03 duong thang vuong goc voi mp p2 BG

Khóa học TOÁN 11 – Thầy Đặng Việt Hùng

Chuyên đề : Quan hệ vuông góc

Tài liệu bài giảng (Khóa Toán 11)

ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MP (P2)
Thầy Đặng Việt Hùng – www.facebook.com/Lyhung95
VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN
DẠNG 2. XÁC ĐỊNH GÓC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG

1) Khái niệm
Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là góc giữa đường thẳng đó và hình chiếu vuông góc của nó xuống mặt phẳng.
2) Cách xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
Giả sử cần xác định góc giữa hai mặt phẳng d1 và d2, ta thực hiện theo các bước sau
- Tìm hình chiếu d′ của d lên (P)
- khi đó, ( d ,( P ) ) = ( d , d ′ ) , và bài toán quay về tìm
góc giữa hai đường thẳng.
Chú ý:
Thông thường đường thẳng d cho dạng đoạn thẳng
(MN chẳng hạn), khi đó để tìm hình chiếu của MN ta
tìm hình chiếu của từng điểm M và N xuống (P), tức
là tìm các điểm H, K sao cho MH ⊥ (P), NK ⊥ (P)

Bài 1. [ĐVH]: Cho hình vuông ABCD và tam giác đều SAB cạnh a nằm trong 2 mặt phẳng vuông góc. Gọi I
là trung điểm của AB.
a) Chứng minh SI ⊥ (ABCD) và tính góc hợp bởi SC với (ABCD).
b) Tính khoảng cách từ B đến (SAD). Từ đó suy ra góc của SC với (SAD).
c) Gọi J là trung điểm CD, chứng minh (SIJ) ⊥ (ABCD).
d) Tính góc hợp bởi SI với (SDC).
Bài 2. [ĐVH]: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, tâm O. Gọi M, N lần lượt là trung

điểm SA và BC. Biết góc giữa MN và mặt phẳng (ABCD) là 600.
a) Tính độ dài đoạn MN.
b) Tính cosin của góc giữa MN và mặt phẳng (SBD).
Bài 3. [ĐVH]: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA = a 6 và vuông góc với đáy. Tính
góc giữa
a) SC với (ABCD).
b) SC với (SAB).
c) SB với (SAC).
Đ/s:

a) 300

b) tan α =

7
.
7

c) sin α =

14
.
14

Tham gia khóa học TOÁN 11 tại MOON.VN: Tự tin hướng đến kì thi THPT Quốc gia !


Khóa học TOÁN 11 – Thầy Đặng Việt Hùng

Chuyên đề : Quan hệ vuông góc

Bài 4. [ĐVH]: Cho lăng trụ xiên ABC.A′B′C′ đáy là tam giác đều cạnh a; đỉnh A′ cách đều A; B; C; góc giữa
AA′ và (ABC) là 600
a) Xác định và tính đường cao của lăng trụ trên.
b) Xác định và tính góc giữa A′A với (ABC).
Bài 5. [ĐVH]: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại C, SA vuông (ABC) tại A; SA = AC =
a ; AB = 2a. Xác định và tính góc giữa các cặp đường thẳng và mặt phẳng sau
a) SA; SC ; SB với (ABC).
b) BC; BA; BS với (SAC).
c) CH; CA; CB; CS với (SAB) với CH là đường cao tam giác ABC.
d) Biết AK là đường cao tam giác SAC xác định và tính góc giữa AK; AS; AC với (SBC).
Bài 6. [ĐVH]: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, hình chiếu vuông góc của S
xuống mặt phẳng (ABCD) là trọng tâm G của tam giác ABD, cho SG = 2a. Tính góc giữa
a) SA và BD.

b) SC và (ABCD)

c) AD và (SAC)

d) SD và (ABCD)

Bài 7. [ĐVH]: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A, B với AB = BC = a, AD =
2a. Cạnh SA vuông góc với đáy, SA = a 2. Tính góc giữa
a) SC và (SAB)

b) SD và (SAC)

c) AC và (SAD)

