Khoá luận tốt nghiệp Đại học chuyên ngành Đại số Nguyên lý đếm

TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN
-------------------------------

NGUYỄN THỊ THÚY

NGUYÊN LÝ ĐẾM

H

LU N T T NGHIỆP ĐẠI HỌC
C

nn

n

Đại số

N ƣời ƣớng dẫn khoa học
T .S DƢƠNG THỊ LUYẾN

HÀ NỘI - 2014


GVHD:Th.S Dương Thị Luyến

Khóa luận tốt nghiệp

LỜI CẢM ƠN
Trong thời gian nghiên cứu và hoàn thành khóa luận, em đã nhận

đƣợc sự giúp đỡ, quan tâm, tạo điều kiện về vật chất, tinh thần của các
thầy cô trong tổ Đại Số và sự hỗ trợ, động viên của các bạn sinh viên.
Em xin chân thành cảm ơn sự giúp đỡ quý báu này.
Đặc biệt, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến cô giáo TH.S
Dƣơn T ị L

ến đã tận tình chỉ bảo, hƣớng dẫn, giúp đỡ em trong

suốt thời gian qua để em có thể hoàn thành khóa luận.
Do thời gian và trình độ nhận thức còn hạn chế, mặc dù đã cố gắng
nhƣng những vấn đề em trình bày trong khóa luận không tránh khỏi
những thiếu sót. Vì vậy em kính mong đƣợc sự chỉ bảo tận tình của các
thầy giáo, cô giáo, sự đóng góp ý kiến của các bạn sinh viên để khóa
luận của em có thể hoàn thiện hơn nữa.
Em xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, tháng 5 năm 2014
Sinh viên
N

ễn T ị T ú


GVHD:Th.S Dương Thị Luyến

Khóa luận tốt nghiệp

LỜI C M ĐO N
Khóa luận tốt nghiệp của em hoàn thành dƣới sự hƣớng dẫn của cô
giáo TH.S Dƣơn T ị Luyến cùng với sự cố gắng của bản thân. Trong
quá trình nghiên cứu em có tham khảo một số tài liệu của một số tác giả

(đã nêu trong mục tài liệu tham khảo).
Em xin cam đoan những kết quả trong khóa luận này là kết quả
nghiên cứu của bản thân, không trùng với kết quả của tác giả khác. Nếu
sai em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm.
Hà Nội, tháng 5 năm 2014
Sinh viên

Nguyễn Thị Thúy


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD:Th.S Dương Thị Luyến
MỤC LỤC

MỞ ĐẦU .................................................................................................. 1
NỘI DUNG............................................................................................... 3
CHƢƠNG 1. CƠ SỞ LÝ THUYẾT ......................................................... 3
1.1. Những kiến thức cơ bản về lý thuyết tổ hợp .................................... ..3
1.1.1. Các khái niệm và định nghĩa ..................................................... 3
1.1.2. Các phép toán trên tập hợp ...................................................... 4
1.2. Hai nguyên lý đếm cơ bản ................................................................ 6
1.2.1. Nguyên lý cộng ........................................................................ 6
1.2.2. Nguyên lý nhân ........................................................................ 8
1.3. Hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp ............................................................... 11
1.3.1. Hoán vị .................................................................................... 11
a. Hoán vị không lặp ..................................................................... 11
b. Hoán vị có lặp ........................................................................... 13
c. Hoán vị vòng tròn ...................................................................... 15
1.3.2. Chỉnh hợp ................................................................................ 16

a . Chỉnh hợp không lặp ................................................................ 16
b. Chỉnh hợp có lặp ....................................................................... 19
1.3.3. Tổ hợp ..................................................................................... 22
a. Tổ hợp không lặp ...................................................................... 22
b. Tổ hợp có lặp ............................................................................ 24
CHƢƠNG 2. CÁC DẠNG TOÁN ......................................................... 26
2.1. Phƣơng pháp chung giải các bài toán tổ hợp. .................................. 26
2.1.1. Phƣơng pháp đếm trực tiếp. .................................................... 26
2.1.2. Phƣơng pháp đếm vị trí. .......................................................... 26
2.1.3. Phƣơng pháp đếm loại trừ ....................................................... 26


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD:Th.S Dương Thị Luyến

2.1.4. Phƣơng pháp lấy trƣớc rồi sắp xếp sau ................................... 26
2.1.5. Phƣơng pháp tạo vách ngăn .................................................... 26
2.2. Các dạng toán thƣờng gặp................................................................ 28
2.2.1. Dạng 1. Bài toán đếm số ......................................................... 28
2.2.2. Dạng 2. Bài toán sắp xếp đồ vật ............................................. 41
2.2.3. Dạng 3. Bài toán chọn số phƣơng án để thỏa mãn một số
điều kiện cho trƣớc............................................................................ 45
2.2.4. Dạng 4. Bài toán đếm số phƣơng án có liên quan đến hình
học ..................................................................................................... 52
KẾT LU N ............................................................................................ 56
TÀI LIỆU THAM KHẢO ................................................................... .57


