Ứng dụng các phép biến hình trong không gian giải bài toán tìm tập hợp điểm

TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN
********

VŨ THỊ PHƢƠNG

ỨNG DỤNG CÁC PHÉP BIẾN HÌNH
TRONG KHÔNG GIAN GIẢI BÀI TOÁN
TÌM TẬP HỢP ĐIỂM

KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Hình Học

HÀ NỘI – 2014


LỜI CẢM ƠN
Trong suốt quá trình nghiên cứu và hoàn thành khóa luận này, em đã
nhận được sự chỉ bảo, góp ý và hướng dẫn giúp đỡ hết sức tận tình của ThS,
GVC Phan Hồng Trường. Bên cạnh đó, em cũng nhận được sự góp ý chân
thành của các thầy cô giáo trong khoa Toán nói chung và các thầy cô trong tổ
Hình Học nói riêng, cùng các bạn sinh viên K36A_SP Toán. Em xin bày tỏ
lòng biết ơn sâu sắc tới các thầy cô giáo đã giúp đỡ em bước đầu làm quen
với việc nghiên cứu khoa học, chắc chắn điều đó sẽ rất bổ ích cho em trên con
đường học tập và công tác sau này.
Em xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, ngày 29 tháng 5 năm 2014
Sinh viên
Vũ Thị Phƣơng

LỜI CAM ĐOAN
Khóa luận của em được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của Th.S, GVC
Phan Hồng Trường cùng với sự cố gắng nỗ lực của bản thân. Trong quá trình
nghiên cứu và hoàn thành khóa luận, em có tham khảo tài liệu của một số tác
giả đã ghi trong phần tài liệu tham khảo.
Em xin cam đoan những kết quả trong khóa luận này là kết quả nghiên
cứu của bản thân, không trùng với kết quả của tác giả nào khác. Nếu sai em
xin hoàn toàn chịu trách nhiệm.
Hà Nội, ngày 29 tháng 5 năm 2014
Sinh viên
Vũ Thị Phƣơng


MỤC LỤC
MỞ ĐẦU .......................................................................................................... 1
1. Lí do chọn đề tài ............................................................................................ 1
2. Mục đích nghiên cứu và nhiệm vụ nghiên cứu ............................................. 1
3. Đối tượng nghiên cứu, phạm vi nghiên cứu ................................................. 2
4. Phương pháp nghiên cứu............................................................................... 2
NỘI DUNG....................................................................................................... 3
CHƢƠNG 1. CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ PHÉP BIẾN HÌNH
TRONG KHÔNG GIAN ................................................................................ 3
1.1. Các phép biến hình trong không gian ........................................................ 3
1.1.1. Định nghĩa phép biến hình .............................................................. 3
1.1.2. Phép biến đổi 1-1 ............................................................................ 3
1.1.3. Phép biến đổi đồng nhất .................................................................. 3
1.1.4. Phép biến đổi ngược........................................................................ 3
1.2. Tích của hai (hoặc nhiều) phép biến đổi .................................................... 3
1.3. Điểm bất động, đường thẳng bất động, mặt phẳng bất động của một phép
biến đổi .......................................................................................................... 4

1.4. Ảnh của một hình qua một phép biến đổi .................................................. 4
1.5. Phép dời hình trong không gian ................................................................. 4
1.5.1. Định nghĩa ....................................................................................... 4
1.5.2. Tính chất.......................................................................................... 5
1.5.3. Một số phép dời hình cơ bản........................................................... 5
1.6. Phép đồng dạng trong không gian............................................................ 11
1.6.1. Phép vị tự trong không gian .......................................................... 11
1.6.2. Phép đồng dạng trong không gian ................................................ 11
1.7. Bài toán quỹ tích ...................................................................................... 12


Chƣơng 2. ỨNG DỤNG CỦA PHÉP BIẾN HÌNH TRONG KHÔNG
GIAN ĐỂ GIẢI BÀI TOÁN TÌM TẬP HỢP ĐIỂM (BÀI TOÁN TÌM
QUỸ TÍCH) ................................................................................................... 13
2.1. Giải bài toán quỹ tích nhờ phép biến hình trong không gian................... 13
2.2. Phép đối xứng qua tâm với bài toán quỹ tích .......................................... 13
2.2.1. Phương pháp chung ....................................................................... 13
2.2.2. Ví dụ .............................................................................................. 14
2.2.3: Bài tập đề nghị .............................................................................. 16
2.3. Phép đối xứng qua trục với bài toán quỹ tích .......................................... 16
2.3.1. Phương pháp chung ....................................................................... 16
2.3.2. Ví dụ .............................................................................................. 17
2.3.3. Bài tập đề nghị .............................................................................. 22
2.4. Phép đối xứng qua một mặt phẳng với bài toán quỹ tích ........................ 23
2.4.1. Phương pháp chung ....................................................................... 23
2.4.2. Ví dụ .............................................................................................. 23
2.4.3. Bài tập đề nghị .............................................................................. 24
2.5. Phép tịnh tiến trong không gian với bài toán quỹ tích ............................. 25
2.5.1. Phương pháp chung ....................................................................... 25
2.5.2. Ví dụ .............................................................................................. 25