LỜI GIẢI BÀI TẬP LUYỆN TẬP:

Bài 1. [ĐVH]: Cho hình vuông ABCD và tam giác đều SAB cạnh a nằm trong 2 mặt phẳng vuông góc. Gọi I
là trung điểm của AB.
a) Chứng minh SI ⊥ (ABCD) và tính góc hợp bởi SC với (ABCD).
b) Tính khoảng cách từ B đến (SAD). Từ đó suy ra góc của SC với (SAD).
c) Gọi J là trung điểm CD, chứng minh (SIJ) ⊥ (ABCD).
d) Tính góc hợp bởi SI với (SDC).
Lời giải:

Tham gia khóa học TOÁN 11 tại MOON.VN: Tự tin hướng đến kì thi THPT Quốc gia !


Khóa học TOÁN 11 – Thầy Đặng Việt Hùng

Chuyên đề : Quan hệ vuông góc

SI ⊂ (SAB)

a) Sử dụng tính chất của hai mặt phẳng vuông góc ta có: (SAB) ∩ (ABCD) = AB 
→ SI ⊥ (ABCD)
SI ⊥ AB

Khi đó, I là hình chiếu vuông góc của S lên (ABCD) ⇒ SC có hình chiếu lên (ABCD) là IC.
Suy ra, ( SC,(ABCD) ) = ( SC, IC ) = SCI , (do ∆SIC vuông tại I nên góc SCI là góc nhọn).
SI là đường cao của tam giác đều SAB nên SI =

a 3
.
2

a 3

a2
a 5
SI
15
2
Trong tam giác vuông IBC: IC = IB + BC =
+a =
⇒ tan SCI =
= 2 =
4
2
CI a 5
5
2
 15 
Vậy ( SC,(ABCD) ) = SCI = arctan 
 .
 5 
2

2

b) Giả sử ta dựng được BH ⊥ (SAD) ⇒ BH ⊥ AD, (1)
Ta sẽ chứng minh được điểm H chính là trung điểm của SA.
Thật vậy, do SI ⊥ (ABCD) ⇒ SI ⊥ AD. Mà AD ⊥ AB ⇒ AD ⊥ (SAB), (2)
 AD ⊥ BH
Từ (1) và (2) ta được 
⇒ BH ⊂ (SAB) ⇒ BH ⊥ SA , vậy H là trung điểm của SA (do ∆SAB đều)
 AD ⊥ (SAB)
BH ⊥ (SAD) ⇒ BH chính là khoảng cách từ điểm B đến (SAD).

a 3
a 3
⇒ h ( B;(SAD) ) =
Do BH là trung tuyến của tam giác đều cạnh a, nên BH =
2
2
Để xác định góc giữa SC và (SAD) ta cần xác định hình chiếu vuông góc của SC lên (SAD).
Do S ∈ (SAD) nên hình chiếu của S là chính nó. Ta cần xác định hình chiếu của C lên (SAD).
Theo trên, BH ⊥ (SAD) nên ta chỉ cần dựng CK // BH thì CK ⊥ (SAD), hay K là hình chiếu vuông góc của C lên
(SAD).
Ta kẻ Sx // AD để mở rộng (SAD) thành (Sx, AD). Trong (Sx, AD) dựng Hy // Sx // AD.
Trong (Hy, BC) ta dựng CK // BH, khi đó CK CK ⊥ (SAD) ⇒ SK là hình chiếu vuông góc của SC lên (SAD).
Từ đó ta được ( SC,(SAD) ) = ( SC,SK ) = CSK , (do ∆SCK vuông tại K nên góc CSK là góc nhọn).
a 3
.
2
Theo (2), AD ⊥ (SAB) ⇒ AD ⊥ SA ⇒ HK ⊥ SA.
Ta có CK = BH =

a 3
a
a 5
CK
15
Trong tam giác vuông SHK: SK = SH 2 + HK 2 =
+ a2 =
⇒ tan CSK =
= 2 =
4
2

