LUYỆN THI VÀO LỚP 10 MÔN TOÁN

TRUNG TÂM HỌC TỐT
ĐỘI NGŨ GIÁO VIÊN TOÁN
——————– * ———————

LUYỆN THI VÀO LỚP 10
MÔN TOÁN

Lớp học:......................................................
Giáo viên:....................................................
Học sinh:.....................................................

HÀ NỘI 2017


2


Mục lục
1.
2.

3.
4.

5.

6.
7.
8.

BIỂU THỨC ĐẠI SỐ . . . . . . . . . . . . . . . . . .

HỆ PHƯƠNG TRÌNH . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Dạng 1. Giải hệ phương trình . . . . . . . . . .
Dạng 2. Hệ phương trình chứa tham số . . . . .
PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI . . . . . . . . . . . . . .
GIẢI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP HỆ HOẶC PHƯƠNG
Dạng 1. Các bài toán số học . . . . . . . . . . .
Dạng 2. Bài toán về năng suất công việc . . . .
Dạng 3. Các bài toán chuyển động . . . . . . .
Dạng 4. Toán làm chung, làm riêng . . . . . . .
Dạng 5. Toán có yếu tố hình học . . . . . . . .
HÀM SỐ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Dạng 1. Đường thẳng trong hệ trục tọa độ Oxy
Dạng 2. Parabol và đường thẳng . . . . . . . .
HÌNH HỌC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
BẤT ĐẲNG THỨC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
GIỚI THIỆU MỘT SỐ ĐỀ THI . . . . . . . . . . . . .
I.
SỞ GD HÀ NỘI NĂM 2010 . . . . . . . . . . .
II.
SỞ GD HÀ NỘI NĂM 2011 . . . . . . . . . . .
III.
SỞ GD HÀ NỘI NĂM 2012 . . . . . . . . . . .
IV.
SỞ GD HÀ NỘI NĂM 2013 . . . . . . . . . . .
V.
SỞ GD HÀ NỘI NĂM 2014 . . . . . . . . . . .
VI.
SỞ GD HÀ NỘI NĂM 2015 . . . . . . . . . . .
VII. SỞ GD HÀ NỘI NĂM 2016 . . . . . . . . . . .
VIII. SỞ GD HÀ NỘI NĂM 2017 . . . . . . . . . . .

3

. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
TRÌNH
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .

.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

4
20
20

21
26
34
34
35
37
40
41
42
42
45
53
70
73
73
73
74
75
76
76
77
78


Trung tâm HỌC TỐT

dayhoctot.edu.vn

§1.

BIỂU THỨC ĐẠI SỐ
CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI

1.
2.
3.
4.
5.
6.

√
A2 = |A|
√
√ √
AB = A B với A ≥ 0 và B ≥ 0
√
 
A
A
= √ với A ≥ 0 và B > 0
B
B
√
√
A2 B = |A| B với B ≥ 0
√
√
A B = A2 B với A ≥ 0 và B ≥ 0
√
√

A B = − A2 B với A < 0 và B ≥ 0

1 √
A
=
AB với AB ≥ 0 và B = 0
B
|B|
√
A
A B
8. √ =
với B > 0
B
B
√
C
C( A ∓ B)
9. √
với A ≥ 0 và A = B 2
=
A − B2
A±B
√
√
C
C( A ∓ B)
√ =
10. √
với A ≥ 0, B ≥ 0 và A = B

A−B
A± B
 

7.

Ç

Câu 1. A =

1
2x + 1
√
−√
x x−1
x−1

x−2
√
: 1−
x+ x+1

å Ç

å

a) Rút gọn A

√
2− 3

b) Tính A biết x =
2

c) Tìm x ∈ Z để A ∈ Z

d) Tìm GTNN của A

e) Tìm x để A =

1
3

g) Tìm x để A >

1
2

√
Câu 2. B =

x(1 − x)2
:
1+x

f) So sánh A với 1

ñÇ

√
å Ç √

åô
x x−1 √
x x+1 √
√
+ x . √
− x
x−1
x+1
2
5

a) Rút gọn B

b) Tìm x để B =

√
c) Tính B biết x = 12 − 6 3

d) Tìm GTNN và GTLN của B

e) So sánh B với

1
2

Tập thể giáo viên Học Tốt biên soạn

3
f) Tìm x để B > √
x

4


Trung tâm HỌC TỐT
Ç

Câu 3. C =

dayhoctot.edu.vn

√
å Ç
å
2 x
2
√
√
: 3+
2x − 5 x + 3
1− x

a) Rút gọn C =

1
√
3−2 x
2
√
2− 3

c) Tính C với x =

b) Tìm GTNN của C với C =

1
1
.√
C x+1

d) Tìm x để C > 0

√
e) Tìm x ∈ Z để C ∈ Z
f) Tìm x để C = 5 x
√
Ç√
å
x+ x
x+1
1
2−x
√
√ +
√
√
Câu 4. E =
:
−
x−2 x+1
x

1− x x− x
a) Rút gọn E = √

x
x−1

b) Tìm x để E > 1

c) Tìm GTNN của E với x > 1

d) Tìm x ∈ Z để E ∈ Z

e) Tính E tại |2x + 1| = 5

f) Tìm x để E =

9
2

Ç√

Câu 5. G =

√
√ å Ç√
√ å
x+1
x
x
x+1 1− x

√
+√
+
+√
: √
x−1
x+1 1−x
x−1
x+1

a) Rút gọn G =

2x + 1
√
4 x

√
c) Tính G tại x = 17 − 4 13

b) Tìm GTNN của G với x > 0
d) Tìm x để G =

9
8

√
√
√
2 x−9
x+3 2 x+1

√
√
−√
−
Câu 6. K =
x−5 x+6
x−2
3− x
√
x+1
a) Rút gọn K = √
b) Tìm x để K < 1
x−3
1
K

c) Tìm x ∈ Z để K ∈ Z

d) Tìm GTNN của K =

e) Tìm x để K = 5

√
f) Tính K biết x − 3 x + 2 = 0

g) So sánh K với 1
√
√
Ç√
å Ç

å
x+1
x−1
1
x
2
√
√
√
√
Câu 7. M =
−
:
−
+
x−1
x+1
x+1 1− x x−1
√
4 x
8
√
a) Rút gọn M =
b) Tìm x để M =
x+2 x=1
9
√
c) Tính M tại x = 17 + 12 2
d) Chứng minh rằng M ≥ 0
e) So sánh M với 1

f) Tìm GTLN, GTNN của M
√
√
√
Ç
å Ç
å
x−3 x
9−x
x−3
x−2
√
√ −√
Câu 8. N =
−1 :
−
x−9
x+ x−6 2− x
x+3
Tập thể giáo viên Học Tốt biên soạn

