ĐỀ SỐ 4
I. MA TRẬN ĐỀ THI
Cấp độ câu hỏi
ST
T
Chuyên đề
Đơn vị kiến thức
Nhận
biết
Thông
hiểu
Vận
dụng
Vận
dụng
cao
Tổng
1
Đồ thị hàm số
C1
1
2
Bảng biến thiên
C2
1
3
Tương giao
C8
1
4
Cực trị
C5
1
Đơn điệu
C6
1
6
Tiệm cận
C9
1
7
Min – max
C7
1
8
Tiếp tuyến
C10
1
9
Biểu thức mũ – loga
C15
2
C13
1
5
10
Hàm số
Mũ – Logarit
C3
Bất phương trình mũ – loga
C12, C14,
11
Hàm số mũ – logarit
12
Phương trình mũ – logarit
C11
1
13
Nguyên hàm
C19
1
14
Nguyên hàm
Tích phân
C4
C18, C20
– Tích phân
15
Ứng dụng tích phân
16
Dạng hình học
17
Dạng đại số
18
Số phức
Phương trình trên tập số
phức
4
C16, C17
C39
C40,
C41
C25, C26
C21, C22,
C23
C24
4
2
2
3
1
19
Hệ trục tọa độ
C32
20
Mặt phẳng
C35
21
Vị trí tương đối
C34
22
Bài toán tìm điểm
C33
23
Thể tích khối chóp
C27, C28
1
C46
2
Hình Oxyz
24
Thể tích lăng trụ
1
C45
2
2
C42
1
HHKG
25
Khoảng cách
C29
26
Góc
27
Mặt nón, khối nón
C31
Mặt cầu, khối cầu
C30
1
C43
1
1
Khối tròn xoay
28
C44
29
Lượng giác
Phương trình lượng giác
30
Tổ hợp – Xác
Xác suất
C36
31
suất
Nhị thức Newton
C38
32
CSC – CSN
33
Giới hạn
C47
Xác định thành phần CSC –
Giới hạn dãy số
C48
31
11
2
1
C50
4
1
1
C37
CSN
Tổng số câu theo mức độ
2
4
1
50
II. ĐỀ THI
PHẦN NHẬN BIẾT
Câu 1: Đường cong ở hình bên là đồ thị
của hàm số nào dưới đây?
A. y =
2x − 1
x −1
B. y =
2x − 1
x +1
C. y =
2x + 1
x +1
D. y =
2x − 3
x −1
Câu 2: Bảng biến thiên dưới đây là của hàm số nào?
−∞
x
–1
y
+
0
0
–
0
+
0
4
y
+∞
1
–
4
−∞
−∞
3
A. y = − x 4 + 2x 2 + 3
B. y = − x 4 − 2x 2 + 3
C. y = − x 4 + 3x 2 + 3
D. y = − x 4 − 3x 2 + 3
Câu 3: Cho 0 < a ≠ 1, b > 0, c > 0. Hỏi khẳng định nào dưới đây là sai?
A. log a (bc) = log a b + log a c
b
B. log a ÷ = log a b − log a c
c
C. a logb c = c logb a .
D. a loga b = a.
Câu 4: Viết công thức tính tích phân từng phần
b
b
b
b
A. ∫ udv = uv a + ∫ vdu.
a
a
b
b
B. ∫ udv = u
a
D. ∫ udv = u
a
a
+ v ba − ∫ vdu
a
b
b
C. ∫ udv = uv a − ∫ vdu
a
b
b
a
b
b
a
− v ba − ∫ vdu
a
PHẦN THÔNG HIỂU
Câu 5: Tìm tọa độ điểm cực đại của đồ thị hàm số y = x 3 − 3x 2
A. ( 1;3)
B. ( 0;0 )
C. ( 0; 2 )
D. ( 1; 2 )
Câu 6: Hỏi hàm số y = x 4 − 2x 2 − 3 nghịch biến trên khoảng nào?
A. ( 1; +∞ ) .
B. ( −1;0 ) và ( 1; +∞ ) . C. ( −∞; −1) và ( 0;1)
D. ( −∞; +∞ ) .
2
Câu 7: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x +
A.
min y = 3.
B.
1
2 ;2
min y = −3.
1
2 ;2
2
1
trên đoạn ; 2
x
2
C.
min y = 4.
Câu 8: Tìm tọa độ giao điểm M của đồ thị hàm số y =
1
A. M 0; ÷.
2
Câu 9: Cho hàm số y =
1
B. M 0; − ÷.
2
D.
