Một vài kinh nghiệm bồi dưỡng học sinh giỏi về một số dạng toán có chứa dấu giá trị tuyệt đối

Một vài kinh nghiệm bồi dưỡng học sinh giỏi về một số dạng tốn có chứa dấu giá trị tuyệt đối.

I. PHẦN MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Toán học là một bộ mơn khoa học tự nhiên mang tính logíc, tính trừu tượng
cao. Trong chương trình Tốn ở cấp THCS hiện nay thì phần lớn hệ thống câu hỏi
và bài tập đã được biên soạn khá phù hợp với trình độ kiến thức và năng lực của số
đơng học sinh.Tuy vậy có một số bài tập địi hỏi học sinh phải có năng lực học
nhất định mới có thể nắm được, đó là dạng tốn có chứa dấu giá trị tuyệt đối. Các
bài toán này rất phổ biến trong các đề thi học sinh giỏi văn hóa các cấp, các đề thi
giải tốn trên máy tính cầm tay, các đề thi giải toán bằng tiếng Việt và đề thi giải
toán bằng tiếng Anh qua mạng internet. Việc bồi dưỡng học sinh học Tốn khơng
đơn thuần chỉ cung cấp cho các em một số kiến thức cơ bản thông qua việc làm bài
tập hoặc làm nhiều bài tập khó mà giáo viên phải biết phân chia theo từng kiểu loại
bài tập và định hướng phương pháp giải cho từng dạng, đồng thời rèn luyện cho
học sinh có thói quen suy nghĩ tìm tịi lời giải của một bài tốn trên cơ sở các kiến
thức đã học.
Qua nhiều năm thực tế giảng dạy và bồi dưỡng học sinh giỏi khối lớp 9, tơi
nhận thấy học sinh cịn lúng túng rất nhiều khi gặp phải dạng tốn có chứa dấu giá
trị tuyệt đối và thường mắc phải những sai sót khi giải dạng bài tập này, học sinh
còn vướng mắc về phương pháp giải, quá trình giải thiếu logic và chưa chặt chẽ,
chưa xét hết các trường hợp xảy ra. Lí do là học sinh chưa nắm vững quy tắc xét
dấu của nhị thức bậc nhất, chưa phân biệt và chưa nắm được các phương pháp giải
đối với từng dạng bài tập. Do đó người giáo viên cần phân loại được các dạng bài
tập và định hướng phương pháp giải cho từng dạng để các em có thể vận dụng linh
hoạt trong từng tình huống cụ thể, giúp học sinh hiểu sâu sắc bản chất của từng
dạng toán và giải được các dạng bài tốn một cách thành thạo. Từ đó rèn luyện cho
học sinh kĩ năng giải toán và tư duy sáng tạo.
Với những lý do trên đây, tôi chọn đề tài nghiên cứu: “Một vài kinh nghiệm
bồi dưỡng học sinh giỏi về một số dạng tốn có chứa dấu giá trị tuyệt đối” với
mong muốn được chia sẻ một vài kinh nghiệm của mình trong cơng tác bồi dưỡng

học sinh giỏi để các đồng nghiệp tham khảo, rất mong nhận được sự góp ý chân thành
của các đồng chí để đề tài được phát huy hiệu quả.
2. Mục tiêu, nhiệm vụ của đề tài
Đề tài: “Một vài kinh nghiệm bồi dưỡng học sinh giỏi về một số dạng tốn
có chứa dấu giá trị tuyệt đối” giúp học sinh hiểu sâu sắc hơn bản chất của từng
dạng bài toán và nắm vững phương pháp giải của từng dạng, giúp cho học sinh biết
phân loại và vận dụng phương pháp giải một cách linh hoạt và có hiệu quả. Qua đó
giúp học sinh phát huy được tính tích cực và tinh thần sáng tạo trong học tập, phát
triển năng lực tư duy toán học cho học sinh, tạo động lực thúc đẩy giúp các em học

Nguyễn Văn Dũng – Trường THCS Lê Đình Chinh, huyện Krơng Ana, tỉnh Đăk Lăk

1


Một vài kinh nghiệm bồi dưỡng học sinh giỏi về một số dạng tốn có chứa dấu giá trị tuyệt đối.

sinh có được sự tự tin trong học tập, hình thành phẩm chất sáng tạo khi giải toán và
niềm đam mê bộ môn.
Thông qua đề tài này nhằm cung cấp những kiến thức cần thiết về phương
pháp giải toán, những kinh nghiệm cụ thể trong q trình tìm tịi lời giải giúp học
sinh rèn luyện các thao tác tư duy lô-gic, phương pháp suy luận và khả năng sáng
tạo cho học sinh. Trong đề tài lời giải được chọn lọc với cách giải hợp lí, chặt chẽ,
dễ hiểu đảm bảo tính chính xác, tính sư phạm. Học sinh tự đọc có thể giải được
nhiều dạng Tốn cực trị, giúp học sinh có những kiến thức tốn học phong phú để
học tốt mơn Tốn và các mơn khoa học khác.
3. Đối tượng nghiên cứu
Một vài kinh nghiệm bồi dưỡng học sinh giỏi về một số dạng tốn có chứa
dấu giá trị tuyệt đối.
4. Giới hạn của đề tài