5


Trung tâm HỌC TỐT

dayhoctot.edu.vn

3
a) Rút gọn N = √

x−2

b) Tìm x để N < 0

c) Tìm GTLN của N

d) Tìm x ∈ Z để N ∈ Z

√
e) Tính N tại x = 7 − 4 3
√
å Ç √
å
Ç √
3x + 3
2 x−2
2 x
x
+√
−
: √
−1
Câu 9. P = √
x+3
x−3
x−9
x−3
a) Rút gọn P = √

−3

x+3

c) Tìm GTNN của P

b) Tìm x ∈ Z để P ∈ Z
√
d) Tính P tại x = 25 − 4 6

√
å
x+2
x+1
1
√
√
Câu 10. R = 1 :
+
−√
x x−1 x+ x+1
x−1
√
x+ x+1
√
a) Rút gọn R =
b) So sánh R với 3
x
Ç

c) Tìm GTNN, GTLN của R
d) Tìm x ∈ Z để R > 4

√
e) Tính R tại x = 11 − 6 2
√ å Ç
√
Ç
å
a
1
2 a
√
Câu 11. S = 1 +
: √
− √
a+1
a−1 a a+ a−a−1
√
a+ a+1
a) Rút gọn S = √
b) Tìm a để S = 2a
a−1
c) Tìm GTNN của S với a > 1

d) Tính S tại a =

1
2

e) Tìm a ∈ Z để S ∈ Z
√
√

√
Ç
å
1
3x − 3 x − 3
x+1
x−2
√
√ −1
Câu 12. Y =
−√
+ √
.
x+ x−2
x+2
x
1− x
√
x−2
a) Rút gọn Y = √
b) Tìm x để Y = x
x+2
c) Tìm x ∈ Z để Y ∈ Z
√
√
x
3
6 x−4
+√
−

Câu 13. P = √
x−1
x+1
x−1
√
x−1
a) Rút gọn P = √
x+1
c) Tìm GTNN của P
√
2x + 2 x x − 1
xv + 1
√ −
√
Câu 14. P = √
+
x
x− x
x+ x
√
2x + 2 x + 2
√
a) Rút gọn P =
x
√
c) Tính P khi x = 12 + 6 3
Tập thể giáo viên Học Tốt biên soạn

d) Tìm GTLN của Y

b) Tìm x ∈ Z để P ∈ Z
√
d) Tính P tại x = 6 − 2 5

b) Tìm GTNN của P

6


Trung tâm HỌC TỐT

dayhoctot.edu.vn

Ç√

√
√ å2
å Ç
1
x−1
x+1
x
√
−√
. √ −
x+1
x−1
2 x
2

Câu 15. P =

1−x
a) Rút gọn P = √
x

b) Tìm GTLN, GTNN của P

c) Tìm x để P = 2

√
d) Tính P tại x = 3 − 2 2

√
f) So sánh P với −2 x
e) Tìm x để P > 0
√
√
x+1
x+2
x+1
√
Câu 16. P =
− √
−
x−1
x x−1 x+ x+1
√
− x
√

a) Rút gọn P =
b) Tìm GTLN của P
x+ x+1
c) Tìm x để P = −4

√
d) Tính P tại x = 6 − 2 5

e) Tìm x để P < −3

f) So sánh P với 1

g) Tìm x ∈ Z để P ∈ Z
√
√
x2 − x
2x + x 2(x − 1)
√
Câu 17. P =
− √
+ √
x+ x+1
x
x−1
√
a) Rút gọn P = x − x + 1
b) Tìm GTNN của P
c) Tìm x để P = 3

√

d) Tính P tại x = 7 + 2 3

e) Tìm x để P > 3

f) So sánh P với

1
2

√
å Ç
å
a+3 a+2
a
1
1
√
√
Câu 18. P =
−
+√
: √
a+ a−2
a− a
a+1
a−1
√
a+1
a) Rút gọn P = √
b) Tìm x để P = 3

2 a
√
c) Tính P tại x = 15 − 6 6
d) Tìm x để P > 3
Ç

1
2
√ å Ç
√
Ç
å
x
1
2 x
√
Câu 19. P = 1 +
: √
−1
− √
x+1
x−1 x x+ x−x−1
e) So sánh P với

x+2
a) Rút gọn P = √
x−1

b) Tìm GTLN, GTNN của P =

c) Tìm x để P = 5

d) Tìm x để P > 0

1
P

√
e) Tính P tại x = 5 − 2 6
√ å
√
√
Ç √
2x x + x − x x + x
x−1
x
√
√
Câu 20. P =
−
.
+ √
x x−1
x−1
2x + x − 1 2 x − 1
Tập thể giáo viên Học Tốt biên soạn

7

Trung tâm HỌC TỐT

dayhoctot.edu.vn

√
x+ x
√
a) Rút gọn P =
x+ x+1

b) Tìm GTLN, GTNN của P

c) Tìm x để P = 2

√
d) Tính P tại x = 8 + 2 10

e) Tìm x để P > 1
√
x+2
x+1
1
√
Câu 21. P = √
+
−√
x x−1 x+ x+1
x−1
√
x

√
a) Tính P =
b) Tìm GTLN, GTNN của P
x+ x+1
c) Tìm x để P =

1
3

√
d) Tính tại x = 22 − 4 10

√
å
3x + 3 x − 3
1
1
√
Câu 22. P =
+√
+√
−2
x+ x−2
x−1
x+2
√
x+1
a) Rút gọn P = √
b) Tìm GTLN của P
x−1

Ç

c) Tìm x để P = 4

√
d) Tính P tại x = 17 + 12 2

e) Tìm x để P < 2
f) So sánh P với 3
√
√
√
Ç
å Ç
å
3+ x 3− x
4x
5
4 x+2
√ −
√ −
√ − √
Câu 23. P =
:
3− x 3+ x x−9
3− x 3 x−x
a) Rút gọn P = √

4x
x−2

b) Tìm GTNN của P với x > 4

√
d) Tìm x để P > 4 x
√
√
√
å Ç
å
Ç
25 − a
a−5
a+2
a−5 a
√
√ −√
Câu 24. P =
−1 :
−
a − 25
a + 3 a − 10 2 − a
a+5
c) Tìm x để P = 3

a) Rút gọn P = √

5
a+2

c) Tìm a để P = 2

b) Tìm GTLN của P
√
d) Tính P tại a = 4 − 2 3

e) Tìm a để P > 2
Ç √
å √
x
4x
x+3
Câu 25. P = √
+ √
:√
x−2 2 x−x
x−2
√
x−4
a) Rút gọn P = √
b) Tính GTNN của P
x+3
c) Tìm x để P = −1