SK a 5
5
2
 15 
Vậy ( SC,(SAD) ) = CSK = arctan 

 5 
c) Theo a, SI ⊥ (ABCD), mà SI ⊂ (SIJ) ⇒ (SIJ) ⊥ (ABCD).
d) Do S ∈ (SCD) nên hình chiếu của S lên (SCD) là chính nó. Ta chỉ cần xác định hình chiếu vuông góc của I
lên (SCD) là ok.
Thật vậy, thực hiện thao tác tương tự như câu b. Trong ∆SIJ, dựng IL ⊥ SJ, (3).
CD ⊥ IJ
Do 
⇒ CD ⊥ (SIJ) ⇒ CD ⊥ IL , (4)
CD ⊥ SI
Từ (3), (4) ta được IL ⊥ (SCD) ⇒ hình chiếu vuông góc của SI lên (SCD) là SL.
2

Khi đó, ( SI,(SCD) ) = ( SI,SL ) = ISL .
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông SIJ cho đường cao IL ta có

Tham gia khóa học TOÁN 11 tại MOON.VN: Tự tin hướng đến kì thi THPT Quốc gia !


Khóa học TOÁN 11 – Thầy Đặng Việt Hùng

Chuyên đề : Quan hệ vuông góc

a 21
1

1
1
1
1
7
a 21
IL
2 7
= 2+ 2 =
+ 2 = 2 ⇒ IL =
⇒ sin ISL= = 7 =
2
2
IL SI
IJ
a
3a
7
SI
7
a 3
a 3


2
 2 
2 7
Vậy ( SI,(SCD) ) = ISL = arcsin 

 7 

Bài 2. [ĐVH]: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, tâm O. Gọi M, N lần lượt là trung
điểm SA và BC. Biết góc giữa MN và mặt phẳng (ABCD) là 600.
a) Tính độ dài đoạn MN.
b) Tính cosin của góc giữa MN và mặt phẳng (SBD).
Lời giải:

a) S.ABCD là hình chóp tứ giác đều nên SA = SB = SC = SD và SO ⊥ (ABCD).
Gọi I là trung điểm của OA, khi đó MI // SO, và do SO ⊥ (ABCD) ⇒ MI ⊥ (ABCD), hay I là hình chiếu vuông
góc của M xuống (ABCD).
Theo giả thiết, góc giữa MN và (ABCD) bằng 600, có IN là hình chiếu của MN xuống (ABCD) nên

( MN,IN ) = 600 .
CI 3 CH
= =
⇒ IH // AB
CA 4 CB
Ta tách riêng hình vuông ABCD như hình dưới, ta dễ dàng tính toán được IN.
Gọi H là trung điểm của NH, do I là trung điểm OA nên
2

2

a 10
 3a   a 
Trong ∆IHN vuông ta có: IN = IH 2 + HN 2 =   +   =
4
 4  4

IN

IN
a 10
0
⇒ MN =
=
cosMNI = cos60 =
0

MN
cos60
2
Trong tam giác vuông MIN ta có 
MI
a 30

0
0
 tan MNI = tan 60 = IN ⇒ MI = IN.tan 60 = 4
Do MI là đường trung bình của tam giác SOA nên SO = 2MI =

a 30
2

Tham gia khóa học TOÁN 11 tại MOON.VN: Tự tin hướng đến kì thi THPT Quốc gia !