GVHD:Th.S Dương Thị Luyến

Khóa luận tốt nghiệp

MỞ ĐẦU
Toán tổ hợp là một lĩnh vực đƣợc nghiên cứu từ khá sớm và ngày
càng đƣợc quan tâm nhờ vai trò quan trọng của nó trong nội bộ toán học
cũng nhƣ trong các ngành khoa học khác. Trong toán học những kết quả
của nó đóng vai trò kiến thức nền tảng của giải tích, xác suất, thống kê,
hình học…
Trong thực tiễn giáo dục thì việc dạy và học toán tổ hợp cũng rất
quan trọng bởi khi học tốt toán tổ hợp ngƣời học sẽ có năng lực sáng tạo
và tƣ duy nhạy bén để học tốt các môn học khác cũng nhƣ các lĩnh vực
khác trong cuộc sống. Các bài toán đại số tổ hợp luôn là một nội dung
quan trọng trong các đề thi đại học và cao đẳng ở nƣớc ta, mặc dù mức
độ không khó nhƣng các thí sinh thƣờng gặp khó khăn khi giải bài toán
này. Trong các kì thi học sinh giỏi quốc gia, thi toán sinh viên giữa các
trƣờng cao đẳng, thi Olympic toán khu vực và quốc tế các bài toán tổ
hợp xuất hiện là một thử thách lớn cho các thí sinh. Rất nhiều các bài
toán hay và khó đƣợc giải một cách khá gọn và đẹp bằng cách sử dụng
các kiến thức về tổ hợp. Đặc biệt, các bài toán đếm đƣợc nghiên cứu từ
thế kỉ 17, khi những câu hỏi về tổ hợp đƣợc đƣa ra trong những công
trình nghiên cứu các trò chơi may rủi. Liệt kê, đếm các đối tƣợng có tính
chất nào đó là phần quan trọng của lý thuyết tổ hợp. chúng ta cần phải
đếm các đối tƣợng để giải nhiều bài toán khác nhau. Em là ngƣời rất yêu
thích toán tổ hợp vì vậy em lựa chọn đề tài: “NGUYÊN LÝ ĐẾM” với
mục đích nghiên cứu về lý thuyết tổ hợp từ đó xây dựng một cách có hệ
thống, có sáng tạo các bài toán đếm.
Trong khóa luận này em đã hệ thống hóa,phân tích, diễn giải đƣợc
một số khái niệm về hai nguyên lý đếm cơ bản cũng nhƣ một số khái

Nguyễn Thị Thúy - K36A - Toán

1


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD:Th.S Dương Thị Luyến

niệm của đại số tổ hợp có chứng minh. Đồng thời thống kê đƣơc một số
dạng toán điển hình của nguyên lý đếm, đặc biệt là các bài toán đếm.
Tuy các dạng bài tập này không mới nhƣng khóa luận đã hệ thống và
phân tích cách giải một số bài tập hay và khó là đóng góp nhỏ của khóa
luận.
Khóa luận đƣợc chia thành 2 chƣơng nhƣ sau:
Chƣơng 1. Cơ sở lý thuyết.
Chƣơng 2. Các dạng toán.
Đề tài “NGUYÊN LÝ ĐẾM” là một đề tài hay và hấp dẫn. Tuy
nhiên, do thời gian và khả năng có hạn nên khóa luận của em không
tránh khỏi những hạn chế, thiếu sót. Em rất mong nhận đƣợc sự đóng
góp ý kiến của các thầy cô trong khoa toán, các thầy cô trong hội đồng
phản biện và các bạn sinh viên để khóa luận đƣợc hoàn thiện hơn.
Em xin chân thành cảm ơn!

Nguyễn Thị Thúy - K36A - Toán

2


GVHD:Th.S Dương Thị Luyến

Khóa luận tốt nghiệp

NỘI DUNG
CHƢƠNG 1. CƠ SỞ LÝ THUYẾT
1.1 Những kiến thức cơ bản về lý thuyết tập hợp
1.1.1 Các khái niệm v địn n
Địn n

ĩa

ĩa 1. Tập các đối tƣợng trong một tập hợp đƣợc gọi là các phần

tử của tập hợp. Các tập hợp thƣờng đƣợc kí hiệu bởi những chữ cái in
hoa nhƣ A, B, X, Y…, các phần tử thuộc tập hợp hay đƣợc kí hiệu bởi
các chữ cái in thƣờng nhƣ a, b, c, u, v… Để chỉ a là phần tử của tập A ta
viết a  A, trái lại nếu a không thuộc A ta viết a  A.
Tập hợp không chứa bất kì phần tử nào đƣợc gọi là tập rỗng (kí hiệu
là ϕ)
Tập hợp A đƣợc gọi là bằng tập hợp B khi và chỉ khi chúng có
chung các phần tử và đƣợc kí hiệu là A=B. Ví dụ tập A={ 1, 3, 5} sẽ
bằng tập B={ 3, 5, 1}.
Địn n

ĩa 2. Tập A đƣợc gọi là một tập con của tập hợp B và kí hiệu là

A  B khi và chỉ khi mọi phần tử của tập hợp A đều là phần tử của tập
hợp B.
Từ định nghĩa trên chúng ta rút ra một số hệ quả sau:
-

Tập rỗng ϕ là tập con của mọi tập hợp.

-

Mọi tập hợp là tập con của chính nó

-

Nếu A  B và B  A thì A = B hay mệnh đề:
x (x A  xB) hoặc x (x B  xA) cho ta giá trị đúng.

-

Nếu AB và AB thì ta nói A là tập con thực sự của B và kí
hiệu

là AB.