√
d) Tính P tại x = 11 − 4 6

e) Tìm x để P > −1
f) So sánh P với 1
√

√
( a − 1)
6 − 2( a − 1)2
2
√
√
Câu 26. P = √
−
+√
2
3 a + ( a − 1)
a a−1
a−1
Tập thể giáo viên Học Tốt biên soạn

8


Trung tâm HỌC TỐT
√
5 a+1
√
a) Rút gọn P =
a+ a+1

dayhoctot.edu.vn
b) Tìm GTLN, GTNN của P

√
c) Tìm x để P = 1

d) Tính P tại x = 7 − 2 6
√
√ å
Ç√
å Ç√
x−x−3
x+1
x−1
1
8 x
Câu 27. P =
−√
: √
−√
−
x−1
x−1
x−1
x+1 x−1
a) Rút gọn P =

x+4
√
4 x

b) Tìm GTLN, GTNN của P

c) Tìm x để P = 8

d) Tìm x ∈ Z để P ∈ Z

√
e) Tính P tại x = 10 − 2 21

f) Tìm x để P > 5

g) So sánh P với 4
√ å
√
√
√
2x + x − 1 2x x + x − x
x− x
√
Câu 28. P = 1 +
−
. √
1−x
1−x x
2 x−1
Ç

a) Rút gọn P

b) Tìm GTLN, GTNN của P
√
d) Tính P khi x = 13 − 4 10
c) Tìm x để P = 3
√ å Ç √
√

Ç √
å
x
x+1
x+2
3− x
√
√
Câu 29. P =
+
:
+ √
2 x−2
2x − 2
x+ x+1 x x−1
a) Rút gọn P =

x+3
√
2( x + 1)

c) Tìm x để P = 3

b) Tìm GTLN, GTNN của P
√
d) Tính P tại x = 15 + 6 6

e) Tìm x để P > 4
f) So sánh P với 2
√

√
√
Ç
å Ç
å
x+ x−4
x−1
x−3
√
√
Câu 30. P =
+
: 1− √
x−2 x−3 3− x
x−2
√
x−2
a) Rút gọn P = √
b) Tìm GTNN của P
x+1
c) Tìm x để P =

1
2

e) Tìm x để P > −1

√
d) Tính P tại x = 5 + 2 6
f) So sánh P với 1

√
å Ç
å
1
2 x−2
1
2
√
Câu 31. P = √
− √
: √
−
x+1 x x− x+x−1
x−1 x−1
√
x−1
1
a) Rút gọn P = √
b) Tìm x để P = √
x+1
3 x
Ç

c) Tìm GTNN của P
Ç

Câu 32. P =

d) Tính P tại x =

7
2

√

√
√
√
å Ç
å
x+2
x+3
x+2
x
√
√ −√
−
: 1− √
x−5 x+6 2− x
x−3
x+1

Tập thể giáo viên Học Tốt biên soạn

9


Trung tâm HỌC TỐT

dayhoctot.edu.vn

√

x+1
x−4

a) Rút gọn P =

b) Tìm x để P = 3

c) Tìn x ∈ Z để P ∈ Z

√
d) Tính P tại x = 5 − 2 6

e) Tìm x để P > 2

f) So sánh P với 2

g) Tìm GTLN, GTNN của P =

1
P

√
å
1
x+2
x+1

√
√ + √
+
x+ x+1 1− x x x−1
√
a) Rút gọn P = x + x + 1
b) Tìm x để P = 6

√
Câu 33. P = x :

Ç

√
d) So sánh P với 3 x

c) Tìm x để P > 3
e) Tìm GTNN của P

√
√
√
x+3
x−2
3(x + x − 3
√
+√
−√
Câu 34. P =
x+ x−2

x+2
x−1
√
3 x+8
7
a) Rút gọn P = √
b) Tìm x để P =
x+2
2
√
d) Tính P tại x = 13 − 4 10

c) Tìm x ∈ Z để P ∈ Z
e) Tìm x để P >

10
3

f) So sánh P với 3

g) Tìm GTLN, GTNN của P
√
√
√
å
å Ç
3− x
x
x+1 2 x+7
√

√
√
−
−
+1
Câu 35. P =
:
x−2
x+2
x−4
x−2
√
√
x−5
a) Rút gọn P = √
b) Tính P biết x = 9 − 4 5
x+2
Ç

√

d) Tìm x ∈ Z để P ∈ Z

c) Tìm GTNN của P
Ç

Câu 36. P =

√
√

√
√
å Ç
å
2+ x
x+1 2 x+7
2
x+3
√ −√
√ − √
−
:
2− x
x+2
x−4
2− x 2 x−x

a) Rút gọn P = √

4x
x−3

b) Tìm x để P = −1

c) Tìm x ∈ Z để P ∈ Z

√
d) Tính P tại x = 15 − 4 14

e) Tìm x để P > 4

√
f) So sánh P với 4 x

g) Tìm GTLN, GTNN của P với x > 9
Ç

Câu 37. P =

2x + 1
1
√
−√
x x−1
x−1

å Ç

Tập thể giáo viên Học Tốt biên soạn

x+4
√
: 1−
x+ x+1

å

10

Trung tâm HỌC TỐT

dayhoctot.edu.vn

√
x
a) Rút gọn P = √
x−3

b) Tìm x để P = −2

c) Tìm x ∈ Z để P ∈ Z

√
d) Tính P tại x = 23 − 4 15

√
x−3
f) Tìm GTLN, GTNN của P = √
.P
e) Tìm x để P > 1
x+1
√
√
√
√
x x + 26 x − 19
2 x
x−3
√

Câu 38. P =
−√
+√
x+2 x−3
x−1
x+3
x + 16
a) Rút gọn P = √
x+3

√
b) Tính P tại x = 7 − 4 3

c) Tìm GTNN của P

d) Tìm x để P = 7

√
f) Tính P tại x = 17 − 12 2
e) Tìm x ∈ Z để P ∈ Z
√
g) Tìm x để P < x
h) Tìm GTNN của P
√
√
√
2 x+1
x+3 2 x+1
√
√