Khóa học TOÁN 11 – Thầy Đặng Việt Hùng

Chuyên đề : Quan hệ vuông góc

b) Để xác định được góc giữa MN và (SBD) ta cần tìm hình chiếu của MN xuống (SBD). Tuy nhiên, do cả M và
N đều không có điểm nào nằm sẵn trên BD nên ta buộc phải tìm hình chiếu của từng điểm xuống (SBD). Ta dễ
 AC ⊥ BD
thấy 
⇒ AC ⊥ (SBD)
 AC ⊥ SO
Từ đó, để tìm hình chiếu của M, N xuống (SBD) ta chỉ cần tạo các đường qua M, N và song song với AC.
Gọi H là trung điểm của SO, khi đó MH // AC.
Do AC ⊥ (SBD) ⇒ MN ⊥ (SBD), hay H là hình chiếu vuông góc của M lên (SBD).
Tương tự, gọi K là trung điểm của OB, khi đó ta có NK // AC ⇒ NK ⊥ (SBD), hay K là hình chiếu vuông góc
của N xuống (SBD).
Vậy HK chính là hình chiếu vuông góc của MN lên (SBD).
Khi đó, ( MN,(SBD) ) = ( MN, HK ) .

Mặt khác, trong ∆SOB thì HK là đường trung bình ⇒ HK // SB ⇒ ( MN,HK ) = ( MN,SB )
Gọi J là trung điểm của AB ⇒ MJ // SB.
Từ đó ( MN, HK ) = ( MN,SB ) = ( MN,MJ ) .
Ta đi tính góc JMN trong ∆JMN bằng định lý hàm số cosin: cos JMN =
2

MN 2 + MJ 2 − NJ 2
, (1)
2MN.MJ

2

 a 30   a 2 
1
Trong ∆SOB ta có: SB = SO + OB = 
 + 

 = 2a 2 ⇒ MJ = SB = a 2
2
 2   2 
2
10a
a2
+ 2a 2 −
1
a 2
2 = 2
Trong ∆ABC ta có: JN = AC =
. Khi đó, (1) ⇒ cos JMN = 2
2
2
a 10
5
2.
.a 2
2
2
Vậy góc giữa MN và (SBD) là α với cosα =
.
5
2

2

Bài 3. [ĐVH]: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA = a 6 và vuông góc với đáy. Tính
góc giữa
a) SC với (ABCD).

b) SC với (SAB).
c) SB với (SAC).
Lời giải.

Tham gia khóa học TOÁN 11 tại MOON.VN: Tự tin hướng đến kì thi THPT Quốc gia !


Khóa học TOÁN 11 – Thầy Đặng Việt Hùng

Chuyên đề : Quan hệ vuông góc

a) Ta có SA vuông góc với đáy nên AC là hình chiếu của SC trên (ABCD).
Do đó góc giữa SC và (ABCD) là góc SCA. Tam giác SAC vuông tại A có
SA a 6
SA = a 6; AC = a 2 ⇒ tan SCA =
=
= 3 ⇒ SCA = 60 .
AC a 2
 SA ⊥ ( ABCD )  SA ⊥ CB
b) Ta có 
⇒
⇒ CB ⊥ ( SAB ) .
 AB ⊥ CB
CB ⊥ AB

) (

(

)

Dẫn đến SB là hình chiếu của SC trên (SAB), khi đó SC , ( SAB ) = SC , SB = BSC .
Tam giác BSC vuông tại B có
BC
a
7
=
=
.
SB a 7
7
 SA ⊥ ( ABCD )  SA ⊥ OB
c) Gọi O là tâm hình vuông đáy. Ta có 
⇒
⇒ OB ⊥ ( SAC ) .
OB ⊥ SC
OB ⊥ SC
SB = SA2 + AB 2 = 6a 2 + a 2 = a 7 ⇒ tan BSC =

(

) (

)

SO là hình chiếu của SB trên mặt (SAC) nên SB, ( SAC ) = SO, SB = BSO .
Tam giác BSO vuông tại O có SB = a 7; OB =

BD a 2
OB a 2

1
=
⇒ sin BSO =
=
=
.
2
2
SB 2a 7
14

Bài 4. [ĐVH]: Cho lăng trụ xiên ABC.A′B′C′ đáy là tam giác đều cạnh a; đỉnh A′ cách đều A; B; C; góc giữa
AA′ và (ABC) là 600
a) Xác định và tính đường cao của lăng trụ trên.
b) Xác định và tính góc giữa A′A với (ABC).
Lời giải.

