Sử dụng phương pháp diện tích

Sáng kiến kinh nghiệm Diện tích đa giác
A- Phần mở đầu

I- Lý do chọn đề tài
- Dạy học toán 8 ta bắt gặp các công thức tính diện tích đa giác và tính chất
diện tích đa giác. Nhìn chung việc khai thác công thức diện tích và tính chất
diện tích để giải các dạng toán là còn khá khiêm tốn. Hiện nay cha có nhiều tài
liệu khai thác công thức diện tích đa giác để giải các dạng toán, có chăng chỉ là
những bài viết vận dụng công thức diện tích để giải một vài dạng toán đơn lẽ
chứ cha có tính tổng hợp.
- Khi nghiên cứu về diện tích đa giác nếu chúng ta biết nhìn các công thức khô
khan đó dới nhiều khía cạnh khác nhau và vận dụng khéo léo ta sẽ giải đợc
khá nhiều dạng toán.
- Để học sinh có kỹ năng vận dụng diện tích vào các dạng toán, cũng nh góp
thêm vào kho tàng toán học một điều nhỏ bé, tôi đã chọn đề tài áp dụng diện
tích để giải các dạng toán THCS để nghiên cứu.
II- Mục đích nghiên cứu của đề tài
- Củng cố kiến thức về diện tích đa giác
- Hình thành và rèn luyện kỹ năng để giải một số dạng toán ở THCS
- Trao đổi với đồng nghiệp một số kinh nghiệm giảng dạy
III- Nhiệm vụ của đề tài
- Nhắc lại kiến thức cơ bản về diện tích đa giác (lớp 8,9)
- Khai thác diện tích đa giác dới nhiều góc đô, áp dụng giải một số dạng toán ở
THCS nh :
Tính độ dài đoạn thẳng
Tính tỷ số của các đoạn thẳng
Chứng minh các đẳng thức hình học
Chứng minh các đẳng thức hình học
Giải các bài toán đại số
thông qua các bài tập cụ thể.
- Tổng hợp hệ thống các dạng toán giải bằng phơng pháp sử dụng diện tích tam

giác đã có, đồng thời tìm tòi các dạng khác cũng nh giải bằng phơng pháp sử
dụng diện tích đa giác.
IV- Phạm vi đề tài
- Cũng cố và khai thác kiến thức về diện tích đa giác ở toán THCS (chủ yếu ở
toán 8)
- Nghiên cứu giải các dạng toán ở THCS (chủ yếu ở lớp 8, lớp 9)
V- Đối tợng nghiên cứu
- Diện tích đa giác ở toán 8 THCS
- Học sinh THCS: Lớp 8, 9
VI- Phơng pháp nghiên cứu
- Tham khảo tài liệu, tổng hợp, hệ thống hoá
- Phân tích, tơng tự hoá, đặc biệt hoá, khái quát hoá
- Trao đổi, thảo luận, rút kinh nghiệm
- Kiểm tra, đánh giá, rút kinh nghiệm
1
Sáng kiến kinh nghiệm Diện tích đa giác
B. Nội dung
I- Các kiến thức cơ bản
1. Khái niệm diện tích đa giác
Số đo của phần mặt phẳng bị giới hạn bởi 1 đa giác là diện tích đa giác
đó
Mỗi đa giác có một diện tích xác định. Diện tích của đa giác là một số
dơng
Các tính chất của đa giác:
T/c 1. Hai tam giác bằng nhau thì có diện tích bằng nhau
T/c 2. Nếu một đa giác đợc chia thành những đa giác không có điểm
chung thì diện tích của đa giác đó bằng tổng diện tích của những đa
giác đó
T/c 3. Nếu chọn hình vuông có có cánh 1 cm, 1dm, 1m, làm đơn vị
diện tích thì đơn vị diện tích tơng úng là: 1 cm