Câu 39. P =
−√
−
x − 7 x + 12
x−4
3− x
√
»
√
x−2
a) Rút gọn P = √
b) Tính P tại x = 2 7 − 4 3
x−4
√
c) Tìm x để P < P 2
d) Tìm x để P = 2
e) Tìm x ∈ Z để P ∈ Z
√
x−4
g) Tìm GTLN, GTNN của P = P. √
x+2
√
√
x x−1 x x+1 x+1
√ −
√ + √
Câu 40. P =
x− x
x+ x
x

√
x+2 x+1
√
a) Rút gọn P =
x
c) Tìm x ∈ Z để P ∈ Z
e) So sánh P với 4
√
√
x
3
6 x−4
Câu 41. P = √
+√
−
x−1
x+1
x−1
√
x−1
a) Rút gọn P = √
x+1

f) Tìm x để P > 1

b) Tìm x để P =

9
2

√
d) Tính P tại x = 25 − 6 14
f) Tím GTLN, GTNN của P

b) Tìm x để P = −1

c) Tìm x ∈ Z để P ∈ Z

√
d) Tính P tại x = 11 − 4 6

e) Tìm x để P > 2

f) So sánh P với 1

g) Tìm GTNN của P

h) Tính P tại x =

i) Tìm x để P <

»

»
√
√
7+4 3+ 7−4 3

1
2

Tập thể giáo viên Học Tốt biên soạn

11


Trung tâm HỌC TỐT
√
√
å
1
x
x
√
Câu 42. P = √ + √
:
x
x+1
x+ x
√
x+ x+1
√
a) Rút gọn P =
x

dayhoctot.edu.vn

Ç

c) Tìm x ∈ Z để P ∈ Z

b) Tìm x để P = −1
d) Tìm x để P >

√

x+2

8
8
f) Tính P tại x = √
−√
5−1
5+1
√
å Ç √
å
Ç √
x
3x + 3
2 x−2
2 x
+√
−
: √
−1
Câu 43. P = √
x+3
x−3
x−9

x−3
e) Tìm GTLN, GTNN của P

a) Rút gọn P = √

−3
x+3

b) Tìm x ∈ Z để P ∈ Z

c) Tìm x khi x = 16
d) Tìm GTNN của P
√
√
Ç √
å
x+1
x−1
x+1
x+2 x+1
√
√
Câu 44. P =
− √
−
:
2 x−2 2 x+2 1−x
x+ x
√
x

a) Rút gọn P = √
b) Tìm x để P = 2
x−1
c) Tìm x ∈ Z để P ∈ Z
√
√ å
Ç
å Ç
2 x
1
x
√
√
−√
Câu 45. P =
: 1+
x x−x+ x−1
x−1
x+1
√
−1
1− x
√
a) Rút gọn P =
b) Tìm x để P =
x+ x+1
7
c) Tìm x ∈ Z để P ∈ Z
e) So sánh P với 1
√

x
2
x+9
Câu 46. P = √
−√
+
x+3
x−3 9−x
a) Rút gọn P = √

−5
x−3

c) Tìm x ∈ Z để P ∈ Z

d) Tìm P tại x = 9
f) Tìm GTLN, GTNN của P

b) Tìm x để P = 5
√
d) Tính P tại x = 11 − 6 2

e) Tìm x để P > 0
√
√
√
x+3
x=2
x+2
√ +

√
Câu 47. P = √
+
x−2 3− x x−5 x+6
a) Rút gọn P = √

1
x−2

c) Tìm x ∈ Z để P ∈ Z

b) Tìm x để P = −1
√
d) Tính P tại x = 6 − 4 2

e) Tìm x để P > 1
Tập thể giáo viên Học Tốt biên soạn

12


Trung tâm HỌC TỐT

dayhoctot.edu.vn
√

Ç

x
Câu 48. P = 1 − √

x+1

å Ç√

:

√
√
å
x+3
x+2
x+2
√
√ +
√
+
x−2 3− x x−5 x+6

a) Rút gọn P

b) Tính giá trị của x để P < 0
√ å Ç
√
å
Ç √
x−1
1
8 x
3 x−2
√

− √
+
: 1− √
Câu 49. P =
3 x − 1 3 x + 1 9x − 1
3 x+1
a) Rút gọn P

b) Tìm các giá trị của x để P =

6
5

√ å Ç
√
å
a
1
2 a
√
Câu 50. P = 1 +
: √
− √
a+1
a−1 a a+ a−a−1
Ç

a) Rút gọn P

b) Tìm giá trị của a để P < 1

√
c) Tìm giá trị của P nếu a = 19 − 8 3
√
5
1
a+2
√
√
Câu 51. P = √
−
+
a+3 a+ a−6 2− a
a) Rút gọn P
Câu 52. P =

b) Tìm giá trị của a để P < 1
√
√
√
√
√
√
x+1
2x + x
x+1
2x + x
√
+ √
−1 : 1+ √

− √
2x + 1
2x − 1
2x + 1
2x − 1

√
1
b) Tính giá trị của P khi x = (3 + 2 2)
2
√
√ å
Ç
å Ç
1
2 x
x
√
√
−√
Câu 53. P =
: 1+
x x+ x−x−1
x−1
x+1
a) Rút gọn P

b) Tìm x để P ≤ 0

a) Rút gọn P

Ç

Câu 54. P =

√
√
å
2a + 1
a
1 + a3 √
√
√
√ − a
−
a+ a+1
1+ a
a3
√
b) Xét dấu của biểu thức P. 1 − a

a) Rút gọn P
Ç

Câu 55. P = 1 :

√
√
å
x+2
x+1

x+1
√
√
+
−
x x−1 x+ x+1
x−1

a) Rút gọn P
Ç

Câu 56. P =

b) So sánh P với 3
√
√
åÇ
å
1−a a √
1+a a √
√ + a
√ − a
1− a
1+ a

√
b) Tìm a để P < 7 − 4 3
√
Ç √
å Ç √

å
2 x
x
3x + 3
2 x−2
Câu 57. P = √
+√
−
: √
−1
x+3
x−3
x−9
x−3
a) Rút gọn P

a) Rút gọn P

b) Tìm x để P <

1
2

c) Tìm GTNN của P
Tập thể giáo viên Học Tốt biên soạn

13


Trung tâm HỌC TỐT

Ç

Câu 58. P =

dayhoctot.edu.vn

√
√
√
å Ç
å
x−3 x
9−x
x−3
x−2
√
√ −√
−1 :
−
x−9
x+ x−6 2− x
x+3

a) Rút gọn P

b) Tìm giá trị của x để P < 1

√
√
√

3 x−2 2 x+3
15 x − 11
√
√ − √
+
Câu 59. P =
x+2 x−3
1− x
x+3
a) Rút gọn P

b) Tìm giá trị của x để P =

c) Chứng minh P ≤

1
2

2
3

√
√
2 x
x
m2
Câu 60. P = √
+√
−
với m > 0

x+m
x − m 4x − 4m2
a) Rút gọn P
b) Tính x theo m để P = 0
c) Xác định các giá trị của m để x tìm được ở cau b thỏa mãn điều kiện x > 1
√
√
a2 + a
2a + a
√
Câu 61. P =
− √
+1
a− a+1
a
a) Rút gọn P

