Hướng dẫn giải toán bằng sơ đồ đoạn thẳng cho học sinh khá giỏi lớp 4 (2014)

TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA GIÁO DỤC TIỂU HỌC

VI THỊ THÙY

HƢỚNG DẪN GIẢI TOÁN
BẰNG SƠ ĐỒ ĐOẠN THẲNG
CHO HỌC SINH KHÁ - GIỎI LỚP 4

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Phƣơng pháp dạy học Toán

Ngƣời hƣớng dẫn khoa học
ThS. LÊ THU PHƢƠNG

HÀ NỘI - 2014


LỜI CẢM ƠN
Trong quá trình thực hiện khoá luận, ngoài sự cố gắng nỗ lực của bản
thân, tôi còn nhận được sự động viên, hướng dẫn, chỉ bảo tận tình của
ThS. Lê Thu Phương và những ý kiến đóng góp của thầy cô trong tổ phương
pháp.
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc đến các thầy cô giáo
trong khoa Giáo dục Tiểu học, các thầy, cô giáo trong tổ phương pháp dạy
học Toán, đặc biệt là sự hướng dẫn chỉ bảo tận tình của ThS. Lê Thu Phương
- giảng viên khoa Giáo dục Tiểu học trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã
giúp đỡ tôi hoàn thành khoá luận này.
Do điều kiện thời gian, năng lực còn hạn chế nên khoá luận không
tránh khỏi những thiếu sót nhất định. Tôi rất mong nhận được sự đóng góp ý
kiến của các thầy cô và các bạn để khoá luận của tôi được hoàn chỉnh hơn.

Tôi xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, tháng 5 năm 2014
Sinh viên

Vi Thị Thuỳ


LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan dưới sự hướng dẫn của ThS. Lê Thu Phương, khoá
luận tốt nghiệp “Hƣớng dẫn giải toán bằng sơ đồ đoạn thẳng cho học sinh
khá - giỏi lớp 4” được hoàn thành không trùng với bất kì khoá luận nào khác.
Trong quá trình làm khoá luận, tôi đã kế thừa những thành tựu của các
nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn.
Hà Nội, tháng 5 năm 2014
Sinh viên

Vi Thị Thuỳ


MỤC LỤC
MỞ ĐẦU ........................................................................................................................ 1
1. Lý do chọn đề tài ........................................................................................................ 1
2. Mục đích nghiên cứu .................................................................................................. 2
3. Đối tượng nghiên cứu................................................................................................. 2
4. Phạm vi nghiên cứu .................................................................................................... 2
5. Giả thuyết khoa học.................................................................................................... 2
6. Nhiệm vụ nghiên cứu ................................................................................................. 2
7. Các phương pháp nghiên cứu .................................................................................... 3
8. Cấu trúc của khoá luận ............................................................................................... 3
NỘI DUNG .................................................................................................................... 4

CHƢƠNG 1. TÌM HIỂU CƠ SỞ LÍ LUẬN CỦA PHƢƠNG PHÁP GIẢI
TOÁN BẰNG SƠ ĐỒ ĐOẠN THẲNG ................................................................... 4
1.1. Đặc điểm nhận thức của học sinh lớp 4 ...................................................... 4
1.1.1. Tri giác .............................................................................................................. 4
1.1.2. Trí nhớ ............................................................................................................... 4
1.1.3. Chú ý ..................................................................................................................... 5
1.1.4. Tư duy ................................................................................................................... 5
1.1.5. Tưởng tượng ......................................................................................................... 5
1.2. Phương pháp giải toán bằng sơ đồ đoạn thẳng ở Tiểu học .................... 6
1.2.1. Khái niệm.............................................................................................................. 6
1.2.2. Vai trò của việc dạy học toán bằng phương pháp dùng sơ đồ đoạn thẳng ....... 6
1.2.3. Thực trạng của việc dạy học “giải toán bằng sơ đồ đoạn thẳng” ở Tiểu học ... 7
CHƢƠNG 2. HƢỚNG DẪN HỌC SINH KHÁ - GIỎI GIẢI MỘT SỐ BÀI
TOÁN CỤ THỂ BẰNG PHƢƠNG PHÁP SƠ ĐỒ ĐOẠN THẲNG ................. 9
2.1. Nội dung giải toán bằng sơ đồ đoạn thẳng cho học sinh lớp 4............................. 9