2.5.3. Bài tập đề nghị .............................................................................. 29
2.6. Phép đối xứng - trượt trong không gian với bài toán quỹ tích................. 29
2.6.1. Phương pháp chung ....................................................................... 29
2.6.2. Ví dụ .............................................................................................. 30
2.6.3. Bài tập đề nghị .............................................................................. 30
2.7. Phép quay quanh trục với bài toán quỹ tích ............................................. 30
2.7.1. Phương pháp chung ....................................................................... 30
2.7.2. Ví dụ .............................................................................................. 31
2.8. Phép vị tự trong không gian với bài toán quỹ tích ................................... 31
2.8.1. Phương pháp chung ....................................................................... 31


2.8.2. Ví dụ .............................................................................................. 31
2.8.3. Bài tập đề nghị .............................................................................. 34
2.9. Phép đồng dạng với bài toán quỹ tích ...................................................... 36
2.9.1. Phương pháp chung ....................................................................... 36
2.9.2. Ví dụ .............................................................................................. 36
2.9.3. Bài tập đề nghị .............................................................................. 41
HƢỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ .................................................. 42
KẾT LUẬN .................................................................................................... 60
TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................ 61


MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
Trong nhà trường phổ thông, hình học là một môn khó đối với học
sinh. Bởi vì hình học có tính chất chặt chẽ, logic và tính trừu tượng cao hơn
những môn học khác của toán học. Các phép biến hình là một phần quan
trọng của hình học vì nó là công cụ hữu ích đối với các bài toán không chỉ
trong hình học phẳng mà còn trong cả không gian.

Các khái niệm, các định nghĩa, các định lí về phép biến hình trong không
gian được đề cập trong chương trình sách giáo khoa lớp 12 nhằm cung cấp cho
học sinh phương pháp mới để giải quyết một lớp bài toán trong hình học. Tuy
nhiên việc giải bài toán bằng phép biến hình trong không gian còn ít được sử
dụng. Trên thực tế, việc vận dụng các phép biến hình để giải quyết các bài toán
trong không gian nhiều khi đem lại hiệu quả cao, giúp học sinh tránh được
những sai lầm khi giải toán bằng phương pháp thông thường, qua đó nâng cao
năng lực tư duy, đem lại hứng thú học tập, tìm tòi, nghiên cứu cho học sinh.
Trong các dạng toán chứng minh, quỹ tích, dựng hình và tính toán của
hình học không gian, dạng toán quỹ tích (tìm tập hợp điểm) là một dạng toán rất
hay. Tuy nhiên, đây lại là một dạng toán khó đối với cả giáo viên và học sinh.
Với tất cả lí do trên, cùng với niềm say mê toán học, đặc biệt là hình
học, em quyết định chọn đề tài: “Ứng dụng các phép biến hình trong không
gian giải bài toán tìm tập hợp điểm” để trình bày trong khoá luận tốt nghiệp
này với hi vọng đây sẽ là tài liệu tham khảo hữu ích cho toàn thể bạn đọc.
2. Mục đích nghiên cứu và nhiệm vụ nghiên cứu
 Nghiên cứu các kiến thức cơ bản của các phép biến hình trong không gian
trong việc giải bài toán quỹ tích.
 Xây dựng hệ thống các ví dụ minh hoạ và bài tập luyện tập thể hiện
phương pháp sử dụng các phép biến hình trong không gian vào giải các bài
toán quỹ tích.

1


3. Đối tƣợng nghiên cứu, phạm vi nghiên cứu
 Đối tượng nghiên cứu: Kiến thức về các phép biến hình trong không gian.
 Phạm vi nghiên cứu: Nghiên cứu các bài toán quỹ tích trong không gian
bằng phép biến hình.
4. Phƣơng pháp nghiên cứu

Nghiên cứu sách giáo khoa, các sách tham khảo, các tài liệu liên quan
đến nội dung này.