b) Tìm a để P = 2

c) Tìm GTNN của P
√
√
√
a+1
ab + a
√
+ √
−1 :
ab + 1
ab − 1

Câu 62. P =

√
√
√
a+1
ab + a
√
− √
+1
ab + 1
ab − 1

a) Rút gọn P
b) Tính giá trị của P nếu a = 2 −

√

√
3 và b =

3−1
√
1+ 3

√
√
c) Tìm GTNN của P nếu a + b = 4
√

√
√
Ç
å Ç√
å
√
a a−1 a a+1
1
a+1
a−1
√ −
√ +
√
Câu 63. P =
a− √
+√
a− a
a+ a
a
a−1
a+1
a) Rút gọn P

b) Với giá trị nào của a thì P = 7

c) Với giá trị nào của a thì P > 6
Ç√

Câu 64. P =

a
1
− √
2
2 a

å2 Ç √

√
å
a−1
a+1
√
−√
a+1
a−1

a) Rút gọn P

b) Tìm các giá trị của a thì P < 0

c) Tìm các giá trị của a để P = −2
√
√
√
√
( a − b)2 + 4 ab a b − bsqrta
√
√
Câu 65. P =

.
√
a+ b
ab
Tập thể giáo viên Học Tốt biên soạn

14


Trung tâm HỌC TỐT

dayhoctot.edu.vn

a) Tìm điều kiện để P có nghĩa
b) Rút gọn P
√
√
c) Tính giá trị của P khi a = 2 3 và b = 3
√
Ç
å √
x+2
x
x−1
1
√
√
√
Câu 66. P =
+

+
:
x x−1 x+ x+1 1− x
2
a) Rút gọn P

b) Chứng minh rằng P > 0 với mọi x = 0
√
å Ç
å
Ç √
1
2 x+x
x+2
√
√
−√
: 1−
Câu 67. P =
x x−1
x−1
x+ x+1
√
√
a) Rút gọn P
b) Tính P khi x = 5 + 2 3
Ç

Câu 68. P =

1
3x
2
√ +
√
−
2+ x 4−x 4−2 x

a) Rút gọn P
√

√
x3 − y 3
y−x

a) Rút gọn P
√
1
3 ab
√ + √
√
√
a+ b a a+b b

Câu 70. P =

:

1
√

4−2 x
b) Tìm giá trị của x để P = 20

x−y
√
√ +
x− y

Câu 69. P =

å

√
√
√
( x − y)2 + xy
√
:
√
x+ y
b) Chứng minh P ≥ 0
√
1
3 ab
a−b
√ − √
√ : √
√
a− b a a−b b
a ab + b

a) Rút gọn P

b) Tính P khi a = 16 và b = 4
√
√
√
√
Ç
å
2a + a − 1 2a a − a + a
a− a
√
−
Câu 71. P = 1 +
. √
1−a
1−a a
2 a−1
√
6
√ tìm giá trị của a
a) Rút gọn P
b) Cho P =
1+ 6
c) Chứng minh rằng P >
Ç

Câu 72. P =
a) Rút gọn P

Câu 73. P =

2
3

√
√
√
å Ç
å
x+3
x−5
x−5 x
25 − x
√
√
√
−1 :
−
+
x − 25
x + 2 x − 15
x+5
x−3
b) Với giá trị nào của x thì P < 1
√
√
√
3 a
3a

1
(a − 1).( a − b)
√
√ +√
√ :
√
− √
a + ab + b a a − b b
a− b
2a + 2 ab + 2b

a) Rút gọn P
b) Tìm giá trị nguyên của a để P có giá trị nguyên
√
Ç
å Ç√
å
1
1
a+1
a+2
Câu 74. P = √
−√
: √
−√
a−1
a
a−2
a−1
a) Rút gọn P

Tập thể giáo viên Học Tốt biên soạn

b) Tìm giá trị của a để P >

1
6
15


Trung tâm HỌC TỐT
Câu 75. P =

dayhoctot.edu.vn

1
1
2
1
1
√ + √ .√
:
√ +√ +
x
y
x+ y
x y

√
√
√ √

√
x3 + y x √
x y + y 3 x3 y + xy 3
+

a) Rút gọn P
b) Cho x.y = 16. Xác định x, y để P có giá trị nhỏ nhất.
√
x3
2x
1−x
√
√
−
Câu 76. P = √
√
√ .
xy − 2y x + x − 2 xy − 2 y 1 − x
a) Rút gọn P
b) Tìm tất cả cá số nguyên dương x để y = 625 và P < 0, 2
√
√
√
Ç
å Ç
å
3+ x 3− x
4x
5
4 x+2

√ −
√ −
√ − √
Câu 77. C =
:
3− x 3+ x x−9
3− x 3 x−x
b) Tìm giá trị của C 2 = 40C

a) Rút gọn C
Câu 78. M =

√
√
√
Ç
å
25 − a
a − 25a
a−5
a+2
√
√ −√
−1 :
−
a − 25
a + 3 a − 10 2 − a
a+5

a) Rút gọn M

b) Tìm giá trị của a để M < 1

c) Tìm giá trị lớn nhất củaM
√
√
Ç √
å Ç√
å
x
x+2
x−4
4 x−3
√
Câu 79. P = √
+ √
−√
:
x−2 2 x−x
x
x−2
a) Rút gọn P

b) Tìm các giá trị của x để P > 0

√
c) Tính giá trị nhỏ nhất của P
√
√
( a − 1)2

3 − 2( a − 1)2
2
√
√
Câu 80. P = √
−
+√
2
3 a + ( a − 1)
a a−1
a−1
√
2 a−1
a) Rút gọn P
b) So sánh P với biểu thức Q = √
a−1
√
√ å
Ç√
å Ç√
m−m−3
1
m+1
m−1
8 m
Câu 81. A =
−√
: √
−√
−

m−1
m−1
m−1
m+1 m−1
a) Rút gọn A

b) So sánh A với 1
√
√
√ å
√
Ç
2x + x − 1 2x x + x − x x − x
√
√
Câu 82. A = 1 +
−
1−x
1−x x
2 x−1
a) Rút gọn A