1
2 ;2
min y = −4.
1
2 ;2
x −1
với trục tung.
x+2
1
C. M 0; ÷.
3
1
D. M 0; − ÷.
3
x −3
. Hỏi khẳng định nào dưới đây là đúng?
x2 − 4
A. Đồ thị hàm số có hai tiệm cận đứng x = 2, x = −2 và một tiệm cận ngang y = 0
B. Đồ thị hàm số có hai tiệm cận đứng x = 2, x = −2 và một tiệm cận ngang y = 1
C. Đồ thị hàm số có hai tiệm cận đứng x = 2, x = −2 và một tiệm cận ngang y =
3
4
D. Đồ thị hàm số có hai tiệm cận đứng x = 2, x = −2 và một tiệm cận ngang y = −1
Câu 10: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y =
A. y = −3x − 5
B. y = −3x + 13
x −1
tại điểm có hoành độ x = −3
x+2
C. y = 3x + 13
D. y = 3x + 5
Câu 11: Giải phương trình log 3 ( x + 1) = log3 (3 − x).
A. x = 2
B. x = 3
C. x = 1
D. x = 4
C. y '(1) = e − 1
D. y '(1) = e − 3
C. 0 < x < 1
D. log 3 2 < x < 1
Câu 12: Cho hàm số y = e x + ln x. Tính y' (1)
A. y '(1) = e + 1
B. y '(1) = e + 3
x
Câu 13: Giải bất phương trình log 2 (3 − 2) < 0
A. x > 1
B. x < 1
2
Câu 14: Tìm tập xác định D của hàm số y = log 5 ( x − 3x − 4)
A. D = ( −∞; −1) ∪ ( 4; +∞ ) .
B. D = [ −1; 4]
C. D = ( −∞; −1) ∪ [ 4; +∞ ) .
D. D = ( −1; 4 )
2
4
Câu 15: Tính giá trị của biểu thức P = log a b + log a2 b + 2 log a
A. P = 3
Câu 16: Cho hàm số y =
B. P = 4
1
( 0 < a ≠ 1, b > 0 ) .
b2
C. P = 10
D. P = 0.
ln x
. Hỏi khẳng định nào dưới đây là đúng?
x
A. Hàm số có một cực tiểu.
B. Hàm số có một cực đại.
C. Hàm số không có cực trị.
D. Hàm số có một cực đại và một cực tiểu.
2
Câu 17: Hỏi hàm số y = ln ( x + x + 2 ) nghịch biến trên khoảng nào?
1
A. −∞; − ÷
2
1
B. ; +∞ ÷
2
∫ 2x ( x −
)
2
Câu 18: Biết
x 2 − 1 dx =
1
A. S = 8
1
C. − ; +∞ ÷
2
a 2 +b
3
1
D. −∞; ÷
2
( a, b ∈ Z) . Tính S = a + b.
B. S = 0
C. S = 2
D. S = 4
Câu 19: Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x) = (sin x + cos x) 2
1
A.
∫ f ( x)dx = x + 2 cos 2 x + C.
C.
∫ f ( x)dx = − 2 cos 2 x + C.
1
1
B.
∫ f ( x)dx = 2 cos 2 x + C.
D.
∫ f ( x)dx = x − 2 cos 2 x + C.
1
1
Câu 20: Cho hàm f ( x ) liên tục trên ¡ và thỏa mãn
∫ x. f (x)dx = 5 .
0
1
Tính I = −
4
π
4
∫ f ( cos 2 x ) d ( cos 4 x ) .
0
A. I = 5
B. I = –5
C. I = 4
Câu 21: Tìm phần thực và ảo của số phức z = ( 2 + 3i )
D. I = –4
2
A. Phần thực bằng −5 và Phần ảo bằng 12
B. Phần thực bằng 5 và Phần ảo bằng −12.
C. Phần thực bằng −5 và Phần ảo bằng 12
D. Phần thực bằng −5 và Phần ảo bằng − 12
Câu 22: Tìm các số thực x, y biết 3 x − 2 + ( y − 5 ) i = x + 1 − ( 2 y + 1) i
3
4
A. x = − , y = − .
2
3
2
3
B. x = , y = .
3
4
2
3
C. x = − , y = − .
3
4
3
4
D. x = , y = .
2
3
C. z = 644.
D. z = 466.
Câu 23: Tính mô đun của số phức z = (−2 − 5i)4i
A. z = 464.
B. z = 446.
Câu 24: Tìm số phức z thỏa mãn 3 z 2 − 2 z + 1 = 0.
