TNNC HINH OXYZ

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Hình Học Tọa Độ Oxyz

File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 1


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Hình Học Tọa Độ Oxyz

TỌA ĐỘ CỦA ĐIỂM VÀ VÉCTƠ TRONG KHÔNG GIAN
A - LÝ THUYẾT CHUNG
1. Véc tơ trong không gian
* Định nghĩa
Trong không gian, vecto là một đoạn thẳng có định hướng tức là đoạn thẳng có quy định thứ tự của hai
đầu
Chú ý: Các định nghĩa về hai vecto bằng nhau, đối nhau và các phép toán trên các vecto trong
không gian được xác định tương tự như trong mặt phẳng.
2. Vecto đồng phẳng

  

* Định nghĩa: Ba vecto a, b, c khác 0 gọi là đồng
phẳng khi giá của chúng cùng song song với một
mặt phẳng.
Chú ý:

n vecto khác 0 gọi là đồng phẳng khi giá

của chúng cùng song song với một mặt phẳng.
Các giá của các vecto đồng phẳng có thể
là các đường thẳng chéo nhau.

* Điều kiện để 3 vecto khác 0 đồng phẳng
Định lý 1:
  



a, b, c đồng phẳng  m, n   : a  mb  nc

D3

c

D2

b

a
D1
Δ3

P

Δ2

Δ1

* Phân tích một vecto theo ba vecto không đồng phẳng
  

Định lý 2: Cho 3 vecto e1 , e2 , e3 không đồng phẳng. Bất kì một vecto a nào trong không gian cũng
có thể phân tích theo ba vecto đó, nghĩa la có một bộ ba số thực  x1 , x2 , x3  duy nhất




a  x1 e1  x2 e2  x3 e3
  

Chú ý: Cho vecto a, b, c khác 0 :
  
 

1. a, b, c đồng phẳng nếu có ba số thực m, n, p không đồng thời bằng 0 sao cho: ma  nb  pc  0
  



2. a, b, c không đồng phẳng nếu từ ma  nb  pc  0  m  n  p  0
3. Tọa độ của vecto
Trong không gian xét hệ trục Oxyz , có trục Ox vuông góc với trục Oy tại O, và trục Oz vuông góc
với mặt phẳng  Oxy  tại O. Các vecto đơn vị trên từng trục Ox, Oy, Oz lần lượt là



i  1; 0;0  , j   0;1; 0  , k   0;0;1 .






a) a   a1 ; a2 ; a3   a  a1 i  a2 j  a3 k




b) M  xM , yM , z M   OM  xM i  yM j  zM k

File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 2


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
c) Cho A  x A , y A , z A  , B  xB , yB , zB  ta có:

AB   xB  x A ; y B  y A ; z B  z A  và AB 

2

Hình Học Tọa Độ Oxyz

2

 xB  x A    yB  yA    zB  z A 

2

.

 x  xA yB  y A zB  z A 
;
;
d) M là trung điểm AB thì M  B

2
2 
 2


e) Cho a   a1 ; a2 ; a3  và b   b1 ; b2 ; b3  ta có:
a1  b1
 

a  b  a2  b2
a  b
 3
3
 
a  b   a1  b1 ; a2  b2 ; a3  b3 

k .a   ka1 ; ka2 ; ka3 
  
 
a.b  a . b cos a; b  a1b1  a2b2  a3b3

a  a12  a2 2  a32

 

 
cos   cos a; b 

 

a1b1  a2b2  a3b3

   
(với a  0, b  0 )

a12  a2 2  a32 . b12  b2 2  b3 2



a và b vuông góc:  a.b  0  a1b1  a2b2  a3b3  0

a1  kb1





a và b cùng phương:  k  R : a  kb  a2  kb2
a  kb
 3
3
4. Tích có hướng và ứng dụng



Tích có hướng của a   a1 ; a2 ; a3  và b   b1 ; b2 ; b3  là:

   a a a a aa 
 a, b    2 3 ; 3 1 ; 1 2    a2b3  a3b2 ; a3b1  a1b3 ; a1b2  a2b1 
 
 b2b3 b3b1 b1b2 
a. Tính chất:
 
  

 a, b   a,  a, b   b
 
 
 
 
 
 a, b   a . b sin a, b
 
 



a và b cùng phương:  a, b   0
  
  
a, b, c đồng phẳng   a, b  .c  0
b. Các ứng dụng tích có hướng
1  

Diện tích tam giác: S ABC   AB , AC 
2
1   
Thể tích tứ diện VABCD   AB , AC  . AD
6

 

File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 3


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Hình Học Tọa Độ Oxyz

  
Thể tích khối hộp: VABCD. A ' B 'C ' D '   AB, AD  .AA'

5. Một số kiến thức khác



a) Nếu M chia đoạn AB theo tỉ số k MA  k MB thì ta có:





x A  kxB
y  kyB
z  kz B
; yM  A
; zM  A
với k  1
1 k
1 k
1 k
x x x
y  yB  yC
z z z
b) G là trọng tâm tam giác ABC  xG  A B C ; yG  A
; zG  A B C
3
3
3
    
G là trọng tâm tứ diện ABCD  GA  GB  GC  GD  0
xM 

B - CÁC DẠNG TOÁN CƠ BẢN

  
 
Dạng 1. A, B, C thẳng hàng  AB, AC cùng phương   AB, AC   0 .
 
Dạng 2. A, B, C là ba đỉnh tam giác  A, B, C không thẳng hàng  AB, AC không cùng phương
 


  AB , AC   0 .


Dạng 3. G  xG ; yG ; zG  là trọng tâm tam giác ABC thì:
xG 

x A  xB  xC
y  y B  yC
z z z
; yG  A
; zG  A B C
3
3
3

Dạng 4. Cho ABC có các chân E , F của các đường phân giác trong và ngoài của góc A của ABC

 AB 
AB 
trên BC . Ta có: EB  
.EC ,
FB 
.FC
AC
AC
 
1  
Dạng 5. S ABC   AB, AC 
diện tích của hình bình hành ABCD là: S ABCD   AB, AC 


2
 


1
2.S ABC
 AB, AC 
Dạng 6. Đường cao AH của ABC : S ABC  AH .BC  AH 

2
BC
BC
 
Dạng 7. Tìm D sao cho ABCD là hình bình hành: Từ t/c hbh có 4 cặp vecto bằng nhau AB  DC
 
hoặc AD  BC ...  tọa độ D .
  
Dạng 8. Chứng minh ABCD là một tứ diện  AB; AC ; AD không đồng phẳng
  
  AB, AC  . AD  0 .
Dạng 9. G  xG ; yG ; zG  là trọng tâm tứ diện ABCD thì:
xG 

xA  xB  xC  xD
y  y B  yC  y D
z  z  z  zD
; yG  A
; zG  A B C
4
4

4

Dạng 10. Thể tích khối tứ diện ABCD : VABCD 

1   
 AB , AC  . AD

6

File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 4


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Hình Học Tọa Độ Oxyz

Dạng 12.

1
3V
Đường cao AH của tứ diện ABCD : V  S BCD . AH  AH 
3
S BCD
  
Thể tích hình hộp: VABCD. A ' B ' C ' D '   AB , AD  . AA ' .

Dạng 13.