Đề tài này được nghiên cứu trong khn khổ một số dạng tốn có chứa dấu
giá trị tuyệt đối.
Đối tượng khảo sát: học sinh giỏi khối 9 trường THCS Lê Đình Chinh, xã
Quảng Điền, huyện Krông Ana, tỉnh Đăk Lăk.
Thời gian nghiên cứu: Qua các năm học: 2014 – 2015, 2015 – 2016 và 2017
- 2018
5. Phương pháp nghiên cứu
a) Nhóm phương pháp nghiên cứu lý luận
- Nghiên cứu lí thuyết, tra cứu tài liệu tham khảo, nghiên cứu các tài liệu
trên mạng internet, các bài tốn có chứa dấu giá trị tuyệt đối trong các đề thi học
sinh giỏi các cấp qua các năm.
- Tiến hành phân theo từng dạng bài tập và đề xuất phương pháp giải cho
từng thể loại bài tập.
- Đưa ra tập thể tổ chuyên môn thảo luận, thống nhất.
b) Nhóm phương pháp nghiên cứu thực tiễn
- Điều tra, khảo sát kết quả học tập của học sinh.
- Thực nghiệm trong công tác bồi dưỡng học sinh giỏi khối lớp 9 trường
THCS Lê Đình Chinh, xã Quảng Điền, huyện Krông Ana, tỉnh Đăk Lăk qua các
năm học: 2014 – 2015, 2015 – 2016 và 2017 - 2018
- Đánh giá kết quả học tập của học sinh sau khi thực nghiệm giảng dạy
c) Phương pháp thống kê toán học:
- Thống kê kết quả học tập của học sinh sau khi áp dụng đề tài.
- Đối chiếu so sánh giữa các năm học với nhau.

Nguyễn Văn Dũng – Trường THCS Lê Đình Chinh, huyện Krơng Ana, tỉnh Đăk Lăk

2


Một vài kinh nghiệm bồi dưỡng học sinh giỏi về một số dạng tốn có chứa dấu giá trị tuyệt đối.

II. PHẦN NỘI DUNG
1. Cơ sở lí luận
Nhằm đáp ứng được mục tiêu giáo dục toàn diện cho học sinh, con đường
duy nhất là nâng cao chất lượng học tập của học sinh ngay từ nhà trường phổ
thông. Là giáo viên ai cũng mong muốn học sinh của mình tiến bộ, lĩnh hội kiến
thức dễ dàng, phát huy tư duy sáng tạo, rèn tính tự học, thì mơn Tốn là mơn học
đáp ứng đầy đủ những u cầu đó. Việc học Tốn khơng phải chỉ là học trong sách
giáo khoa, không chỉ làm những bài tập do thầy, cô đưa ra mà phải nghiên cứu đào
sâu suy nghĩ, tìm tịi vấn đề, tổng quát hoá vấn đề và rút ra được những điều gì bổ
ích. Dạng tốn có chứa dấu giá trị tuyệt đối là dạng toán rất quan trọng trong
chương đại số 9, đây là những bài tốn khó thường xuất hiện trong các đề thi học
sinh giỏi, các bài toán này rất phong phú về thể loại và về cách giải, đòi hỏi học
sinh phải vận dụng nhiều kiến thức, linh hoạt trong biến đổi, sắc sảo trong lập luận
và phát huy tối đa khả năng phán đoán. Với mục đích nhằm nâng cao chất lượng
dạy và học Tốn, tơi thiết nghĩ cần phải trang bị cho học sinh phương pháp giải
cho từng kiểu loại bài tập. Để thực hiện tốt điều này, đòi hỏi giáo viên cần xây
dựng cho học sinh những kĩ năng như quan sát, phân tích, nhận dạng bài tốn, lựa
chọn phương pháp giải phù hợp. Từ đó, hình thành cho học sinh tư duy tích cực,
độc lập, kích thích tị mị ham tìm hiểu và đem lại niềm vui cho các em, đồng thời
khơi dậy cho các em sự tự tin trong học tập và niềm đam mê bộ môn.
2. Thực trạng vấn đề nghiên cứu
Trong những năm qua, tôi đã trực tiếp tham gia bồi dưỡng đội tuyển học
sinh giỏi 9 của trường THCS Lê Đình Chinh và cũng đã trải nghiệm rất nhiều
chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi, trong đó có chun đề “Một số dạng tốn có
chứa dấu giá trị tuyệt đối” và tơi cũng đạt được thành tích trong công tác bồi
dưỡng học sinh giỏi. Tuy nhiên, khi áp dụng chuyên đề trên còn nặng về phương
pháp liệt kê các bài toán, chưa phát huy được hiệu quả học tập của học sinh. Chính
vì vậy, để học sinh nắm vững và giải thành thạo các bài tốn có chứa dấu giá trị
tuyệt đối thì giáo viên nên phân theo từng kiểu loại bài tập, mỗi loại bài tập phân

theo từng dạng khác nhau, qua mỗi dạng có ví dụ minh chứng và xây dựng phương
pháp giải chung cho từng dạng. Với những ý tưởng đó tơi đã thể hiện trong đề tài
nghiên cứu “Kinh nghiệm bồi dưỡng học sinh giỏi về một số dạng tốn có chứa
dấu giá trị tuyệt đối” sau khi đưa ra tập thể tổ chuyên môn thảo luận và áp dụng
vào thực tiễn tôi nhận thấy rèn luyện được cho học sinh kĩ năng giải tốn có khoa
học, lập luận logic và chặt chẽ. Học sinh hứng thú, chủ động hơn trong học tập.
3. Nội dung và hình thức của giải pháp
a) Mục tiêu của giải pháp
Đề tài “Một vài kinh nghiệm bồi dưỡng học sinh giỏi về một số dạng tốn có
chứa dấu giá trị tuyệt đối” nhằm mục đích tìm tịi, tích lũy các đề toán ở nhiều
Nguyễn Văn Dũng – Trường THCS Lê Đình Chinh, huyện Krơng Ana, tỉnh Đăk Lăk

3


Một vài kinh nghiệm bồi dưỡng học sinh giỏi về một số dạng tốn có chứa dấu giá trị tuyệt đối.

dạng khác nhau trên cơ sở vận dụng được các kiến thức cơ bản đã học, trang bị cho
học sinh giỏi lớp 9 một cách có hệ thống về phương pháp giải các dạng tốn có
chứa dấu giá trị tuyệt đối từ cơ bản đến nâng cao, giúp học sinh nhận dạng và đề ra
phương pháp giải thích hợp trong từng trường hợp cụ thể, giúp học sinh có tư duy
linh hoạt và sáng tạo. Tạo hứng thú, niềm đam mê, u thích các dạng tốn có tính
tư duy.
b) Nội dung và cách thức thực hiện giải pháp, biện pháp
b.1. Loại bài tập vẽ đồ thị của hàm số có chứa biến trong dấu giá trị
tuyệt đối
* Phương pháp giải
Để vẽ đồ thị của hàm số có chứa biến trong dấu giá trị tuyệt đối ta xét các
trường hợp để bỏ dấu giá trị tuyệt đối rồi vẽ đồ thị của hàm số trong từng trường
hợp.

