SKKN ỨNG DỤNG PHÉP BIẾN HÌNH TRONG GIẢI TOÁN

PHẦN 1. CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1. Lý do chọn đề tài
Năm học 2016-2017, Bộ Giáo dục và Đào tạo thực hiện đổi
mới trong kỳ thi Trung học Phổ thông Quốc gia (THPTQG). Trong
đó môn toán được đổi từ hình thức thi tự luận sang hình thức thi
trắc nghiệm. Việc thay đổi đã tạo nên nhiều bỡ ngỡ cũng như
khó khăn cho cả giáo viên và học sinh trong việc ôn luyện. Hình
thức thi trắc nghiệm môn toán đòi hỏi một số cách tiếp cận vấn
đề mới so với hình thức thi tự luận. Hơn nữa nội dung của kỳ thi
THPTQG năm học 2016-2017 môn toán, theo chủ trương của Bộ
Giáo dục và Đào tạo, chủ yếu là kiến thức lớp 12 và dựa trên
nền các kiến thức các lớp trước đó.
Phép biến hình trong mặt phẳng đã được đề cập ở các lớp
trước lớp 12 và tập trung ở chương I hình học lớp 11 nên trong
quá trình giải bài tập trắc nghiệm các em thường quên hoặc
chưa nắm chắc cách vận dụng các phép biến hình vào giải bài
tập.
Vì những lý do trên, cùng với sự giúp đỡ chỉ đạo của Ban
Giám hiệu nhà trường và tổ chuyên môn, tôi thực hiện viết sáng
kiến kinh nghiệm với tên:” Một số ứng dụng của phép biến hình
vào giải toán trắc nghiệm lớp 12”.
2. Cơ sở lý luận và thực tiễn
Lịch sử toán học cho thấy đại số được phát triển trên nền
tảng hình học trước đó. Rất nhiều công trình của các nhà toán
học lớn như Descartes, Fermat …đã nghiên cứu về vấn đề này.
Trong khuôn khổ của sáng kiến kinh nghiệm tôi đề cập đến
hai nội dung: Hàm số và số phức.

1

Trong nội dung hàm số, với mỗi hàm số
D
trên
ta đơn ánh:
D→¡

y = f ( x)

xác định

2

x a ( x; f ( x ))

Suy ra:
D → Dxf ( D )
x a ( x; f ( x ))
là một song ánh. Do đó thay vì thao tác trên các phép tính đại
số ta có thể chuyển về các thao tác hình học trên đồ thị của
hàm số.
Trong nội dung số phức ta đặt qui tắc mỗi số phức có dạng
M ( a; b)
Oxy
z = a + bi
đại số
với một điểm
trên mặt phẳng
. Dễ thấy
qui tắc như trên là một song ánh. Do đó chúng ta có thể chuyển
các phép toán đại số của số phức về các phép biến đổi hình học.

3. Mục đích đối tượng nghiên cứu
Nếu ứng dụng phép biến hình vào giải toán trắc nghiệm sẽ
giúp học sinh hiểu bản chất hình học của bài toán và giải toán
nhanh hơn.
4. Phương pháp nghiên cứu
Nghiên cứu lý thuyết và thực nghiệm.
5. Ứng dụng của đề tài
Dùng cho học sinh lớp 12 ôn thi THPT Quốc Gia.

2


PHẦN 2.
MỘT SỐ ỨNG DỤNG PHÉP BIẾN HÌNH
VÀO GIẢI TOÁN TRẮC NGHIỆM LỚP 12

1. Ứng dụng phép biến hình vào nội dung hàm số
1.1. Dựng đồ thị của một hàm số thông qua các phép
biến hình từ đồ thị của một hàm số đã cho
1.1.1. Đồ thị hàm số
Giả sử

M ( x; f ( x ))
y = f ( x)

y = f ( x) + m

thuộc

đồ thị hàm số

đặt
tương ứng với điểm
M '( x; f ( x ) + m)
thuộc đồ thị
y = f ( x) + m
hàm số
. Dễ thấy
qui tắc trên là một đơn ánh.
Do đó, đồ thị hàm số
y = f ( x) + m
được suy ra từ đồ
y = f ( x)
thị hàm số
bằng
phép
r
Hình 1.1.1
v = (0; m)
tịnh tiến theo véc tơ
.
y = f ( x)
m>0
Từ đó ta thấy nếu
thì từ đồ thị hàm số
ta
“dịch lên” theo trục tung
y = f ( x) + m

. Nếu

theo trục tung
y = f ( x) + m

m<0

−m

m

đơn vị ta sẽ thu được đồ thị hàm số

từ đồ thị hàm số

y = f ( x)

ta “dịch xuống”

đơn vị ta sẽ thu được đồ thị hàm số

. Hiển nhiên,

m=0

thì phép tịnh tiến trên trở thành

phép đồng nhất.
3


Chú ý: Nếu

m≠0

thì không có điểm bất động.