√
6− 6
b) Tìm x để A =
5

2
là bất đẳng thức sai
3

√ å Ç √
√
Ç √
å
x
3− x
x+1
x+2
√
√
Câu 83. P =
+
:
+ √
2 x−2
2x − 2
x+ x+1 x x−1
c) Chứng tỏ A ≤

Tập thể giáo viên Học Tốt biên soạn

16


Trung tâm HỌC TỐT

dayhoctot.edu.vn

a) Rút gọn P
b) Chứng minh rằng P > 1

√
c) Tính giá trị của P , biết |x + 2 x| = 3
√
√
√
d) Tính các giá trị của x để: (2 x + 2).P + 5 = (2 x + 2).(2 − x − 4)
√
√ å
√
Ç √
x
2x x + x − x x + x
x−1
√
√
Câu 84. P =
−
.
+ √
x x−1
x−1
2x + x − 1 2 x − 1
a) Rút gọn P
√
5 x−3
√
b) Tìm giá trị lớn nhất của A = P.
x+ x
c) Tìm các giá trị của m để mọi x > 2 ta có: P.(x +
√

√
√
3(x + x − 3)
x+3
x−2
√
Câu 85. P =
+√
−√
x+ x−2
x+2
x−1
a) Rút gọn P
Ç

Câu 86. P =

√

x + 1) − 3 > m(x − 1) +

b) Tìm x để P <
√
√
å Ç√
å
x−4
3
x+2
x

√
√ −
√
:
−√
x−2 x 2− x
x
x−2

√

x

15
4

a) Rút gọn P
√
b) Tìm x để P = 3x − 3 x
√
√
c) Tìm các giá trị của a để x thỏa mãn: P ( x + 1) > x + a
√
√
√
2 x−9
x+3 2 x+1
√
√
−√

−
Câu 87. P =
x−5 x+6
x−2
3− x
a) Rút gọn P

b) Tìm các giá trị của x để P < 1

c) Tìm x ∈ Z để P ∈ Z
√
√ ô Ç
ñ
å
a+3 a+2
a+ a
1
1
√
Câu 88. P √
−
: √
+√
( a + 2)( a − 1)
a−1
a+1
a−1
1
a) Rút gọn P
b) Tìm a để

−
P
√ å Ç
√
Ç
å
x
1
2 x
√
: √
−1
Câu 89. P = 1 +
− √
x+1
x−1 x x+ x−x−1

√
a+1
≥1
8

a) Tìm điều kiện để P có nghĩa và rút gọn P
√
b) Tìm các giá trị nguyên của x để biểu thức P − x nhận giá trị nguyên
√ åÇ
√ å
Ç
a+ a
a− a

√
Câu 90. P = 1 + √
1−
; (≥ 0, a = 1)
a+1
−1 + a
√
a) Rút gọn P
b) Tìm a biết P > − 2
√
c) Tìm a biết P = a
Tập thể giáo viên Học Tốt biên soạn

17


Trung tâm HỌC TỐT

dayhoctot.edu.vn

Ç√

√
√ å Ç√
å
x+1
x−1
8 x
x−x−3
1

√
−√
−
:
−√
x−1
x+1 x−1
x−1
x−1

Câu 91. B =
a) Rút gọn B

√
b) Tính giá trị của B khi x = 3 + 2 2
c) Chứng minh rằng B ≤ 1 với mọi giá trị của x thỏa mãn x ≥ 0 ; x = 1
Câu 92.
√
√
√
a+3
a−1 4 a−4
1. P = √
−√
+
; (a ≥ 0 ; a = 4)
a−2
a+2
4−a
a) Rút gọn P

b) Tính giá trị của P với a = 9

√
√
x+1
x−1
2
− √
−√
; (x ≥ 0 ; x = 1)
2. Rút gọn biểu thức: P = √
2 x−2 2 x+2
x−1
√
å √
Ç
1
x+2
x
x−1
√
√
√
+
+
:
với x > 0 và x = 1
Câu 93. A =
x x−1 x+ x+1 1− x

2
a) Rút gọn biểu thức A
b) Chứng minh rằng 0 < A < 2
√
√
Ç √
å
x x−1 x x+1
2(x − 2 x + 1)
√ −
√
Câu 94. A =
:
x− x
x= x
x−1
a) Rút gọn A
Ç

Câu 95. A =

b) Tìm x nguyên để A có giá trị nguyên
x + 1 x − 1 x2 − 4x − 1 x + 2003
−
+
.
x−1 x+1
x2 − 1
x
å

a) Tìm điều kiện đối với x để biểu thức có nghĩa
b) Rút gọn A
c) Tìm x ∈ Z để A ∈ Z
Ç

åÇ

å

1
1
3
+√
1− √
với a > 0 và a = 9
Câu 96. Rút gọn biểu thức: A = √
a−3
a+3
a
Ç √
å
√
x x+1
x−1
−√
(x − x) với x ≥ 0 , x = 1
Câu 97. Rút gọn biểu thức sau: A =
x−1
x+1

√
Ç √
å √
x+2
x−2
x+1
√
Câu 98. Q =
−
. √
với x > 0 ; x = 1
x+2 x+1
x−1
x
a) Chứng minh rằng Q =

2
x−1

b) Tìm số nguyên x lớn nhất để Q có giá trị nguyên
Ç √
å Ç √
å
2 x+x
1
x+2
√
√
Câu 99. A =
−√

:
x x−1
x−1
x+ x+1
a) Rút gọn biểu thức
Ç

Câu 100. A =

1
1
√ +
√
1− x 1+ x

b) Tính giá trị của
å Ç

Tập thể giáo viên Học Tốt biên soạn

:

√

√
A khi x = 4 + 2 3

å

1

1
1
√ −
√
√
+
1− x 1+ x
1− x
18


Trung tâm HỌC TỐT

dayhoctot.edu.vn

a) Rút gọn biểu thức A
√
b) Tính giá trị của A khi x = 7 + 4 3
c) Với giá trị nào của x thì A đạt giá trị nhỏ nhất
√
Ç √
å
a a−1 a a+1
a+2
√
√
Câu 101. A =
−
:
a− a

a+ a
a−2
a) Với những giá trị nào của a thì A xác định
b) Rút gọn biểu thức A
c) Với những giá trị nguyên nào của a thì A có giá trị nguyên
√ å Ç
√ å
Ç
a+ a
a− a
Câu 102. A = √
. √
;a≥0, a=1
a+1
a−1
a) Rút gọn biểu thức A
b) Tìm a ≥ 0 và s = 1 thỏa mãn đẳng thức A = −a2
√
Ç
å
1−a a √
1
√ + a .
√ (a ≥ 0 , a = 1)
Câu 103. Rút gọn biểu thức: M =
1− a
1+ a
√
√
√

y
y
2 xy
Câu 104. S =
:
(x > 0 , y > 0 , x = y)
√ +
√
x + xy x − xy
x−y
a) Rút gọn biểu thức trên

b) Tìm giá trị của x và y để S = 1

1
x
Câu 105. A = √
+√
với x > 0 , x = 1
x+1
x−x
1
b) Tính giá trị của A khi x = √
2
√
Ç
å Ç√
å
1
1

x+2
x+1
Câu 106. A = √ − √
−√
: √
(x > 0 , x = 1, x = 4)
x
x−1
x−1
x−2
a) Rút gọn biểu thức A

a) Rút gọn A

b) Tìm x để A = 0
√
å Ç √
å
Ç √
x+1
1
x
x+1
+√
: √
− √
Câu 107. B = √ √
x( x − 1)
x−1
x−1

x
a) Tìm điều kiện đối với x để B xác định. Rút gọn B
√
b) Tìm giá trị của B khi x = 3 − 2 2

Tập thể giáo viên Học Tốt biên soạn

19


Trung tâm HỌC TỐT

§2.

dayhoctot.edu.vn

HỆ PHƯƠNG TRÌNH

Dạng 1. Giải hệ phương trình
1. Phương pháp thế.
• Bước 1. Từ một phương trình trong hệ rút ẩn này theo ẩn kia.
• Bước 2. Thế vào phương trình còn lại.
2. Phương pháp cộng đại số.
• Bước 1. Nhân một hoặc cả hai phương trình với hệ số thích hợp
• Bước 2. Cộng hay trừ từng vế hai phương trình của hệ tạo ra một phương
trình đơn giản.
• Bước 3. Phương trình mới ấy thay thế cho một trong hai phương trình của hệ.
3. Phương pháp đặt ẩn phụ.
• Bước 1. Đặt ẩn phụ thích hợp và tìm điều kiện của ẩn (nếu có).
• Bước 2. Giải hệ phương trình theo ẩn mới.

• Bước 3. Thay vào cách đặt tìm nghiệm ban đầu.
Câu 1. Giải các hệ phương trình sau:
2x = 4
;
x + 2y = 8

a)

1
x+
c)  2

x+y




3
y=2
5
;
=3







x+1 y+2

2(x − y)
−
=
4
5
e)  3
;
y
−
3
x
−
3



−
= 2y − x
4
3
 x
√
y

√
√
−
=
2
3



2
3
g) 
;
y

x + √ = 2
5

x − 2y = 10
;
3x + 5y = −14

b)

1
1
x+ y =1
2
d)  3
;
1
2
1

 x+ y =
5
9

3
√
√
 2x + 3y = 2
√
√ ;
f)  √
− 3x + 2y = 6





h)

 Ä√
√ ä
ä
Ä

2+1 x− 2− 3 y
√ ä
Ä
Ä√
ä
 2+ 3 x+
2−1 y

=2
=2

.

Câu 2. Giải các hệ phương trình sau:
1 1
1
+ =
x y
4
a) 
;
10 1


+ =1

x
y

15 4
− =6
x
y
b) 
;
4 9


 + = 62
x y

5
2
−
= 11
2x + 3 2y + 1
c) 
;
1
1


+
= −2

2x + 3 2y + 1

2
5
−
=8
2x + 1 2y − 1
d) 
;
3
1


−
=1


2x + 1 2y − 1













Tập thể giáo viên Học Tốt biên soạn













20

Trung tâm HỌC TỐT

dayhoctot.edu.vn

1
3
+
= 10
x+y x−y
;
e) 
2
3


−
=3

x+y x−y

2
1
+
=3
x + 2y 3x + 1
f) 
;
2

1


−
= −4

x + 2y 3x + 1

3
7
10
+
=
x−y+2 x+y−1
2
g) 
;
2
3


+
=3

x − y + 2 3x + 1

2
3
+
=6

2x − 3y x + y
h) 
.
2
7


−
= −5

x + y 2x − 3y

























Câu 3. Giải các hệ phương trình sau:
a)

|x − 1| = 1
;
x + 2y = 6

b)

x+y =1
;
x − |y − 2| = 3

c)

2x + y = 3
;
|x − y| = 2

d)

|x + 1| + |y − 1| = 3
;
|x + 1| − y = 1

e)

|x − 1| + 3|y − 2| = 9
;
|x − 1| − |y − 2| = 1

f)

2|3x − 1| − |y + 2| = 3
;
|3x − 1| + |y + 2| = 6

g)

2|x + y| + |x − y| = 5
;
5|x + y| − 3|x − y| = 7

h)

|x + 2y − 1| + 3|x − y + 2| = 10
.
8|x + 2y − 1| − 5|x − y + 2| = −7

Câu 4. Giải các hệ phương trình sau:
√
√
3 x+2 y =8
a) √

;
√
x+3 y =5

c)

e)

g)

√
»
 x+1+ y−2=2
»
√
2 x + 1 + 3 y − 2 =
 »
2 x − y
»
7 x − y

b)

;

»

;

;

= 15

d)

f)

 »
»
 3 3 2x + y + 4 3 x − y − 1 = 10
»
»
 11 3 2x + y − 17 3 x − y − 1 = 5

»

+1−2 x+y−2=3
√
√
3 x + 5 y = 21
√
;
√
2 x − 3 y = −11

= −3

 √
»
 2 3 2x + 3 + y − 1 = 7

»
√
 9 3 2x + 3 − 4 y − 1 = 6

5

+1+3 x+y−2=8

 √
»
 2 3 2x + 5 + 5 3 y − 1
»
√
 9 3 2x + 5 − 6 3 y − 1


 x2

− 3x +

;

;

»

y−1=3
»
.
h) 