Lưu ý: Đồ thị của hàm số có chứa biến trong dấu giá trị tuyệt đối là một
đường gấp khúc.
* Các ví dụ minh họa
Ví dụ 1. Vẽ đồ thị của hàm số y  x
Giải
y x
+ Với x < 0 thì y = -x
+ Với x  0 thì y = x
m
Đồ thị của hàm số là đường
gấp khúc mOn như trên hình vẽ
Nhận xét:
Khi thay x bởi –x, giá trị của
hàm số y  x không đổi nên đồ thị
của hàm số nhận trục Oy làm trục
đối xứng. Do đó sau khi vẽ đồ thị
của hàm số y  x ứng với x < 0 ta
có thể lấy đối xứng qua trục tung
phần đồ thị nói trên.
Ví dụ 2. Vẽ đồ thị của hàm số y 2 x  1

y

n

4

2

1

-1

O

1

x

Giải

Nguyễn Văn Dũng – Trường THCS Lê Đình Chinh, huyện Krơng Ana, tỉnh Đăk Lăk

4


Một vài kinh nghiệm bồi dưỡng học sinh giỏi về một số dạng tốn có chứa dấu giá trị tuyệt đối.

y 2 x  1

y

+ Với x < 0 thì y = -2x - 1
+ Với x  0 thì y = 2x - 1
Đồ thị của hàm số là đường gấp
khúc mAn như trên hình vẽ

m

n

4

2

1

-1 -

1

O

2

2

A

Ví dụ 3. Vẽ đồ thị của hàm số y  x  1
Giải
y x  1
+ Với x < 1 thì y = -x - 1
+ Với x 1 thì y = x - 1
Đồ thị của hàm số là đường
gấp khúc mAn như trên hình vẽ

1

1

-1

y

4

m

n
2

1
A
O

-1

x

1
-1

Ví dụ 4. Vẽ đồ thị của hàm số y 2  x  1
Giải
y 2  x  1

4

y

3

+ Với x < 1 thì y = x + 1
+ Với x  1 thì y = -x + 3
Đồ thị của hàm số là đường
gấp khúc mAn như trên hình vẽ

A
2

1

-1
m

O

1

x

3

-1

Nguyễn Văn Dũng – Trường THCS Lê Đình Chinh, huyện Krơng Ana, tỉnh Đăk Lăk

n

5

Một vài kinh nghiệm bồi dưỡng học sinh giỏi về một số dạng tốn có chứa dấu giá trị tuyệt đối.

Ví dụ 5. Vẽ đồ thị của hàm số y 2x  1  2x
Giải
y 2x  1  2x

y

1
thì y = 1
2
1
+ Với x  thì y = 4x - 1
2

+ Với x <

n

4

Đồ thị của hàm số là đường
gấp khúc mAn như trên hình vẽ

2

m

1

A

O

1

x

1

2

-1

Ví dụ 6. Vẽ đồ thị của hàm số y  x  1  x
Lưu ý: Khi gặp dạng tốn có nhiều dấu giá trị tuyệt đối thì trước hết ta cần
lập bảng xét dấu của nhị thức bậc nhất và cần nắm vững định lý sau đây:
Nhị thức bậc nhất ax + b cùng dấu với hệ số a khi x lớn hơn nghiệm và trái
dấu với hệ số a khi x nhỏ hơn nghiệm của nó.
Giải
Bước 1: Lập bảng xét dấu
x
0
1
x
0
+
+

1-x
+
+
0
Bước 2: Dựa vào bảng xét dấu ta có các trường hợp xảy ra theo các khoảng
giá trị của biến cụ thể như sau:
y
y  x  1 x
+ Với x < 0 thì y = -x + (1 - x) hay
y = -2x + 1
+ Với 0 x 1 thì y = x + (1 - x)
hay y = 1
+ Với x > 1 thì y = x + (x - 1) hay
y = 2x - 1
Đồ thị của hàm số là đường gấp
khúc mABn như trên hình vẽ

m

n
4

2

1
A
O
-1

B

1

1

x

2

Nguyễn Văn Dũng – Trường THCS Lê Đình Chinh, huyện Krơng Ana, tỉnh Đăk Lăk

6


Một vài kinh nghiệm bồi dưỡng học sinh giỏi về một số dạng tốn có chứa dấu giá trị tuyệt đối.

Ví dụ 7. (Trích đề thi học sinh giỏi Tốn 9 huyện Krơng Ana khóa thi ngày
09/02/2015)
Vẽ đồ thị của hàm số y  x  2  x  3
Giải
Bước 1. Lập bảng xét dấu
x
2
3
x-2
0
+
+
x-3
0
+

Bước 2. Dựa vào bảng xét dấu ta có các trường hợp xảy ra theo các khoảng
giá trị của biến cụ thể như sau:
y
y x  2  x  3
6

+ Với x < 2 thì y = (2 – x) + (3 - x)
hay y = -2x + 5
+Với 2 x 3 thì y = (x – 2)+(3 - x)
hay y = 1
+ Với x > 3 thì y = (x – 2)+(x - 3)
hay y = 2x - 5
Đồ thị của hàm số là đường gấp
khúc mABn như trên hình vẽ

m

n
5

4

2

1

O

A

1

B
2

3

5

x

b.2. Loại bài tập giải phương trình có chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt
đối
Để giải tốt phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối, yêu cầu học sinh cần phải
nắm vững một số vấn đề lý thuyết liên quan đến giải phương trình chứa dấu giá trị
tuyệt đối cụ thể như sau:
- Qui tắc bỏ dấu ngoặc, qui tắc chuyển vế.
- Cách tìm nghiệm x trong phương trình: Thực hiện phép tính , chuyển vế,
đưa phương trình về dạng ax = b  x = 

b
a

- Nắm vững định nghĩa và tính chất về giá trị tuyệt đối.
 A khi A 0
| A |
  A khi A  0

|A| = |-A|
|A|  0|

- Định lí về dấu nhị thức bậc nhất:

Nguyễn Văn Dũng – Trường THCS Lê Đình Chinh, huyện Krơng Ana, tỉnh Đăk Lăk

7


Một vài kinh nghiệm bồi dưỡng học sinh giỏi về một số dạng tốn có chứa dấu giá trị tuyệt đối.