Hình chiếu của điểm A  x A ; y A ; z A  lên các mặt phẳng tọa độ và các trục:

Dạng 11.

Xem lại mục 1, công thức 17, 18.
Dạng 14. Tìm điểm đối xứng với điểm A  x A ; y A ; z A  qua các mặt phẳng tọa độ, các trục và gốc
tọa độ:
(Thiếu tọa độ nào thì đổi dấu tọa độ đó, có mặt tọa độ nào thì để nguyên tọa độ đó)
 OXY  : A1  xA ; y A ;  z A 
 OXZ  : A2  xA ;  y A ; z A 
 OYZ  : A3   xA ; y A ; z A 

 OX  :

A4  x A ;  y A ;  z A 

 OY  :

A5   x A ; y A ;  z A 

 OZ  :

A6   x A ;  y A ; z A 

Qua gốc O : A7   x A ;  y A ;  z A 

C – BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 1:

Cho 4 điểm S 1, 2, 3 ; A  2, 2,3 ; B 1,3,3 ; C 1, 2, 4  . SABC là:

B. Hình chóp đều.
D. Hình thang vuông

A. Tứ diện.
C. Tứ diện đều.
Câu 2:

Cho bốn điểm S 1, 2, 3 ; A  2, 2,3 ; B 1,3,3 ; C 1, 2, 4  . Gọi M , N , P lần lượt là trung điểm
của BC , CA và AB. Khi đó SMNP là:
A. Hình chóp.
B. Hình chóp đều.

Câu 3:

C. Tứ diện đều.

D. Tam diện vuông

Cho bốn điểm S 1, 2, 3 ; A  2, 2,3 ; B 1,3,3 ; C 1, 2, 4  . Xác định tọa độ trọng tâm G của
hình chóp SABC.
 5 13 
 7 9
 5 9 13 
B.  , 3,  .
C.  1, ,  .
D.  , , 
3
3
 4 4
4 4 4 





Cho 3 vectơ a  1,1, 2  ; b   2, 1, 2  ; c   2, 3, 2  . Xác định vec tơ d thỏa mãn
 
 
 
a.d  4; b.d  5; c.d  7.

A.  5,9,13 .
Câu 4:

A.  3, 6,5  .
Câu 5:

B.  3, 6, 5 .

3 5
C.  , 6,  .
2 2

5

D.  3, 6,  .
2


Trong không gian Oxyz, cho điểm A  2;0; 2  , B  3; 1; 4  , C  2;2;0  . Điểm D trong mặt
phẳng (Oyz) có cao độ âm sao cho thể tích của khối tứ diện ABCD bằng 2 và khoảng cách

từ D đến mặt phẳng (Oxy) bằng 1 có thể là:
A. D  0; 3; 1
B. D  0;2; 1
C. D  0;1; 1
D. D  0;3; 1

Câu 6:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm A 1; 2;0  , B  3; 4;1 , D  1;3; 2  . Tìm
tọa độ điểm C sao cho ABCD là hình thang có hai cạnh đáy AB , CD và có góc C bằng
45.

File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 5


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
A. C  5;9;5  .

B. C 1;5;3 .

Hình Học Tọa Độ Oxyz

C. C  3;1;1 .

D. C  3;7;4  .

Câu 7:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxy , cho hình hộp chữ nhật ABCD. ABC D có A trùng
với gốc tọa độ O , các đỉnh B (m; 0; 0) , D (0; m; 0) , A(0; 0; n) với m, n  0 và m  n  4 . Gọi
M là trung điểm của cạnh CC . Khi đó thể tích tứ diện BDAM đạt giá trị lớn nhất bằng
245
9
64
75
A.
.
B. .
C.
.
D.
.
108
4
27
32

Câu 8:

Cho ba điểm A  3;1;0  , B  0; 1;0  , C  0;0; 6  . Nếu tam giác ABC  thỏa mãn hệ thức
   
AA  BB  C C  0 thì có tọa độ trọng tâm là:
A. 1;0; 2  .
B.  2; 3;0  .
C.  3; 2;0  .
D.  3; 2;1 .

Câu 9:

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho ba điểm M  3;0;0  , N  m, n, 0  , P  0;0; p  .

  600 , thể tích tứ diện OMNP bằng 3. Giá trị của biểu thức
Biết MN  13, MON

A  m  2n2  p 2 bằng
A. 29.
B. 27.

C. 28.

D. 30.

Câu 10: Cho hình chóp S . ABCD biết A  2; 2;6  , B  3;1;8 , C  1;0;7  , D 1;2;3 . Gọi H là trung
điểm của CD, SH   ABCD  . Để khối chóp S . ABCD có thể tích bằng

27
(đvtt) thì có hai
2

điểm S1 , S2 thỏa mãn yêu cầu bài toán. Tìm tọa độ trung điểm I của S1S2
A. I  0; 1; 3 .

B. I 1;0;3

C. I  0;1;3 .

D. I  1;0; 3 .

Câu 11: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hình vuông ABCD , B (3;0;8) , D ( 5; 4; 0) . Biết
 
đỉnh A thuộc mặt phẳng ( Oxy ) và có tọa độ là những số nguyên, khi đó CA  CB bằng:
A. 5 10.

B. 6 10.

C. 10 6.

D. 10 5.

Câu 12: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho 4 điểm A(2; 4; 1) , B (1; 4; 1) , C (2; 4;3)
D (2; 2; 1) . Biết M  x; y; z  , để MA2  MB 2  MC 2  MD 2 đạt giá trị nhỏ nhất thì x  y  z
bằng
A. 7.

B. 8.

C. 9.

File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Facebook: />
D. 6.

Trang 6


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Hình Học Tọa Độ Oxyz

D - HƯỚNG DẪN GIẢI
Câu 1:

Cho 4 điểm S 1, 2, 3 ; A  2, 2,3 ; B 1,3,3 ; C 1, 2, 4  . SABC là:
A. Tứ diện.
C. Tứ diện đều.
Hướng dẫn giải:



AB   1;1; 0  ; BC   0; 1;1 ; AC   1;0;1

B. Hình chóp đều.
D. Hình thang vuông

 AB  BC  CA  2  ABC là tam giác đều



SA  1; 0; 0  ; SB   0;1; 0  ; SC   0; 0;1  SA  SB  SC  1
1

0

0

D  SA, SB, SC   0
0

1
0

0 1 0
1

   
Hay ta có thể tính  SA; SB  SC  0
  
 SA, SB, SC không đồng phẳng.
 SABC là hình chóp đều, đỉnh S.
Chọn B.
Câu 2:

Cho bốn điểm S 1, 2, 3 ; A  2, 2,3 ; B 1,3,3 ; C 1, 2, 4  . Gọi M , N , P lần lượt là trung điểm
của BC , CA và AB. Khi đó SMNP là:
A. Hình chóp.
B. Hình chóp đều.
Hướng dẫn giải:

C. Tứ diện đều.

D. Tam diện vuông

Tam giác: ABC có AB  BC  CA  2
2
 MN  NP  PM 
2




SA  1;0;0  ; SB   0;1;0  ; SC   0;0;1
 
 SA.SB  0  SA  SB
Tương tự SA  SC , SB  SC

S

Các tam giác vuông SAB, SBC , SCA vuông
tại S, có các trung tuyến:
AB
2

 MN  NP  PM
2
2
Ta có: SP   SAB  ; SM   SBC  ; SN   SCA
  
 SP , SM , SN không đồng phẳng
SP  SM  SN 

A

C

N
M

P
B

 SMNP là tứ diện đều.
Chọn C.
Câu 3:

Cho bốn điểm S 1, 2, 3 ; A  2, 2,3 ; B 1,3,3 ; C 1, 2, 4  . Xác định tọa độ trọng tâm G của
hình chóp SABC.

