tròn cắt nhau tại hai điểm phân biệt A và B.

 x 2 + y 2 = 8
 y 2 = 8 − x2
 y2 = 4
Tọa độ hai điểm A và B thỏa mãn 
⇔
⇔
⇒ A ( 2; 2 ) , B ( 2; −2 ) .


2
2
 x + y − 4 x = 0
4 x = 8
x = 2
b) Trung điểm M của AB là M ( 2; 0 ) nên phương trình trung trực AB: y = 0 , suy ra tâm K ( t ; 0 ) .
Điều kiện tiếp xúc
d ( K ; ∆ ) = r = KA ⇔

t+4
5

=

( t − 2 )2 + 4 ⇔ t 2 + 8t + 16 = 5 ( t 2 − 4t + 8 )

( x − 1)2 + y 2 = 5
⇔ 4t − 28t + 24 = 0 ⇔ t ∈ {1;6} ⇒ 
( x − 6 )2 + y 2 = 20

2

Tham gia khóa TOÁN 10 tại MOON.VN : Tự tin chinh phục kì thi Trung học phổ thông Quốc gia!


Chương trình TOÁN 10 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

MOON.VN – Học để khẳng định mình

Bài 3. Cho đường tròn (C ) : ( x − 2) 2 + ( y − 1) 2 = 9 và điểm A(4; 7).
a) Lập phương trình đường tròn (C') tiếp xúc với (C) biết (C') đi qua điểm A.
b) Trong trường hợp (C') tiếp xúc ngoài (C) hãy tìm trên (C) điểm M, trên (C') điểm N sao cho tam giác
IMN có diện tích lớn nhất (với I là tâm của đường tròn (C)).
Lời giải.
a) Đường tròn (C) có tâm I ( 2;1) , R = 3 .

Bài 4. Cho đường tròn (C ) : x 2 + y 2 + 4 3 x − 4 = 0 . A là giao điểm của đường tròn và tia Oy. Lập phương
trình đường tròn (C') có bán kính bằng 2 tiếp xúc ngoài với (C) tại điểm A.

Lời giải.

(

)

(C) có tâm I −2 3;0 , R = 4 .

 x 2 + y 2 + 4 3 x − 4 = 0
 y2 = 4
Tọa độ giao điểm A thỏa mãn 
⇔
⇔ ( x; y ) = ( 0; 2 ) ⇒ A ( 0; 2 ) .
 x = 0; y > 0
 x = 0; y > 0
Tâm J của (C') thuộc đường thẳng IJ : x = 3 y − 2 3 nên J

(

)

3 y − 2 3; y .

y = 3
2
2
Ta có JA = r = 3 ( y − 2 ) + ( y − 2 ) = 2 ⇔ 2 y − 2 = 2 ⇔ 
y = 0

(

Trường hợp y = 0 thì (C) và (C') trùng nhau, suy ra (C'): x − 3

)

2

+ ( y − 3) = 4 .
2

Bài 5. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C ) : ( x + 1) 2 + ( y − 1) 2 = 5 . Đường tròn (C') tâm
J(3; 5) cắt (C) tại các điểm A, B sao cho AB = 2 . Viết phương trình đường thẳng AB.

Lời giải.
Đường tròn (C) có tâm I ( −1;1) , R = 5 , suy ra IJ = 32 . Gọi H là giao điểm của AB và IJ ta có
HA = HB =

2
3 2
5 2
⇒ IH = IA2 − AH 2 =
⇒ JH =
⇒ JA = 13 .
2
2
2

Phương trình đường thẳng AB thỏa mãn

( x − 3 )2 + ( y − 5 ) 2 = 13  x 2 − 6 x + y 2 − 10 y + 21 = 0


⇔ 2
⇒ 8 x + 8 y − 24 = 0 ⇔ x + y − 3 = 0 .

2
2

2
 x + 2 x + y − 2 y − 3 = 0
( x + 1) + ( y − 1) = 5
Kết luận phương trình đường thẳng AB là x + y − 3 = 0 .

Bài 6. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C ) : x 2 + y 2 = 1 . Đường tròn (C') tâm J(2; 2) cắt
(C) tại các điểm A, B sao cho AB = 2 . Viết phương trình đường thẳng AB.

Lời giải.
Đường tròn (C) có tâm I ( 0;0 ) , R = 1 , suy ra JI = 2 2 . Gọi H là giao điểm của AB và IJ ta có
Tham gia khóa TOÁN 10 tại MOON.VN : Tự tin chinh phục kì thi Trung học phổ thông Quốc gia!


Chương trình TOÁN 10 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

HA = HB =

MOON.VN – Học để khẳng định mình

2
2
3 2
⇒ IH = IA2 − AH 2 =
⇒ JH =
⇒ JA = 5 .
2
2
2

Phương trình đường thẳng AB thỏa mãn

2
2
 x 2 + y 2 = 1
 x + y = 1
⇒ 2
⇒ ( AB ) : x + y − 1 = 0 .