A. z =
1 ± 5i
.
3
B. z =
1 ± 7i
.
3
C. z =
1 ± 2i
.
3
Câu 25: Trên mặt phẳng (Oxy), tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức z
có phần thực bằng −3.
A. Đường thẳng y = −3.
B. Đường thẳng x = −3.
C. Đường thẳng y = 3.
D. Đường thẳng x = 3.
D. z =
1 ± 3i
.
3
Câu 26: Cho hai số phức z =
5 − 2i
. Hỏi điểm biểu diễn của z là điểm nào
i
trong các điểm M, N, P, Q ở hình bên
A. Điểm P.
B. Điểm Q.
C. Điểm M.
D. Điểm N.
Câu 27: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tam giác SAD đều và nằm
trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính thể tích V của khối chóp SABCD.
a3. 3
.
4
A. V =
B. V =
a3. 3
.
6
C. V =
5a 3 . 3
.
6
D. V =
7a3 . 3
.
6
Câu 28: Cho hình chóp SABC có đáy là tam giác đều cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng đáy,
góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng 600 . Tính thể tích V của khối chóp SABC.
a3. 3
.
8
A. V =
B. V =
a3
.
12
C. V =
a3. 3
.
4
D. V =
a3. 3
.
12
Câu 29: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Biết rằng, thể tích của khối chóp
S.ABCD bằng 2a 3 và diện tích tam giác SAB bằng a 2 . Tính khoảng cách h giữa hai đường thẳng
SA và CD.
A. h =
3a
.
5
B. h = 3a.
C. h =
5a
.
3
D. h = 2a.
Câu 30: Tính thể tích V của khối cầu ngoại tiếp hình lập phương cạnh a.
A. V = π a 3
B. V =
4π a 3
.
3
C. V =
π a3 2
.
3
D. V =
π a3 3
.
2
Câu 31: Trong không gian, cho tam giác ABC vuông cân tại A, AB = a. Gọi H là trung điểm BC.
Quay tam giác đó xung quanh trục AH, ta được một hình nón tròn xoay. Tính diện tích xung
quanh S xq của hình nón.
π a2 2
π a2 2
π a2 2
C. S xq =
D. S xq =
.
.
.
15
2
3
r
r
r
r
Câu 32: Cho hai véc tơ a ( 1;0; −3) , b ( −1; −2;0 ) . Tính tích có hướng của hai véc tơ a và b
r r
r r
A. a, b = ( −6;3; −2 ) .
B. a, b = ( −6; −3; −2 ) .
r r
r r
C. a, b = ( −6; 2; −2 ) .
D. a, b = ( −6; −2; −2 ) .
A. S xq =
π a2 2
.
5
B. S xq =
Câu 33: Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc H của điểm M ( 1; 2; −4 ) trên trục Oz.
A. H(0;2;0).
B. H(1;0;0).
C. H(0;0;–4).
D. H(1;2;–4).
Câu 34: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng ( P ) : x − y + 6 z + m = 0 và cho
đường thẳng d có phương trình
A. m = –20.
x −1 y +1 z − 3
=
=
. Tìm m để d nằm trong (P).
2
−4
−1
B. m = 20.
C. m = 0.
D. m = –10.
Câu 35: Viết phương trình mặt phẳng chứa trục Ox và chứa điểm M ( 4; −1; 2 ) .
A. 2y + z = 0.
B. 4x + 3y = 0
C. 3x + z = 0
D. 2y – z = 0
PHẦN VẬN DỤNG
Câu 36: Công ty X thiết kế bảng điều khiển điện tử để mở cửa một ngôi nhà. Bảng gồm 5 nút,
mỗi nút được ghi một số từ 1 đến 5 và không có hai nút nào được ghi cùng một số. Để mở được
cửa cần nhấn liên tiếp ít nhất 3 nút khác nhau sao cho tổng của các số trên các nút đó bằng 10.
Một người không biết quy tắc mở cửa trên, đã nhấn ngẫu nhiên liên tiếp ít nhất 3 nút khác nhau
trên bảng điều khiển. Tính xác suất P để người đó mở được cửa ngôi nhà.
A. P = 0,17.
B. P = 0,7.
C. P = 0,12.
D. P = 0,21.
Câu 37: Cho một cấp số cộng, biết rằng tổng của sáu số hạng đầu bẳng 18 và tổng của mười số
hạng đầu bằng 110. Tìm số hạng tổng quát un .