2
, 1dm
2
, 1m
2
,
Diện tích đa giác thờng đợc kí hiệu bằng chữ S. (Ví dụ: Diện tích đa
giác ABCD thì đợc kí hiệu là S
ABCD
hoặc S )
2. Công thức tính diện tích của một số đa giác
2.1 Hình chữ nhật, hình vuông, tam giác vuông
a) Hình chữ nhật: Diện tích hình chữ nhật bằng tích 2 kích thớc của nó
S = a.b
b) Hình vuông: Diện tích hình vuông bằng bình phơng cạnh của nó
S = a
2
c) Tam giác vuông: Diện tích tam giác vuông bằng nửa tích hai cạnh góc
vuông
S =
2
1
a.b
2.2 Diện tích tam giác: Diện tích tam giác bằng nữa tích của 2 cạnh với chiều
cao tơng ứng cạnh đó.
S =
2
1
a.h
2.3 Diện tích hình thang: Diện tích hình thang bằng nữa tổng hai đáy với chiều

cao
S =
2
1
(a+b).h
2.4 Diện tích hình bình hành: Diện tích hình bình hành bằng tích của 1 cạnh
với chiều cao tơng ứng với cạnh đó
2
a
h
h
a
a
b
a
b
a
b
Sáng kiến kinh nghiệm Diện tích đa giác
S = a.h
2.5 Diện tích tứ giác có hai đờng chéo vuông góc, diện tích hình thoi:
a) Diện tích tứ giác có hai đờng chéo vuông góc: Diện tích tứ giác có hai đờng
chéo vuông góc bằng nữa tích hai đờng chéo
S =
2
1
d
1
.d
2

b) Diện tích hình thoi:
+ Diện tích hình thoi bằng nữa tích hai đòng chéo
S =
2
1
d
1
.d
2
+ Diện tích hình bình hành bằng tích của một cạnh với chiều cao tơng ứng
cạnh đó. S = a.h
3. Phơng pháp diện tích
3.1 Phơng pháp diện tích là phơng pháp sử dụng kiến thức diện tích đa giác
( tính chất, công thức tính diện tích) để giải các dạng toán liên quan.
3.2 Một số kết quả liên quan đến diện tích cần ghi nhớ
a) Hai tam giác đồng dạng thì tỉ số diện tích bằng bình phơng tỉ số đồng
dạng
b) Hai tam giác có chung đáy (hai đáy bằng nhau) thì tỉ số diện tích bằng tỉ
số hai đờng cao
c) Hai tam giác có hai đờng cao bằng nhau thì tỉ số diện tích bằng tỉ số hai
đáy
II- Các dạng toán sử dụng phơng pháp diện tích đa giác
Dạng 1: Tính độ dài đoạn thẳng
Bài 1: Cho tam giác ABC,
A

=

90
, AB = 3 cm, AC = 4 cm, đờng cao AH.

Tính AH
Giải:
SC =
22
ACAB
+
= 5(cm)
S
ABC
=
2
1
AB.AC = 6(cm
2
)
Lại có S
ABC
=
2
1
AH.BC

AH=
BC
S
ABC
2
= 2,4 cm
Bài 2: Cho hình thoi ABCD cạnh 3cm, hai đờng chéo AC=6cm, BD=5cm.Tính
khoảng cách từ đỉnh A đến các cạnh đối diện?

3
2
d
1
d
2
d
1
d
h
a
Sáng kiến kinh nghiệm Diện tích đa giác
Giải: Khoảng cách từ đỉnh A đến hai cạnh BC và CD đều bằng nhau. Kẻ AH
vuông góc với CD(H thuộc CD)
S
ABCD
=
2
1
AC.BD= 15cm
Lại có: S
ABCD
= AH.DC

AH=
CD
S
ABC
= 3,75cm
Dạng 2: Tính tỉ số đoạn thẳng

Bài 1: Cho a//b, trên a lấy B và C, trên b lấy D và E, sao cho góc ADB bằng
góc AEC và bằng

90
.Giả sử CE= 2, DB=3, DB=4, EA=5.Tính
AC
AB
Giải: a//b

khoảng cách từ D và E đến a là bằng nhau
AC
AB
=
AEC
ADB
S
S
(chiều cao
bằng nhau)

AC
AB
=
25
21
Bài 2: Trên các cạnh AC và AB của tam giác ABC lấy B
1
và C
1
tơng ứng.Gọi 0

là giao điểm của BB
1
và CC
1
. Hãy tính
1
AC
OB
nếu biết
1
1
AC
BC
=m và
1
1
AB
CB
=n.
Giải: Nối A với O, kẻ BI và AH