Nhị thức bậc nhất ax + b cùng dấu với hệ số a khi x lớn hơn nghiệm và trái
dấu với hệ số a khi x nhỏ hơn nghiệm của nó.
Bên cạnh những yêu cầu trên, học sinh cần nhận biết được những dạng cơ
bản của phương trình có chứa dấu giá trị tuyệt đối, đồng thời nắm vững phương
pháp giải cụ thể cho từng dạng bài tập, cụ thể như sau:
Dạng 1. Phương trình dạng A(x) k
Trong đó A(x) là biểu thức chứa x và k  R.
Ở dạng này yêu cầu học sinh cần nắm rõ vế trái là một biểu thức khơng âm.
Nếu k < 0 thì đẳng thức không xảy ra. Nếu k > 0 ta tìm cách bỏ dấu giá trị tuyệt
đối rồi giải phương trình vừa tìm được.
* Phương pháp giải
Trường hợp k > 0:
 A(x) k
A(x) k  
 A(x)  k
Từ đó ta lần lượt giải hai phương trình A(x) = k và A(x) = -k rồi kết luận
nghiệm.
* Các ví dụ minh họa.
Ví dụ 1. Giải phương trình 2 x  1 5
Giáo viên đặt câu hỏi cho bài toán: Đẳng thức 2 x  1 5 có xảy ra khơng? Vì
sao? (có xảy ra vì 2 x  1  0, 5>0).

Cần áp dụng kiến thức nào để bỏ được dấu giá trị tuyệt đối? (áp dụng tính
chất giá trị tuyệt đối của hai số đối nhau thì bằng nhau).
Giải
 2x  1 5
 2x 6
 x 3
2 x  1 5  


 2x  1  5
 2x  4
 x  2
Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là S   2;3
Ví dụ 2. Giải phương trình: 2x  3  1
Giải
Đẳng thức 2x  3  1 khơng xảy ra vì 2x  3  0 và -1<0
Vậy phương trình đã cho vơ nghiệm
Ví dụ 3. Giải phương trình 3|9 - 2x| - 17 = 16
Với bài này nên đặt câu hỏi: Làm thế nào để đưa được về dạng cơ bản đã
học? Từ đó học sinh phải biến đổi để đưa về dạng |9 - 2x |= 11
Giải

Nguyễn Văn Dũng – Trường THCS Lê Đình Chinh, huyện Krơng Ana, tỉnh Đăk Lăk

8


Một vài kinh nghiệm bồi dưỡng học sinh giỏi về một số dạng tốn có chứa dấu giá trị tuyệt đối.

3|9 - 2x| - 17 = 16  3|9 - 2x| = 33  |9 - 2x| = 11

 9  2x 11


 9  2x  11

 2x  2
 2x 20 


 x  1
 x 10


Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là S   1;10
x 1
Ví dụ 4. Giải phương trình
-2=0
x
Giải
Điều kiện xác định của phương trình là x 0.
 x 1
 x 2
 x  1 2x
  x  1
x 1
2  

 

x

 x  1  2x
 3x  1
 x  1  2
 x

 x 1

(thỏa mãn)
 x  1

3

1
 3 



Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là S  ;1

Dạng 2. Phương trình dạng |A(x)| = B(x)
Trong đó A(x); B(x) là các biểu thức chứa x.
Cũng đặt câu hỏi gợi mở như ở dạng 1, học sinh thấy được rằng đẳng thức
không xảy ra Nếu B(x) < 0. Do đó để đẳng thức ln xảy ra cần phải đặt điều kiện:
B(x)  0
* Phương pháp giải
Cách 1: Đặt điều kiện: B(x)  0. Từ đó suy ra điều kiện của x
 A(x) B(x)

Ta có |A(x)| = B(x)  
 A(x)  B(x)

Từ đó ta lần lượt giải hai phương trình A(x) = B(x) và A(x) = - B(x), sau đó
đối chiếu với điều kiện rồi kết luận nghiệm.
Cách 2: Dựa vào định nghĩa xét các quá trình của biến của biểu thức chứa
dấu giá trị tuyệt đối để bỏ dấu giá trị tuyệt đối.
|A(x) | = B(x)
+ Xét A(x) 0. Từ đó suy ra điều kiện của x
Ta có A(x) = B(x) ( giải để tìm x thoả mãn A(x) 0)
+ Xét A(x) < 0. Từ đó suy ra điều kiện của x
Ta có A(x) = - B(x) ( giải để tìm x thoả mãn A(x) < 0)
+ Kết luận nghiệm.
* Các ví dụ minh họa
Ví dụ 1. Giải phương trình |9 - 7x| = 5x -3
Giải
Cách 1: Điều kiện: 5x – 3 ≥0  5x  3  x

3
5

Nguyễn Văn Dũng – Trường THCS Lê Đình Chinh, huyện Krơng Ana, tỉnh Đăk Lăk

9


Một vài kinh nghiệm bồi dưỡng học sinh giỏi về một số dạng tốn có chứa dấu giá trị tuyệt đối.