Nguyễn Thị Thúy - K36A - Toán

3


Khóa luận tốt nghiệp
Địn n

GVHD:Th.S Dương Thị Luyến

ĩa 3. Tập hợp A đƣợc gọi là tập hợp hữu hạn nếu A không

tƣơng đƣơng với bất kì tập con thực sự nào của A. Một tập không phải là
tập hữu hạn thì đƣợc gọi là tập vô hạn.
Nhận xét. Khi tập hợp A là hữu hạn thì bản số của nó chính là số lƣợng
các phần tử. Kí hiệu là |A| hoặc card A.
Địn n

ĩa 4. Cho tập hữu hạn X = {a1, a2, a3,…, an} và một số tự nhiên

k, kn. Khi đó
(i) Bộ k phần tử (ai1, ai2, ai3,…, aik), aij  X đƣợc gọi là bộ có thứ
tự nếu đổi vị trí các phần tử ta đƣợc một bộ mới. Ngƣợc lại ta
đƣợc bộ (ai1, ai2, ai3,…, aik), aij  X là bộ không có tính thứ tự.
(ii) Bộ k phần tử (ai1, ai2, ai3,…, aik), aij  X đƣợc gọi là bộ không
lặp nếu aij  ail,  i, l  {1, 2,…, k}, j  l. Ngƣợc lại ta có bộ k
phần tử (ai1, ai2, ai3,…, aik), aij  X là bộ có lặp.
Địn n

ĩa 5. Cho A và B là hai tập hợp. Tích đề các của A và B đƣợc

ký hiệu là A  B, là tập hợp gồm tất cả các cặp (a, b) với aA, bB.
Hay có thể biểu diễn bằng biểu thức
A  B = { (a, b) | aA và bB}.
Tích đề các của các tập A1, A2, …, An đƣợc kí hiệu là A1  A2  … An
là tập hợp gồm các dãy sắp thứ tự (a1, a2, a3,…, an) trong đó ai  Ai với
i= 1, 2,…, n. Nói cách khác:
A1  A2  … An = { (a1, a2, a3,…, an) | ai  Ai với i= 1, 2,…, n}.
1.1.2 Các phép toán trên tập hợp
Các tập hợp có thể đƣợc tổ hợp với nhau theo nhiều cách khác nhau
thông qua các phép toán trên tập hợp. Các phép toán trên tập hợp bao

gồm: Phép hợp (Union), phép giao (Intersection), phép trừ (Minus), phép
bù trừ (Complement)…

Nguyễn Thị Thúy - K36A - Toán

4


GVHD:Th.S Dương Thị Luyến

Khóa luận tốt nghiệp
Địn n

ĩa 1. Cho A và B là hai tập hợp. Hợp của A và B đƣợc kí hiệu

là AB, là tập chứa tất cả các phần tử hoặc thuộc tập hợp A hoặc thuộc
tập hợp B. Nói cách khác:
AB = { x | xA hoặc xB}.
Địn n

ĩa 2. Cho A và B là hai tập hợp. Giao của A và B đƣợc kí hiệu

là AB, là tập hợp chứa tất cả các phẩn tử vừa thuộc A vừa thuộc B. Nói
cách khác:
AB = { x | xA và xB}.
Địn n

ĩa 3. Hai tập hợp đƣợc gọi là rời nhau nếu giao của chúng là

tập rỗng (AB = ϕ).

Địn n

ĩa 4. Cho A và B là hai tập hợp. Hiệu của A cho B là tập hợp
B

đƣợc kí hiệu là A\B hoặc C A , có các phần tử thuộc tập hợp A nhƣng
không thuộc tập hợp B. Hiệu của A và B còn đƣợc gọi là phần bù của B
đối với A. Nói cách khác:
A\B = { x | x A và xB}.
Địn n

ĩa 5. Cho tập hợp A  B. Ta gọi

là phần bù của A trong B là

một tập hợp bao gồm những phần tử không thuộc A hay
Địn n

= { x | xA}

ĩa 6. Hợp của các tập hợp A1, A2, …, An là tập hợp gồm tất cả

các phần tử thuộc ít nhất một trong các tập hợp Ai (i= 1,2, …, n). Kí hiệu
n
i 1

Địn n

A i  A1  A2  ...  A n .

ĩa 7. Cho các tập hợp A1, A2, …, An . Giao của các tập hợp là tập

hợp gồm các phần tử chung của tất cả n tập hợp Ai (i= 1,2, …, n). Kí hiệu
n
i 1

A i  A1  A2  ...  A n .

- Số phần tử của hợp các tập hợp: Cho A, B, C là 3 tập hợp hữu
hạn, khi đó

Nguyễn Thị Thúy - K36A - Toán

5


GVHD:Th.S Dương Thị Luyến

Khóa luận tốt nghiệp
|A  B| = |A| + |B| - |A  B|

|A  B  C| = |A| + |B| + |C| - |A  B| - |A  C| - |B  C| + |A B  C|
Chứng minh.
|A  B  C| = |(A  B)  C|
= |(A  B)| + |C| - |(A  B)  C|
= |A| + |B| - |AB| + |C| - |(AC)  (BC)|
= |A| + |B| - |AB| + |C| -{|AC| + |BC| - |(AC) 
(BC)|}
= |A| + |B| + |C| - |A  B| - |A  C| - |BC| + |A  B  C|
Tổng quát: Cho A1, A2, …, An là n tập hợp hữu hạn (n > 1). Khi đó

n

| A1  A 2    A n |   A i 
i 1



n



1 i  k  l  n

n



1 i  k  n

Ai  A k 

A i  A k  A l  ...  (1)n 1 A1  A 2  ...  A n

1.2 Hai nguyên lý đếm cơ bản
1.2.1 Nguyên lý cộng (tổng)
Giả sử có hai sự kiện T1, T2 rời nhau (loại trừ nhau: Nếu T1 xảy ra thì
T2 không xảy ra)
Nếu T1 xảy ra n cách.
Nếu T2 xảy ra m cách.
Thì sự kiện xảy ra hoặc T1 hoặc T2 là n + m cách.

