ĐỀ 3 ÔN KIỂM TRA HK2 - 11NC - 2009

ÔN TẬP KIỂM TRA HK2 – LỚP 11NC . NĂM HỌC : 2008 - 2009
ĐỀ 3
( Thời gian làm bài 90 phút )
Câu I ( 1,0 điểm )
Xác định số hạng đầu và công sai của cấp số cộng . Biết
5
9
u 19
u 35
=


=

Câu II ( 3,0 điểm )
a. Tìm giới hạn của dãy số (
n
u
) với
n
2n sin n
u
n
+
=
b. Tìm giới hạn sau :
2
x 2
x 2 x
lim
x 4x 4

→
+ +
− + −
c. Cho hàm số
3
2
x
f (x)
n 1

−

=

− ≥ −


nÕu x < 1
2x 3 Õu x
. Chứng minh rằng hàm số f(x) liên tục trên
¡
.
Câu III ( 3,0 điểm )
a. Tìm đạo hàm của hàm số
y x cos3x=
.
b. Cho hàm số
y sin 2x cos2x= −
. Hãy giải phương trình
y '' 0=

.
c. Cho hàm số
y 2x 1= +
có đồ thị (C) . Viết phương trình tiếp tuyến với (C) , biết rằng
tiếp tuyến đó song song với đường thẳng (d) :
1
y x 1
3
= +
.
Câu IV ( 3,0 điểm )
Cho tam giác đều ABC cạnh a . Trên đường vuông góc với mặt phẳng (ABC) tại B , ta lấy
một điểm M sao cho MB = 2a . Gọi I là trung điểm của BC .
a. Chứng minh rằng : AI
⊥
mp(MBC) .
b. Tính góc hợp bởi đường thẳng IM với mặt phẳng (ABC) .
c. Tính khoảng cách từ đỉnh B đến mặt phẳng (MIA) .
. . . . . . . .Hết . . . . . . .
HƯỚNG DẪN
Câu I ( 1,0 điểm )

Gọi
1
u
là số hạng đầu , d là công sai của cấp số cộng .
Áp dụng công thức :
n 1
u u (n 1)d= + −
, ta có :

1
1
5
9
1
u 4d 19
u 3
u 19
u 35
u 8d 35
d 4
+ =
=


=

⇔ ⇔
  
=
+ =
=



Vậy cấp số cộng này có
1
u 3, d 4= =
.

Câu II ( 3,0 điểm )
a. ( 1đ ) Ta có :
n n n
sin n sin n sin n
u 2 u 2 lim(u 2) lim
n n n
= + ⇒ − = ⇒ − =

Vì
sin n 1 1 sin n
| | lim 0 n 0
n n n n
≤ = = , nª lim
nên
n
limu 2=
b. (1đ)
2 2
x 2 x 2
x 2 x x 2 x
lim lim
x 4x 4 (x 2)
→ →
+ + + +
= = −∞
− + − − −
Vì
2 2
x 2 x 2
lim ( x 2 x) 4 lim [ (x 2) ] 0 (x 2) 0

→ →
+ + = − − = − − < , vµ
c. (1đ) Tập xác định D =
¡
Giáo Viên TRẦN VĂN NÊN - 1 -
ÔN TẬP KIỂM TRA HK2 – LỚP 11NC . NĂM HỌC : 2008 - 2009
+ Nếu
x 1< −
thì
3
f (x) x=
là hàm đa thức nên liên tục trên
( ; 1)−∞ −
(1)
+ Nếu
x 1> −
thì
2
f (x) 2x 3= −
là hàm đa thức nên liên tục trên
( 1; )− +∞
(2)
+ Tại
x 1= −
Ta có : f(
−
1) = 2(
2
1)−

−
3 =
−
1

3
x ( 1) x ( 1)
lim f (x) lim x 1
− −
→ − → −
= = −

2 2
x ( 1) x ( 1)
lim f (x) lim (2x 3) 2( 1) 3 1
+ +
→ − → −
= − = − − = −
Vì
x ( 1) x ( 1)
lim f (x) lim f (x) 1
+ −
→ − → −
= = −
nên
x 1
lim f(x) 1 f ( 1)
→−
= − = −

Vậy hàm số đã cho liên tục tại
o
x 1= −
(3)
Từ (1),(2),(3) suy ra hàm số liên tục trên
¡
.
Câu III ( 3,0 điểm )
a. (1đ) Ta có :
(cos3x)' 3sin 3x 2cos3x 3x sin 3x
y' cos3x x. cos3x x.
2 cos3x 2 cos3x 2 cos3x
− −
= + = + =
b. (1đ) Ta có :
y' 2cos 2x 2sin 2x y'' 4sin 2x 4cos 2x= + ⇒ = − +

Do đó :
y'' 0 4sin 2x 4cos 2x 0 sin(2x ) 0 2x k x k ;k
4 4 8 2
π π π π
= ⇔ − + = ⇔ − = ⇔ − = π ⇔ = + ∈ ¢

c) (1đ) Gọi tiếp tuyến cần tìm là (
∆
) . Vì (
∆
) // (d) :
1
y x 1

3
= +
nên (
∆
) có hệ số góc k =
1
3
.
Gọi
o o
M(x ; y )
là tiếp điểm của tiếp tuyến với (C)
Ta có :
1
y'
2x 1
=
+
nên
o o o o
o
1 1
k y'(x ) 2x 1 3 x 4 (y 3)
3
2x 1
= ⇔ = ⇔ + = ⇔ = =
+
Suy ra phương trình tiếp tuyến :
1 1 5
y (x 4) 3 y x

3 3 3
= − + ⇔ = +
Câu IV ( 3,0 điểm )
a. (1đ) Ta có :
MB (ABC) MB AI⊥ ⇒ ⊥ (gØa thiÕt)
(1) , do AI
⊂
(ABC) .
Mặt khác :
AI BC⊥
(2) , do ABC là tam giác đều có đường cao AI .
Từ (1) , (2) suy ra
AI (MBC)⊥

b. (1đ) Ta có :
(ABC) (ABC)
MB (ABC),B (ABC) B hc M BI hc MI⊥ ∈ ⇒ = ⇒ =

Suy ra góc giữa IM và mp(ABC) là
·
M I B
.
Vì tam giác MBI vuông góc nên
· ·
MB
tan MIB 4 MIB arctan 4
IB
= = ⇒ =
c. (1đ) Do
AI (MBC)⊥

, suy ra :
(MIA) (MBC)⊥
.
Hai mặt phẳng này cắt nhau theo giao tuyến MI .
Từ B kẻ BH
⊥
MI suy ra

BH (M IA),H (M IA) d(B;(MIA)) BH⊥ ∈ ⇒ =
.
Tam giác MBI vuông tại B có đường cao BH , ta có :

a
BI ,MB 2a
2
= =
nên :

2 2 2 2 2 2
2
2
1 1 1 4 1 17
BH BI MB a 4a 4a
2a 17
4a
BH BH
17 17
= + = + =
⇒ = ⇒ =
Giáo Viên TRẦN VĂN NÊN - 2 -