Ta có 9 - 7x = 5x - 3 hoặc 9 – 7x = - (5x - 3)
+ Nếu 9 - 7x = 5x - 3  12x = 12  x = 1 (thoả mãn điều kiện)
+ Nếu 9 - 7x = -(5x - 3)  2x = 6  x = 3 (thoả mãn điều kiện)
Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là S  1;3
Cách 2:

Với 9 - 7x  0 hay x ≤

9
thì ta có phương trình: 9 – 7x = 5x – 3
7

 x = 1 (thoả mãn điều kiện)
9
Với 9 - 7x < 0 hay x > thì ta có phương trình: -9 + 7x = 5x – 3
7
 x = 3 (thoả mãn điều kiện)

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là S  1;3
Ví dụ 2. Giải phương trình |x- 5| - x = 3
Giải
Cách 1: | x – 5| - x = 3  |x – 5| = 3 + x
Điều kiện: 3 + x  0  x  - 3
Ta có x- 5 = 3 + x hoặc x – 5 = -(3 + x)
+ Nếu x – 5 = 3 + x  0x = 8( loại)
+ Nếu x – 5 = -3 – x  2x = 2  x = 1 (thoả mãn điều kiện).
Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là S  1
Cách 2: | x – 5| - x = 3
Với x - 50 hay x 5 thì ta có phương trình: x – 5 – x = 3  0x = 8 (loại)
Với x – 5 < 0 hay x < 5 thì ta có phương trình: –x + 5 – x = 3  -2x = -2
 x = 1 (thoả mãn điều kiện)
Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là S  1
Lưu ý: Qua hai dạng trên, cần nhấn mạnh cho học sinh phân biệt rõ sự giống
nhau (đều chứa một dấu giá trị tuyệt đối ) và khác nhau là dạng 1 là trường hợp đặc
biệt của dạng 2. Thơng qua đó nhấn mạnh cho học sinh thấy rõ được phương pháp
giải loại đẳng thức chứa một dấu giá trị tuyệt đối , đó là đưa về dạng A = B. Nếu

B 0 đó là dạng đặc biệt (dạng 1), cịn B<0 thì đẳng thức khơng xảy ra . Nếu B là
biểu thức có chứa x thì đó là dạng 2 và giải bằng cách 1 hoặc ta đi xét các trường
hợp xảy ra đối với biểu thức trong giá trị tuyệt đối.
Ví dụ 3. (Trích đề thi học sinh giỏi Tốn 9 huyện Krơng Ana khóa thi ngày
10/02/2012)
1. Giải các phương trình sau: a) x 2x  1
b) x  x  5
2. Dùng đồ thị để kiểm tra lại các kết luận trong câu 1.
Giải
a) x 2x  1
Nguyễn Văn Dũng – Trường THCS Lê Đình Chinh, huyện Krơng Ana, tỉnh Đăk Lăk

10


Một vài kinh nghiệm bồi dưỡng học sinh giỏi về một số dạng tốn có chứa dấu giá trị tuyệt đối.

Với x  0 thì ta có phương trình: x = 2x - 1  x = 1 (thoả mãn điều kiện).
1
3

Với x < 0 thì ta có phương trình: -x = 2x - 1  x  (loại).
Vậy nghiệm của phương trình là x = 1
b) x  x  5
Nếu x  0 thì x = -x - 5  x  2,5 (loại).
Nếu x < 0 thì -x = -x - 5  0x = -5 (vô nghiệm).
Vậy phương trình đã cho vơ nghiệm.
2. Vẽ đồ thị của hai hàm số y  x và y = 2x – 1 trên cùng một hệ trục tọa độ.
Giao điểm của hai đồ thị trên là điểm (1; 1). Do đó nghiệm của phương trình
x 2x  1 là x = 1

Vẽ tiếp đồ thị của hàm số y = -x – 5 ta thấy đồ thị của hai hàm số y  x và y
= -x – 5 khơng cắt nhau. Do đó phương trình x  x  5 vô nghiệm.
y
5

y = 2x - 1
y= x

4

y= x

2

1

-1

-5

O
-1

y = -x - 5

B
1

1

2

3

5

x

2

-2

-4

-5
-6

Dạng 3. Phương trình dạng A(x)  B(x) = 0
Trong đó A(x); B(x) là các biểu thức chứa x.

Nguyễn Văn Dũng – Trường THCS Lê Đình Chinh, huyện Krông Ana, tỉnh Đăk Lăk

11


Một vài kinh nghiệm bồi dưỡng học sinh giỏi về một số dạng tốn có chứa dấu giá trị tuyệt đối.

Với dạng này yêu cầu học sinh nhắc lại kiến thức về đặc điểm của giá trị
tuyệt đối của một số (giá trị tuyệt đối của một số là một số không âm).Vậy tổng
của hai số không âm bằng không khi nào? (cả hai số bằng 0). Vậy ở bài này tổng

trên bằng 0 khi nào? (A(x) = 0 và B(x) =0). Từ đó ta tìm x thoả mãn hai điều kiện:
A(x) = 0 và B(x) = 0.
* Phương pháp giải
A(x) 0
A(x)  B(x) = 0  
B(x) 0

Từ đó ta lần lượt giải hai phương trình f(x) = 0 và g(x) = 0
Sau đó ta tìm x thỏa mãn đồng thời hai điều kiện A(x) = 0 và B(x) = 0 rồi
kết luận nghiệm.
* Các ví dụ minh họa
Ví dụ 1, Giải phương trình x  3,5  4,5  x = 0
Giải
x  3,5  4,5  x = 0 

(Điều này không đồng thời xãy ra)
Vậy phương trình đã cho vơ nghiệm.
2
Ví dụ 2. Giải phương trình x  3x   x  1  x  3 0
Giải.
 x  3,5 0

x 0
4,5 

 x 3,5

 x 4,5

x 2  3x   x  1  x  3 0 




 x( x  3) 0


( x 1)( x  3)