4


1.1.2. Đồ thị hàm số
Giả sử

M ( x; f ( x ))

y = f ( x + m)

thuộc

y = f ( x)
đồ thị hàm số
đặt
tương ứng với điểm
M '( x − m; f ( x ))
thuộc đồ thị
y = f ( x + m)
hàm số
. Dễ thấy
qui tắc trên là một đơn ánh.
Do đó, đồ thị hàm số
y = f ( x + m)
được suy ra từ đồ

y = f ( x)
thị hàm số
bằng
phép
r
v = ( − m;0)
tịnh tiến theo véc tơ
.

Từ đó ta thấy nếu

m>0

Hình 1.1.2

thì từ đồ thị hàm số

m

“dịch sang trái” theo trục hoành
hàm số

y = f ( x + m)

. Nếu

m<0

sang phải” theo trục hoành
số

y = f ( x + m)

. Hiển nhiên,

m=0

y = f ( x)

ta “dịch

đơn vị ta sẽ thu được đồ thị hàm
thì phép tịnh tiến trên trở thành

phép đồng nhất.
1.1.3. Đồ thị hàm số

ta

đơn vị ta sẽ thu được đồ thị

từ đồ thị hàm số

−m

y = f ( x)

y = f ( kx ), k ≠ 0

5

Giả sử

M ( x; f ( x ))

thuộc

y = f ( x)
đồ thị hàm số
đặt
tương ứng với điểm
x
M '( ; f ( x ))
k
thuộc đồ thị hàm
y = f (kx )
số
. Dễ thấy qui tắc
trên là một đơn ánh.
Do đó, đồ thị hàm số
y = f (kx )
được suy ra từ đồ thị
y = f ( x)
hàm số
bằng phép co
dãn theo trục hoành.

k >1⇒ 0 <

Nếu
0 < k <1⇒

Nếu
Nếu

k <0

1
<1
k
1
>1
k

Hình 1.1.3

do đó là phép co với hệ số co

1
k

đo đó là phép dãn với hệ số dãn

thì ta dựng đồ thị hàm số

y = f ( −kx )

Điểm bất động là những điểm nằm trên trục tung.
1.1.4. Đồ thị hàm số

6

1
k

.

sau đó lấy

đối xứng qua trục tung.

y = kf ( x ), k ≠ 0

.


Giả sử

M ( x; f ( x ))

thuộc

y = f ( x)
đồ thị hàm số
đặt
tương ứng với điểm
M '( x; kf ( x ))
thuộc đồ thị hàm
y = kf ( x )

số
. Dễ thấy qui tắc
trên là một đơn ánh.
Do đó, đồ thị hàm số
y = kf ( x )
được suy ra từ đồ thị
y = f ( x)
hàm số
bằng phép co
dãn theo trục tung.

Nếu
Nếu
Nếu

k >1

do đó là phép dãn với hệ số dãn

0 < k <1
k <0

Hình 1.1.4

đo đó là phép co với hệ số co

thì ta dựng đồ thị hàm số

k
k

.

.

y = − kf ( x )

sau đó lấy đối

xứng qua trục hoành.
Điểm bất động là những điểm nằm trên trục hoành.

7


1.1.5. Đồ thị hàm số
Giả sử

M ( x; f ( x ))

y = f ( x)

thuộc

y = f ( x)
đồ thị hàm số
đặt
tương ứng với điểm
M '( x; f ( x ) )
thuộc đồ thị hàm

y = f ( x)
số
. Dễ thấy qui tắc
trên là một đơn ánh.

Hình 1.1.5

Giả sử

M ( x; f ( x ))

ứng với điểm

thuộc đồ thị hàm số

M '( x; f ( x ) )

y = f ( x)

thuộc đồ thị hàm số

đặt tương

y = f ( x)

. Dễ thấy

qui tắc trên là một đơn ánh.