2.2. Các bước giải bài toán ............................................................................................. 9
2.3. Các dạng toán cụ thể .............................................................................................11
2.3.1. Dạng toán: “Tìm hai số khi biết tổng và hiệu của hai số đó” ..........................11
2.3.2. Dạng toán: “Tìm hai số khi biết tổng và tỉ số của hai số đó” ..........................17
2.3.3. Dạng toán: “Tìm hai số khi biết hiệu và tỉ số của hai số đó”...........................26
CHƢƠNG 3. MỘT SỐ GIẢI PHÁP, BIỆN PHÁP NHẰM NÂNG CAO
HIỆU QUẢ BỒI DƢỠNG GIẢI TOÁN BẰNG SƠ ĐỒ ĐOẠN THẲNG CHO
HỌC SINH KHÁ - GIỎI LỚP 4 .............................................................................35
3.1. Bồi dưỡng niềm say mê, hứng thú học Toán ở học sinh ....................................36
3.2. Rèn cho học sinh một số kĩ năng trong việc giải bài toán bằng phương pháp
dùng sơ đồ đoạn thẳng..................................................................................................37
3.2.1. Kĩ năng tóm tắt bài toán bằng sơ đồ đoạn thẳng .............................................38
3.2.2. Kĩ năng dùng sơ đồ đoạn thẳng để lập luận cho bài toán ...............................39

3.2.3. Rèn luyện học sinh trình bày bài giải ................................................................39
KẾT LUẬN .................................................................................................................41
TÀI LIỆU THAM KHẢO ........................................................................................42


MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Tiểu học là cấp học nền tảng đặt cơ sở ban đầu cho việc hình thành và
phát triển nhân cách của con người, đặt nền móng vững chắc cho giáo dục
phổ thông và cho toàn bộ hệ thống giáo dục quốc dân. Để đạt được mục tiêu
trên, nhà trường Tiểu học đã duy trì dạy học toán, việc giúp các em học tốt
môn học, học có phương pháp là mục tiêu hàng đầu được đặt ra trong mọi tiết
học. Để làm được việc đó, người giáo viên cần giúp học sinh phân tích bài
toán nhằm nhận biết được đặc điểm, bản chất bài toán, từ đó lựa chọn được
giải pháp thích hợp.
Giải toán là mức độ cao nhất của tư duy. Nó đòi hỏi mỗi học sinh phải
huy động gần hết những vấn đề kiến thức logic được thể hiện bằng những
ngôn ngữ toán học. Mỗi bài toán, mỗi dạng toán đều có mối quan hệ chặt chẽ
với nhau. Việc tổ chức hướng dẫn cho học sinh nắm được kiến thức trừu
tượng, khái quát của bài toán, dạng toán phải dựa trên những cái cụ thể, gần
gũi với học sinh sau đó học sinh vận dụng những nguyên tắc, khái niệm trừu
tượng để giải quyết những vấn đề cụ thể theo đúng con đường của nhận thức
là: Từ trực quan sinh động đến tư duy trừu tượng, rồi từ tư duy trừu tượng trở
về thực tiễn.
Ở lớp 4, các em đã được học giải các bài toán điển hình bằng phương
pháp sơ đồ đoạn thẳng như: “Tìm hai số khi biết tổng và hiệu của hai số đó”,
“Tìm hai số khi biết tổng và tỉ số của hai số đó”, “Tìm hai số khi biết hiệu và
tỉ của hai số đó”. Trong quá trình dạy giải toán nâng cao cho học sinh khá giỏi lớp 4, người giáo viên cần sử dụng triệt để ưu điểm của phương pháp giải
toán bằng sơ đồ đoạn thẳng để giúp các em nắm chắc bản chất của mỗi dạng
toán, phát triển tư duy và khả năng giải toán các bài toán khó cho học sinh

khá - giỏi.

1


Từ những lý do trên cùng với định hướng của ThS. Lê Thu Phương, tôi
chọn đề tài “Hướng dẫn giải toán bằng sơ đồ đoạn thẳng cho học sinh khá giỏi lớp 4” để tìm hiểu và nghiên cứu nhằm nâng cao sự hiểu biết về toán học,
nâng cao khả năng giải các bài toán khó cho học sinh.
2. Mục đích nghiên cứu
Trên cơ sở nghiên cứu cách giải ba dạng toán “Tìm hai số khi biết tổng
và hiệu của hai số đó”, “Tìm hai số khi biết tổng và tỉ số của hai số đó”,
“Tìm hai số khi biết hiệu và tỉ số của hai số đó” và hướng dẫn học sinh giải
một số bài toán cơ bản và nâng cao điển hình của ba dạng toán trên, đề tài
nhằm giúp các em học sinh nắm chắc bản chất các dạng toán, nâng cao và
phát huy tính chủ động sáng tạo cho học sinh khá - giỏi lớp 4.
3. Đối tƣợng nghiên cứu
Các bài toán khó ở ba dạng toán “Tìm hai số khi biết tổng và hiệu của
hai số đó”, “Tìm hai số khi biêt tổng và tỉ số của hai số đó”, “Tìm hai số khi
biết hiệu và tỉ số của hai số đó” bằng sơ đồ đoạn thẳng cho học sinh khá giỏi lớp 4.
4. Phạm vi nghiên cứu
Học sinh khá - giỏi lớp 4.
5. Giả thuyết khoa học
Đề tài thành công sẽ là cơ sở cho giáo viên chủ động trong việc hướng
dẫn bồi dưỡng giải toán cho học sinh khá - giỏi lớp 4, ngoài ra còn giúp cho
học sinh biết cách lập kế hoạch giải các bài toán khó, nâng cao hiệu quả dạy
học và bồi dưỡng học sinh giỏi toán.
6. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Tìm hiểu cơ sở lý luận của phương phương pháp giải toán bằng sơ đồ
đoạn thẳng trong chương trình Toán lớp 4.
- Hướng dẫn giải một số bài toán khó ở dạng “Tìm hai số khi biết tổng

và hiệu của hai số đó”, “Tìm hai số khi biết tổng và tỉ số của hai số đó”,
“Tìm hai số khi biết hiệu và tỉ số của hai số đó”.
2