0




 3x
x2


( x 1)( x

  x 0

  x 3

  x 
 x 
3


1

0
 3) 0

 x 3

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là S  3
Ví dụ 3. Giải các phương trình sau:
a)  x  1  x  4    x  1  x  3 0
b) 2x  1  x  2 0
Giải
a)  x  1  x  4    x  1  x  3 0
  x 1

 x  1  x  4  0
x  4

 
 x 1

 x  1  x  3  0
  x 1
  x  3


Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là S  1
b) 2x  1  x  2 0

Nguyễn Văn Dũng – Trường THCS Lê Đình Chinh, huyện Krông Ana, tỉnh Đăk Lăk

12


Một vài kinh nghiệm bồi dưỡng học sinh giỏi về một số dạng tốn có chứa dấu giá trị tuyệt đối.
2x  1 0


 x  2 0

1

x 
2 (Điều này khơng đồng thời xảy ra)

 x 2

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.
Lưu ý: Ở dạng này cần lưu ý học sinh khi kết luận nghiệm của phương trình
thì nghiệm đó phải thỏa mãn đồng thời cả hai phương trình A  x  0 và B  x  0
Dạng 4. Phương trình dạng A(x)  B(x) = k
Trong đó A(x); B(x) là các biểu thức chứa x; k  R; k 0.
Ở dạng này yêu cầu học sinh cần nắm rõ vế trái là một biểu thức khơng âm.
Nếu k < 0 thì đẳng thức khơng xảy ra. Nếu k > 0 ta tìm cách bỏ dấu giá trị tuyệt
đối rồi giải phương trình vừa tìm được.
* Phương pháp giải
-Lập bảng xét dấu.
-Dựa vào bảng xét dấu, xét các trường hợp xảy ra theo các khoảng giá trị
của biến.
-Kết luận nghiệm.
* Các ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Giải phương trình: x  2  x  9 = 1
Giải
Bước 1. Lập bảng xét dấu
x
x-2
x-9

-

2
0

9
+
-

0

+
+

Bước 2. Dựa vào bảng xét dấu các trường hợp xảy ra theo các khoảng giá trị
của biến. Khi xét các trường hợp xảy ra không được bỏ qua điều kiện để A (x) = 0
mà kết hợp với điều kiện để A >0 ( ví dụ 2  x <9). Cụ thể: Dựa vào bảng xét dấu
ta có các trường hợp sau:
Với x < 2 thì ta có phương trình: 2  x  9  x 1
  2x  10  x 5 (loại)
Với 2 x  9 thì ta có phương trình: x – 2 + 9 – x = 1
 0x  6 . Phương trình vơ nghiệm.
Với x 9 thì ta có phương trình: x  2  x  9 1  2x 12  x 6 (loại)

Vậy phương trình đã cho vơ nghiệm.
Ví dụ 2. Giải phương trình |x - 3| + |x + 2| =7
Giải.
Giải tương tự như ví dụ 1
Nguyễn Văn Dũng – Trường THCS Lê Đình Chinh, huyện Krơng Ana, tỉnh Đăk Lăk

13


Một vài kinh nghiệm bồi dưỡng học sinh giỏi về một số dạng tốn có chứa dấu giá trị tuyệt đối.

x
-2
3
x+2
0
+
+
x-3
0
+
Với x < -2 thì ta có phương trình: 3 - x – x –2 = 7  -2x + 1 = 7
 -2x = 6  x = -3 (thỏa mãn)
Với - 2 x  3 thì ta có phương trình: 3 - x + x + 2 = 7
 0x + 5 = 7 (vô nghiệm)
Với x 3 thì ta có phương trình: x - 3 + x + 2 = 7  2x – 1 = 7
 2x = 8  x = 4 (thoả mãn )
Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là S   3; 4
Ví dụ 3. (Trích đề thi học sinh giỏi Tốn 9 huyện Krơng Ana khóa thi ngày
25/02/2010)

Giải phương trình: x  1  x  2  3  x 2010
Giải.
Thực hiện tương tự như ví dụ 1 và ví dụ 2
x
x+1
x-2
3-x

+

-1
0

2
+
+

0

3
+
+
+

0

Với x < -1 thì ta có phương trình: -x - 1 + 2 – x + x - 3 = 2010
 x = -2012 (thỏa mãn)
Với  1 x 2 thì ta có phương trình: x + 1 + 2 – x + x - 3 = 2010
 x = 2010 (loại)

Với 2  x 3 thì ta có phương trình: x + 1 + x - 2 + x - 3 = 2010
 x =

2014
(loại)
3

Với x  3 thì ta có phương trình: x + 1 + x - 2 - x + 3 = 2010
 x = 2008 (thoả mãn )
Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là S   2012; 2008
Dạng 5. Phương trình dạng A(x)  B(x) C  x 
Trong đó A(x); B(x); C(x) là các biểu thức chứa x.
* Phương pháp giải
Sử dụng phương pháp giải như ở dạng 4
* Ví dụ minh họa
Giải phương trình x  5  x  3 3x  1
Nguyễn Văn Dũng – Trường THCS Lê Đình Chinh, huyện Krơng Ana, tỉnh Đăk Lăk

14

+
+
-


Một vài kinh nghiệm bồi dưỡng học sinh giỏi về một số dạng tốn có chứa dấu giá trị tuyệt đối.