File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 7


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
 5 13 
B.  , 3,  .
3
3

A.  5,9,13 .

Câu 4:

Hình Học Tọa Độ Oxyz

 7 9
C.  1, ,  .
 4 4

 5 9 13 

D.  , , 
4 4 4 

Hướng dẫn giải:
   
    
Ta có GS  GA  GB  GC  4OG  OA  OB  OC  OS
1
5

 x  4  2  1  1  1  4

1
9

 G  y   2  3  2  2 
4
4

1
13

 z  4  3  3  4  3  4

Chọn D.




Cho 3 vectơ a  1,1, 2  ; b   2, 1, 2  ; c   2, 3, 2  . Xác định vec tơ d thỏa mãn

 
 
 
a.d  4; b.d  5; c.d  7.
A.  3, 6,5  .

B.  3, 6, 5 .

Hướng dẫn giải:
 
a.d  4
x  y  2z  4
  

b.d  5  2 x  y  2 z  5
 

2 x  3 y  2 z  7
c.d  7

3 5
C.  , 6,  .
2 2

5

D.  3, 6,  .
2


1
2
 3

1   2 : 3x  9  x  3 và  2   3 : 2 y  12  y  6
1
2
Chọn D.

1
2

1 : z   x  y  4    3  6  4  

Câu 5:

 
5
5
 d   3; 6; 
2
2


Trong không gian Oxyz, cho điểm A  2;0; 2  , B  3; 1; 4  , C  2;2;0  . Điểm D trong mặt
phẳng (Oyz) có cao độ âm sao cho thể tích của khối tứ diện ABCD bằng 2 và khoảng cách
từ D đến mặt phẳng (Oxy) bằng 1 có thể là:
A. D  0; 3; 1

B. D  0;2; 1

C. D  0;1; 1

D. D  0;3; 1

Hướng dẫn giải:
Do D   Oyz  
 D  0; b; c  với c  0

 c  1 loai 
Theo giả thiết: d  D,  Oxy    1  c  1  

 D  0; b; 1
 c  1



Ta có AB  1; 1; 2  , AC   4; 2; 2  , AD   2; b;1

 
  
Suy ra  AB, AC    2;6; 2  
  AB, AC  . AD  6b  6

File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 8


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Cũng theo giả thiết, ta có: VABCD 

Hình Học Tọa Độ Oxyz

1   
b  3
 AB, AC  .AD  b  1  2  

6
 b  1

Chọn D.
Câu 6:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm A 1; 2;0  , B  3; 4;1 , D  1;3; 2  . Tìm
tọa độ điểm C sao cho ABCD là hình thang có hai cạnh đáy AB , CD và có góc C bằng
45.
A. C  5;9;5  .

B. C 1;5;3 .

C. C  3;1;1 .

D. C  3;7;4  .

Hướng dẫn giải:
Chọn D.


Cách 1. AB  (2;2;1) .

 x  1  2t

Đường thẳng CD có phương trình là CD :  y  3  2t .
z  2  t




Suy ra C  1  2t;3  2t ;2  t  ; CB  (4  2t ;1  2t ; 1  t ), CD  (2t; 2t ; t ) .

Ta có cos BCD

Hay

(4  2t )(2t )  (1  2t )(2t )  (1  t )(t )
(4  2t )2  (1  2t )2  (1  t ) 2 (2t ) 2  (2t ) 2  (t ) 2

(4  2t )(2t )  (1  2t )(2t )  (1  t )(t )
(4  2t )2  (1  2t )2  (1  t ) 2 (2t ) 2  (2t )2  (t ) 2



2
(1).
2

Lần lượt thay t bằng 3;1; 1; 2 (tham số t tương ứng với toạ độ điểm C ở các phương án A,
B, C, D), ta thấy t  2 thoả (1).
Cách 2.



Ta có AB  (2; 2;1), AD  (2;1; 2) . Suy ra
 
AB  CD và AB  AD . Theo giả thiết, suy


ra DC  2 AB . Kí hiệu C (a; b; c) , ta có


DC  (a  1; b  3; c  2) , 2 AB  (4; 4; 2) . Từ

A

B

đó C (3; 7; 4) .
D

File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Facebook: />
C

Trang 9


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Câu 7:

Hình Học Tọa Độ Oxyz

Trong không gian với hệ tọa độ Oxy , cho hình hộp chữ nhật ABCD. ABC D có A trùng
với gốc tọa độ O , các đỉnh B (m; 0; 0) , D (0; m; 0) , A(0; 0; n) với m, n  0 và m  n  4 . Gọi
M là trung điểm của cạnh CC . Khi đó thể tích tứ diện BDAM đạt giá trị lớn nhất bằng
245
9
64
75
A.
.
B. .
C.
.
D.
.
108
4
27
32
z

Hướng dẫn giải:

A'

n

Tọa độ điểm C ( m; m; 0), C ( m; m;; n), M  m; m; 

2

B'

D'

C'
n



 
n
BA    m; 0; n  , BD    m; m; 0  , BM   0; m; 

2

AO

D

 
 BA, BD    mn; mn; m 2 
VBDAM 

B

m

x

m
C

y

1    m 2 n
 BA, BD  .BM 
6
4
3

256
 m  m  2n  512
Ta có m.m.(2n)  
 m2n 
 
3
27
27


 VBDAM 

64
27

Chọn C.
Câu 8:

Cho ba điểm A  3;1;0  , B  0; 1;0  , C  0;0; 6  . Nếu tam giác ABC  thỏa mãn hệ thức

   
AA  BB  C C  0 thì có tọa độ trọng tâm là:
A. 1;0; 2  .

B.  2; 3;0  .

C.  3; 2;0  .

D.  3; 2;1 .

Hướng dẫn giải:
Chọn A
* Cách diễn đạt thứ nhất:
Gọi G, G’ theo thứ tự lần lượt là trọng tâm tam giác ABC, A’B’C’. Với mọi điểm T trong
không gian có:
   
 
 
  
1 : A ' A  B ' B  C ' C  0  TA  TA '  TB  TB '  TC  TC '  0



     
 TA  TB  TC  TA '  TB '  TC '

 

 



2

   
   
Hệ thức (2) chứng tỏ. Nếu T  G tức là TA  TB  TC  0 thì ta cũng có TA '  TB '  TC '  0
hay T  G ' hay (1) là hệ thức cần và đủ để hai tam giác ABC, A’B’C’ có cùng trọng tâm.