- Đề ra một số giải pháp, biện pháp nhằm nâng cao hiệu quả bồi dưỡng
giải toán bằng sơ đồ đoạn thẳng cho học sinh khá - giỏi lớp 4.
7. Các phƣơng pháp nghiên cứu
- Phương pháp phân tích và tổng hợp lý thuyết;
- Phương pháp đàm thoại;
- Phương pháp quan sát;
- Phương pháp luyện tập - thực hành;
- Phương pháp đánh giá tổng hợp.
8. Cấu trúc của khoá luận
Ngoài phần Mở đầu, Kết luận, Phụ lục, Tài liệu tham khảo, Khoá luận
gồm ba chương:
Chương 1: Tìm hiểu cơ sở lí luận của phương pháp giải toán bằng sơ đồ
đoạn thẳng
Chương 2: Hướng dẫn học sinh khá - giỏi giải một số bài toán cụ thể
bằng phương pháp sơ đồ đoạn thẳng
Chương 3: Một số giải pháp, biện pháp nhằm nâng cao hiệu quả bồi
dưỡng giải toán bằng sơ đồ đoạn thẳng cho học sinh khá - giỏi lớp 4.

3


NỘI DUNG
CHƢƠNG 1
TÌM HIỂU CƠ SỞ LÍ LUẬN CỦA PHƢƠNG PHÁP GIẢI TOÁN
BẰNG SƠ ĐỒ ĐOẠN THẲNG

1.1. Đặc điểm nhận thức của học sinh lớp 4
Trong việc phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh ở tiểu học, môn
Toán đóng vai trò to lớn. Toán học có liên quan chặt chẽ và có ứng dụng rộng
rãi trong rất nhiều lĩnh vực khác nhau của công nghệ, sản xuất và đời sống xã
hội hiện đại. Toán học còn là một công cụ để học tập và nghiên cứu các môn
học khác.
1.1.1. Tri giác
Tri giác là quá trình tâm lí phản ánh một cách trọn vẹn các thuộc tính
của sự vật hiện tượng khi chúng trực tiếp tác động vào các giác quan của ta.
Đối với học sinh lớp 4, tri giác phân tích được hình thành và phát triển
mạnh. Tri giác bắt đầu mang tính xúc cảm, trẻ thích quan sát các sự vật hiện
tượng có màu sắc sặc sỡ, hấp dẫn, tri giác của trẻ đã mang tính mục đích, có
phương hướng rõ ràng - tri giác có chủ định.
1.1.2. Trí nhớ
Trí nhớ là quá trình phản ánh vốn kinh nghiệm của cá nhân dưới hình
thức biểu tượng, bằng cách ghi nhớ, giữ gìn, nhận lại và nhớ lại những điều
mà con người đã trải qua.
Giai đoạn lớp 4, ghi nhớ có ý nghĩa và ghi nhớ từ ngữ được tăng cường.
Ghi nhớ có chủ định đã phát triển. Tuy nhiên, hiệu quả của việc ghi nhớ có chủ
định còn phụ thuộc vào nhiều yếu tố như mức độ tập trung trí tuệ của các em,
sức hấp dẫn của nội dung tài liệu, yếu tố tâm lí tình cảm hay hứng thú của các
em…

4


1.1.3. Chú ý
Chú ý là sự tập trung của hoạt động tâm lý vào một hoặc một số đối
tượng nào đó, nhằm phản ánh chúng một cách đầy đủ, rõ ràng nhất.
Với học sinh lớp 4, khối lượng chú ý tăng lên, trẻ dần hình thành kĩ