Nguyên lý cộng mở rộng: xét n sự kiện T1, T2, … , Tm đôi một loại
trừ nhau. Giả sử rằng
T1 xảy ra n1 cách.
T2 xảy ra n2 cách.
…
Tm xảy ra nm cách.

Nguyễn Thị Thúy - K36A - Toán

6


GVHD:Th.S Dương Thị Luyến

Khóa luận tốt nghiệp

Thì số cách của sự kiện tổng hoặc T1 hoặc T2 …. hoặc Tm là
n1+ n2 + …+ nm cách
Biểu diễn dưới dạng tập hợp:
Nếu X, Y là hai tập hợp hữu hạn, không giao nhau thì
| X  Y | = | X | + | Y |.
Nếu X1, X2,…, Xn là n tập hữu hạn, từng đôi một không giao nhau
thì
| X1  X2  … Xn | = |X1|+ |X2|+…+ |Xn|.
Định lý 1. Cho n tập hợp hữu hạn Xi (i = 1, n ) với |Xi| = mi, XiXj = ϕ,
n

n

ij. Khi đó, số cách chọn một phần tử thuộc tập

i 1

i 1

X i và

n

n
i 1

X i là

Xi =

X
i 1

i

(1.1)

Chứng minh. Ta chứng minh quy nạp theo n với n  2.
Nếu n = 2 thì |X1  X2| = |X1| + |X2| - |X1  X2| = |X1| + |X2|
(do |X1  X2| = ϕ)
Giả sử (1.1) đúng với n = k, (k  2). Ta sẽ chứng minh (1.1) đúng
với n = k+1, nghĩa là
k 1
i 1

k 1

Xi =  Xi
i 1

(1.2)

Thật vậy ta có
X1  X2  … Xk  Xk+1 = (X1  X2  … Xk )  Xk+1
Vì XiXj = ϕ, ij; i, j = 1, 2, 3, …, k, k+1 nên
(X1  X2  … Xk )  Xk+1 = (X1 Xk+1)( X2 Xk+1) … (Xk  Xk+1)
=ϕ

Nguyễn Thị Thúy - K36A - Toán

7


GVHD:Th.S Dương Thị Luyến

Khóa luận tốt nghiệp

Vậy |X1  X2  … Xk  Xk+1| = |(X1  X2  … Xk )  Xk+1|
= |(X1  X2  … Xk )|  |Xk+1|
k

=  X i + |Xk+1|
i 1

k 1

=

X
i 1

i

Suy ra (1.2) đƣợc chứng minh.
Theo nguyên lý quy nạp toán học, quy tắc cộng là đúng với mọi n
 , n 2.
Ví dụ 1. Từ các chữ số 1, 2, 3 có thể lập đƣợc bao nhiêu số khác nhau có
những chữ số khác nhau.
Giải
Từ các chữ số 1, 2, 3 có thể lập đƣợc:
- Ba số khác nhau có một chữ số là: 1, 2, 3. Trong trƣờng hợp này
có 3 cách lập.
- Sáu số khác nhau, mỗi số có hai chữ số là: 12, 13, 21, 23, 31, 32.
Trong trƣờng hợp này có 6 cách lập.
- Sáu số khác nhau, mỗi số có ba chữ số là: 123, 132, 213, 231, 312,
321. Trong trƣờng hợp này có 6 cách lập.
Các cách lập trên đôi một không trùng nhau. Vậy theo quy tắc cộng
có 3 + 6 + 6 = 15 cách lập những số khác nhau có những chữ số khác
nhau từ các chữ số 1, 2, 3.
1.2.2 Nguyên lý nhân (tích)
Giả sử ta có một công việc A tách ra làm hai công đoạn A1, A2.
A1

A2
A

Nguyễn Thị Thúy - K36A - Toán

8


GVHD:Th.S Dương Thị Luyến

Khóa luận tốt nghiệp

Giả sử A1 có thể làm bằng n1 cách
A2 có thể làm bằng n2 cách
Khi đó công việc A đƣợc tiến hành bằng n1.n2 cách.
Quy tắc nhân mở rộng: Có một công việc A gồm A1, A2,…, An công
đoạn.
A1

A2

An-1

An

A
Giả sử A1 có thể làm bằng m1 cách
A2 có thể làm bằng m2 cách
…
An có thể làm bằng mn cách.
Các công đoạn này gối nhau (phụ thuộc nhau)
Khi đó, để thực hiện công việc A sẽ có m1.m2….mn cách tiến hành.

Biểu diễn dưới dạng tập hợp
Nếu A1, A2, …, An là n tập hợp hữu hạn (n  1), khi đó số phần tử
của tích đề các các tập hợp này bằng tích của số các phần tử mọi tập
thành phần.
Để liên hệ với quy tắc nhân cần chú ý là việc chọn một phần tử của
tích đề các A1 A2 … An đƣợc tiến hành bằng cách chọn lần lƣợt 1
phần tử của A1, một phần tử của A2, …, một phần tử của An. Theo quy
tắc nhân ta nhận đƣợc đẳng thức: |A1 A2 …An| = |A1|. A2|. …. |An|
Định lý 2. Giả sử có n tập hữu hạn Xi, (i = 1, n ) với |Xi| = mi. Chọn một
bộ gồm n phần tử (a1, a2, … , an) với ai  Xi. Khi đó, số cách chọn khác
nhau là |X1  X2  …Xn | và
n

|X1  X2  …Xn | =

Nguyễn Thị Thúy - K36A - Toán

m
i 1

i

(1.3)