File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 10


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Hình Học Tọa Độ Oxyz

 3  0  0 1 1  0 0  0  6 
;
;
Ta có tọa độ của G là: G  
  1;0; 2 
3
3
3


Đó cũng là tọa độ trọng tâm G’ của A ' B ' C '
* Cách diễn đạt thứ hai:

   
Ta có: AA '  BB '  CC '  0 (1)
  
  
   
 A ' G '  G ' G  GA  B ' G '  G ' G  GB  C ' G '  G ' G  GC  0



 

 



  
  
 
 GA  GB  GC  A ' G '  B ' G '  C ' G '  3G ' G  0 (2)



 



Nếu G, G’ theo thứ tự lần lượt là trọng tâm tam giác ABC, A’B’C’ nghĩa là
 
     
GA  GB  GC  A ' G '  B ' G '  C ' G ' thì  2   G ' G  0  G '  G

Tóm lại (1) là hệ thức cần và đủ để hai tam giác ABC, A’B’C’ có cùng trọng tâm.

 3  0  0 1 1  0 0  0  6 
;
;
Ta có tọa độ của G là: G  
  1;0; 2  . Đó cũng là tọa độ trọng
3
3
3


tâm G’ của A ' B ' C '
Câu 9:

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho ba điểm M  3;0;0  , N  m, n, 0  , P  0;0; p  .

  600 , thể tích tứ diện OMNP bằng 3. Giá trị của biểu thức
Biết MN  13, MON

A  m  2n2  p 2 bằng
A. 29.
B. 27.

C. 28.

D. 30.

Hướng dẫn giải:



 
OM   3; 0; 0  , ON   m; n; 0   OM .ON  3m
 
   
OM
.ON
1
OM .ON  OM . ON cos 600     
OM . ON 2

MN 

 m  3

2

m
2

m n

2



1
2

 n 2  13

Suy ra m  2; n  2 3
  
1
OM , ON  .OP  6 3 p  V  6 3 p  3  p   3


6

Vậy A  2  2.12  3  29.

File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 11


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Hình Học Tọa Độ Oxyz

Câu 10: Cho hình chóp S . ABCD biết A  2; 2;6  , B  3;1;8 , C  1;0;7  , D 1;2;3 . Gọi H là trung
điểm của CD, SH   ABCD  . Để khối chóp S . ABCD có thể tích bằng

27
(đvtt) thì có hai
2

điểm S1 , S2 thỏa mãn yêu cầu bài toán. Tìm tọa độ trung điểm I của S1S2
A. I  0; 1; 3 .

B. I 1;0;3

C. I  0;1;3 .

D. I  1;0; 3 .

Hướng dẫn giải:



1  
3 3
Ta có AB   1; 1;2  , AC  1; 2;1  S ABC   AB, AC  
2
2




DC   2; 2; 4  , AB   1; 1; 2   DC  2. AB  ABCD là hình thang và
S ABCD  3S ABC 

9 3
2

1
Vì VS . ABCD  SH .S ABCD  SH  3 3
3

Lại có H là trung điểm của CD  H  0;1;5 



 
Gọi S  a; b; c   SH   a;1  b;5  c   SH  k  AB, AC   k  3;3;3   3k ;3k ;3k 
Suy ra 3 3  9k 2  9k 2  9k 2  k  1

+) Với k  1  SH   3;3;3  S  3; 2; 2 

+) Với k  1  SH   3; 3; 3  S  3; 4;8

Suy ra I  0;1;3
Câu 11: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hình vuông ABCD , B (3;0;8) , D ( 5; 4; 0) . Biết
 
đỉnh A thuộc mặt phẳng ( Oxy ) và có tọa độ là những số nguyên, khi đó CA  CB bằng:
A. 5 10.

B. 6 10.

C. 10 6.

D. 10 5.

Hướng dẫn giải:
Ta có trung điểm BD là I ( 1; 2; 4) , BD  12 và điểm A thuộc mặt phẳng (Oxy ) nên
A(a; b;0) .

 AB 2  AD 2
(a  3) 2  b 2  82  (a  5) 2  (b  4)2


2 
ABCD là hình vuông  

1

2
2
2
2
(a  1)  (b  2)  4  36
 AI   BD 
2


File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 12


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Hình Học Tọa Độ Oxyz

 17
a  5
b  4  2a
a  1
 17 14 
;0 
hoặc 



 A(1; 2; 0) hoặc A  ;
2
2
 5 5

b  2
( a  1)  (6  2a )  20
b  14

5
(loại). Với A(1; 2; 0)  C ( 3; 6;8) .
Câu 12: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho 4 điểm A(2; 4; 1) , B (1; 4; 1) , C (2; 4;3)
D (2; 2; 1) . Biết M  x; y; z  , để MA2  MB 2  MC 2  MD 2 đạt giá trị nhỏ nhất thì x  y  z
bằng
A. 7.

B. 8.

C. 9.

D. 6.

Hướng dẫn giải:
 7 14 
Gọi G là trọng tâm của ABCD ta có: G  ; ; 0  .
3 3 

Ta có: MA2  MB 2  MC 2  MD 2  4 MG 2  GA2  GB 2  GC 2  GD 2

 7 14 
 GA2  GB 2  GC 2  GD 2 . Dấu bằng xảy ra khi M  G  ; ; 0   x  y  z  7 .
3 3 

File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 13


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Hình Học Tọa Độ Oxyz

PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG NÂNG CAO
A - LÝ THUYẾT CHUNG
1. Định nghĩa
Trong không gian Oxyz phương trình dạng Ax  By  Cz  D  0 với A2  B 2  C 2  0 được gọi là
phương trình tổng quát của mặt phẳng.
Phương trình mặt phẳng  P  : Ax  By  Cz  D  0 với A2  B 2  C 2  0 có vec tơ pháp tuyến là


n   A; B; C  .


 
Mặt phẳng  P  đi qua điểm M 0  x0 ; y0 ; z0  và nhận vecto n   A; B; C  , n  0 làm vecto pháp tuyến

dạng  P  : A  x  x0   B  y  y0   C  z  z0   0.



Nếu  P  có cặp vecto a   a1 ; a2 ; a3  ; b   b1 ; b2 ; b3  không cùng phương, có giá song song hoặc

 
nằm trên  P  . Thì vecto pháp tuyến của  P  được xác định n   a, b  .

2. Các trường hợp riêng của mặt phẳng
Trong không gian Oxyz cho mp   :Ax  By  Cz  D  0, với A2  B 2  C 2  0. Khi đó:
D  0 khi và chỉ khi   đi qua gốc tọa độ.

A  0, B  0, C  0, D  0 khi và chỉ khi   song song trục Ox.
A  0, B  0, C  0, D  0 khi và chỉ khi   song song mặt phẳng  Oxy  .
A, B, C , D  0. Đặt a  

D
D
D
x y c
, b   , c   . Khi đó:   :    1
A
B
C
a b z

3. Phương trình mặt chắn cắt các trục tọa độ tại các điểm A  a; 0; 0  , B  0; b; 0  , C  0; 0; c  :
x y z
   1 , abc  0
a b c

4. Phương trình các mặt phẳng tọa độ:  Oyz  : x  0;

 Oxz  : y  0;  Oxy  : z  0.