năng tổ chức, điều chỉnh chú ý của mình. Chú ý có chủ định phát triển dần và
chiếm ưu thế. Trong sự chú ý của trẻ đã bắt đầu xuất hiện giới hạn của yếu tố
thời gian, trẻ đã định lượng được khoảng thời gian cho phép để làm một việc
nào đó và cố gắng hoàn thành công việc trong khoảng thời gian quy định.
1.1.4. Tƣ duy
Tư duy là một quá trình nhận thức phản ánh những thuộc tính bản chất,
những mối liên hệ và quan hệ bên trong của sự vật, hiện tượng trong hiện thực
khách quan mà trước đó ta chưa biết.
Ở lớp 4, tư duy cụ thể vẫn tiếp tục phát triển, tư duy trừu tượng đang
dần dần chiếm ưu thế hơn. Học sinh tiếp thu tri thức các môn học bằng cách
tiến hành các thao tác tư duy với các kí hiệu.
Những thao tác về tư duy như phân loại tính toán, không gian, thời
gian,… được hình thành và phát triển mạnh.
Khái quát hoá ở giai đoạn này mang tính khái quát, học sinh biết dựa
vào các dấu hiệu bản chất của đối tượng để khái quát hoá.
Học sinh xác lập mối quan hệ từ nguyên nhân đến kết quả tốt hơn từ
kết quả đến nguyên nhân. Bởi vì, khi suy luận từ nguyên nhân đến kết quả
mối quan hệ trực tiếp được xác lập. Ngược lại thì mối quan hệ đó được xác
lập một cách không trực tiếp do một kết quả có thể có nhiều nguyên nhân.
1.1.5. Tƣởng tƣợng
Tưởng tượng là một trong những quá trình nhận thức lý tính. Nếu
không có sự phát triển đầy đủ của tưởng tượng thì học sinh không thể học tập
có kết quả được.

5


Khả năng tái tạo của học sinh lớp 4 khá tốt và vẫn tiếp tục phát triển. Các
hình ảnh tưởng tượng tái tạo khá đầy đủ, ổn định chỉ có điều không phải học sinh
nào cũng đạt được lôgic chặt chẽ trong kết cấu của hình ảnh tưởng tượng.

Tưởng tượng sáng tạo bắt đầu được hình thành ở học sinh lớp 4 song
mức độ đầy đủ, sinh động của các hình ảnh tượng tượng chưa cao.
Giáo viên sử dụng các phương pháp và hình thức tổ chức dạy học nhiều
khi chưa phù hợp, chưa thực sự phát triển trí tưởng tượng cho học sinh trong
từng giờ dạy, từng bước lên lớp. Chính vì vậy, khả năng tưởng tượng không
đồng đều ở các học sinh, nhiều em còn gặp khó khăn, lúng túng khi đứng
trước một yêu cầu phải tưởng tượng.
Dựa vào sự phát triển của quá trình nhận thức của học sinh lớp 4, các
nhà giáo dục phải tạo điều kiện phát triển tư duy và trí tưởng tượng cho các
em bằng cách biến các kiến thức “khô khan” thành những hình ảnh có cảm
xúc, đặt ra cho các em những câu hỏi mang tính gợi mở để các em tự giải
quyết vấn đề; từ đó các em có cơ hội phát triển trí thông minh và sức sáng tạo
trong quá trình học tập nói riêng và trong cuộc sống nói chung. “Trí tưởng
tượng quan trọng hơn cả sự hiểu biết” (Albert Einstein).
1.2. Phƣơng pháp giải toán bằng sơ đồ đoạn thẳng ở Tiểu học
1.2.1. Khái niệm
Giải toán bằng phương pháp dùng sơ đồ đoạn thẳng là phương pháp dùng
các đoạn thẳng thay cho các số (số đã cho và số phải tìm trong bài toán) để minh
họa các mối quan hệ và sự phụ thuộc giữa các đại lượng trong bài toán. Là cách
lựa chọn độ dài và sắp xếp các đoạn thẳng tạo một hình ảnh cụ thể.
1.2.2. Vai trò của việc dạy học toán bằng phƣơng pháp dùng sơ đồ đoạn
thẳng
Ở lớp 4, cảm giác và tri giác của các em đã đi vào những cái tổng thể,
trọn vẹn của sự vật hiện tượng, đã biết suy luận và phân tích. Nhưng tri giác

6


của các em còn gắn liền với hành động trực quan nhiều hơn, tri giác về không
gian trừu tượng còn hạn chế. Sự phát triển tư duy, tưởng tượng của các em