Giải
x
-3

5
x+3
0
+
+
x–5
0
+
Với x < -3 thì ta có phương trình: 5 - x - x - 3 = 3x - 1  -5x = - 3
3
 x  (loại)
5
Với  3 x  5 thì ta có phương trình: 5 - x + x + 3 = 3x - 1
 -3x = - 9  x 3 (thoả mãn )
Với x 5 thì ta có phương trình: x - 5 + x + 3 = 3x - 1   x = - 1 (loại)
Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là S  3
Dạng 6. Phương trình dạng A(x)  B(x) hay A(x)  B(x) 0
Trong đó A(x); B(x) là các biểu thức chứa x.
Ở dạng này cần nhấn mạnh cho học sinh thấy đẳng thức luôn xảy ra vì cả hai
vế đều khơng âm, từ đó áp dụng tính chất: “Hai số đối nhau có giá trị tuyệt đối
bằng nhau” để suy ra ngay A(x) =B(x) ; A(x) = -B(x)
* Phương pháp giải
 A(x) B(x)

Ta có |A(x)| = |B(x)|  
 A(x)  B(x)
Từ đó ta lần lượt giải hai phương trình A(x) = B(x) và A(x) = - B(x) rồi kết
luận nghiệm.
* Các ví dụ minh họa
Ví dụ 1. Giải phương trình 2x  3

Giải
 2x  3 x  3
2x  3  x  3  

 2x  3  x  3

x  3

 2x  x  3  3
 2x  x 3  3 

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là S   6;0
Ví dụ 2. Giải phương trình 17 x  5  17 x  5 0
Giải
17 x  5  17 x  5 0 



17 x  5 17 x  5
17 x  5  (17 x  5


 x  6
 x 0


17 x  5 17 x  5



17 x  17 x 5  5
17 x  17 x  5  5


 0x 10(vô nghiệm )

 34x 0  x 0

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là S  0
Ví dụ 3. Giải phương trình 2 2 x  9 3x  4

Nguyễn Văn Dũng – Trường THCS Lê Đình Chinh, huyện Krơng Ana, tỉnh Đăk Lăk

15


Một vài kinh nghiệm bồi dưỡng học sinh giỏi về một số dạng tốn có chứa dấu giá trị tuyệt đối.

Ở bài này học sinh sẽ lúng túng ở thừa số 2 của vế trái nên giáo viên hướng
dẫn các em giải bình thường.
Giải
 2(2 x  9) 3 x  4

 4 x  14 3x  4

 
Cách 1: 2 2 x  9  3x  4  
 2(2 x  9)  (3x  4)
 4 x  18  3 x  4



 4 x  3 x 4  18
 x 22

 4 x  3x  4  18
 x 2



Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là S  2; 22
Cách 2:
Vì 2 > 0 nên: 2 2 x  9  3x  4  2(2 x  9)  3x  4
 2(2 x  9) 3 x  4
 
 2(2 x  9)  (3x  4)
 4 x  3 x 4  18
 

 4 x  3x  4  18

 4 x  14 3x  4
 
 4 x  18  3 x  4
 x 22
 x 2


Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là S  2; 22
b.3. Loại bài tập giải phương trình vơ tỉ đưa được về phương trình có

chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối.
* Phương pháp giải
Khi gặp phương trình vơ tỉ mà biểu thức lấy căn có thể viết được dưới dạng
bình phương của một biểu thức thì sử dụng hằng đẳng thức A 2  A để làm mất
dấu căn đưa về phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối.
* Các ví dụ minh họa
Ví dụ 1. Giải phương trình:
Giải

x 2  4x  4  x 8

(x  2) 2 8  x  x  2 8  x
Với x < 2 thì ta có phương trình: 2 - x = 8 - x  0x = 6 (vơ nghiệm)
Với x 2 thì ta có phương trình: x - 2 = 8 - x  2x = 10
x 2  4x  4  x 8 

 x 5 (thoả mãn )

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là S  5
Ví dụ 2. (Trích đề thi học sinh giỏi Tốn 9 huyện Krơng Ana khóa thi ngày
20/02/2014)
Giải phương trình: x  6  4 x  2  x  11  6 x  2 11
Giải
Điều kiện: x  -2

Nguyễn Văn Dũng – Trường THCS Lê Đình Chinh, huyện Krơng Ana, tỉnh Đăk Lăk

16

Một vài kinh nghiệm bồi dưỡng học sinh giỏi về một số dạng tốn có chứa dấu giá trị tuyệt đối.
x  6  4 x  2  x  11  6 x  2 11


x  2  2.2 x  2  4  x  2  2.3 x  2  9 11





x 2  2

2







x 2  3



2

11 

x 2  2 

x  2  3 11

Đặt x  2 y  y 0  phương trình trở thành y  2  y  3 11
y
2
3
y-2
0
+
+
y–3
0
+
Với 0 y  2 thì ta có phương trình: 2 - y + 3 - y = 11  -2y = 6
 y  3 (loại)
Với 2 y 3 thì ta có phương trình: y - 2 + 3 - y = 11
 0y = 10 (vơ nghiệm)
Với y  3 thì ta có phương trình: y - 2 + y - 3 = 11
 2y = 16  y = 8 (thỏa mãn)
Thay y = 8 vào phương trình x  2 y ta được x  2 8  x  2 64
 x 62 (thỏa mãn)
Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là S  62
Ví dụ 3. Giải phương trình: x  2  2 2x  5  x  2  3 2x  5 7 2
Giải
Điều kiện: x 

5
2

x  2  2 2x  5  x  2  3 2x  5 7 2



2x  5  2 2x  5  1  2x  5  6 2x  5  9 14







2x  5  1  2x  5  3 14  2 2x  5 10 



2

2x  5  1 



2x  5  3



2

14 

2x  5  1  2x  5  3 14
2x  5 5  2x  5 25

 2x 30  x 15 (thỏa mãn)

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là S  15
Ví dụ 4. Giải phương trình: x  2 x  1  x  2 x  1 2
Giải
Điều kiện: x  1
x  2 x  1  x  2 x  1 2 

x  1  2 x  1  1  x  1  2 x  1  1 2

Nguyễn Văn Dũng – Trường THCS Lê Đình Chinh, huyện Krơng Ana, tỉnh Đăk Lăk

17


Một vài kinh nghiệm bồi dưỡng học sinh giỏi về một số dạng tốn có chứa dấu giá trị tuyệt đối.







x  1 1 



2

x  1 1 





x  1 1

2

2 

x  1  1 2

x  1  1 2
 x  1 1

Nếu x  1  1 0 tức là 
 x 1

 x 2 thì ta có phương trình:

x  1  1  x  1  1 2  2 x  1 2 
x  1  1

Nếu x  1  1  0 tức là 
 x 1
x  1 1 1 

x  1 1 

x  1 1  x  1 1  x 2 (thỏa mãn)

x  2

 1 x  2 thì ta có phương trình:
 x 1

x  1 2

 0x 0 (phương trình nghiệm đúng với mọi x  R /1 x  2 )