2


NỘI DUNG
CHƢƠNG 1. CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN
VỀ PHÉP BIẾN HÌNH TRONG KHÔNG GIAN
1.1. Các phép biến hình trong không gian
1.1.1. Định nghĩa phép biến hình
Trong không gian cho một quy tắc f. Với mỗi điểm M bất kì theo quy tắc
f ta xác định được duy nhất điểm

. Khi đó ta nói

biến đổi f và được kí hiệu f: M
được gọi là tạo ảnh của

là ảnh của M qua phép

(đọc là f biến M thành

). Điểm M

, f là một phép biến đổi hình học hay nói ngắn gọn

hơn là một phép biến hình.
1.1.2. Phép biến đổi 1-1
Định nghĩa: Ta biết rằng mỗi ảnh của một điểm M qua phép biến đổi f có

thể có nhiều tạo ảnh khác M. Nếu mỗi ảnh của M chỉ có duy nhất một tạo ảnh
ứng với nó thì ta nói f là một phép biến đổi một đối một (song ánh) hay vắn
tắt là 1-1.
1.1.3. Phép biến đổi đồng nhất
Định nghĩa: Ta nói f là phép biến đổi đồng nhất nếu f biến mọi điểm M
trong không gian thành chính nó, và kí hiệu phép đồng nhất là Id.
Như vậy: Id(M) = M, M.
1.1.4. Phép biến đổi ngƣợc
Định nghĩa: Giả sử f: M
tồn tại một phép biến đổi g biến

với mọi điểm M trong không gian. Nếu
thành M thì ta nói g là phép biến đổi

ngược, và kí hiệu: g = f -1.
Như vậy: Nếu M'  f (M) thì M  f 1 (M' ) , và f 1 o f  fof 1  Id
1.2. Tích của hai (hoặc nhiều) phép biến đổi
Định nghĩa: Cho hai phép biến đổi f và g. Với mỗi điểm M bất kì f: M
và g:

. Phép biến đổi biến M thành

3

được gọi là tích của hai phép


biến đổi f và g và ta kí hiệu tích của hai phép biến đổi đó là g o f: M

hoặc

g(f): M
Định nghĩa hai phép biến đổi trùng nhau: Cho hai phép biến đổi f và g.
Ta nói f và g trùng nhau và kí hiệu là f = g, nếu ảnh của mọi điểm M trong
không gian của hai phép biến đổi đó trùng nhau.
Nghĩa là với mọi điểm M, f: M

và g: M

.

1.3. Điểm bất động, đƣờng thẳng bất động, mặt phẳng bất động của một
phép biến đổi
Định nghĩa:
(i) Ta nói điểm O là điểm bất động của một phép biến đổi f, nếu f biến
O thành O.
(ii) Ta nói đường thẳng d là đường thẳng bất động của một phép biến
đổi f, nếu mọi điểm thuộc d đều là điểm bất động của f.
(iii) Ta nói mặt phẳng (P) là mặt phẳng bất động của một phép biến đổi
f, nếu mọi điểm của (P) là điểm bất động của f.
(iv) Ta nói đường thẳng d (mặt phẳng (P)) là đường thẳng (mặt phẳng)
bất biến của một phép biến đổi f, nếu f biến đường thẳng d (hoặc
mặt phẳng (P)) thành chính nó.
1.4. Ảnh của một hình qua một phép biến đổi
Cũng như trong hình học phẳng, trong hình học không gian ta xem mỗi
hình không gian là một tập hợp điểm. Cho một hình không gian F. Tập hợp
ảnh của mọi điểm thuộc F qua một phép biến đổi f lập thành một hình
gọi là ảnh của F qua phép biến đổi đó, và kí hiệu:

được

= f(F) nếu f có phép biến

đổi ngược.
1.5. Phép dời hình trong không gian
1.5.1. Định nghĩa
Phép dời hình (trong không gian) là một phép biến hình không làm thay
đổi khoảng cách giữa hai điểm bất kì.

4


Nói cách khác: nếu phép dời hình biến hai điểm M, N lần lượt thành hai
điểm

,

thì MN =

1.5.2. Tính chất
 Phép dời hình trong không gian biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm
thẳng hàng và không làm thay đổi thứ tự của ba điểm đó.
 Phép dời hình biến đường thẳng thành đường thẳng, biến tia thành tia,
biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng có cùng độ dài, biến góc thành góc
có cùng số đo, biến tam giác thành tam giác bằng nó.
 Phép dời hình biến mặt phẳng thành mặt phẳng, biến nửa mặt phẳng
thành nửa mặt phẳng, biến góc nhị diện thành góc nhị diện có cùng số
đo. Biến một tứ diện thành một tứ diện bằng nó.
1.5.3. Một số phép dời hình cơ bản
1.5.3.1. Phép đối xứng tâm

a. Định nghĩa
Cho trước một điểm O. Với mỗi điểm M khác O ta xác định được điểm
sao cho ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
nói