còn phụ thuộc vào vật mẫu, hình mẫu, chưa thoát khỏi tính cụ thể, còn mang
tính hình thức. Trí nhớ trực quan hình tượng phát triển hơn so với trí nhớ từ
ngữ lôgíc.
Mặt khác, trong quá trình dạy học, để hình thành dần khả năng trừu
tượng hóa cho các em đòi hỏi người giáo viên phải dựa trên hình tượng trực
quan, mà trực quan trong quá trình tóm tắt bài toán không gì hơn dùng sơ đồ
đoạn thẳng.
1.2.3. Thực trạng của việc dạy học “giải toán bằng sơ đồ đoạn thẳng” ở
Tiểu học
Qua điều tra, phần lớn giáo viên có nhận thức đúng về tầm quan trọng
của việc dạy học giải toán bằng sơ đồ đoạn thẳng. Hiện nay, giải toán bằng
phương pháp sử dụng sơ đồ đoạn thẳng ở Tiểu học đã được quan tâm và chú ý
hơn rất nhiều. Qua việc sử dụng phương pháp sơ đồ đoạn thẳng giáo viên đã
quán triệt được tinh thần đổi mới phương pháp dạy học “tích cực hóa hoạt
động của học sinh”. Tuy nhiên, một số giáo viên và học sinh còn phụ thuộc
vào tài liệu có sẵn là sách giáo khoa. Việc sử dụng các bài toán chưa phù hợp
với nhiều đối tượng học sinh làm cho những học sinh khá - giỏi không có
hứng thú trong giờ học vì các bài tập các em giải quyết một cách dễ dàng.
Ngược lại, đối với học sinh yếu thì lượng bài tập đó lại quá nhiều, các em
không thể làm hết bài tập đó trên lớp. Học sinh giải bài toán còn thụ động,
máy móc theo yêu cầu của giáo viên. Phần lớn học sinh chỉ hoạt động giải các
bài toán cụ thể chứ không biết so sánh, liên hệ với các bài toán khác. Ngay từ
lớp 1, 2, 3 các em đã gặp các bài toán dùng đến sơ đồ đoạn thẳng nhưng giáo
viên thường vẽ tóm tắt trên bảng để hướng dẫn mà chưa yêu cầu đến kĩ năng
vẽ sơ đồ, đây là thực tế một số mặt còn hạn chế của giáo viên. Lên lớp 4, đại

7


lượng toán học cần biểu thị bằng đoạn thẳng đa dạng, phức tạp hơn nên học

sinh càng lúng túng trong việc tóm tắt bài toán bằng phương pháp sơ đồ đoạn
thẳng để tìm ra cách giải.
Thực trạng này cho ta thấy việc giảng dạy các bài toán dùng sơ đồ đoạn
thẳng còn nhiều hạn chế. Tuy nhiên, việc mô tả tóm tắt bài toán bằng sơ đồ
đoạn thẳng cũng đòi hỏi người giáo viên phải chuẩn mực, phải hiểu sâu và kĩ,
đồng thời phải sắp xếp các đoạn thẳng đó một cách thích hợp để khi nhìn vào
sơ đồ các em dễ nhận thấy các điều kiện của bài toán, từ đó giúp các em có
kinh nghiệm và biết cách trình bày của mình. Như vậy, hiệu quả của từng
bước mới tăng dần lên được.

8


CHƢƠNG 2
HƢỚNG DẪN HỌC SINH KHÁ - GIỎI GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN
CỤ THỂ BẰNG PHƢƠNG PHÁP SƠ ĐỒ ĐOẠN THẲNG
2.1. Nội dung giải toán bằng sơ đồ đoạn thẳng cho học sinh lớp 4
Việc dùng sơ đồ đoạn thẳng để dạy Toán ở lớp 4 được áp dụng cho rất
nhiều dạng bài như:
+ Bài toán có liên quan đến số trung bình cộng;
+ Bài toán hơn kém và chia tỉ lệ;
+ Bài toán so sánh hai phân số;
+ Bài toán tìm hai số khi biết tổng và hiệu của hai số đó;
+ Bài toán tìm hai số khi biết tổng và tỉ số của hai số đó;
+ Bài toán tìm hai số khi biết hiệu và tỉ số của hai số đó,…
Trong khóa luận này, tôi xin trình bày ba dạng toán sau:
+ Dạng toán tìm hai số khi biết tổng và hiệu của hai số đó;
+ Dạng toán tìm hai số khi biết tổng và tỉ số của hai số đó;
+ Dạng toán tìm hai số khi biết hiệu và tỉ số của hai số đó.
2.2. Các bƣớc giải bài toán

Để giải bài toán bằng sơ đồ đoạn thẳng giáo viên hướng dẫn học sinh thực
hiện theo bốn bước sau:
Bước 1: Tìm hiểu đề bài
Giáo viên phải hướng dẫn học sinh đọc thật kĩ đề toán từ hai đến ba lần,
có như vậy học sinh mới tập trung suy nghĩ về ý nghĩa nội dung và câu hỏi
bài toán. Qua đó, học sinh phải xác định chính xác cái nào là điều kiện đã cho
và cái nào là cái phải tìm. Từ đó, tìm ra được mối quan hệ giữa điều đã biết và
những điều chưa biết trong một bài toán.

9


Bước 2: Tóm tắt đề bài bằng sơ đồ đoạn thẳng
Trong bước này học sinh cần bỏ tất cả những gì gọi là thứ yếu chỉ chú ý
tập trung vào những điểm chính của đề toán. Qua đó học sinh sẽ thiết lập
được mối quan hệ giữa cái đã cho trong bài toán bằng sơ đồ, thông qua sơ đồ
học sinh có thể hiểu và dễ dàng giải được bài toán.
Bước 3: Suy nghĩ tìm cách giải
Ở bước này học sinh cần dựa vào sơ đồ kết hợp với phân tích mối quan
hệ giữa các đại lượng có trong bài toán để tìm ra cách giải.
Mục tiêu của bước này là thiết lập được trình tự giải các bài toán bao gồm:
+ Các phép tính;
+ Các bước suy luận.
Bước 4: Trình bày bài giải và thử lại bài toán
Với bước này học sinh phải thực hiện các phép tính cùng các bước lý
giải theo định hướng đã tìm được ở bước 3 thành một bài giải hoàn chỉnh. Với
mỗi bài toán cần hướng dẫn và yêu cầu học sinh thử lại xem đáp số tìm được
đã phù hợp với điều kiện của bài toán chưa?
Bước 5: Khai thác bài toán
Bước khai thác giúp học sinh củng cố, khắc sâu không những bài toán