9


GVHD:Th.S Dương Thị Luyến

Khóa luận tốt nghiệp

Chứng minh. Ta chứng minh (1.3) bằng phƣơng pháp quy nạp theo n,
n2 nhƣ sau.
Với n = 2, ta có |X1| = m1, |X2| = m2. Giả sử X1 = { a1, a2, … , a m1 }
và X2 = { b1, b2, … , b m2 } thì
X1  X2 = { (ai, bj) | 1  i  m1, 1  j  m2, ai  X1, bj  X2 }.
Ta viết X1  X2 dƣới dạng nhƣ sau

 a 1 , b1   a 1 , b 2 
 a 2 , b1   a 2 , b 2 

a

m1

, b1

 a

m1

, b2



...

a , b 
a , b 

...

a

...

1

m2

2

m2

m1

, b m2



Đặt Ei = { (ai, b1), (ai, b2),…, (ai, b m2 ) : 1  i  m1 }  |Ei| = m2.
Ta có X1  X2 = E1  E2 … E m1 với Ei  Ej = ϕ, i  j. Theo quy
tắc cộng ta đƣợc |X1  X2| = |E1  E2 … E m1 | =

m1

E
i 1

i

 m1m2

Vậy công thức (1.3) đúng trong trƣờng hợp n = 2.
Giả sử (1.3) đúng với trƣờng hợp n = k, (k  2), tức là |X1  X2 
…Xk | = m1.m2….mk. Ta chứng minh (1.3) đúng cho trƣờng hợp n =
k+1, có nghĩa là |X1  X2  …Xk Xk+1| = m1.m2….mk.mk+1.
Thật vậy, xét một phần tử bất kì (a1, a2, … , ak, ak+1) của tích đề các
X1  X2  …Xk Xk+1. Đặt  = (a1, a2, … , ak). Rõ ràng giữa tập hợp các
bộ có dạng (a1, a2, … , ak, ak+1) và tập hợp các cặp có dạng (, ak+1) có
tƣơng ứng 1-1. Vậy có bao nhiêu bộ (a1, a2, … , ak, ak+1) thì có bấy nhiêu
cặp (, ak+1). Nếu ta kí hiệu tập hợp tất cả các  là X, thì ta có thể nói
rằng tập hợp X1  X2  …Xk Xk+1 có bao nhiêu phần tử thì tập hợp
X  Xk+1 có bấy nhiêu phần tử, tức là

Nguyễn Thị Thúy - K36A - Toán

10


GVHD:Th.S Dương Thị Luyến

Khóa luận tốt nghiệp

|X1  X2  …Xk Xk+1| = |X  Xk+1|
Theo chứng minh cho trƣờng hợp n = 2 ta có
|X  Xk+1| = |X| . |Xk+1|.
Theo cách dựng thì X chính là tích đề các X1  X2  …Xk. Áp dụng
giả thiết quy nạp ta có
|X  Xk+1| = |X| . |Xk+1| = |X1  X2  …Xk |  |Xk+1| = m1.m2….mk.mk+1.

Vậy |X1  X2  …Xk Xk+1| = m1.m2….mk.mk+1.
Theo nguyên lý quy nạp toán học, công thức (1.3) đúng với mọi n
 , n 2.
Ví dụ 2. Có bao nhiêu số gồm ba chữ số khác nhau có thể lập từ các chữ
số 0, 2, 4, 6, 8.
Giải
Số cần lập có dạng a1a 2 a 3 . Ta có 4 cách chọn a1, vì a1  0. Ứng với
mỗi cách chọn a1 có 4 cách chọn a2. Ứng với mỗi cách chọn a1, a2 có 3
cách chọn a3. Theo quy tắc nhân ta có 4.4.3 = 48 số cần lập.
1.3

Hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp

1.3.1. Hoán vị
a. Hoán vị không lặp
 Định nghĩa
Cho tập hợp A gồm n phần tử. Mỗi cách sắp xếp n phần tử này
thành một dãy theo thứ tự xác định gọi là một hoán vị của tập hợp A.
Ta có thể phát biểu:
Số các hoán vị của tập n phần tử bằng số các đơn ánh (đồng thời
cũng là song ánh) từ tập n phần tử vào tập n phần tử và bằng n!
Thông thƣờng ngƣời ta còn gọi mọi song ánh từ A lên A là một
phép thế trên A vì thế ta còn có thể phát biểu:

Nguyễn Thị Thúy - K36A - Toán

11


GVHD:Th.S Dương Thị Luyến

Khóa luận tốt nghiệp

Số các hoán vị của một tập n phần tử bằng số các phép thế của tập
đó và bằng n!
Ví dụ 3. Số các phép thế trên tập A = {a, b, c} là P3 = 3! = 6. Đó là
các phép thế:
a

a
a

c

b
b

c a
 ;
c a

b
c

c a
 ;
b b

b
a

c a
 ;
b c

b
b

c

a

b
a

c  a
 ;
c b

b
c

c

a

 Công thức tính
Kí hiệu Pn là số các hoán vị của n phần tử ta có Pn = n.(n-1)…2.1= n!
Chứng minh.
Ta chứng minh công thức này dựa trên nguyên lý nhân. Xét công