A. un = −11 + 4n
B. un = 11 + 4n
C. un = −11 − 4n
D. un = 11 − 4n
1
3
5
7
2 n −1
23
Câu 38: Tìm n thỏa mãn C2 n + C2 n + C2 n + C2 n + ... + C2 n = 2 .
A. n = 10
B. n = 12
C. n = 7
D. n = 15
e
Câu 39: Biết F ( x) là nguyên hàm của f( x ) trên ¡ thỏa mãn
∫ F (x)d (ln x) = 3 và F (e) = 5
1
e
Tính I = ∫ ln x. f ( x)dx.
1
A. I = 3
B. I = –3
C. I = 2
D. I = –2
Câu 40: Tính diện tích S hình phẳng giới hạn bởi các đường y = x 2 + 1, x = −1, x = 2 và trục
hoành.
A. S = 6
B. S =
13
.
6
C. S = 13.
D. S = 16.
Câu 41: Tính thể tích V của khối tròn xoay thu được khi quay xung quanh trục Ox hình phẳng
giới hạn bởi các đường y = tan x, x = 0, x =
π
A. V = π 3 − ÷.
3
B. V = 3 −
π
.
3
π
và trục hoành.
3
C. V = 3 +
π
.
3
D. V = π 3 −
π
.
3
Câu 42: Cho lăng trụ ABCA'B'C' có đáy ABC là tam giác đều cạnh 2a. Hình chiếu vuông góc của
A' trên (ABC) là trung điểm H của BC, góc giữa AA' và (ABC) bằng 450 . Tính thể tích V của
khối lăng trụ ABCA'B'C'.
a3. 3
.
3
A. V =
B. V =
a3. 6
.
4
C. V =
a3. 3
.
12
D. V = 3a 3
Câu 43: Cho lăng trụ đứng ABCA'B'C' có đáy ABC là tam giác cân, AB = AC = a, BAC = 1200 ,
BB' = a, I là trung điểm CC'. Gọi α là góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (AB'I). Tính cos α .
A. cosα =
3
.
10
B. cosα =
3
.
10
C. cos α =
3
.
10
D. cos α =
2
.
5
Câu 44: Cho hình cầu đường kính AA' = 2a. Gọi H là một điểm nằm trên đoạn AA' sao cho
AH =
4a
. Mặt phẳng (P) đi qua H và vuông góc với AA' cắt hình cầu theo đường tròn (C). Tính
3
diện tích S của hình tròn (C).
A. S =
8π a 2
.
9
B. S =
5π a 2
.
9
C. S =
11π a 2
.
9
D. S =
π a2
.
9
Câu 45: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(1;2;3) và cho đường thẳng d có
phương trình
x −2 y + 2 z −3
=
=
. Tìm tọa độ của điểm B thuộc trục hoành sao cho AB vuông
2
−1
1
góc với d.
3
A. B = − ;0;0 ÷.
2
B. B = ( 1;0;0 ) .
3
C. B = ;0;0 ÷.
2
D. B = ( −1;0;0 ) .
Câu 46: Cho hình lập phương ABCDA'B'C'D'có cạnh bằng a. Gọi M là điểm thuộc cạnh AB sao
cho AM =
A. h =
1
AB. Tính khoảng cách h từ điểm C tới mặt phẳng (B'DM).
3
a
14
B. h =
2a
14
C. h =
3a
14
D. h =
a
12
PHẦN VẬN DỤNG CAO
Câu 47: Tìm nghiệm của phương trình sin 3 x + sin 2 x = 1 + cos 3 x
A. x =
π
π
+ kπ , x = + k 2π
4
2
B. x =
π
π
+ kπ , x = + k 2π , x = π + k 2π
4
2
C. x =
π
π
+ kπ , x = + k 2π
3
6
D. x =
π
π
π
+ kπ , x = + k 2π , x = + k 2π
3
6
4
3n
5
2
Câu 48: Gọi a là hệ số của x 3 trong khai triển 3 x 2 + ÷ , x > 0, biết rằng.