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . Nếu M trùng với O, thì

trùng với O. Khi đó ta

là ảnh của M trong phép đối xứng qua tâm O (hoặc đối xứng - tâm O)

và được kí hiệu là ĐO : M

. Điểm O được gọi là tâm đối xứng.

b. Tính chất
 ĐO có một điểm bất động duy nhất là điểm O.
 ĐO là phép biến đổi 1-1 và có phép biến đổi ngược chính là ĐO.
 Nếu ,

lần lượt là ảnh của A, B trong phép biến đổi ĐO thì ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗

 Nếu A, B, C, D là bốn điểm cùng nằm trong một mặt phẳng và
là các ảnh tương ứng của các điểm đó trong phép biến đổi
ĐO, thì bốn điểm

cũng nằm trong một mặt phẳng.

Hệ quả: Phép biến đổi ĐO biến:

5


(i) Mặt phẳng (P) thành mặt phẳng ( ) và ( ) song song hoặc trùng với
(P). Nếu O thuộc (P) thì ĐO là phép đối xứng qua tâm O xác định
trong (P).
(ii) Nửa mặt phẳng (P) thành nửa mặt phẳng ( ) và ( ) song song với
(P) hoặc ( ) và (P) lập thành một mặt phẳng.
 Tích của ba phép đối xứng qua ba tâm phân biệt A, B, C là một phép
đối xứng tâm O với tâm O được xác định bởi ⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗ .

1.5.3.2. Phép đối xứng qua trục
a. Định nghĩa
Cho trước một đường thẳng d. Với mỗi điểm M không thuộc d ta xác
định điểm
thuộc d, thì
hoặc

sao cho d là đường trung trực của đoạn của đoạn M
trùng với M. Khi đó, ta nói

. Nếu M

là điểm đối xứng với M qua d

là ảnh của M qua phép đối xứng đó và được kí hiệu là Đd:

.

Đường thẳng d được gọi là trục đối xứng. Nếu quy tắc đó được xác định cho
mọi điểm M trong không gian, thì ta có một phép đối xứng qua một đường
thẳng d trong không gian, hay nói ngắn gọn là một phép đối xứng - trục.
Tập hợp ảnh của mọi điểm thuộc một hình H qua phép biến đổi Đd lập
thành một hình

được gọi là hình đối xứng với H qua d hoặc ảnh của H

trong phép biến đổi đó. Nếu H và

trùng nhau, thì ta nói H là hình có trục

đối xứng.
b. Tính chất
 Phép biến đổi Đd có một đường thẳng bất động duy nhất là d và Đd có
phép biến đổi ngược. Phép biến đổi ngược của Đd là chính nó.
 Nếu

là ảnh của hai điểm A, B tương ứng qua phép biến đổi Đd, thì

Hệ quả : Phép biến đổi Đd biến:
(i) Ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng.

6

(ii) Đường thẳng d thành đường thẳng
thành đoạn
bằng 

và

; đoạn AB
và xOy

; góc xOy thành góc

.

(iii) Mặt cầu (O, R) thành mặt cầu (


; tia Ox thành tia

).

Phép biến đổi Đd biến bốn điểm cùng nằm trong một mặt phẳng
thành bốn điểm cùng nằm trong một mặt phẳng.

Hệ quả:
(i) Phép đối xứng Đd biến một mặt phẳng (P) thành mặt phẳng ( ) và
(P) trùng với ( ), khi d thuộc (P); (P) song song với ( ), khi d song
song với (P); nửa mặt phẳng thành nửa mặt phẳng; miền đa giác lồi
thành miền đa giác lồi; hình tròn (I, r) thành hình tròn

).

(ii) Phép đối xứng Đd biến góc nhị diện thành một góc nhị diện và số đo
các góc phẳng của hai nhị diện đó bằng nhau.
(iii) Phép đối xứng Đd biến hình nón N thành hình nón

và hai hình nón

đó có độ dài đường sinh bằng nhau, bán kính đáy bằng nhau; hình
trụ T thành hình trụ

có độ dài đường sinh bằng nhau, bán kính đáy

bằng nhau.
1.5.3.3. Phép đối xứng qua một mặt phẳng
a. Định nghĩa
Cho trước một mặt phẳng (P). Với mỗi điểm M không thuộc (P) ta xác
định điểm

sao cho (P) là mặt phẳng trung trực của đoạn M

thuộc (P) thì
(P) hay

chính là M. Khi đó ta nói

. Nếu M

là điểm đối xứng của M trong

là ảnh của M qua phép đối xứng qua mặt phẳng (P) và được kí

hiệu Đ(P): M

. Mặt phẳng (P) được gọi là mặt phẳng đối xứng.