việc xây dựng một hoán vị của n vật ban đầu. Công việc này đƣợc chia
thành các bƣớc sau:
Bước 1. Chọn vật đứng đầu: có n cách chọn (n vật đều có thể đứng
đầu)
Bước 2. Chọn vật đứng thứ 2: có n-1 cách chọn (do đã chọn đƣợc 1
vật đứng đầu nên giờ ta chỉ còn n-1 vật)
…
Bước n. Chọn vật còn lại cuối cùng: Chỉ có 1 cách duy nhất.
Nhƣ vậy theo nguyên lý nhân, số cách xây dựng hoán vị, cũng
chính là số các hoán vị của n vật ban đầu, số các hoán vị này là
n.(n-1).(n-2)…2.1 = n!
Ví dụ 4. Có bao nhiêu hoán vị n phần tử, trong đó có 2 phần tử đã cho
không đứng cạnh nhau.
Giải
Nếu a đứng ở vị trí thứ nhất thì b đứng ở vị trí thứ hai. Do vậy a
đứng ở vị trí n-1 thì b đứng ở vị trí thứ n và chúng có thể đổi vị trí cho

Nguyễn Thị Thúy - K36A - Toán

12


GVHD:Th.S Dương Thị Luyến

Khóa luận tốt nghiệp

nhau. Với mỗi cách đó có (n-2)! Cách hoán vị các phần tử khác nhau. Do
đó hoán vị a, b đứng cạnh nhau là 2(n-1).(n-2)! = 2.(n-1)!. Vậy số hoán
vị hai phần tử đã cho khôg đứng cạnh nhau n! – 2.(n-1)! = (n-1)!.(n-2)
Ví dụ 5. Có thể lập đƣợc bao nhiêu số từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,

8, 9 sao cho thỏa mãn 2 điều kiện sau:
1. Mỗi chữ số đều có mặt 1 lần trong các số đƣợc lập.
2. Chữ số 0 không đứng ở vị trí thứ nhất bên trái.
Giải
Theo 1. Ta lập đƣợc 10! số, nếu số đầu tiên bằng 0 ta có 9! số
Do vậy để thỏa mãn cả hai điều kiện 1, 2 ta có
10! - 9! = 9!9 = 3265920 số.
b. Hoán vị có lặp
 Định nghĩa
Có n vật (n  1) đƣợc sắp vào n vị trí trong đó:
Có n1 vật loại 1
Có n2 vật loại 2
…
Có nk vật loại k
Ở đây n1 + n2 + …+ nk = n
Mỗi cách sắp thứ tự n vật nhƣ trên vào n vị trí gọi là hoán vị có lặp
của n phần tử đó.
 Công thức tính
Kí hiệu Cn(n1,n2,…,nk) là số các hoán vị lặp của n phần tử
Cn(n1,n2,…,nk) =

n!
n1 !n 2 !...n k !

Chứng minh.
Đầu tiên, nếu xem nhƣ n phần tử là khác nhau, ta có n! hoán vị. Tuy
nhiên do có n1 phần tử loại 1 giống nhau, nên ứng với một hoán vị ban

Nguyễn Thị Thúy - K36A - Toán

13


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD:Th.S Dương Thị Luyến

đầu, nếu ta hoán vị n1 phần tử này (có n1! Hoán vị nhƣ vậy) ta vẫn đƣợc
hoán vị đó. Chính vì vậy thực chất n1! Hoán vị kiểu này chỉ là một hoán
vị do đó số hoán vị thực sự khác nhau nếu có n1 phần tử loại 1 là

n!
.
n1 !

Tiếp theo, ta lại có n2 phần tử loại 2 nên số hoán vị thực sự khác nhau
bây giờ là

n!
, …cứ tiếp tục nhƣ vậy cho đến phần tử loại k ta sẽ có
n1 !n 2!

công thức cần chứng minh.
Ví dụ 6. Hãy tính xem có bao nhiêu cách sắp xếp khác nhau của 6 mẫu tự
trong từ PEPPER.
Giải
Trƣớc hết ta nhận xét rằng từ mỗi cách sắp xếp 6 mẫu tự đã cho,
nếu ta phân biệt 3 mẫu tự P (tức là ta đánhchỉ số cho các mẫu tự P và
xem chúng khác nhau) thì ta sẽ có 3! = 6 cách sắp xếp khác nhau. Ví dụ
6 cách sắp xếp sau:

P1EP2P3ER; P1EP3P2ER; P2EP1P3ER; P2EP3P1ER
P3EP1P2ER; P3EP2P1ER
Cả 6 cách sắp xếp này trùng với cách sắp xếp PEPPER nếu ta bỏ đi
việc đánh chỉ số cho các mẫu tự P. Tiếp theo mỗi cách sắp xếp dãy 6
mẫu tự trong đó các mẫu tự P đã đƣợc đánh chỉ số ta sẽ có 2 cách sắp
xếpkhác nhau nếu các mẫu tự E đƣợc phân biệt bằng cách đánh chỉ số
cho chúng. Chẳng hạn, nếu phân biệt 2 mẫu tự e thì sự sắp xếp
P1EP2P3ER

có 2 cách sắp xếp tƣơng ứng là P1E1P2P3E2R và

P1E2P2P3E1R. Từ đó chúng ta có:
3!  2!  (Số cách sắp xếp các mẫu tự trong từ PEPPER)
= Số hoán vị của 6 phần tử P1, E1, P2, P3, E2, R
= 6!

Nguyễn Thị Thúy - K36A - Toán

14


GVHD:Th.S Dương Thị Luyến

Khóa luận tốt nghiệp

Ví dụ 7. Có bao nhiêu cách phân phối 7 chuyên gia trẻ vào 3 ban, theo
thứ tự cần 1, 2, 4 chuyên gia?
Giải
Số cách phân phối là C 7 1, 2, 4  

7!
 105
1!2!4!