vừa giải mà cho một lớp các bài tập tiếp theo. Học sinh có thể khai thác theo
các hướng:
- Tìm cách giải khác cho bài toán;
- Lập bài toán ngược;
- Giải bài toán theo mấy cách;
- Đưa ra bài toán tương tự,
- Nhận xét rút kinh nghiệm tìm ra phương pháp để giải dạng toán này.
Yêu cầu: Phải để học sinh tự nhận xét và rút kinh nghiệm qua mỗi bài
giải cụ thể của các em.

10


2.3. Các dạng toán cụ thể
“Tìm hai số khi biết tổng và hiệu của hai số đó”
Bài toán 1: (Sách giáo khoa (SGK) Toán 4, trang 47)
Tìm hai số khi biết tổng hai số bằng 70 và hiệu số là 10.
Giáo viên hướng dẫn giải:
* Bước 1: Tìm hiểu đề toán
- Bài toán cho biết gì? (Tổng hai số là 70, hiệu hai số là 10).
- Bài toán hỏi gì? (Tìm hai số đó).
* Bước 2: Tóm tắt bài toán
?
Số lớn:
10

?

70

Số bé:
* Bước 3: Suy nghĩ tìm cách giải
Nhìn vào sơ đồ giáo viên yêu cầu học sinh nhận xét:
- Nếu lấy tổng trừ đi hiệu kết quả đó có quan hệ như thế nào với số bé?
Giáo viên lấy tay che đi phần hiệu trên sơ đồ, từ đó học sinh nhận ra
phần còn lại là hai lần số bé. Số bé bằng tổng trừ đi hiệu rồi chia cho 2. Từ đó
ta tìm được số lớn.
* Bước 4: Trình bày lời giải
Số bé là:
(70  10) : 2  30

Số lớn là:
30  10  40

Hoặc: 70  30  40
Đáp số: Số lớn: 40
Số bé: 30

11


* Bước 5: Khai thác bài toán
Bài toán có thể giải theo hai cách:
+ Cách 1: Tìm số bé trước (như trên)
+ Cách 2: Tìm số lớn trước
Số lớn là:
(70  10 ) : 2  40

Số bé là:
40  10  30

Hoặc: 70  40  30
Đáp số: Số lớn: 40
Số bé: 30
Sai lầm học sinh có thể mắc phải:
- Học sinh không biết tóm tắt đề bài toán bằng sơ đồ đoạn thẳng.
- Học sinh sai lầm trong cách tính.
Ví dụ: Không tìm hai lần số bé mà lấy luôn tổng chia 2 để tìm số bé
rồi lại lấy số bé cộng hiệu ra số lớn.
Cách khắc phục:
- Giáo viên phải hướng dẫn học sinh tóm tắt bằng sơ đồ đoạn thẳng.
- Dựa vào đoạn thẳng, giáo viên hướng dẫn học sinh lập kế hoạch giải
từ đó rút ra quy tắc:
+ Số bé = (Tổng – Hiệu) : 2
+ Số lớn = (Số bé + Hiệu)
Hoặc:
+ Số lớn = (Tổng + Hiệu) : 2
+ Số bé = số lớn – Hiệu

12


Bài toán 2:
Hà và Ngoan có tất cả 120 viên bi. Nếu Hà cho Ngoan 20 viên bi thì
số bi của Ngoan nhiều hơn số bi của Hà là 16 viên. Tìm số bi của mỗi
bạn?
Trong bài này học sinh có thể xác định được ngay tổng số bi nhưng
hiệu số bi của hai bạn thì không cho trực tiếp. Đối với bài này đòi hỏi học
sinh cần phân tích các dữ kiện để chuyển về dạng cơ bản “Tìm hai số khi biết
tổng và hiệu của hai số đó”. Giáo viên cần chú ý cho học sinh hiệu ở đây là

sau khi Hà cho Ngoan 20 viên bi để tránh nhầm lẫn trong tính toán.
Ta có sơ đồ sau:
? viên
Hà:
16 viên
Ngoan:

? viên
Bài giải
Nếu Hà cho Ngoan 20 viên bi thì số bi của Hà là:
(120  16) : 2  52

(viên)

Số bi thực của Hà là:
52  20  72 (viên)

Số bi thực của Ngoan là:
120  72  48 (viên)