CC
1
1
OB
BO
=
OCB
BOC
S

S
1
OCB
AOC
S
S
1
=
CB
CA
1
=
CB
CBAB
1
11
+
=1 +
CB
AB
1
1
=1+
h
1

BOC và

AOC có chung OC nên
AOC

BOC
S
S
=
AH
BI
, mà
AH
BI
=
1
1
AC
BC
=m

1
OB
BO
=
OCB
BOC
S
S
1
=
AOC
BOC
S
S

.
OCB
AOC
S
S
1
=m.( 1+
h
1
)
Dạng 3: Chứng minh hệ thức hình học
Bài 1: Chứng minh định lý Talet trong tam giác: Cho tam giác ABC, nếu
DE//BC thì:
AB
AD
=
AC
AE
Giải: Nối B với C; C với D ta có:
AB
AD
=
SABE
S
ADE
(2 tam giác chung đờng cao) (1)
AC
AD
=
ACD

ADE
S
S
(2 tam giác chung đờng cao) (2)
S
BEC
=S
DBC
(chung đáy BC, hai đờng cao bằng nhau)

S
ABC
S
BEC
= S
ABC
- S
DBC

S
ABC
= S
ACD
(3)
Từ (1), (2), (3) suy ra:
AB
AD
=
AC
AE

Bài 2: Chứng minh tính chất đờng phân giác
4
Sáng kiến kinh nghiệm Diện tích đa giác
Trong tam giác ABC, nếu AD là đờng phân giác thì:
DC
DB
=
AC
AB
Giải:
DC
DB
=
ADC
ABD
S
S
( chung đờng cao) (1)
AD là đờng phân giác

DH=DI

AC
AB
=
ADC
ABD
S
S
(2) (Vì hai đờng cao kẽ từ D bằng nhau)

Từ (1) và (2) suy ra
DC
DB
=
AC
AB
Bài 3: Cho

ABC cântại A, M bất kỳ thuộc BC. Kẽ MH và MK lần lợt vuông
góc với AB, AC(H và C thuộc AB và AC).BI là đờng cao của

ABC. Chứng
minh rằng MH+MK=BI
Giải: S
ABM
=
2
1
MH.AB

MH =
AB
S
ABM
2
Tơng tự ta có: MK =
AC
S
ACM
2

MH+ MK =
AC
SS
ACMABM
)(2
+
(Vì AB = AC)

MH+MK =
AC
S
ABC
2
= BI
Bài 4: (Định lý Xêra)Cho

ABC, lấy điểm 0 trong tam giác; AO, BO,CO lần
lợt cắt AB, BC, CD tại A
1
, B
1
, C
1
.Chứng minh:
CB
AB
1
1
.

BA
CA
1
1
.
AC
BC
1
1
=1
Giải:
1
1
AC
BC
=
ABD
ACD
S
S
;
AC
BC
1
1
=
D
AC
BCD
S

S
;
CB
AB
1
1
=
D
BC
ABD
S
S
Nhân vế theo vế của 3 đẳng thức ta có đpcm.
Bài 5: Cho

ABC, lấy điểm 0 trong tam giác; AO, BO,CO lần lợt cắt AB, BC,
CD tại A
1
, B
1
, C
1
.Chứng minh:
1
1
BB
OB
+
1
1

AA
OA
+
1
1
CC
OC
=1
Giải: Đặt S = S
ABC
, S
1
=S
OBC
, S
2
= S
OAC
, S
3
= S
OAB
1
1
AA
OA
=
1
1
A

AB
OBA
S
S
=
1
1
ACA
OCA
S
S

1
1
AA
OA
=
ABC
OBC
S
S
=
S
S
1
Tơng tự ta có:
1
1
BB
OB

=
S
S
2
;
1
1
CC
OC
=
S
S
3

Do đó
1
1
BB
OB
+
1
1
AA
OA
+
1
1
CC
OC
=

S
S
1
+
S
S
2
+
S
S
3
=1
Bài 6. Cho hình bình hành ABCD. Các điểm M,N theo thứ tự thuộc các cạnh
AB, BC sao cho AN = CM. Gọi K là giao điểm của AN và CM. Chứng minh
rằng KD là tia phân giác của góc AKC.
5