Nếu quy tắc đó xác định cho mọi điểm trong không gian, thì ta có một
phép đối xứng qua mặt phẳng, hay nói ngắn gọn là phép đối xứng - mặt.

7


Cho một hình F. Tập hợp ảnh của mọi điểm thuộc F qua phép biến đổi Đ(P)
lập thành một hình
hình F. Nếu F và

được gọi là hình đối xứng của F qua (P) hay

là ảnh của

trùng nhau, thì ta nói F là hình có mặt phẳng đối xứng.

b.Tính chất
 Phép biến đổi Đ(P) có một mặt phẳng bất động duy nhất là (P).
 Phép biến đổi Đ(P) là phép biến đổi 1-1 và có phép biến đổi ngược.
Phép biến đổi ngược chính là Đ(P).
 Nếu

lần lượt là ảnh của hai điểm A, B qua phép biến đổi Đ(P) thì
.

Hệ quả: Phép biến đổi Đ(P) biến :
(i) Ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và bảo tồn thứ tự của ba
điểm đó.
(ii) Đường thẳng d không thuộc (P) thành đường thẳng
với nhau hoặc cắt nhau trên (P). Tia Ox thành

hoặc song song
. Góc xOy thành

và hai góc bằng nhau.
(iii) Mặt cầu (I, r) thành mặt cầu

.

 Phép biến đổi Đ(P) biến bốn điểm đồng phẳng thành bốn điểm cũng
đồng phẳng.
Hệ quả: Phép biến đổi Đ(P) biến:
 Mặt phẳng (Q) khác (P) thành mặt phẳng (

và hai mặt phẳng đó hoặc

song song hoặc cắt nhau theo một giao tuyến trên (P); nửa mặt phẳng
thành nửa mặt phẳng; miền đa giác phẳng thành miền đa giác phẳng; nhị
diện thành một nhị diện và số đo các góc phẳng của chúng bằng nhau.
 Hình tròn (w, R) thành hình tròn (

.

 Hình nón tròn xoay (N) thành hình nón tròn xoay (

xoay (T) thành hình trụ tròn xoay (
bằng nhau và đường sinh bằng nhau.

8

. Hình trụ tròn

; các cặp hình đó có bán kính đáy


1.5.3.4. Phép tịnh tiến trong không gian
a. Định nghĩa
Cho véctơ ⃗ . Với mọi điểm M bất kì trong không gian ta xác định điểm
sao cho ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗ , khi đó ta nói

là ảnh của M trong phép tịnh tiến theo

⃗ , ⃗ được gọi là véctơ tịnh tiến. Ta kí hiệu phép tịnh tiến theo ⃗ là

⃗

. Nếu

phép biến đổi đó được thực hiện cho mọi điểm trong không gian, thì ta nói,

⃗

là phép tịnh tiến trong không gian. Cho một hình H trong không gian. Tập ảnh

của mọi điểm thuộc H trong phép tịnh tiến

⃗

lập thành một hình

được gọi

là ảnh của hình H trong phép tịnh tiến đó.
b. Tính chất
 Phép tịnh tiến

với ⃗

⃗

⃗ không có điểm bất động và

⃗

là phép

biến đổi ngược của nó.
 Nếu ⃗
 Nếu
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗ , thì phép tịnh tiến

⃗

là phép đồng nhất.

lần lượt là ảnh của hai điểm A, B trong phép biến đổi

⃗

, thì

⃗⃗⃗⃗⃗ .

Hệ quả: Phép tịnh tiến

⃗

biến:

 Ba điểm A, B, C thẳng hàng thành ba điểm
 Đường thẳng d thành đường thẳng
Ox thành tia

và

thẳng hàng.
hoặc d trùng với

và hai tia cùng chiều; đoạn AB thành đoạn

; tia
và

; Một đa giác phẳng thành một đa giác phẳng có các góc và
các cạnh tương ứng bằng nhau.
 Mặt cầu (O, R) thành mặt cầu (
 Phép biến đổi

⃗

.

biến bốn điểm đồng phẳng thành bốn điểm đồng

phẳng.
Hệ quả: Phép tịnh tiến

⃗

biến:

 Mặt phẳng (P) thành mặt phẳng (
(P); nửa mặt phẳng thành nửa (

và (

song song hoặc trùng với

; mặt phẳng; góc nhị diện thành góc

nhị diện và số đo hai góc phẳng nhị diện bằng nhau.