Đáp số: Hà: 72 viên
Ngoan: 48 viên

13

120 viên


Bài toán 3:
Tìm 3 số có tổng bằng 175, biết số thứ nhất kém số thứ hai 16 đơn

vị, số thứ hai kém số thứ ba 17 đơn vị.
Đối với học sinh khá - giỏi ở mỗi dạng giáo viên cần mở rộng đưa ra
các bài dưới các hình thức khác nhau để rèn cho học sinh tư duy phân tích,
phát triển trí thông minh và sức sáng tạo trong học tập.
Đối với dạng bài “Tìm hai số khi biết tổng và hiệu của hai số đó” giáo
viên có thể mở rộng ra trong trường hợp tìm ba số khi biết tổng và hiệu của
từng số.
Bài toán này học sinh dễ ngộ nhận tổng của ba số là 175 và hiệu bằng
(16 + 17). Để tránh sai lầm này giáo viên cần hướng dẫn học sinh vẽ đúng sơ
đồ của bài toán. Qua sơ đồ học sinh có thể dễ dàng tìm ra được cách giải của
bài toán.
Bài giải
Ta có sơ đồ:
?
Số thứ I:
16
Số thứ II:

175
?

16

17

Số thứ III:
?
Số thứ ba hơn số thứ nhất là:
17  16  33 (đơn vị)

Ba lần số thứ nhất là:
175  16  33  126

Số thứ nhất là:
126 : 3  42

14


Số thứ hai là:
42  16  58

Số thứ ba là:
58  17  75

Đáp số: Số thứ nhất: 42
Số thứ hai: 58
Số thứ ba: 75
Bài toán 4:
Một hình chữ nhật có chu vi là 112m. Biết rằng chiều dài hơn chiều
rộng 12m. Tính diện tích của hình chữ nhật?
Bài toán này yêu cầu tìm diện tích của hình chữ nhật nên phải tìm được
chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật. Học sinh cần chú ý tổng chiều dài
và chiều rộng bằng nửa chu vi.
Bài giải
Nửa chu vi hình chữ nhật là:
112 : 2  56 (m)

Ta có sơ đồ:
?m

Chiều rộng:
?m

56m

Chiều dài:

12m
Chiều rộng hình chữ nhật là:
(56  12) : 2  22

(m)

Chiều dài hình chữ nhật là:
22  12  34 (m)

15


Diện tích của hình chữ nhật là:
2

22  34  748 (m )

Đáp số: 748 m2
Bài toán 5:
Tìm hai số chẵn liên tiếp có tổng là 126?
Đối với bài tập không tường minh như thế này nhiều học sinh sẽ chưa
nhận ngay ra được dạng bài. Giáo viên cần đặt ra câu hỏi gợi ý giúp học sinh
định hướng được hướng làm: “bài cho 2 số chẵn liên tiếp ta sẽ có được điều

gì?”
Bài giải
Theo bài ra, ta có sơ đồ:
Số thứ nhất:
2

126

Số thứ hai:
Hai lần số thứ nhất là:
126  2  64

Số thứ nhất là:
124 : 2  62

Số thứ hai là:
62  2  64

Đáp số: 62, 64
Rút kinh nghiệm:
Đối với các bài toán khó giáo viên cần có những câu hỏi gợi ý vào các
dữ kiện đầu bài cho học sinh để gợi mở cho học sinh tìm ra các dữ kiện đó.
Sau đó mới vẽ sơ đồ và áp dụng công thức chung để giải các bài toán theo
dạng của nó.

16


Bài tập đề nghị:
1. Tìm hai số lẻ có tổng là 2006 biết rằng giữa chúng còn 3 số lẻ nữa.

2. Hai thùng đựng được tất cả 36 lít nước. Nếu lấy bớt 4 lít ở thùng thứ nhất
đổ sang thùng thứ hai thì thùng thứ hai đựng nhiều hơn thùng thứ nhất 6 lít.
Hỏi lúc đầu mỗi thùng đựng bao nhiêu lít nước?
3. Một thửa ruộng hình chữ nhật có chu vi 360m, chiều rộng bé hơn chiều dài
20m. Tính diện tích thửa ruộng đó?
4. Tổng các chữ số của một số có hai chữ số bằng 11. Nếu thay đổi thứ tự các
chữ số thì số đã cho tăng thêm 27 đơn vị. Tìm số đó?
5. Hai tổ thu gom được 135kg giấy vụn. Biết rằng số giấy vụn tổ I gấp 4 lần
số giấy vụn của tổ II. Hỏi mỗi tổ thu gom được bao nhiêu ki-lô-gam giấy vụn?
2.3.2. Dạng toán: “Tìm hai số khi biết tổng và tỉ số của hai số đó”
Bài toán 1: (xem [5])
Có 12 bạn trong đội văn nghệ của nhà trƣờng trong đó số bạn trai
bằng

1
số bạn gái. Hỏi có bao nhiêu bạn trai? Bao nhiêu bạn gái?
3

* Bước 1: Tìm hiểu đề toán
- Bài toán cho biết điều gì? (Tổng số bạn trong đội văn nghệ là 12).
- Bài toán cho biết thêm gì nữa? (Số bạn trai bằng