x
2n − 4 ( Cnn − 2 − Cn1− 2 − n ) = Cnn−−12
A. a = 96069
B. a = 96906
C. a = 96960
D. a = 96096
L = lim 2n. 2 − 2 + 2 + ... + 2 ÷
÷
n →+∞
Câu 49: Tính
1 4 4 4 44 2 4 4 4 4 43
n can
A. L = π
B. L = 0
C. L = +∞
D. L = 1
5 x 2 − 3x − 20
Câu 50: Tính đạo hàm cấp n của hàm số y = 2
x − 2x − 3
(n)
n
A. y = ( −1) .n ! 3 ( x + 1)
− n −1
+ 4 ( x − 3)
− n −1
(n)
B. y = n ! 3 ( x + 1)
− n −1
+ 4 ( x − 3)
− n −1
n
− n −1
− n −1
(n)
D. y ( n ) = n ! 3 ( x + 1) − n −1 − 4 ( x − 3) − n−1
− 4 ( x − 3)
C. y = ( −1) .n ! 3 ( x + 1)
PHẦN III. BẢNG ĐÁP ÁN
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
A
A
D
C
B
C
A
B
A
C
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
C
A
D
A
D
B
A
B
D
A
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
A
D
A
C
B
A
B
A
B
D
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
C
A
C
A
A
C
A
B
C
A
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
D
D
A
A
C
C
B
D
A
A
LỜI GIẢI CHI TIẾT
Câu 1: Đáp án A
Đồ thị hàm số có TCĐ x = 1 và TCN y = 2 ⇒ Chọn A hoặc D.
Khi x = 0 thì y = 1 ⇒ Chọn A.
Câu 2: Đáp án A
Hàm số có 2 cực trị là x = ±1 ⇒ Chọn A.
Câu 3: Đáp án D
Ta có a log a b = b .
Câu 4: Đáp án C
Câu 5: Đáp án B
2
Ta có y′ = 3 x − 6 x; y′ = 0 ⇔ x = 0 ∨ x = 2 .
Lại có y′′ = 6 x − 6 ⇒ y′′ ( 0 ) = −6; y′′ ( 2 ) = 6 .
Do đó xCD = 0 ⇒ yCD = 0 .
Câu 6: Đáp án C
(
)
3
2
Ta có y′ = 4 x − 4 x = 4 x x − 1 ; y′ = 0 ⇔ x = 0 ∨ x = ±1 .
Bảng biến thiên
x
y’
y
−∞
-1
0
0
0
1
0
Vậy hàm số nghịch biến trên các khoảng ( −∞; −1) và ( 0;1) .
Câu 7: Đáp án A
Ta có y′ = 2 x −
2
2
; y′ = 0 ⇔ 2 x = 2 ⇔ x 3 = 1 ⇔ x = 1 .
2
x
x
1 17
; y ( 1) = 3; y ( 2 ) = 5 .
2 4
Lại có y ÷ =
Vậy
min y = 3
1
2 ;2
.
Câu 8: Đáp án B
Thay x = 0 vào phương trình đồ thị hàm số ta được y = −
Câu 9: Đáp án A
1 3
− 2
x−3
x
x = 0 ⇒ TCN : y = 0 .
= lim
Ta có lim 2
x →±∞ x − 4
x →±∞
4
1− 2
x
Câu 10: Đáp án C
Ta có y′ =
3
( x + 2)
2
.
1
1
⇒ M 0; − ÷.
2
2
+∞
Tiếp tuyến tại ( −3;4 ) có hệ số góc k = y′ ( −3) = 3
Vậy PTTT là y = 3 ( x + 3) + 4 hay y = 3 x + 13 .
Câu 11: Đáp án C
ĐK −1 < x < 3 .
PT ⇔ x + 1 = 3 − x ⇔ 2 x = 2 ⇔ x = 1 .
Câu 12: Đáp án A
x
Ta có y′ = e +
1
⇒ y′ ( 1) = e + 1
x
Câu 13: Đáp án D
x
x
BPT ⇔ 0 < 3 − 2 < 1 ⇔ 2 < 3 < 3 ⇔ log 3 2 < x < 1
Câu 14: Đáp án A
2
ĐK x − 3 x − 4 > 0 ⇔ x ∈ ( −∞; −1) ∪ ( 4; +∞ ) .
Câu 15: Đáp án D
(
)
2
2
2
2
2
2
Ta có P = log a b + 2log a 2 b + 2 log a 1 − log a b = log a b + log a b − 2log a b = 0 .
Câu 16: Đáp án B
ĐK x > 0 .
1
.x − ln x
1 − ln x
Ta có ′ x
.
y =
=
⇒ y′ = 0 ⇔ x = e
2
2
x
x
1
− .x 2 − 2 x ( 1 − ln x )
−3 + 2ln x
1
Lại có ′′
y = x
=
⇒ y′′ ( e ) = − 3 < 0
4
3
x
x
e
Do đó hàm số đạt cực đại tại x = e .