9


 Miền đa giác thành miền đa giác.
 Hình tròn (I, r) thành hình tròn (
 Hình trụ tròn xoay (T) thành hình trụ tròn xoay hình nón tròn xoay (N)
thành hình nón tròn xoay (
 Cho hai phép tịnh tiến

⃗

và

Ta đặt T =

⃗.

phép tịnh tiến và véctơ tịnh tiến là ⃗⃗⃗

⃗

⃗ o

⃗

, khi đó T là một

⃗.

 Cho hai phép biến đổi ĐA và ĐB với A khác B. Ta đặt Đ = ĐA o ĐB, khi

đó Đ là một phép tịnh tiến
 Cho phép tịnh tiến
Đ1 =

⃗ o ĐO

⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗ và phép đối xứng qua tâm ĐO. Ta đặt

(⃗

và Đ2 = ĐO o

⃗

. Khi đó Đ1 và Đ2 là các phép đối xứng qua

tâm.
1.5.3.4. Phép đối xứng trƣợt trong không gian
a. Định nghĩa
Cho mặt phẳng (P) và véctơ ⃗ khác ⃗ cùng phương với (P). Ta nói phép
biến đổi T1 = Đ(P) o

⃗

hoặc T2 =

⃗ o

Đ(P) là phép đối xứng - trượt qua mặt

phẳng (P).
b. Tính chất
 Phép đối xứng trượt theo một mặt phẳng có duy nhất một mặt phẳng
bất biến là (P).
1.5.3.5. Phép quay quanh một trục
a. Định nghĩa
Cho đường thẳng d và góc  (0

Với mỗi điểm M không

thuộc d ta xác định điểm

sao cho các điều kiện sau đây đồng thời xảy ra:

 Các điểm M và

cùng nằm trong một mặt phẳng (P) vuông góc với d

tại O.
 Phép quay tâm O với góc quay

trong (P) biến M thành

10

.

Nếu M thuộc d, thì

trùng với M khi đó ta nói

là ảnh của M qua

phép quay quanh trục d. Đường thẳng d được gọi là trục quay,
Ta kí hiệu phép quay đó là
Nếu ta lấy điểm A



là góc quay.

:

d (khác O) và nhìn mặt phẳng (P) từ A, thì ta có thể

định hướng mặt phẳng (P) và điểm

được xác định một cách duy nhất.

Trong trường hợp đó phép quay được kí hiệu là Q(d, A, ), điểm A là yếu tố
định hướng mặt phẳng (P).
b.Tính chất
 Trục quay d là đường thẳng bất động của phép quay.
 Nếu

là ảnh của hai điểm M, N trong phép biến đổi Q(d,

,

thì
1.6. Phép đồng dạng trong không gian
1.6.1. Phép vị tự trong không gian
a. Định nghĩa
Cho điểm O cố định và một số k
M thành điểm
hiệu

sao cho ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

. Phép biến hình V biến mỗi điểm

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ gọi là phép vị tự tâm O tỉ số k, kí

.

b. Tính chất
 Phép vị tự tỉ số k là phép đồng dạng tỉ sốk nên có đầy đủ tính chất
của phép đồng dạng.
 Phép vị tự
 Nếu k = -1 thì
 Nếu k = 1 thì

với k

có một điểm bất động duy nhất là O.

là phép đối xứng tâm.
là phép đồng nhất.

1.6.2. Phép đồng dạng trong không gian
a. Định nghĩa
Phép biến hình F trong không gian gọi là phép đồng dạng nếu với bất kì hai
điểm M, N và ảnh của chúng

,

11

ta đều có

,


trong đó k là một số dương cho trước, được gọi là tỉ số của phép đồng dạng F.
Từ định nghĩa đó ta suy ra: các phép dời hình đều là phép đồng dạng với tỉ số
k =1. Người ta thường kí hiệu phép đồng dạng là Z.
b. Tính chất
Phép đồng dạng biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và
không làm thay đổi thứ tự của ba điểm đó.
Phép đồng dạng biến đường thẳng thành đường thẳng, biến tia thành tia,
biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng có độ dài nhân lên k lần, với k là tỉ số của
phép đồng dạng, biến một góc (hợp bởi hai tia) thành một góc có cùng số đo.
Phép đồng dạng biến mặt phẳng thành mặt phẳng, biến nửa mặt phẳng
thành nửa mặt phẳng, biến một góc nhị diện thành một góc nhị diện có cùng
số đo.