2
2
2
( x − 2 ) + ( y − 2 ) = 5  x − 4 x + y − 4 y + 3 = 0

Bài 7. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C ) : x 2 + y 2 − 2 x + 4 y + 2 = 0 . Viết phương trình
đường tròn (C') có tâm M(5; 1) và (C') cắt (C) tại các điểm A, B sao cho AB = 5 .
Lời giải.
Đường tròn (C) có tâm I (1; −2 ) , R = 3 , suy ra MI = 5 . Gọi H là giao điểm của AB và IJ ta có
HA = HB =

5
7
10 − 7
⇒ IH = IA2 − AH 2 =
⇒ JH =
⇒ JA = 28 − 5 7 .
2
2
2

 x 2 + y 2 + 2 x − 4 y + 2 = 0
Phương trình đường thẳng AB thỏa mãn 

⇒ ( AB ) :12 x − 2 y + 30 − 5 7 = 0 .
2
2
( x − 5 ) + ( y − 1) = 28 − 5 7
(C ) : x 2 + ( y − 1) 2 = 5
Bài 8. Cho các đường tròn 
.
2
2
(Cm ) : x + y + 2(m + 1) x + 2my + 3 − 4m = 0
1 
Tìm m để hai đường tròn cắt nhau tại A, B sao cho AB đi qua N  ;0  .
2 
Lời giải.
Phương trình đường thẳng AB thỏa mãn

 x 2 + y 2 − 2 y − 4 = 0
⇒ 2 ( m + 1) x + ( 2m + 2 ) y − 4m + 7 = 0, ( ∆ ) .
 2
2
 x + y + 2(m + 1) x + 2my + 3 − 4m = 0
8
1 
Ta có N  ;0  ∈ ( ∆ ) ⇔ m + 1 − 4m + 7 = 0 ⇔ m = .
3
2 

Bài 9. Cho đường tròn (C ) : ( x − 1) 2 + y 2 = 10 và đường thẳng d: 2x – y + 3 = 0.
Tìm điểm M trên d để đường tròn đường kính MI cắt (C) tại A, B sao cho N(1; 1) thuộc AB.

Lời giải.
Đường tròn đã cho có tâm I (1; 0 ) và bán kính R = 10 .

5m 2 + 10m + 10
 m + 1 2m + 3 
Gọi K là trung điểm IM thì M ( m; 2m + 3) ⇒ K 
;
.
 ⇒ KI =
2 
2
 2
2

2

m +1  
2m + 3 
5m 2 + 10m + 10

y
Phương trình đường tròn đường kính MI:  x −
+
−
=
.
 

2  
2 

4


Đường thẳng AB thỏa mãn

Tham gia khóa TOÁN 10 tại MOON.VN : Tự tin chinh phục kì thi Trung học phổ thông Quốc gia!


Chương trình TOÁN 10 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

MOON.VN – Học để khẳng định mình

2
2
2
2


m +1  
2m + 3 
5m 2 + 10m + 10
m +1 
2m + 3 
5m 2 + 10m + 10
x
−
+
y
−
=


 x−
 

 + y−
 =
2  
2 
4
⇔ 
⇔ 
2  
2 
4

2

2
2
2
x + y − 2x = 9
( x − 1) + y = 10
2

2

5m 2 + 10m + 10
 m + 1   2m + 3 
+
−

m
+
1
x
−
2
m
+
3
y
−
+ 2x + 9 = 0
⇒
(
)
(
)
 

4
 2   2 
⇔ (1 − m ) x − ( 2m + 3) y + m + 9 = 0 ( AB )
N (1;1) ∈ ( AB ) ⇔ 1 − m − 2m − 3 + m + 9 = 0 ⇔ m =

7
7

⇒ M  ;10 
2
2



Bài 10. Cho đường tròn (C ) : x 2 + ( y − 1) 2 = 10 và đường thẳng d: x + y – 1 = 0.
Tìm điểm M trên d để đường tròn đường kính MI cắt (C) tại A, B sao cho N(1; 1) thuộc AB.

Lời giải.
Đường tròn (C) đã cho có tâm I ( 0;1) , R = 10 .

m2
 m 2−m
Gọi K là trung điểm IM thì M ( m;1 − m ) ⇒ K  ;
.
 ⇒ KI =
2 
2
2
2

2

m 
2−m
m2

Phương trình đường tròn đường kính MI:  x −  +  y −
.
 =
2 
2 
2



Đường thẳng AB thỏa mãn
2
2

m 
2−m
m2
x
−
+
y
−
=

2 m 2 − 4m + 4 m 2
 

2 
2 
2 ⇒ −mx − ( 2 − m ) y +
−
+ 2y + 9 = 0

4
2
 2
2
 x + ( y − 1) = 10

⇔ − mx + my − m + 10 = 0
( AB )
N (1;1) ∈ ( AB ) ⇔ −1 + 1 − m + 10 = 0 ⇔ m = 10 ⇒ M (10; −9 )

Tham gia khóa TOÁN 10 tại MOON.VN : Tự tin chinh phục kì thi Trung học phổ thông Quốc gia!