Câu 17: Đáp án A
ĐK x 2 + x + 2 > 0 ⇔ x ∈ ¡ .
Ta có y′ =
2x +1
1
< 0 ⇔ 2x + 1 < 0 ⇔ x < − .
x + x +1
2
2
Câu 18: Đáp án B
2
(
)
2
2
1
4 2 −2
4 2 −4
− ∫ 2t 2 dt =
Ta có ∫ 2 x x − x − 1 dx = ∫ 2 x dx − ∫ 2 x x − 1dx =
3
3
1
1
1
0
2
⇒ a = 4; b = −4 ⇒ S = 0 .
Câu 19: Đáp án D
2
2
∫ ( sin x + cos x )
2
1
dx = ∫ ( sin 2 x + cos 2 x + 2sin x cos x ) dx = ∫ ( 1 + sin 2 x ) dx = x − cos 2 x + C
2
Câu 20: Đáp án A
Ta có I = − 1
π
4
0
1
1
f ( cos 2 x ) d ( 2cos 2 x − 1) = − ∫ f ( t ) d ( 2t 2 − 1) = ∫ t. f ( t ) dt = 5 .
∫
40
41
0
2
Câu 21: Đáp án A
Sử dụng máy tính Casio ta có z = ( 2 + 3i ) = −5 + 12i .
2
Câu 22: Đáp án D
3
x
=
3 x − 2 = x + 1
2
⇔
Ta có
.
y − 5 = −2 y − 1 y = 4
3
Câu 23: Đáp án A
Ta có z = 20 − 8i ⇒ z = 20 2 + 82 = 464 .
Câu 24: Đáp án C
Sử dụng máy tính Casio
Câu 25: Đáp án B
Câu 26: Đáp án A
Ta có z = −2 − 5i ⇒ Điểm biểu diễn số phức z là ( −2; −5 ) .
Câu 27: Đáp án B
∆SAD đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy nên gọi H là trung điểm của AD thì
SH ⊥ ( ABCD ) .
Ta có SH =
SA2 − HA2 =
a 3
1 a 3 a3 3
.
⇒ V = a2.
=
2
3
2
6
Câu 28: Đáp án A
Gọi I là trung điểm BC .
( SBC ) ∩ ( ABC ) = BC
¶
⇒ (·ABC ) , ( SBC ) = ·AI , SI = SIA
Ta có ( SAI ) ⊥ BC
( SAI ) ∩ ( SBC ) = SI ; ( SAI ) ∩ ( ABC ) = AI
(
¶ =
Có SA = AI .tan SIA
1
3
a 3
3a
.
.tan 600 =
2
2
1 3a a 2 3 a 3 3
.
.
=
3 2
4
8
Vậy V = .SA.S ∆ABC = .
Câu 29: Đáp án B
) (
)
(
)
(
Ta có d SA, CD = d CD, SAB = d C , SAB
(
)
(
)
(
)
)
3
3VC .SAB 2 VS . ABCD
=
=
= 3a .
S ∆SAB
S∆SAB
Câu 30: Đáp án D
Gọi O là tâm hình lập phương thì O là tâm khối cầu cần tìm.
Bán kính khối cầu là R = OA =
AC ′ a 3
4
π a3 3
.
=
⇒ V = π R3 =
2
2
3
2
Câu 31: Đáp án C
Ta có BC =
AB 2 + AC 2 = a 2; AH = BH = CH =
Hình nón cần tính có R = HB =
a 2
.
2
a 2
π a2 2
.
; l = AC = a ⇒ S xq = π Rl =
2
2
Câu 32: Đáp án A
r r 0 −3 −3 1 1 0
a
;
;
Ta có , b =
÷ = ( −6;3; −2 ) .
−
2
0
0
−
1
−
1
−
2
Câu 33: Đáp án C
Câu 34: Đáp án A
uu
r
uuur
uu
r uuur
Ta có ud = ( 2; −4; −1) , n( P ) = ( 1; −1;6 ) ⇒ ud ⊥ n( P ) ⇒ d / / ( P ) ∨ d ≡ ( P ) .
Lấy M ( 1; −1;3) ∈ ( P ) . Để d ≡ ( P ) thì M ∈ ( P ) ⇒ 1 − (−1) + 6.3 + m = 0 ⇔ m = −20 .