Ví dụ 8. Hỏi có bao nhiêu số có 7 chữ số, trong mỗi số đó chữ số 2 đƣợc
lặp lại 3 lần, chữ số 7 đƣợc lặp lại 4 lần
Giải
Số các số thỏa mãn yêu cầu đề là

C 7  3, 4  

7!
 35
3!4!

c. Hoán vị vòng tròn
 Định nghĩa
Cho tập hợp A gồm n phần tử. Mỗi cách sắp xếp n phần tử này vào
n vị trí theo một đƣờng tròn gọi là một hoán vị vòng tròn của tập hợp A.
 Công thức xác định
Kí hiệu số hoán vị vòng tròn của n phần tử là Pn-1
Pn-1 = (n-1).(n-2)…2.1 = (n-1)!
Chứng minh. Ta cố định 1 điểm trên đƣờng tròn, sắp n-1 vật vào n-1 vị
trí còn lại. nhƣ vậy chúng ta có (n-1)! số các hoán vị vòng tròn của n
phần tử.
Ví dụ 9.
a, Có bao nhiêu cách xếp 6 ngƣời quanh 1 bàn tròn?
b, Có bao nhiêu đa giác nhận 6 điểm A, B, C, D, E, F làm đỉnh?
Giải
a. Sắp xếp 6 ngƣời vào 6 vị trí quanh bàn tròn là hoán vị tròn của 6

phần tử: P5 = 5! = 120

Nguyễn Thị Thúy - K36A - Toán

15


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD:Th.S Dương Thị Luyến

b. Tƣơng tự trên, ta có P5 hoán vị tuy nhiên mỗi hoán vị này đƣợc
lặp lại 2 lần do cách gọi tên của một đa giác chiều xuôi và chiều ngƣợc
lại là nhƣ nhau. (VD: đa giác ABCDEF chính là đa giác AFEDCB). Nhƣ
vậy số đa giác nhận 6 điểm A, B, C, D, E, F làm đỉnh là

P5 5!
  60 đa
2 2

giác.
1.3.2. Chỉnh hợp
a. Chỉnh hợp không lặp
 Định nghĩa
Cho tập A gồm m phần tử x1, x2,…, xm và số nguyên dương n với 1 
n  m. Ta thiết lập bộ (a1, a2, …, an) | ai  A  i= 1, n , ai khác nhau từng
đôi một được gọi là một chỉnh hợp không lặp chập n của m phần tử đã
cho.
Nhận xét. (Nhìn theo quan điểm ánh xạ) Mỗi chỉnh hợp chập n của m
phần tử có thể xác định một đơn ánh từ tập {1, 2, 3, …, n} đến tập m

phần tử đó. Chẳng hạn, chỉnh hợp chập 2 (a, c) của 3 phần tử a, b, c xác
định đơn ánh từ tập {1, 2} đến tập chứa ba phần tử a, b, c nhƣ sau:
1 2


a c

Ngƣợc lại, mỗi đơn ánh từ tập {1, 2, 3, …, n} đến tập m phần tử đó
xác định một chỉnh hợp chập n của m phần tử. Chẳng hạn đơn ánh
1 2

 xác định chỉnh hợp chập 2 của 3 phần tử a, b, c.
a c

Nhƣ vậy có tƣơng ứng 1-1 giữa tập các đơn ánh từ tập {1, 2, 3, …, n}
đến tập m phần tử của A ( n  m ) và tập các chỉnh hợp chập n của m. Điều
đó có nghĩa là: Số chỉnh hợp chập n của m phần tử của tập A ( n  m ) bằng
số các đơn ánh từ tập n phần tử vào tập m phần tử.

Nguyễn Thị Thúy - K36A - Toán

16


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD:Th.S Dương Thị Luyến

 Công thức tính
n

Kí hiệu A m hoặc (m)n là số các chỉnh hợp chập n của m phần tử.

A mn  m.(m  1)....(m  n  1) 

m!
(m  n)!

Chứng minh.
Cách 1. Để tạo ra một chỉnh hợp không lặp chập n của m phần tử ta
làm nhƣ sau: Chọn một phần tử bất kỳ của A để xếp vào thành phần thứ
nhất mà ta gọi là a1, sẽ có m cách chọn. Sau đó chọn một phần tử bất kỳ
trong các phần tử còn lại để xếp vào thành phần thứ hai mà ta kí hiệu là
a2, sẽ có m – 1 cách chọn. Nhƣ thế ta có m.(m – 1) cách chọn hai phần tử
khác nhau từ A để xếp vào hai thành phần đầu. Tiếp tục quá trình trên, ta
sẽ có m – (n – 1) cách chọn một phần tử còn lại của A để xếp vào thành
phần thứ n. Nhƣ vậy có m.(m – 1).( m – 2)…(m – n + 1) cách lập bộ (a1,
a2, …, an) theo yêu cầu trên.
n
Do đó ta có A m  m.(m  1)...(m  n  1) 

m!
(m  n)!