Vì

 f ( x) ,

f ( x ) =  0,
 − f ( x ),


suy ra từ đồ thị hàm số

f ( x) > 0
f ( x) = 0
f ( x) < 0
y = f ( x)

nên đồ thị hàm số

y = f ( x)

được

bằng cách giữ nguyên phần bên

trên trục hoành ( kể cả các điểm nằm trên trục hoành), lấy đối
xứng phần bên dưới trục hoành qua trục hoành, sau đó bỏ phần
bên dưới trục hoành.
Những điểm nằm trên trục hoành là những điểm bất động.

8

1.1.6. Đồ thị hàm số
Giả sử

M ( x; f ( x ))

y = f(x)

thuộc

y = f ( x)
đồ thị hàm số
đặt
tương ứng với điểm
M '( x; f ( x ))
thuộc đồ thị hàm
y = f (x)
số
. Dễ thấy qui tắc
trên là một đơn ánh.

Vì

 f ( x ),

f ( x ) =  f (0),
 f ( − x ),


suy ra từ đồ thị hàm số

x>0
x=0
x<0
y = f ( x)

Hình 1.1.6

nên đồ thị hàm số

y = f(x)

được

bằng cách bỏ phần bên trái trục

tung, lấy đối xứng phần bên phải trục tung qua trục tung.
Những điểm nằm trên trục tung là những điểm bất động.
1.1.7. Đồ thị của

Ta có

y = f ( x)

 f ( x) ≥ 0

y = f ( x) ⇔  y = f ( x)
 y = − f ( x)


y = f ( x)

đo

đó đồ thị của
được
suy ra từ đồ thị của hàm số
y = f ( x)
bằng cách bỏ phần
bên dưới trục hoành, lấy đối
xứng phần bên trên trục
hoành qua trục hoành.

Hình 1.1.7
9


1.2. Ứng dụng vào giải một số bài toán
Bài 1. (Chuyên Vĩnh Phúc) Cho hàm số

y = f ( x)

có đồ thị

như hình vẽ bên (Hình 1.2.1). Xác định tất cả các giá trị của
tham số

m

để phương trình

f ( x) = m

có đúng hai nghiệm thực

phân biệt.
A.

m > 4; m = 0

B.

3< m < 4

C.

0
Hình 1.2.1
Hướng dẫn:

Hình 1.2.2

Theo 1.1.5 ta dễ dàng dựng được đồ thị hàm số
(Hình 1.2.2). Số nghiệm của phương trình
điểm của đồ thị hàm số
đồ thị ta có:

m > 4; m = 0

−4 < m < 0

D.

y = f ( x)

f ( x) = m

và đường thẳng

. Do đó chọn A.

10

y = f ( x)

là số giao

y=m

. Dựa vào


Bài 2. (Chuyên ĐH Vinh)
y = f ( x)
Cho hàm số bậc ba
có
đồ thị như hình vẽ ( Hình 1.2.3).
m
Tất cả các giá trị của tham số
y = f ( x) + m

để hàm số
có ba
điểm cực trị là
m ≤ −1; m ≥ 3
A.
.
B.
m ≤ −3; m ≥ 1
.
m = −1; m = 3
1≤ m ≤ 3
C.
.
D.
.

Hình 1.2.3

Hướng dẫn:
Theo 1.1.1 và 1.1.5 thì đồ thị hàm số
ra từ đồ thị hàm số
theo

r
v (0; m)

y = f ( x)

y = f ( x) + m

được suy

bằng cách thực hiện phép tịnh tiến

sau đó dựng đồ thị hàm trị tuyệt đối.

Dễ thấy nếu

m ≤ −1; m ≥ 3

thì 2 cực trị của hàm số

y = f ( x) + m

nằm hoàn toàn bên dưới hoặc bên trên trục hoành. Do đó khi
dựng đồ thị hàm trị tuyệt đối

y = f ( x) + m

bài toán.

11

sẽ thỏa mãn yêu cầu


Hình 1.2.5

Hình1.2.4
Nếu hai cực trị hàm số

y = f ( x) + m
nằm về hai phía
trục hoành thì khi đựng đồ thị
y = f ( x) + m
hàm số
sẽ có 5
cực trị.
(Hình 1.2.6)

Hình 1.2.6
Vậy chọn A.
Bài 3. Cho đồ thị hàm số
1.2.7). Đồ thị hàm số

y = f(x)

y = f ( x)

như hình vẽ ( Hình

có bao nhiêu đường tiệm cận

gồm tiệm cận đứng và tiệm cận ngang.
A. 0

B. 1

C. 2

12

D. 3


Hình 1.2.7

Hình 1.2.8

Hướng dẫn:
Theo 1.1.6. thì đồ thị của hàm số
hình 1.2.8. Do đó đồ thị hàm số

y = f (x)

y = f(x)