Câu 35: Đáp án A
r uuuu
r
Mặt phẳng cần tìm đi qua O và có VTPT là i, OM = ( 0; −2; −1) .
Phương trình mặt phẳng cần tìm là 2 y + z = 0 .
Câu 36: Đáp án C
3
4
5
Không gian mẫu có số phần tử là n ( Ω ) = A5 + A5 + A5 = 300 .
Gọi A là biến cố mở được cửa phòng học.
Bộ 3 số có tổng bằng 10 là
Vậy P ( A ) =
{ ( 1;4;5) , ( 2;3;5 ) ,(1, 2,3, 4),(} ⇒ n ( A) = 3!+ 3!+ 4! = 36
36
= 0,12 .
300
Câu 37: Đáp án A
( un )
6 ( 6 − 1) d
6u1 +
= 18
S6 = 18
6u + 15d = 18
u = −7
2
⇔
⇔ 1
⇔ 1
là CSC có
d = 4
10u1 + 45d = 110
S10 = 110
10u + 10 ( 10 − 1) d = 110
1
2
Vậy un = u1 + ( n − 1) d = −7 + 4 ( n − 1) = −11 + 4n
Câu 38: Đáp án B
( 1 + 1) 2 n = C20n + C21n + .... + C22nn
⇒ 22 n = 2 ( C21 n + C23n + ... + C22nn −1 )
Xét khai triển
2n
0
1
2n
( 1 − 1) = C2 n − C2 n + .... + C2 n
Do đó 2.223 = 22 n ⇔ 224 = 2 2 n ⇔ n = 12 .
Câu 39: Đáp án C
e
u = ln x ⇒ du = d ( ln x )
e
⇒ I = ln xF ( x ) 1 − ∫ F ( x ) d ( ln x ) = F ( e ) − 3 = 2 .
Đặt
dv = f ( x ) ⇒ v = F ( x )
1
Câu 40: Đáp án A
2
Ta có S =
∫( x
−1
2
+ 1) dx = 6
Câu 41: Đáp án A
π
3
π
3
Ta có V = π tan 2 xdx = π
1
∫0 cos2 x − 1÷dx = π ( tan x − x )
∫
0
π
3
0
π
= π 3 − ÷.
3
Câu 42: Đáp án D
)
(
0
·
·
Ta có AA′, ( ABC ) = ( AA′, AH ) = ·A′AH = 45 .
Lại có AH =
AB 3
= a 3 ⇒ A′H = AH .tan 450 = a 3 .
2
( 2a )
2
Vậy VABC . A′B′C ′ = A′H .S ∆ABC = a 3.
4
3
= 3a 3 .
Câu 43: Đáp án A
Gọi D là giao điểm của BC và B′I ⇒ ( ABC ) ∩ ( AB′I ) = AD .
(
)
·
·
=α .
Kẻ CH ⊥ AD ( H ∈ AD ) ⇒ ( CIH ) ⊥ AD ⇒ ( AB′I ) , ( ABC ) = CHI
·
Ta có BC 2 = AB 2 + AC 2 − 2. AB. AC.cos BAC
= 3a 2 ⇒ BC = a 3 .
Có B′C ′ / / CD ⇒
B′C ′ C ′I
=
= 1 ⇒ CD = B′C ′ = BC = a 3 .
CD
IC
·
Lại có ·ACD = 1800 − ·ACB = 1500 ⇒ AD = CD 2 + CA2 − 2CD.CA.cos ACD
=a 7
Mặt khác ta có
AC
AD
·ADC = a .
=
⇒
sin
0
2 7
sin ·ADC sin150
Mà sin ·ADC =
CH
a 3
a 10
⇒ CH =
⇒ IH = IC 2 + CH 2 =
CD
2 7
2 7
Vậy cos α =
CH
3
=
.
IH
10
Câu 44: Đáp án A
Ta có ∆ABA′ vuông tại B có BH là đường cao nên
BH = AH . A′H =
4 a 2 a 8a 2
2a 2
.
. =
⇒ R( C ) = BH =
3 3
9
3
Vậy S( C ) = π R 2 =
8π a 2
.
9
2
Câu 45: Đáp án C
uuu
r
Giả sử B ( m;0;0 ) ⇒ AB ( m − 1; −2; −3) .
uuu
r uu
r
Để AB ⊥ d thì AB.ud = 0 ⇔ 2 ( m − 1) + 2 − 3 = 0 ⇒ m =
3
Vậy B ( ;0;0)
2
Câu 46: Đáp án C
3
.