1.7. Bài toán quỹ tích
Bài toán quỹ tích là bài toán tìm tập hợp những điểm (hay còn gọi là
hình) có tính chất α cho trước với những điều kiện nhất định.
Việc khẳng định quỹ tích những điểm có tính chất α là hình (H) nào đó,
ta phải thực hiện hai bước:
 Bước 1(Phần thuận): Chứng minh điểm M có tính chất α thuộc
hình (H).
 Bước 2(phần đảo): Chứng minh mỗi điểm thuộc hình (H) đều có
tính chất α.

12


Chƣơng 2
ỨNG DỤNG CỦA PHÉP BIẾN HÌNH TRONG KHÔNG GIAN ĐỂ
GIẢI BÀI TOÁN TÌM TẬP HỢP ĐIỂM (BÀI TOÁN TÌM QUỸ TÍCH)
2.1. Giải bài toán quỹ tích nhờ phép biến hình trong không gian
Giả sử f: En

En là một phép biến hình trong không gian

Lúc đó, do tính chất 1-1 của phép biến hình ta suy ra được: quỹ tích của
điểm M là hình (H) thì ta có quỹ tích của điểm
Ngược lại, nếu quỹ tích của các điểm

là hình f(H).
là hình

thì quỹ tích những

điểm M là hình (H' )  f 1 (H)
Do đó, nếu sử dụng phép biến hình vào giải bài toán quỹ tích thì cùng lúc
cả hai phần thuận và đảo đều được giải quyết.
Như vậy, để giải các bài toán quỹ tích nhờ phép biến hình, ta có thể chọn
một phép biến hình thích hợp f biến điểm M thành điểm
những điểm

sao cho quỹ tích

tìm được dễ dàng hơn để rồi từ đó suy ra quỹ tích điểm M.

Nguyên tắc chung áp dụng phép biến hình vào giải bài toán tìm tập hợp điểm
M thoả mãn tính chất α nào đó: Nếu ta chứng minh được mỗi điểm

là ảnh

của điểm M qua phép biến hình f xác định và nếu tập hợp các điểm M là hình
(H) thì tập hợp các điểm

là hình (H' )  f 1 (H) .

2.2. Phép đối xứng qua tâm với bài toán quỹ tích
2.2.1. Phƣơng pháp chung
Ta thực hiện theo các bước:
 Bước 1: Tìm một phép đối xứng tâm ĐO biến mỗi điểm M di động
thành điểm
 Bước 2: Tìm tập hợp (H) các điểm M.
 Bước 3: Kết luận tập hợp các điểm
xứng qua tâm ĐO.

13

là ảnh của (H) trong phép đối


2.2.2. Ví dụ
a. Ví dụ 1
Cho trước một mặt cầu (O), một mặt phẳng (P) và điểm A không thuộc
(P) và không nằm trên mặt cầu. Tìm tập hợp điểm M thuộc mặt cầu sao cho
tồn tại trong (P) điểm

đối xứng với M qua A.

Giải:
Gọi

là ảnh của (P) qua phép đối xứng tâm A, thì M là ảnh của

qua phép biến đổi ĐA. Mà A thuộc mặt cầu nên A thuộc giao của mặt cầu và
mặt phẳng

. Khi đó ta có các khả năng sau xảy ra:

 Nếu mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng

thì tập hợp các điểm M chỉ là

một điểm chính là tiếp điểm của mặt cầu và mặt phẳng
 Nếu mặt phẳng

.

cắt mặt cầu theo một đường tròn (I, R) thì tập hợp

các điểm M chính là (I, R).
 Nếu mặt phẳng

không cắt mặt cầu thì tập hợp các điểm M là tập

rỗng.
b. Ví dụ 2
Cho mặt phẳng (P) và bốn điểm A, B, C, D. Với mỗi điểm M thuộc (P) ta
xác định điểm N theo công thức ⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . Tìm tập hợp

điểm N, khi M biến thiên trong (P).
Giải:
Gọi G là trọng tâm của bốn điểm A, B, C, D. Ta có
⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗

Mà theo bài ra ta có: ⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗

Vậy ta có: ⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗

(⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗ )

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗

 N đối xứng với M qua G
Do M biến thiên trong (P) nên tập hợp các điểm N là mặt phẳng đối xứng với
(P) qua G.

14


c. Ví dụ 3
Cho mặt cầu (O) và bốn điểm A, B, C, D. Với mỗi điểm M thuộc mặt cầu ta
⃗⃗⃗⃗⃗⃗

xác định điểm N theo hệ thức ⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ Tìm tập

hợp điểm N, khi M biến thiên trên mặt cầu.
Giải
Gọi G là điểm sao cho:⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗

Ta có: ⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗  G cố định

⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗

(⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗ )

(⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗ )

(⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗ )

⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =14⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗

 N đối xứng với M qua G. Mà M biến thiên trên mặt cầu (O).
 Tập hợp các điểm N là mặt cầu đối xứng với (O) qua G.
d.Ví dụ 4: Cho nhị diện (P, Q) và điểm O cố định nằm trong nhị diện. Tìm
tập hợp điểm M trong (P) sao cho tồn tại trong (Q) điểm
điểm của đoạn

mà O là trung

.