được dựng như

có 3 đường tiệm cận

gồm tiệm cận đứng và tiệm cận ngang. Chọn C.
Bài 4.
y = f ( x)
Cho hàm số bậc ba
có đồ thị như hình ( Hình
M ,m
1.2.9). Gọi
lần lượt là giá
trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất
3 x

y= f( )
2 2
của hàm số
trên
[ 0;2]
M +m
đoạn
. Khi đó
là
A. 0
B. 2
C. 1
D. 3

Hình 1.2.9

Hướng dẫn:

13


Theo 1.1.3 và 1.1.4 ta suy ra đồ thị hàm số
thị hàm số

y = f ( x)

2

( Hình 1.2.10) sau đó thực hiện phép dãn

theo trục tung với hệ số dãn

3
2

(Hình 1.2.11).

Hình 1.2.10

Hình 1.2.11

M = 3, m = 0 ⇒ M + m = 3

Bài 5. Tìm

m

. Chọn D.

để hệ phương trình sau có ba nghiệm phân biệt

x3 − 2 x + 1 − m = 0

−

A.
−

C.

từ đồ

bằng cách thực hiện phép dãn theo trục

hoành với hệ số dãn

Vậy

x
y = 3f ( )
2

9+4 6
9+4 6
9
9

.

0
B.

9+4 6
9

−

D.
14

9+4 6
9

9+4 6
9+4 6
≤m≤
9
9


Hướng dẫn:
Ta có:
x 3 − 2 x + 1 − m = 0 ⇔ m = x 3 − 2 x + 1(1)
Theo 1.1.7 thì số nghiệm của
phương trình (1) là số giao điểm
y = x3 − 2 x + 1
của đồ thị
và
y=m
đường thẳng
.
y = x3 − 2 x + 1
Dựa vào đồ thị của
y=m
và
suy ra để phương trình
đã cho có 3 nghiệm phân biệt

thì
9+4 6
9+4 6
−
9
9

Hình 1.2.12

Chọn A.
1.3. Bài tập đề nghị

Bài 1. Giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm số
[ −3;1]
M ,m
M +m
lần lượt là
. Tính
.
A. 56
52

B. 54

y = x 3 − 3x 2

trên

C. 2

D.

m
Bài 2. Tìm
để phương trình sau có nghiệm duy nhất
( x − 4)3 − 2 x + 8 − m = 0
.
m>

A.

4 6
9

m≥

B.

4 6
9

m<

C.

Bài 3.

15

4 6
9

m≤

D.

4 6
9


y = f ( x)
Cho hàm số
có đồ thị
như hình bên ( Hình 1.3.1). Số
y = f(x)
cực trị của hàm số
là
A. 1
B. 2
C. 3
D. 5

Hình 1.3.1
Bài 4.
y = f ( x)
Cho hàm số
có đồ thị
như hình bên ( Hình 1.3.2). Số
đường tiệm cận của hàm số

y = f (x)
là
A. 1
B. 2
C. 3
D. 5

Hình 1.3.2

Bài 5. Giá trị của
phân biệt là
A.

m >1

m

để phương trình

B.

m ≥1

x +1
=m
x −1

C.

16

có 4 nghiệm

m <1

m ≤1


2. Ứng dụng phép biến hình vào nội dung số phức
2.1. Các phép biến hình ứng với các phép toán trên tập
số phức
2.1.1. Phép cộng hai số phức
Dựa trên định nghĩa phép cộng hai số phức ta có nhận xét
sau:
Giả sử số phức

z

được biểu diễn bởi điểm

được biểu diễn bởi điểm

w = z + z'

M'

. Khi đó điểm

A

có được bằng cách tịnh tiến điểm

M

, số phức

z'

biểu diễn số phức

M

theo

uuuur
OM '

.

2.1.2. Phép trừ hai số phức
Dựa trên định nghĩa phép trừ hai số phức ta có nhận xét
sau:
Giả sử số phức

z

được biểu diễn bởi điểm

được biểu diễn bởi điểm

w = z − z'

M'

. Khi đó điểm

A

có được bằng cách tịnh tiến điểm

M

, số phức

z'

biểu diễn số phức

M

theo

uuuuur
M 'O

.