5. Chùm mặt phẳng (lớp chuyên):
Giả sử     '  d trong đó: ( ) : Ax  By  Cz  D  0 và ( ') : A ' x  B ' y  C ' z  D '  0 .
Pt mp chứa d có dạng: m  Ax  By  Cz  D   n  A ' x  B ' y  C ' z  D '  0 (với m2  n2  0) .
6. Vị trí tương đối của hai mặt phẳng
File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 14


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Hình Học Tọa Độ Oxyz

Trong không gian Oxyz cho   : Ax  By  Cz  D  0 và  ' : A ' x  B ' y  C ' z  D '  0
 AB '  A ' B

  cắt  '   BC '  B ' C
CB '  C ' B

 AB '  A ' B

  //  '   BC '  B ' C
CB '  C ' B


va AD '  A ' D

 AB '  A ' B

 BC '  B ' C
    '  
CB '  C ' B
 AD '  A ' D
 
Đặt biệt:     '   n1.n2  0  A. A ' B.B ' C .C '  0

7. Khoảng cách từ M 0  x0 ; y0 ; z0  đến ( ) : Ax  By  Cz  D  0
d  M ,    

Ax0  By0  Cz0  D
A2  B 2  C 2

Chú ý:
 Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song bằng khoảng cách từ một điểm bất kì trên mặt
phẳng này đến mặt phẳng kia.
 Nếu hai mặt phẳng không song song thì khoảng cách giữa chúng bằng 0 .
8. Góc giữa hai mặt phẳng
Gọi  là góc giữa hai mặt phẳng  00    900 

 P  : Ax  By  Cz  D  0 và  Q  : A ' x  B ' y  C ' z  D '  0
 
nP .nQ
 
cos = cos nP , nQ    
nP . nQ





A. A ' B.B ' C .C '
A 2  B 2  C 2 . A '2  B ' 2  C '2

 
 Góc giữa ( ), (  ) bằng hoặc bù với góc giữa hai vtpt n1, n2 .


00  
( ),(  )  900 .





 
 ( )  (  )  n1  n2  AA ' BB ' CC '  0

1. Các hệ quả hay dùng:



 Mặt phẳng   //    thì   có một vtpt là n  n với n là vtpt của mặt phẳng    .

File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 15


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Hình Học Tọa Độ Oxyz




 Mặt phẳng   vuông góc với đường thẳng d thì   có một vtpt là n  ud với ud là
vtcp của đường thẳng d .

 
 Mặt phẳng  P  vuông góc với mặt phẳng  Q   n P   nQ 

 
 Mặt phẳng  P  chứa hoặc song song với đường thằng d  n P   ud
 
 Hai điểm A, B nằm trong một mặt phẳng  P   AB  n p 

B - CÁC DẠNG TOÁN VỀ PHƯƠNG TRÌNH MẶT THẲNG
Muốn viết phương trình mặt phẳng cần xác định: 1 điểm và 1 véctơ pháp tuyến.
Dạng 1.


Mặt phẳng ( ) đi qua điểm M  x0 ; y0 ; z0  có vtpt n   A; B;C 

(): A x  x0   B  y  y0   C  z  z0   0 hay Ax  By  Cz  D  0 với D    Ax0  By0  Cz0  .
 
Mặt phẳng ( ) đi qua điểm M  x0 ; y0 ; z0  có cặp vtcp a, b

 
 Khi đó một vtpt của () là n   a, b 

 Sử dụng dạng toán 1 để viết phương trình mặt phẳng ( ) .

Dạng 2.

Mặt phẳng ( ) qua 3 điểm không thẳng hàng A, B, C
 
 Cặp vtcp: AB , AC

 
 Mặt phẳng ( ) đi qua A (hoặc B hoặc C ) và có vtpt n   AB, AC 
 Sử dụng dạng toán 1 để viết phương trình mặt phẳng ( ) .
Dạng 3.

Dạng 4. Mặt phẳng trung trực đoạn AB
 Tìm tọa độ M là trung điểm của đoạn thẳng AB (dùng công thức trung điểm)
 
 Mặt phẳng ( ) đi qua M và có vtpt n  AB
 Sử dụng dạng toán 1 để viết phương trình mặt phẳng ( ) .
Dạng 5.

Mặt phẳng ( ) qua M và vuông góc đường thẳng d (hoặc AB )

 Mặt phẳng ( ) đi qua M và có vtpt là vtcp của đường thẳng d


(hoặc n  AB )
 Sử dụng dạng toán 1 để viết phương trình mặt phẳng ( ) .
Mặt phẳng ( ) qua M và song song ( ) : Ax  By  Cz  D  0
 
 Mặt phẳng ( ) đi qua M và có vtpt n  n   A; B; C 

Dạng 6.

 Sử dụng dạng toán 1 để viết phương trình mặt phẳng ( ) .
Mặt phẳng   đi qua M , song song với d và vuông góc với   

 


   có một vtpt là n  ud , n    với ud là vtcp của đường thẳng d và n   là vtpt của    .
Dạng 7.

 Sử dụng dạng toán 1 để viết phương trình mặt phẳng ( ) .
Dạng 8.

Mặt phẳng ( ) chứa M và đường thẳng d không đi qua M

 Lấy điểm M 0  x0 ; y0 ; z0    d 

File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 16


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Hình Học Tọa Độ Oxyz



 Tính MM 0 . Xác định vtcp ud của đường thẳng d


 
 Tính n   MM 0 , ud 

 Mặt phẳng ( ) đi qua M (hoặc M 0 ) và có vtpt n

Mặt phẳng ( ) đi qua điểm M và vuông góc với hai mặt phẳng cắt nhau ( ) , (  ) :
 
 Xác định các vtpt n , n của ( ) và (  )

 
 Một vtpt của ( ) là: n  u , n   
 Sử dụng dạng toán 1 để viết phương trình mặt phẳng ( ) .
Dạng 9.

Dạng 10. Mặt phẳng ( ) đi qua điểm M và song song với hai đường thẳng chéo nhau d1 , d2 :
 
 Xác định các vtcp a, b của các đường thẳng d1 , d2

 
 Một vtpt của ( ) là: n   a, b 
 Sử dụng dạng toán 1 để viết phương trình mặt phẳng ( ) .
Dạng 11. Mặt phẳng ( ) qua M , N và vuông góc (  ) :

 Tính MN

 
 Tính n   MN , n 

 Mặt phẳng ( ) đi qua M (hoặc N ) và có vtpt n

 Sử dụng dạng toán 1 để viết phương trình mặt phẳng ( ) .
Dạng 12. Mặt phẳng   chứa đường thẳng d và vuông góc với   

 

   có một vtpt là n  ud , n  với ud là vtcp của d
 Lấy điểm M 0  x0 ; y0 ; z0   d  M 0  x0 ; y0 ; z0   ( )
 Sử dụng dạng toán 1 để viết phương trình mặt phẳng ( ) .