1
số bạn gái).
3

- Bài toán hỏi gì? (Hỏi có bao nhiêu trai? Bao nhiêu bạn gái?)
* Bước 2: Tóm tắt bài toán

? bạn

Bạn trai:
12 bạn

? bạn
Bạn gái:
* Bước 3: Suy nghĩ tìm cách giải

Nhìn vào sơ đồ giáo viên yêu cầu học sinh nhận xét:
17


- 12 bạn thì có tất cả bao nhiêu phần bằng nhau? (Bốn phần).
- Số bạn trai là mấy phần? (Một phần).
- Số bạn nữ là mấy phần? (Ba phần).
Từ những nhận xét về bài toán học sinh sẽ tìm ra được cách giải để tính
được số bạn trai và số bạn gái.
* Bước 4: Trình bày lời giải
Tổng số phần bằng nhau là:
3  1  4 (phần)

Giá trị một phần là:
12 : 4  3 (bạn)

Số bạn trai là:
3 1  3 (bạn)

Số bạn gái là:
12  3  9 (bạn)

Đáp số: 3 bạn trai

9 bạn gái
* Bước 5: Khai thác bài toán
Giải bài toán bằng cách khác để tìm số bạn gái:
Số bạn trai là:
12 : (3  1)  1  3

(bạn)

Số bạn gái là:
3  3  9 (bạn)

Đáp số: 3 bạn trai
9 bạn gái
Sai lầm học sinh có thể mắc phải:
- Không biểu diễn được sơ đồ đoạn thẳng;
- Không tìm được tổng số phần bằng nhau.

18


Cách khắc phục:
- Giáo viên yêu cầu học sinh đọc kĩ đề bài;
- Tóm tắt bài toán bằng sơ đồ đoạn thẳng;
- Dựa vào sơ đồ đoạn thẳng để phân tích bài toán;
- Từ đó rút ra các bước khi giải bài toán “Tìm hai số khi biết tổng và tỉ
số của hai số đó”:
+ Bước 1: Vẽ sơ đồ
+ Bước 2: Tìm tổng số phần bằng nhau
+ Bước 3: Tìm giá trị một phần
Giá trị một phần = Tổng : Tổng số phần bằng nhau.

+ Bước 4: Tìm số bé
Số bé = Giá trị một phần  Số phần của số bé.
+ Bước 5: Tìm số lớn
Số lớn = Giá trị một phần  Số phần của số lớn
Hoặc: Số lớn = Tổng – Số bé.
Chú ý: Đối với dạng toán “Tìm hai số khi biết tổng và tỉ số của hai số đó” ta
phải xác định chính xác đâu là tổng của hai số và đâu là tỉ số của hai số đó.
Bài toán 2:
Một cửa hàng bán một ngày đƣợc 865.000 đồng. Trong đó
tiền bán vải bằng

1
số
3

1
1
số tiền bán nhôm và bằng số tiền bán đồ điện. Hỏi
2
5

cửa hàng bán mỗi loại đó đƣợc bao nhiêu tiền?
Bài toán một chỉ có hai đại lượng nhưng sang bài toán này có tới ba đại
lượng nên học sinh cần chú ý nhiều hơn về tỉ số của ba số đó. Học sinh cần
phân tích mối quan hệ giữa các tỉ số của ba đại lượng này để tìm được tỉ số
phần giữa các đại lượng.

19

* Bước 1: Tìm hiểu đề toán
- Bài toán cho biết điều gì? (Tổng số tiền bán vải, nhôm, đồ điện là
865.000 đồng).
- Bài toán còn cho biết thêm gì nữa? (Cho biết tỉ số
bằng

1
số tiền bán vải
3

1
1
số tiền bán nhôm và bằng số tiền bán đồ điện).
2
5

- Ta hiểu tỉ số này như thế nào? (Số tiền vải là ba phần, số tiền nhôm là
hai phần, số tiền đồ điện là năm phần).
* Bước 2: Tóm tắt bài toán
? đồng
Tiền vải:
? đồng

865.000 đồng

Tiền nhôm:
? đồng
Tiền đồ điện:
* Bước 3: Suy nghĩ tìm cách giải

- Nhìn vào sơ đồ ta thấy 865.000 đồng tương ứng với bao nhiêu đoạn
thẳng bằng nhau? (Mười đoạn thẳng bằng nhau).
- Tìm giá trị tương ứng với một phần như thế nào? (Ta lấy tổng chia
cho tổng số đoạn thẳng).
- Tiền vải gồm mấy phần? (Ba phần).
- Tiền nhôm gồm mấy phần? (Hai phần).
- Tiền đồ điện gồm mấy phần? (Năm phần).
* Bước 4: Trình bày lời giải
Tổng số phần bằng nhau là:
3  2  5  10 (phần)

Giá trị tương ứng với một phần là:

20