2.1.3. Phép nhân hai số phức
Giả sử hai số phức

z = reiϕ

,

z ' = r ' eiϕ '

. Khi đó:

z, z '

có biểu diễn dạng mũ lần lượt là

w = zz ' = rr ' ei (ϕ +ϕ ')

lượt là các điểm biểu diễn cho

z, w
17

. Do đó nếu

thì điểm

N

M,N

lần

được suy ra từ

M

điểm
quay

bằng cách thực hiện liên tiếp phép quay tâm

ϕ'

và phép vị tự tâm

O

tỉ số

r'

O

góc

.

2.1.4. Phép chia hai số phức
Giả sử hai số phức

z = re

iϕ

,

z' = r'e

z, z '

z r i (ϕ −ϕ ')
= e
z' r'

w=

iϕ '

. Khi đó:

z, w

là các điểm biểu diễn cho
M

có biểu diễn dạng mũ lần lượt là

. Do đó nếu

thì điểm

N

và phép vị tự tâm

O

tỉ số

lần lượt

được suy ra từ điểm

bằng cách thực hiện liên tiếp phép quay tâm
1
r'

M,N

O

góc quay

−ϕ

.

2.1.5. Phép lấy số phức liên hợp
Dựa trên định nghĩa số phức liên hợp ta có nhận xét sau:
Nếu
phức

z

M

thì

biểu diễn cho số phức
M

và

M'

z

và

M'

biểu diễn cho số

đối xứng với nhau qua trục

Ox

.

2.1.6. Phép lấy mô đun
Giả sử điểm
điểm

đó

M

M

biểu diễn số phức

biểu diễn số phức

MN = z2 − z1

z1

, điểm

N

z

khi đó

OM = z

.Giả sử

biểu diễn số phức

z2

. Khi

.

2.2. Một số biểu diễn hình học của số phức thường gặp
18


2.2.1. Đường thẳng
Phương trình

A Re z + B Im z + C = 0, A2 + B 2 > 0

biểu diễn cho

đường thẳng. Đường thẳng còn có thể được biểu diễn bởi
2

phương trình

2

z − a1 − b1i + z − a2 − b2i = k 2

.

2.2.2. Đường tròn, hình tròn
Phương trình
bán kính
I ( a; b )

R

z − (a + bi ) = R

. Phương trình

bán kính

R

biểu diễn đường tròn tâm

z − (a + bi ) ≤ R

I ( a; b )

biểu diễn hình tròn tâm

.

2.2.3. Đường Elip

z − (a1 + b1i ) + z − (a2 + b2i ) = 2a a > 0
Phương trình
,
,
2a > ( a2 − a1 ) 2 + (b 2 − b1 )2
F1 (a1 ; b1 ), F2 ( a2 ; b2 )

Nếu

Nếu
thẳng

F1 F2

F1 ≡ F2

biểu diễn cho Elip có tiêu điểm

và độ dài trục lớn là

2a

.

thì Elip suy biến thành đường tròn.

2a = ( a2 − a1 ) 2 + (b 2 − b1 ) 2

thì Elip suy biến thành đoạn

.

2.2.4. Đường Hyperbol

19

Phương trình

z − ( a1 + b1i ) − z − ( a2 + b2i ) = 2a , a > 0

2a < ( a2 − a1 )2 + (b2 − b1 )2

,

biểu diễn cho đường hyperbol có tiêu

F1 ( a1 ; b1 ) F ( a2 ; b2 )
2a
điểm
,
và độ dài trục thực là
.

Nếu

2a = ( a2 − a1 ) 2 + (b 2 − b1 ) 2

đường thẳng

F1F2

thì hyperbol suy biến thành

bỏ đi đoạn thẳng

F1 F2

.

2.2.5. Đường Parabol
Cho Parabol có đường chuẩn

∆ : A Re z + B Im z + C = 0, A2 + B 2 > 0

và tiêu điểm

F ( a; b )

phương trình của Parabol có dạng:
z − ( a + bi ) =

Aa + Bb + C
A2 + B 2

2.3. Ứng dụng vào giải toán
Bài 1. (Đề minh họa lần 3 năm 2017-BGD)
Trong mặt phẳng tọa độ,
M
điểm
là điểm biểu diễn của
z
số phức như hình vẽ bên.
Điểm nào trong các điểm sau
là điểm biểu diễn của số phức
2z
.