2(x2 − 3x) − 3 y − 1 = −19

Dạng 2. Hệ phương trình chứa tham số
Học sinh cần ôn lại một số dạng toán điển hình sau:
• Xác định giá trị của tham số để hệ vô nghiệm, có nghiệm hoặc vô số nghiệm.
• Xác định giá trị của tham số để hệ có nghiệm thỏa mãn một đẳng thức hoặc tính
chất cho trước.
• Tìm đẳng thức liên hệ giữa các ẩn không phụ thuộc tham số.
Câu 5. Cho hệ phương trình:

x + 2y = m
2x + 5y = 1

Tập thể giáo viên Học Tốt biên soạn

21


Trung tâm HỌC TỐT

dayhoctot.edu.vn

a) Giải hệ phương trình với m = 1
b) Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất thỏa mãn y = |x|
Câu 6. Cho hệ phương trình:

x + my = 2
mx − 2y = 1

a) Giải hệ phương trình với m = 2

b) Tìm các số nguyên m để hệ có nghiệm duy nhất với x > 0 và y < 0
c) Tìm các số nguyên m để hệ có nghiệm duy nhất thỏa mãn x > 2y
Câu 7. Cho hệ phương trình:

mx − 2y = m
− 2x + y = m + 1

a) Giải hệ phương trình với m = 1
b) Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất, tìm nghiệm duy nhất đó.
Câu 8. Cho hệ phương trình:

x + my = 1
mx + y = 1

a) Giải hệ phương trình với m = 2
b) Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất thỏa mãn x, y > 0
Câu 9. Cho hệ phương trình:

(a − 1)x − 2y = 1
3x + ay = 1

a) Giải hệ phương trình với a = 2
b) Chứng minh với mọi a hệ phương trình có nghiệm duy nhất lớn nhất
Câu 10. Cho hệ phương trình:

mx + 2y = 4
x−y =m

a) Giải hệ phương trình với m = 2
b) Với giá trị nào của m thì hệ có nghiệm duy nhất ? Tìm nghiệm đó ?

c) Tìm m để hệ có vô số nghiệm ?
Câu 11. Tìm giá trị của m để hệ phương trình:
(m + 1)x − y = m + 1
x + (m − 1)y = 2
Có nghiệm duy nhất thỏa mãn điều kiện x + y nhỏ nhất.
Câu 12. Cho hệ phương trình:

2x + by = −4
bx − ay = −5

Tập thể giáo viên Học Tốt biên soạn

22


Trung tâm HỌC TỐT

dayhoctot.edu.vn

a) Giải hệ phương trình khi a = |b|
b) Xác định a và b để hệ phương trình có nghiệm:
• (1; −2)
• Để hệ có vô số nghiệm

Câu 13. Giải và biện luận hệ phương trình theo tham số m:
Câu 14. Với giá trị nào của a thì hệ phương trình:

mx − y = 2m
4x − my = 6 + m

x + ay = 1
ax + y = 2

a) Có một nghiệm duy nhất
b) Vô nghiệm
(a + 1)x − y = 3
ax + y = a
√
a) Giải hệ phương trình khi a = 2

Câu 15. Cho hệ phương trình:

b) Xác định giá trị của a để hệ có nghiệm duy nhất thỏa mãn điều kiện x + +y > 0
Câu 16. Cho hệ phương trình:

4x − 3y = 6
− 5x + ay = 8

a) Giải phương trình
b) Tìm giá trị của a để hệ có nghiệm duy nhất âm
mx − y = 2
3x + my = 5
Tìm giá trị của m để hệ có nghiệm x = 1
Câu 17. Cho hệ phương trình:

Câu 18. Cho hệ phương trình:

(a + 1)x − y = 3
ax + y = a

√
a) Giải hệ với a = − 2
b) Xác địh giá trị của a để hệ có nghiệm duy nhất thỏa mãn x + y > 0
Câu 19. Cho hệ phương trình:

3x + (m − 1)y = 12
(m − 1)x + 12y = 24

a) Giải hệ phương trình với m = 2
b) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm sao cho x < y
Câu 20. Cho hệ phương trình:

2x + (n − 4)y = 16
(4 − n)x − 50y = 80

a) Giải hệ phương trình với n = 3
b) Tìm n để hệ phương trình có một nghiệm sao cho x + y > 1
Tập thể giáo viên Học Tốt biên soạn

23


Trung tâm HỌC TỐT
Câu 21. Cho hệ phương trình:

dayhoctot.edu.vn
mx − y = 2
x + my = 1

a) Giải hệ phương trình theo tham số m

b) Gọi nghiệm của hệ phương trình là (x, y). Tìm các giá trị của m để x + y = −1
c) Tìm đẳng thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào m
Câu 22. Cho hệ phương trình:

x − 2y = 3 − m
2x + y = 3(m + 2)

a) Giải hệ phương trình khi thay m = −1
b) Gọi nghiệm của hệ phương trình là (x, y). Tìm m để x2 + y 2 đạt giá trị nhỏ nhất.
Câu 23. Cho hệ phương trình:

x + ay = 1
ax + y = 2

a) Giải hệ phương trình khi a = 2
b) Với giá trị nào của a thì hệ có nghiệm duy nhất
Câu 24. Cho hệ phương trình:

(a + 1)x + y = 4
(a) là tham số
ax + y = 2a

a) Giải hệ a = 1
b) Chứng minh rằng với mọi giá trị của a hệ luôn có nghiệm duy nhất (x; y) thỏa mãn
x+y ≥2
Câu 25. Cho hệ phương trình:

2x − my = m2
x+y =2

a) Giải hệ khi m = 1
b) Giải và biện luận hệ phương trình.
Câu 26. Cho hệ phương trình:

− 2mx + y = 5
mx + 3y = 1

a) Giải hệ phương trình với m = 1
b) Giải biện luận hệ phương trình theo tham số m
c) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm thỏa mãn x2 + y 2 = 1
Câu 27. Cho hệ phương trình:

mx − y = 3
3x + my = 5

a) Giải hệ phương trình khi m = 1
b) Tìm m để hệ có nghiệm đồng thời thỏa mãn điều kiện x + y −
Tập thể giáo viên Học Tốt biên soạn

7(m − 1)
=1
m2 + 3
24


Trung tâm HỌC TỐT
Câu 28. Cho hệ phương trình:

dayhoctot.edu.vn
a2 x − y = −7

2x + y = 1

a) Giải hệ phương trình khi a = 1
b) Gọi nghiệm của hệ phương trình là (x; y). Tìm các giá trị của a để x + y = 2
Câu 29. Cho hệ phương trình:

− 2mx + y = 5
mx + 3y = 1

a) Giải hệ phương trình khi m = 1
b) Giải và biện luận hệ phương trình theo tham số m
c) Tìm m để x − y = 2
Câu 30. Cho hệ phương trình:

x + my = 3
mx + 4y = 6

a) Giải hệ khi m = 3
b) Tìm m để phương trình có nghiệm x > 1, y > 0

Tập thể giáo viên Học Tốt biên soạn

25