Gọi H là hình chiếu của A trên mặt phẳng đáy (ABC), khi đó ta có
A′A = A′B = A′C = x; AH = h ⇒ AH = BH = CH = x 2 − h 2 .
Dẫn đến H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đáy hay tâm tam giác đều ABC.
Tham gia khóa học TOÁN 11 tại MOON.VN: Tự tin hướng đến kì thi THPT Quốc gia !


Khóa học TOÁN 11 – Thầy Đặng Việt Hùng

Chuyên đề : Quan hệ vuông góc

2 a 3 a 3
Lại có AH = .
=

; AH là hình chiếu của A’A trên mặt đáy nên
3 2
3
AH
a 3
. 3 =a.
A′A, ( ABC ) = A′AH = 60 ⇒ A′H = h =
=
3
cot A′AH
Bài 5. [ĐVH]: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại C, SA vuông (ABC) tại A; SA = AC =
a ; AB = 2a. Xác định và tính góc giữa các cặp đường thẳng và mặt phẳng sau
a) SA; SC ; SB với (ABC).
b) BC; BA; BS với (SAC).
c) CH; CA; CB; CS với (SAB) với CH là đường cao tam giác ABC.
d) Biết AK là đường cao tam giác SAC xác định và tính góc giữa AK; AS; AC với (SBC).
Lời giải.

a) Ta có SA vuông góc với đáy nên SA ⊥ AC , SA ⊥ AB, SC ⊥ BC .
Các tam giác SAC và SAB đều vuông nên

AB = 2a; AC = a ⇒ BC = AB 2 − AC 2 = 4a 2 − a 2 = a 3
SB = SA2 + AB 2 = a 2 + 4a 2 = a 5
SC = SA2 + AC 2 = a 2 + a 2 = a 2
Hơn nữa khi đó AC và AB tương ứng là hình chiếu của SC, SB trên mặt phẳng đáy. Do vậy
SA
a
1
SC , ( ABC ) = SC , AC = SCA ⇒ sin SCA =
=

=
⇒ SCA = 45
SC a 2
2
SA
a 1
SB, ( ABC ) = SB, AB = SBA ⇒ tan SBA =
=
=
AB 2a 2
b) BC cùng vuông góc với AC và SA nên BC ⊥ ( SAC ) ⇔ BC , ( SAC ) = 90 .
Do BC vuông với (SAC) nên AC là hình chiếu của AB trên (SAC) hay
AC 1
AB, ( SAC ) = AB, AC = BAC ⇒ cos BAC = cos A =
= ⇒ A = 60 .
AB 2
SC a 2
2
Tương tự BS , ( SAC ) = BS , SC = BSC ⇒ cos BSC =
=
=
.
SB a 5
5
 SA ⊥ ( ABC )
c) Ta có 
⇒ SA ⊥ CH ; CH ⊥ AB ⇒ CH ⊥ ( SAB ) ⇒ CH , ( SAB ) = 90 .
CH ∈ ( ABC )
Ta có H là hình chiếu của C trên mặt (SAB) nên AH, BH, SH tương ứng là hình chiếu của các cạnh CA, CB,
CS trên mặt (SAB).

Lại có
a2 a
a 3a
= ⇒ BH = 2a − =
AC 2 = AH . AB ⇒ AH =
2a 2
2 2

AB.CH = AC.CB ⇒ CH =

a.a 3 a 3
a2 a 5
=
; SH = SA2 + AH 2 = a 2 +
=
;
2a
2
4
2

Tham gia khóa học TOÁN 11 tại MOON.VN: Tự tin hướng đến kì thi THPT Quốc gia !