Cách 2. (Theo quan điểm ánh xạ)
Ta kí hiệu số các đơn ánh từ {1, 2, 3, …, n} đến tập A gồm m phần
n
tử là A m ;
1
Chẳng hạn A m là số các đơn ánh từ {1} đến A (chứa m phần tử)

A 2m là số các đơn ánh tử {1, 2} đến A
…
1
Rõ ràng ta có A m = m.
n
n 1
n
Để tìm công thức cho A m ta tìm mối liên hệ giữa A m và A m . Ta

nhận thấy mỗi đơn ánh từ tập {1, 2, 3, …, n-1} đến tập A có

m – (n –

1) cách mở rộng thành đơn ánh từ tập {1, 2, 3, …, n-1, n} đến tập A

Nguyễn Thị Thúy - K36A - Toán

17


GVHD:Th.S Dương Thị Luyến

Khóa luận tốt nghiệp

bằng cách cho tƣơng ứng n lần lƣợt với m – (n – 1) phần tử còn lại
không phải ảnh của 1, 2, 3, …, n-1

1

*

2

*

Tập (n-1) phần tử ảnh
của 1,2, .., n-1 qua đơn
ánh

*
*

,..
*

n-1 *
n

*

*

*
*

Tập m - (n-1) phần tử
của A không là ảnh
của 1,2, .., n-1

A

Nhƣ vậy ta có

A mn = [ m – (n – 1)]. A mn 1 = (m – n + 1). A mn 1
Lần lƣợt áp dụng công thức trên ta có :

A 2m = (m – 2 + 1). A1m = (m – 1).m

A 3m = (m – 3 + 1). A 2m = (m – 2).(m – 1).m
A 4m = (m – 4 + 1). A 3m = (m – 3).(m – 2).(m – 1).m
…
Cuối cùng ta đƣợc

A mn = m.(m – 1).(m – 2)….(m – n + 1) =

m!
(m  n)!

Chú ý. Một chỉnh hợp chập m của m phần tử đƣợc gọi là một hoán vị của
m
m phần tử Am  Pm  m!

Ví dụ 10. Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4 có thể lập đƣợc bao nhiêu số tự
nhiên trong đó không có số nào đƣợc lặp lại?

Nguyễn Thị Thúy - K36A - Toán

18


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD:Th.S Dương Thị Luyến

Giải
+ Số có 5 chữ số: Có 5! Cách lập số có 5 chữ số từ 5 số trên, trong
đó có 4! cách lập số có 5 chữ số mà bắt đầu bằng số 0. Do vậy, có
5! - 4! = 96 số.
4
+ Số có 4 chữ số: Có thể lập đc A 5 số từ những chữ số trên. Trong

3
đó có A 4 số có 4 chữ số mà bắt đầu bởi chữ số 0. Do vậy, có

A 54 - A 34 = 96 số.
3
+ Số có 3 chữ số: Có thể lập đc A 5 số từ những chữ số trên. Trong
2
đó có A 4 số có 3 chữ số mà bắt đầu bởi chữ số 0. Do vậy, có

A 35 - A 24 = 48 số.
2
1
+ Tƣơng tự, có A 5 - A 4 = 16 cách chọn số có 2 chữ số và 5 cách

chọn số có 1 chữ số
Suy ra theo nguyên lý cộng ta có 96 + 96 + 48 + 16 + 5 = 261 số
thỏa mãn yêu cầu bài toán.
b. Chỉnh hợp có lặp
 Định nghĩa
Cho X là một tập n phần tử. Chỉnh hợp có lặp chập k của n phần tử

của X là một cách sắp xếp có thứ tự k phần tử của X, mỗi phần tử có thể
lấy lặp lại.
Nhận xét. (Nhìn theo quan điểm ánh xạ) Mỗi chỉnh hợp lặp chập k của n
phần tử có thể xác định một ánh xạ từ tập {1, 2, … , k} đến tập n phần tử
đó. Chẳng hạn chỉnh hợp lặp chập 5 (a, a, b, c, b) của 3 phần tử a, b, c
xác định ánh xạ từ tập {1, 2, 3, 4, 5} đến tập 3 phần tử đó nhƣ sau
1 2 3 4 5

 . Ngƣợc lại mỗi ánh xạ từ tập {1, 2, … , k} đến tập X
a a b c b

Nguyễn Thị Thúy - K36A - Toán

19


GVHD:Th.S Dương Thị Luyến

Khóa luận tốt nghiệp

xác định một chỉnh hợp lặp chập k của n phần tử. Chẳng hạn ánh xạ
1 2 3 4 5

 xác định chỉnh hợp lặp chập 5 (a, a, b, c, b) của 3 phần
a a b c b

tử a, b, c.
Nhƣ vậy có tƣơng ứng 1-1 giữa các tập ánh xạ từ tập {1, 2, … , k}
đến tập X với tập các chỉnh hợp lặp chập k của n phần tử của X.
Ta có thể phát biểu:

Số chỉnh hợp lặp chập k của n phần tử của X bằng số các ánh xạ từ
từ tập k phần tử đến tập n phần tử.
 Công thức tính
k

k

Kí hiệu A n là số chỉnh hợp lặp chập k của n phần tử. Ta có A n = nk
Chứng minh
Cách 1.
Phần tử đầu tiên của chỉnh hợp lặp có n cách chọn, vì tập có n phần
tử.
Phần tử thứ hai của chỉnh hợp lặp cũng có n cách chọn, vì phần tử
có thể lấy lặp lại.
Tƣơng tự nhƣ vậy ta có n cách chọn phần tử thứ 3, …., có n cách
chọn phần tử thứ k.
k

Suy ra theo nguyên lý nhân A n = nk.
Cách 2. (Theo quan điểm ánh xạ)
Ta kí hiệu số ánh xạ từ tập tập {1, 2, … , k} đến tập X (có n phần
k

1

tử) là A n ; Chẳng hạn A n là số ánh xạ từ {1} đến X;
2

A n là số ánh xạ từ {1, 2} đến X;
…

Nguyễn Thị Thúy - K36A - Toán

20