 

Dạng 13. Mặt phẳng ( ) chứa  d  và song song d / (với (d ), (d ') chéo nhau)
 Lấy điểm M 0  x0 ; y0 ; z0   d  M 0  x0 ; y0 ; z0   ( )
 
 Xác định vtcp ud ; ud ' của đường thẳng d và đường thẳng d '

 
 Mặt phẳng ( ) đi qua M 0 và có vtpt n  ud , ud ' 
 Sử dụng dạng toán 1 để viết phương trình mặt phẳng ( ) .
Dạng 14. Mặt phẳng ( ) chứa hai đường thẳng song song 1 ,  2
 Chọn điểm M 1  x1 ; y1 ; z1   1 và M 2  x2 ; y2 ; z 2    2


 Tìm vtcp u1 của đường thẳng 1 hoặc vtcp u 2 của đường thẳng  2

 

 
 Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng ( ) là n  u1 , M1 M2  hoặc n  u2 , M 1M 2 



 Sử dụng bài toán 1 để viết phương trình mặt phẳng ( ) .
Dạng 15. Mặt phẳng ( ) đi qua 2 đường thẳng cắt nhau d1 , d2 :
File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 17


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Hình Học Tọa Độ Oxyz

 
 Xác định các vtcp a, b của các đường thẳng d1 , d2

 
 Một vtpt của ( ) là: n   a, b 
 Lấy một điểm M thuộc d1 hoặc d 2  M  ( )

 Sử dụng dạng toán 1 để viết phương trình mặt phẳng ( ) .
Dạng 16. Mặt phẳng ( ) đi qua đường thẳng  d  cho trước và cách điểm M cho trước một
khoảng k không đổi:
 Giả sử ( ) có phương trình: Ax  By  Cz+D  0  A2  B 2  C 2  0 
 Lấy 2 điểm A, B  (d )  A, B  ( ) (ta được hai phương trình (1), (2))
 Từ điều kiện khoảng cách d ( M ,( ))  k , ta được phương trình (3)
 Giải hệ phương trình (1), (2), (3) (bằng cách cho giá trị một ẩn, tìm các ẩn còn lại).
Dạng 17. Mặt phẳng ( ) tiếp xúc với mặt cầu  S  tại điểm H :
 Giả sử mặt cầu  S  có tâm I và bán kính R . Vì H là tiếp điểm  H  ( )

 

 Một vtpt của ( ) là: n  IH
 Sử dụng dạng toán 1 để viết phương trình mặt phẳng ( ) .
Dạng 18. Mặt phẳng ( ') đối xứng với mặt phẳng ( ) qua mặt phẳng ( P)
 TH1: ( )  ( P)  d :
- Tìm M , N là hai điểm chung của ( ), ( P)
- Chọn một điểm I  ( ) . Tìm I ’ đối xứng I qua ( P)
- Viết phương trình mp ( ') qua I ’, M , N .
 TH2: ( ) / /( P)

- Chọn một điểm I  ( ) . Tìm I ’ đối xứng I qua ( P)
- Viết phương trình mp ( ') qua I ’ và song song với ( P) .

CÁC DẠNG TOÁN KHÁC
Dạng 1.

Tìm điểm H là hình chiếu vuông góc của M lên ( )

 Cách 1:


 MH , n cuøng phöông
- H là hình chiếu của điểm M trên  P   
 H  ( P)
- Giải hệ tìm được H .

 Cách 2:

 
- Viết phương trình đường thẳng d qua M và vuông góc với ( ) : ta có ad  n

File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 18


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Hình Học Tọa Độ Oxyz

- Khi đó: H  d  ( )  tọa độ H là nghiệm của hpt:  d  và ( )
Dạng 2.

Tìm điểm M ’ đối xứng M qua ( )

 Tìm điểm H là hình chiếu vuông góc của M lên ( )
 H là trung điểm của MM / (dùng công thức trung điểm)  tọa độ H .
Dạng 3. Viết phương trình mp ( P ') đối xứng mp ( P) qua mp  Q 
 TH1: (Q)   P   d

- Lấy hai điểm bất kỳ  A, B  ( P )  (Q ) (hay A, B  d )
- Lấy điểm M  ( P) ( M bất kỳ). Tìm tọa độ điểm M / đối xứng với M qua (Q) .
- Mặt phẳng ( P ') là mặt phẳng đi qua d và M ' .
 TH2: (Q) / /  P 

- Lấy điểm M  ( P) ( M bất kỳ). Tìm tọa độ điểm M / đối xứng với M qua (Q) .
- Mặt phẳng ( P ') là mặt phẳng đi qua M ' và song song ( P) .

C – BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 1:

y  0
Trong không gian với hệ tọa độ 
Oxyz cho điểm M 1;0;0  và
2x  y  2z  2  0
N  0;0; 1 , mặt phẳng  P  qua điểm M , N và tạo với mặt phẳng  Q  : x  y  4  0 một
góc bằng 45O . Phương trình mặt phẳng  P  là
y  0
A. 
.
2x  y  2z  2  0
2x  y  2z  2  0
C. 
.
2x  y  2z  2  0

Câu 2:

y  0
B. 
.
2x  y  2z  2  0
2x  2z  2  0
D. 
.
2x  2z  2  0

Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz ,cho  P  : x  4 y  2 z  6  0 ,  Q  : x  2 y  4 z  6  0 .
Lập phương trình mặt phẳng   chứa giao tuyến của  P  ,  Q  và cắt các trục tọa độ tại các
điểm A, B, C sao cho hình chóp O. ABC là hình chóp đều.

A. x  y  z  6  0 .
B. x  y  z  6  0 . C. x  y  z  6  0 .

Câu 3:

D. x  y  z  3  0 .

Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho 2 đường thẳng:
x  t
x  2 y  1 z 1

,  2 :  y  2  t và mặt cầu (S ) : x 2  y 2  z 2  2 x  2 y  6 z  5  0
1 :


1
2
3
 z  1  2t


File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 19


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Hình Học Tọa Độ Oxyz

Viết phương trình mặt phẳng ( ) song song với hai đường thẳng 1 ,  2 và cắt mặt cầu (S)
theo giao tuyến là đường tròn (C) có chu vi bằng

2 365
.
5

A. x  5 y  3z  4  0; x  5 y  3z  10  0
B. x  5 y  3z  10  0
C. x  5 y  3 z  3  511  0; x  5 y  3 z  3  511  0
D. x  5 y  3z  4  0
Câu 4:

Cho tứ giác ABCD có A  0;1; 1 ; B 1;1; 2  ; C 1; 1; 0  ; D  0; 0;1 . Viết phương trình của
mặt phẳng  P  qua A, B và chia tứ diện thành hai khối ABCE và ABDE có tỉ số thể tích

Câu 5:

bằng 3.
A. 15 x  4 y  5 z  1  0 .

B. 15 x  4 y  5 z  1  0 .

C. 15 x  4 y  5 z  1  0 .

D. 15 x  4 y  5 z  1  0

y  0
Trong không gian với hệ tọa độ 
Oxyz cho điểm M 1; 0; 0  và

2x  y  2z  2  0
N  0; 0; 1 , mặt phẳng  P  qua điểm M , N và tạo với mặt phẳng  Q  : x  y  4  0 một
góc bằng 45O . Phương trình mặt phẳng  P  là
y  0
A. 
.
2x  y  2z  2  0
2x  y  2z  2  0
C. 
.
2x  y  2z  2  0

Câu 6:

y  0
B. 
.
2x  y  2z  2  0
2x  2z  2  0
D. 
.
2x  2z  2  0

Cho tứ giác ABCD có A  0;1; 1 ; B 1;1; 2  ; C 1; 1; 0  ; D  0; 0;1 . Viết phương trình tổng
quát của mặt phẳng  Q  song song với mặt phẳng  BCD  và chia tứ diện thành hai khối

AMNF và MNFBCD có tỉ số thể tích bằng
A. 3x  3z  4  0 .
C. y  z  4  0 .
Câu 7:

1
.
27
B. y  z  1  0 .