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là S  x  R /1 x 2
* Bài tập tương tự.
Giải các phương trình sau:
a) 2x  2  2 2x  3  2x  13  8 2x  2 7

(Đáp số: x = 2)

b) x  3  4 x  1  x  8  6 x  1 1

(Đáp số: 5 x 10 )

c) x  2  4 x  2  x  7  6 x  2 1
c) x  2x  1  x  2x  1  2
b.4. Loại bài tập giải hệ phương trình có chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt
đối
* Phương pháp giải
Khi giải hệ phương trình có chưa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối ta có thể dùng
phương pháp thế, đưa hệ phương trình về hệ phương trình mà trong đó có phương

trình một ẩn chứa dấu giá trị tuyệt đối rồi xét các trường hợp để bỏ dấu giá trị tuyệt
đối.
* Các ví dụ minh họa
Ví dụ 1. (Trích đề thi học sinh giỏi Tốn 9 huyện Krơng Ana năm 2009)
 x  y  2 x  y  1 3
 2x  y 1

Giải hệ phương trình: 
Giải

Nguyễn Văn Dũng – Trường THCS Lê Đình Chinh, huyện Krông Ana, tỉnh Đăk Lăk

18


Một vài kinh nghiệm bồi dưỡng học sinh giỏi về một số dạng tốn có chứa dấu giá trị tuyệt đối.
 x  y  2 x  y  1 3  1

 2
 2x  y 1

Từ phương trình (2) ta có y 1  2x (2’)
Thế phương trình (2’) vào phương trình (1) ta được:
x   1  2x   2 x   1  2x   1 3  3x  1  2  x 3
Với x  0 thì ta có phương trình: 1 – 3x - 2x = 3  -5x = 2
2 (thỏa mãn)
 x 
5

9

2
 2
vào phương trình (2’) ta được y 1  2     y 
5
5
 5
1
Với 0 x  thì ta có phương trình: 1 – 3x + 2x = 3  -x = 2
3
 x  2 (loại)

Thay x 

1
thì ta có phương trình: 3x – 1 + 2x = 3  5x = 4
3
4
 x  (thỏa mãn)
5
4
4
3
Thay x  vào phương trình (2’) ta được y 1  2.  y 
5
5
5
 2 9
 4 3
Vậy hệ phương trình đã cho có hai nghiệm là:   ;  và  ;  
 5 5

 5 5
 x  2  y  3 8
Ví dụ 2. Giải hệ phương trình: 
 x  2  5y 1

Với x 

Giải
 x  2  y  3 8  1

 2
 x  2  5y 1

Từ phương trình (2) ta có x  2 1  5y (2’)
Thế phương trình (2’) vào phương trình (1) ta được:
1  5y  y  3 8  y  3 7  5y
Với y  3 thì ta có phương trình: 3 – y = 7 – 5y  y = 1 (thỏa mãn)
 x  2 6

 x 4


Thay y = 1 vào phương trình (2’) ta được x  2 6  
 x  2  6
 x  8
5
(loại)
3
Vậy hệ phương trình đã cho có hai nghiệm là:  4;1 ,   8;1

Với y 3 thì ta có phương trình: y – 3 = 7 – 5y  y =

Nguyễn Văn Dũng – Trường THCS Lê Đình Chinh, huyện Krơng Ana, tỉnh Đăk Lăk

19


Một vài kinh nghiệm bồi dưỡng học sinh giỏi về một số dạng tốn có chứa dấu giá trị tuyệt đối.
 y  2 x  3 0
 y  x  3 0

Ví dụ 3. Giải hệ phương trình: 

Giải
Với x 0, y 0 thì ta có hệ phương trình:
 y  2x  3 0
  2x  y  3 3x 6
 x 2




(thỏa mãn)
 y  x  3 0
 x  y 3
 x  y 3  y 1
Với x 0, y  0 thì ta có hệ phương trình:
 y  2x  3 0
  2x  y  3   x 0
x 0





(thỏa mãn)
 y  x  3 0
 x  y 3
 x  y 3  y  3
Với x  0, y 0 thì ta có hệ phương trình:
 y  2x  3 0
2x  y  3  x  6
 x  6




(thỏa mãn)
 y  x  3 0
 x  y 3
 x  y 3  y 9
Với x  0, y  0 thì ta có hệ phương trình:
 y  2x  3 0
2x  y  3 3x 0
 x 0




(loại)
 y  x  3 0

 x  y 3
 x  y 3  y  3

Vậy hệ phương trình đã cho có ba nghiệm là:  2;1 ,  0;  3 ,   6;9 
Ví dụ 4. (Trích đề thi học sinh giỏi Tốn 9 huyện Krơng Ana khóa thi ngày
09/02/2015)
 xy  10 20  y 2
Giải hệ phương trình: 
2
 xy 5  x

Giải
 xy  10 20  y 2  1

2
 2
 xy 5  x

Từ phương trình (1) ta có 20  y 2 0  y 2 20  y 2 5 (3)
Vì 5  x 2  0 với mọi x  R nên từ (2) suy ra xy > 0  xy  x . y
2
Do đó (2)  5  x  x . y (4)
2
2
Từ (3) và (4) suy ra 5  x  x .2 5  x  2 x 5  5 0   x  5  0

 x

5 0  x  5  x  5

*x  5  y 2 5
*x  5  y  2 5

Vậy hệ phương trình đã cho có hai nghiệm là:





5; 2 5 ,  5;  2 5



b.5. Loại bài tập tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức có
chứa dấu giá trị tuyệt đối
Nguyễn Văn Dũng – Trường THCS Lê Đình Chinh, huyện Krông Ana, tỉnh Đăk Lăk

20