Khóa học TOÁN 11 – Thầy Đặng Việt Hùng

Chuyên đề : Quan hệ vuông góc

Dẫn đến
CA, ( SAB ) = CAH = 60 ; CB, ( SAB ) = CBH = 30

CS , ( SAB ) = CSH ⇒ tan CSH =

CH a 3 2
3
=
.
=
SH
2 a 5
5

 BC ⊥ ( SAC )
d) Ta có 
⇒ BC ⊥ AK ; AK ⊥ SC ⇒ AK ⊥ ( SBC ) .
 AK ∈ ( SAC )
Từ đây AK , ( SBC ) = 90 . SK và CK tương ứng là hình chiếu của SA, CA trên (SBC).
Tam giác SAC vuông cân tại A nên các góc tương ứng

SA, ( ABC ) = CA, ( ABC ) = KSA = KCA = 45 .
Bài 6. [ĐVH]: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, hình chiếu vuông góc của S
xuống mặt phẳng (ABCD) là trọng tâm G của tam giác ABD, cho SG = 2a. Tính góc giữa
a) SA và BD.
b) SC và (ABCD)
c) AD và (SAC)
d) SD và (ABCD)
Lời giải:
a) Gọi O = AC ∩ BD . Do G là trọng tâm tam giác ABD
nên G thuộc AC.
 AC ⊥ BD
⇒ ( SAC ) ⊥ BD ⇒ SA ⊥ BD

Ta có: 
 SG ⊥ BD

(

)

Vậy SA; BD = 900
b) Ta có: AC = BD = a 2 ⇒ AO =
OG =

a 2
2

1
a 2
2 2
AO =
⇒ CG =
a
3
6
3

SG
2a
3
1
2
=

=
⇒ cos SCG =
=
>0
2
GC 2a 2
11
2
1 + tan SCG
3
2
Vậy SC ; ( ABCD ) = SCG = α với cos α =
11
 DO ⊥ AO
c) Ta có: 
⇒ DO ⊥ ( SAC ) ⇒ AD; SAC = DAO = 450
DO
⊥
SG


Mặt khác tan SCG =

)

(

(

d) Trong ∆GOD có: GD = OD 2 + GO 2 =

(

)

a2 a2 a 5
+
=
2 18
3

2a
6
SG
=
=
⇒ cos SDG =
DG
5
5
a
3
5
= SDG = β với cos β =
41

Mặt khác tan SDG =

Vậy SD; ( ABCD )

)

5
>0
41

Bài 7. [ĐVH]: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A, B với AB = BC = a, AD =
2a. Cạnh SA vuông góc với đáy, SA = a 2. Tính góc giữa
a) SC và (SAB)
b) SD và (SAC)
c) AC và (SAD)
Tham gia khóa học TOÁN 11 tại MOON.VN: Tự tin hướng đến kì thi THPT Quốc gia !


Khóa học TOÁN 11 – Thầy Đặng Việt Hùng

Chuyên đề : Quan hệ vuông góc

 BC ⊥ AB
⇒ BC ⊥ ( SAB )
a) Ta có: 
 BC ⊥ SA
⇒ SB là hình chiếu của SC trên ( SAB ) .

( SC; ( SAB )) = ( SC; SB )

2
2
2
2

 SB = SA + AB = 3a
Mà  2
2
2
2
2
 SC = SA + AB + BC = 4a

SB 2 + SC 2 − BC 2 3a 2 + 4a 2 − a 2
3
⇒ cos BSC =
=
=
2 SB.SC
2
2.2a. 3a

)

(

⇒ BSC = 300 ⇒ SC ; ( SAB ) = 300

b) Trên mặt phẳng ( ABCD ) kẻ DE ⊥ AC ( E ∈ AC )
Ta có: ∆EAD vuông cân tại E. ⇒ AE = ED = a 2 ; SD = a 6

(

)

Dễ thấy : DE ⊥ ( SAC ) ⇒ SD; ( SAC ) = ESD
Do đó ta có sin ESD =

DE
1
2
=
⇒ cos ESD =
SD
3
3

(

)

c) Kẻ CF ⊥ AD ( F ∈ AD ) . Khi đó dễ thấy CF ⊥ ( SAD ) ⇒ AC ; ( SAD ) = CAF = 450

Chương trình lớp 11 trên Moon.vn : />
Tham gia khóa học TOÁN 11 tại MOON.VN: Tự tin hướng đến kì thi THPT Quốc gia !