D. 4 x  3z  4  0

Từ gốc O vẽ OH vuông góc với mặt phẳng  P  ,  OH  p  ; gọi  ,  ,  lần lượt là các góc
tạo bởi vec tơ pháp tuyến của  P  với ba trục Ox, Oy , Oz. Phương trình của  P  là:

Câu 8:

A. x cos   y cos   z cos   p  0 .

B. x sin   y sin   z sin   p  0 .

C. x cos   y cos   z cos   p  0 .

D. x sin   y sin   z sin   p  0

Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng

P

cắt hai trục y ' Oy và z ' Oz tại

A  0, 1, 0  , B  0, 0,1 và tạo với mặt phẳng  yOz  một góc 450.

A.

2x  y  z 1  0 .

B.

2x  y  z 1  0 .

File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 20


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
C.
Câu 9:

2 x  y  z  1  0; 2 x  y  z  1  0 .

D.

Hình Học Tọa Độ Oxyz
2 x  y  z  1  0; 2 x  y  z  1  0

Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình:
x 2  y 2  z 2  2 x  6 y  4 z  2  0 . Viết phương trình mặt phẳng (P) song song với giá của

véc tơ v  (1;6; 2) , vuông góc với mặt phẳng ( ) : x  4 y  z  11  0 và tiếp xúc với (S).
2x  y  2z  3  0
A. 
.

 2 x  y  2 z  21  0
2x  y  z  3  0
C. 
.
2x  y  z  1  0

2x  y  2z  3  0
B. 
.
 2 x  y  2 z  21  0
 2 x  y  z  13  0
D. 
2x  y  z  1  0

2
2
2
Câu 10: Cho điểm A(0;8; 2) và mặt cầu ( S ) có phương trình ( S ) : ( x  5)  ( y  3)  ( z  7)  72 và
điểm B(9; 7; 23) . Viết phương trình mặt phẳng ( P) qua A tiếp xúc với ( S ) sao cho khoảng

(
P
)
n
cách từ B đến
là lớn nhất. Giả sử  (1; m; n) là một vectơ pháp tuyến của ( P) . Lúc đó
A. m.n  2.
B. m.n  2.
C. m.n  4.
D. m.n  4.

Câu 11: Cho mặt phẳng  P  đi qua hai điểm A  3,0, 4  , B  3, 0, 4  và hợp với mặt phẳng  xOy 
một góc 300 và cắt y ' Oy tại C . Viết phương trình tổng quát mặt phẳng  P  .
A. y  3 z  4 3  0 .

B. y  3 z  4 3  0 .

C. y  3 z  4 3  0 .

D. x  y  3 z  4 3  0

 x  t1
x  1


Câu 12: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba đường thẳng d1 :  y  0 , d 2 :  y  t2 ,
z  0
z  0


x  1

d3 :  y  0 . Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm H  3; 2;1 và cắt ba đường thẳng d1 ,
z  t

3

d 2 , d3 lần lượt tại A , B , C sao cho H là trực tâm tam giác ABC .
A. 2 x  2 y  z  11  0 .

B. x  y  z  6  0 .

C. 2 x  2 y  z  9  0 .

D. 3x  2 y  z  14  0 .

x  3  t
x  t '


Câu 13: Trong không gian Oxyz, cho 2 đường thẳng d:  y  2  t và d’:  y  5  t '


 z  2t
 z  2t ' 3 2  5
Viết phương trình mặt phẳng () chứa (d) và tạo với mặt phẳng Oyz một góc nhỏ nhất.
A. 3 x  y  2 z  7  0 .

B. 3 x  y  2 z  7  0 .

C. 3 x  y  2 z  7  0 .

D. 3 x  y  2 z  7  0 .

File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 21


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Hình Học Tọa Độ Oxyz

x  2 y 1 z

 . Viết phương
1
2
1
trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d và cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại A và B sao cho
đường thẳng AB vuông góc với d.
A.  P  : x  2 y  5 z  4  0.
B.  P  : x  2 y  5 z  5  0.

Câu 14: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d :

C.  P  : x  2 y  z  4  0.

Câu 15: Trong không gian tọa độ

D.  P  : 2 x  y  3  0.

Oxyz cho

 x  t

d :  y  1  2t

 z  2  t

đường thẳng

và

mp

P  : 2 x  y  2 z  2  0 . Viết phương trình mặt phẳng  R qua d và tạo với  P  một góc
nhỏ nhất.
A. x  y  z  3  0

B. x  y  z  3  0

C. x  y  z  3  0

D. x  y  z  3  0

x  2  t
 x  2  2t 


Câu 16: Cho hai đường thẳng d1 :  y  1  t và d 2 :  y  3
. Mặt phẳng cách đều hai đường
 z  2t
 z  t



thẳng d1 và d 2 có phương trình là
A. x  5 y  2 z  12  0.

B. x  5 y  2 z  12  0.

C. x  5 y  2 z  12  0.

D. x  5 y  2 z  12  0.

Câu 17: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz ,cho hai đường thẳng d1 , d2 lần lượt có phương trình

x2 y 2 z3
x  1 y  2 z 1


, d2 :


. Phương trình mặt phẳng   cách đều
2
1
3
2
1
4
hai đường thẳng d1 , d2 là:
d1 :

A. 7 x  2 y  4 z  0 .

B. 7 x  2 y  4 z  3  0 .

C. 2 x  y  3 z  3  0 .

D. 14 x  4 y  8 z  3  0 .

Câu 18: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng  P  song song và cách
đều hai đường thẳng d1 :

x2 y z
x y 1 z 2
  và d2 : 

.
1
1 1
2
1
1

A.  P  : 2 x  2 z  1  0 .

B.  P  : 2 y  2 z  1  0 .

C.  P  : 2 x  2 y  1  0 .

D.  P  : 2 y  2 z  1  0 .

Câu 19: Trong hệ trục tọa độ Oxyz cho mặt phẳng  P  : 5 x  z  4  0 và hai đường thẳng d1; d2 lần
lượt có phương trình

x  1 y z  1 x 1 y  2 z  1



;


. Viết phương trình của mặt
1
1
2
2
1
1

phẳng  Q  / /  P  , theo thứ tự cắt d1 , d2 tại A, B sao cho AB 

4 5
.
3

File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 22


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Hình Học Tọa Độ Oxyz

25  331
25  331
 0;  Q2  : 5 x  z 

0.
7
7
B.  Q1  : 5 x  z  2  0;  Q2  : 55 x  11z  14  0 .

A.  Q1  : 5 x  z 

C.  Q1  : 5 x  z  2  0;  Q2  : 55 x  11z  14  0 .
D.  Q1  : 5 x  z  4  0;  Q2  : 55 x  11z  7  0
Câu 20: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A 1; 2; 3 và đường thẳng d :

x  3 y 1 z


2
1
1 . Mặt phằng  P  chứa đường thẳng d và có khoảng cách từ A đến  P  là
lớn nhất. Khi đó  P  có một véctơ pháp tuyến là



A. n  ( 4; 5;13)
B. n  (4; 5; 13)
C. n  ( 4; 5;13)
Câu 21: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai đường thẳng d1 :


D. n  ( 4; 5;13)
x 1 y  2 z
và



1
2
1

x  2 y 1 z

 . Viết phương trình mặt phẳng ( P ) chứa d1 sao cho góc giữa mặt
2
1 2
phẳng ( P ) và đường thẳng d2 là lớn nhất.
d2 :

A. x  y  z  6  0 .

B. 7 x  y  5 z  9  0 . C. x  y  z  6  0 .

D. x  y  z  3  0 .

Câu 22: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm M  1; 2; 1 . Viết phương trình mặt phẳng

 

đi qua gốc tọa độ O  0; 0; 0  và cách M một khoảng lớn nhất.