2
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ. Ta có B ( 0;0;0 ) , A ( 0; a;0 ) , C ( a;0;0 ) , D ( a; a;0 ) , B′ ( 0;0; a ) .
Do BM =
2
2a
BA ⇒ M 0; ;0 ÷.
3
3
Mặt phẳng ( B′MD )
uuuu
r uuuur − a 2 2 2a 2
2
′
B
D
, B′M =
;a ;
có 1 VTPT là
÷ = 3a ( −1;3;2 ) .
3
3
Do đó phương trình mặt phẳng ( B′MD ) là x − 3 y − 2 z + 2a = 0 .
Vậy d ( C , ( B′MD ) ) =
a + 2a
12 + ( −3) + 22
2
=
3a
.
14
Câu 47: Đáp án B
PT ⇔ sin 3 x − cos3 x = 1 − sin 2 x ⇔ ( sin x − cos x ) ( 1 + sin x cos x ) = ( sin x − cos x )
2
π
x = + kπ
tan x = 1
4
sin x − cos x = 0
2
⇔
⇔
⇔ t = 1 (tm)
1 + 1 − t = t − 2 ≤ t = sin x − cos x ≤ 2
1 + sin x.cos x = sin x − cos x
t = −3 (loai )
2
(
)
π π
π
x − 4 = 4 + k 2π
x
=
+ k 2π
π
2
⇔
⇔
2
Với t = 1 ⇒ sin x − cos x = 1 ⇔ sin x − ÷ =
.
4 2
x − π = 3π + k 2π
x = π + k 2π
4
4
Câu 48: Đáp án D
ĐK n > 2 .
(
n!
( n − 2 ) ! − n = ( n − 1) !
−
÷
÷ ( n − 2) !
2!( n − 2 ) ! ( n − 3) !
)
n−4
Cnn −2 − Cn1−2 − n = Cnn−−12 ⇔ 2n − 4
Ta có 2
n ( n − 1)
⇔ 2n− 4
− ( n − 2 ) − n = n − 1 ⇔ 2n −5 ( n 2 − 5n + 4 ) = n − 1
2
⇔ 2n−5 ( n − 1) ( n − 4 ) = n − 1 ⇔ 2 n−5 ( n − 4 ) = 1 ⇔ n = 5 .
3n
15− k
15
2k
15
3 2 2
3 2 2
2
k
Với n = 5 , xét khai triển x + ÷ = x + ÷ = ∑ C15 x 3 ÷
x
x
x
k =0
Xét
15
= ∑C x
k =0
5k − 45 5
= ⇔ k = 10 .
3
3
5
10 5
Vậy hệ số của x 3 là C15 .2 = 96096 .
Câu 49: Đáp án A
Ta chứng minh vn = 2 + 2 + .. 2 = 2cos
π
(*) bằng quy nạp.
2n +1
Dễ thấy (*) đúng với n = 1 . Giả sử (*) đúng với n = k , tức là vk = 2cos
Xét vk +1 = 2 + vk = 2 + 2cos
π
.
2k +1
π
π
π
= 2.2cos 2 k + 2 = 2cos k + 2 .
k +1
2
2
2
Do đó (*) đúng với mọi n .
n
n +1
Ta có un = 2 . 2 − 2 + ... 2 = 2 sin
Vậy lim un =
n →∞
π
1
π
= .2 n+ 2.sin n +1 .
n+ 2
2
2
2
π
.
2
Câu 50: Đáp án A
5 x 2 − 3 x − 20
7x − 5
3
4
= 5+
= 5+
+
Ta có y = 2
.
x − 2x − 3
x +1 x − 3
( x − 3) ( x + 1)
⇒ y′ = −
3
−
4
= −3 ( x + 1)
−2
− 4 ( x − 3)
−2
( x + 1) ( x − 3)
−3
−3
−3
−3
⇒ y′′ = 6 ( x + 1) + 8 ( x − 3) = 3.2!( x + 1) + 4.2!( x − 3 )
−4
−4
−4
−4
⇒ y′′′ = −18 ( x + 1) − 24 ( x − 3) = −3.3!( x + 1) − 4.3!( x − 3 )
2
2
Bằng quy nạp ta chứng minh được y
( n)
= ( −1) .n !3 ( x + 1)
n
− n −1
+ 4 ( x − 3)
n −1
.
k
15
5 k − 45
3
215−k