Q
N
A. Điểm
B. Điểm
E
P
C. Điểm
D. Điểm
20

. Khi đó


Hình 2.3.1
Hướng dẫn:
Theo 2.1.3, để biểu diễn số phức
quay tâm

O

góc quay

phép vị tự tâm

O

Arg 2 = 0ο

tỉ số

2 =2

Bài 2. Cho số phức
điểm biểu diễn số phức

z

2z

ta thực hiện liên tiếp phép

( Đây là phép đồng nhất) và

. Do đó chọn C.

thỏa mãn

z − 1 + 2i = 1

w = (1 + i ) z + 5 − 2i

. Biết rằng các

là một đường tròn. Tìm

tâm và bán kính đường tròn đó.
Hướng dẫn:
Vì

z − 1 + 2i = 1

tròn tâm

I (1; −2)

nên các điểm biểu diễn số phức

bán kính

R =1

z

là đường

.

Chú ý rằng:
Phép quay biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán
kính, biến tâm thành tâm. Phép vị tự tỉ số
thành đường tròn có bán kính

kR

21

k

biến đường tròn

, biến tâm thành tâm.


Do đó theo 2.1.3, các điểm biểu diễn số phức
đường tròn

(C ')

Bán kính của

(1 + i )(1 − 2i ) = 3 − i

. Vì

(C ')

là

R ' = 1 + i .1 = 2

nên tâm của

của

(C '')

là

(C '')

. Vì

I ''(8; −3)

nên bán kính của
Vậy tâm là

(C ')

là

là

I '(3; −1)

.

.

Theo 2.1.1, các điểm biểu diễn số phức
đường tròn

(1 + i ) z

w = (1 + i ) z + 5 − 2i

(1 + i )(1 − 2i ) + 5 − 2i = 3 − i + 5 − 2i = 8 − 3i

là

nên tâm

. Phép tịnh tiến không làm thay đổi bán kính

(C '')

(8; −3)

là

R '' = R ' = 2

, bán kính là

.

2

.

Hình 2.3.2
Bài 3.
z
Cho các số phức được
biểu diễn bởi hình vuông như
hình bên (Hình 2.3.2). Trong
các hình vuông sau không kể
z
hình vuông biểu diễn
hình

nào biểu diễn cho các số phức
w = iz + 1 + i
.
22

Hình 2.3.3


A.

B.

C.

D.

Hướng dẫn:
Để tìm hình biểu diễn cho số phức
các phép biến hình sau:
Ě Phép đối xứng trục
Ě Phép quay tâm

O

Ox

.

góc quay

Ě Phép tịnh tiến theo

r
v = (1;1)

90ο

.

Do đó chọn A.

23

.

w

ta thực hiện lần lượt


Bài 4. Cho số phức

z

z − 1 + 2i + z + 3 − i = 20 w1 , w2
thỏa mãn
,

là hai số phức thỏa mãn phương trình

w1 − w2

trị lớn nhất của

w = (3 + 4i ) z + 1 − 2i

. Tìm giá

.

Hướng dẫn:
Theo 2.2.3 thì
dài trục lớn là

20

z − 1 + 2i + z + 3 − i = 20

là một đường elip có độ

. Theo 2.1.1 và 2.1.3 thì

là elip có độ dài trục lớn là

(3 + 4i )20 = 100

w = (3 + 4i ) z + 1 − 2i

. Do đó

cũng

max w1 − w2 = 100

.

Bài 5. (Đề minh họa lần 3 năm 2017-BGD)
Xét số phức

z

z + 2 − i + z − 4 − 7i = 6 2

thỏa mãn

lần lượt là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của
P=m+M
.

A.

C.

P = 13 + 73

P=

.

P = 5 2 + 2 73

B.
P=

.

D.

Hướng dẫn: Theo 2.2.3, dễ thấy
phương trình đoạn thẳng

F1 F2

z −1+ i

5 2 + 2 73
2
5 2 + 73
2

z + 2 − i + z − 4 − 7i = 6 2

với

24

F1 ( −2;1)

và

. Gọi

F2 (4;7)

.

.

là

.

m M
,
. Tính


Hình 2.3.4
T = z −1+ i
A(1; −1)
AM
Giả sử
. Do đó
là độ dài đoạn
.
Ta có phương trình đường thẳng
AH = d ( A, F1 F2 ) =

1 − ( −1) + 3
12 + ( −1) 2

F1 F2

là

x− y +3= 0

.

5
2

=

AF1 = 13 AF2 = 73
;

Vậy

max T = 73

min T =
,

5
2

.

2.4. Bài tập đề nghị

Bài 1. Cho số phức

z2 − 5 = 1

Khi đó
A. 16

z1

thỏa mãn

z1 = 2

và số phức

. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của

Mm

z2

thỏa mãn

z1 − z2

là

M ,m

là

B. 8

C. 2

Bài 2.

25

D. 4

.