A. x  2 y  z  0.

B.

x y z
 
 1.
1 2 1

C. x  y  z  0.

Câu 23: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho hai đường thẳng d1 :

D. x  y  z  2  0.

x 1 y  2 z


và
1
2
1

x  2 y 1 z

 . Gọi  P  là mặt phẳng chứa d1 sao cho góc giữa mặt phẳng  P  và
2
1 2
đường thẳng d2 là lớn nhất. Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:

A.  P  có vectơ pháp tuyến là n  1; 1; 2  .
d2 :

B.  P  qua điểm A  0; 2; 0  .

C.  P  song song với mặt phẳng  Q  : 7 x  y  5 z  3  0 .
D.  P  cắt d2 tại điểm B  2; 1; 4  .
Câu 24: Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz ,cho tứ diện ABCD có điểm A 1;1;1 , B  2; 0; 2  ,
C  1; 1;0  , D  0;3; 4  . Trên các cạnh AB, AC , AD lần lượt lấy các điểm B ', C ', D ' thỏa:

File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 23


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Hình Học Tọa Độ Oxyz

AB AC AD


 4 . Viết phương trình mặt phẳng  B ' C ' D ' biết tứ diện AB ' C ' D ' có
AB ' AC ' AD '
thể tích nhỏ nhất?
A. 16 x  40 y  44 z  39  0 .
B. 16 x  40 y  44 z  39  0 .
C. 16 x  40 y  44 z  39  0 .

D. 16 x  40 y  44 z  39  0 .

Câu 25: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng   đi qua điểm M 1; 2;3 và cắt các
trục Ox, Oy, Oz lần lượt tại A , B , C ( khác gốc toạ độ O ) sao cho M là trực tâm tam giác

ABC . Mặt phẳng   có phương trình là:

x y z
  1  0 .
1 2 3
D. x  2 y  3 z  14  0 .

A. x  2 y  3 z  14  0 .

B.

C. 3x  2 y  z  10  0 .

Câu 26: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (Q): x  2 y  z  5  0 và đường thẳng

x 1 y 1 z  3


. Phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d và tạo với mặt
2
1
1
phẳng (Q) một góc nhỏ nhất là
d:

A.  P  : y  z  4  0

B.  P  : x  z  4  0

C.  P  : x  y  z  4  0

D.  P  : y  z  4  0

Câu 27: Trong

không

gian

Oxyz ,

cho

hai

điểm

A  3; 0; 2  ,

B  3; 0; 2 

và

mặt

cầu

x2  ( y  2)2  ( z  1) 2  25 . Phương trình mặt phẳng   đi qua hai điểm A , B và cắt mặt
cầu  S  theo một đường tròn bán kính nhỏ nhất là:
A. x  4 y  5 z  17  0 .

B. 3x  2 y  z  7  0 .

C. x  4 y  5 z  13  0 .

D. 3x  2 y  z –11  0 .

Câu 28: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz ,cho  P  : x  4 y  2 z  6  0 ,  Q  : x  2 y  4 z  6  0 .
Lập phương trình mặt phẳng   chứa giao tuyến của  P  ,  Q  và cắt các trục tọa độ tại các
điểm A, B, C sao cho hình chóp O. ABC là hình chóp đều.
A. x  y  z  6  0 .

B. x  y  z  6  0 .

C. x  y  z  6  0 .

D. x  y  z  3  0 .

Câu 29: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho điểm N 1;1;1 . Viết phương trình mặt phẳng

P

cắt các trục Ox, Oy, Oz lần lượt tại A, B, C (không trùng với gốc tọa độ O ) sao cho N

là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
A.  P  : x  y  z  3  0 .

B.  P  : x  y  z  1  0 .

C.  P  : x  y  z  1  0 .

D.  P  : x  2 y  z  4  0 .

Câu 30: Phương trình của mặt phẳng nào sau đây đi qua điểm M 1; 2;3 và cắt ba tia Ox , Oy , Oz
lần lượt tại A , B , C sao cho thể tích tứ diện OABC nhỏ nhất?

File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 24


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Hình Học Tọa Độ Oxyz

A. 6 x  3 y  2 z  18  0 .

B. 6 x  3 y  3z  21  0 .

C. 6 x  3 y  3z  21  0 .

D. 6 x  3 y  2 z  18  0 .

Câu 31: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm E(8;1;1) .Viết phương trình mặt phẳng ( )
qua E và cắt nửa trục dương Ox, Oy, Oz lần lượt tại A, B, C sao cho OG nhỏ nhất với G là
trọng tâm tam giác ABC .
A. x  y  2 z  11  0 .

B. 8 x  y  z  66=0 .

C. 2 x  y  z  18  0 .

D. x  2 y  2 z  12  0 .

Câu 32: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho A(2;1;6), B(1; 2; 4) và I (1;3; 2). Viết phương
trình mặt phẳng (P) đi qua A, B sao cho khoảng cách từ I đến (P) lớn nhất.
A. 3 x  7 y  6 z  35  0 .

B. 7 x  y  5 z  9  0 .

C. x  y  z  6  0 .

D. x  y  z  3  0 .

Câu 33: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm M (0; 1;2) và N (1;1; 3) . Mặt phẳng
(P) đi qua M, N sao cho khoảng cách từ K 0; 0;2 đến (P) đạt giá trị lớn nhất. (P) có vectơ
pháp tuyến là:
A. (1;1; 1)

B. (1; 1;1)

Câu 34: Trong không gian Oxyz, cho các điểm
phẳng

P

C. (1; 2;1)

D. (2; 1;1)

A 1; 0; 0  , B  2; 0;3 , M  0;0;1

và

đi qua các điểm M , N sao cho khoảng cách từ điểm B đến

khoảng cách từ điểm A đến 
A. Có vô số mặt phẳng  P  .

P.

N  0;3;1 .

P

Mặt

gấp hai lần

P
Có bao mặt phẳng   thỏa mãn đầu bài?
B. Chỉ có một mặt phẳng  P  .

C. Không có mặt phẳng  P  nào.

D. Có hai mặt phẳng  P  .

Câu 35: Trong không gian tọa độ Oxyz, cho phương trình mặt phẳng

  : 3mx  5
m

1  m 2 y  4mz  20  0, m  1;1 .

Xét các mệnh đề sau:
(I) Với mọi m  1;1 thì các mặt phẳng m  luôn tiếp xúc với một mặt cầu không đổi.
(II) Với mọi m  0 thì các mặt phẳng m  luôn cắt mặt phẳng (Oxz).
(III) d O; m   5, m  1;1 .




Khẳng định nào sau đây đúng?
A. Chỉ (I) và (II)

B. Chỉ (I) và (III)

C. Chỉ (II) và (III)

File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Facebook: />
D. Cả 3 đều đúng.

Trang 25