Giải
là ảnh của (Q) qua phép biến đổi ĐO, khi đó M là ảnh của

Gọi

qua phép biến đổi ĐO. Mặt khác M lại thuộc (P) nên M thuộc giao tuyến của
và mặt phẳng (P). Khi đó có các khả năng sau xảy ra:

mặt phẳng

 Nếu (P) không cắt
 Nếu (P) cắt

thì tập hợp các điểm M là tập rỗng.

thì tập hợp các điểm M là giao tuyến d của (P) và

.

15


2.2.3: Bài tập đề nghị
Bài 2.2.3.1: Cho mặt phẳng (P) và tam giác ABC. Với mỗi điểm M thuộc (P)
ta dựng điểm M1 đối xứng với M qua A; M2 đối xứng với M1 qua B và M3 đối
xứng với M2 qua C. Tìm tập hợp điểm M3, khi M biến thiên trong (P).
Bài 2.2.3.2: Cho hai mặt phẳng (P), (Q) và điểm O không nằm trên cả hai mặt

phẳng đó. Tìm điểm M thuộc (P) và N thuộc (Q) sao cho O là trung điểm của
đoạn MN.
Bài 2.2.3.3: Cho điểm I(a, b, c) và đường thẳng (d) có phương trình tham số:
(t là tham số)

{

M là điểm bất kì thuộc (d). Tìm quỹ tích điểm

đối xứng với M qua I.

Bài 2.2.3.4: Cho mặt cầu (O) và ba điểm A, B, C phân biệt. Với mỗi điểm P
thuộc mặt cầu ta xác định P1 là ảnh của P trong phép đối xứng ĐA, P2 là ảnh
của P1 qua phép đối xứng ĐB, P3 là ảnh của P2 qua phép đối xứng ĐC. Tìm tập
hợp P3 khi P biến thiên trên mặt cầu (O).
Bài 2.2.3.5: Hai mặt phẳng (P), (Q) cắt nhau theo đường thẳng d. Một điểm A
trên (P) và một điểm B trên (Q) sao cho A, B đều không thuộc d. Điểm M di
động trên mặt phẳng (AMB), dựng hình bình hành AMBN. Tìm tập hợp điểm N.
2.3. Phép đối xứng qua trục với bài toán quỹ tích
2.3.1. Phƣơng pháp chung
Ta thực hiện theo các bước:
 Bước 1: Tìm một phép đối xứng trục Đd, biến điểm E di động thành
điểm M.
 Bước 2: Tìm tập hợp (H) các điểm E.
 Bước 3: Kết luận tập hợp các điểm M là ảnh của (H) trong phép đối
xứng trục Đd.

16

2.3.2. Ví dụ
a.Ví dụ 1
Cho đường tròn (O) và một đường thẳng (d) không nằm trong mặt phẳng
chứa (O). Với mỗi điểm A

(O) ta dựng điểm B sao cho d là đường trung

trực của AB. Tìm tập hợp điểm B khi A thay đổi trên (O). Khi A = d  (O)
thì lấy B

A.

Giải
d
A
O
B

Phần thuận:
Theo giả thiết ta có điểm B là ảnh của điểm A qua phép đối xứng trục
d. Mà A nằm trên (O) nên B nằm trên đường tròn ( ) là ảnh của (O) qua
phép đối xứng trục d.
Phần đảo:
Lấy B bất kì thuộc đường tròn ( ). Vì B =
A=

nên ta cũng có

hay A là ảnh của B qua phép đối xứng trục d. Mà B

( ) nên A

sẽ thuộc vào đường tròn là ảnh của ( ) qua phép đối xứng trục d. Đó chính là
đường tròn (O).
Vậy tập hợp điểm B chính là đường tròn ( ) đối xứng với (O) qua
phép đối xứng trục d.

17


b.Ví dụ 2
Cho hình hộp chữ nhật

. Gọi M, N lần lượt là hai điểm

chuyển động trên hai đoạn thẳng AC và

. Tìm tập hợp

sao cho

trung điểm của đoạn MN.
Giải
Phần thuận:
Gọi H, K lần lượt là giao điểm của hai đường chéo của các mặt

và

của hình hộp.
Xét phép đối xứng trục

:A
C
Gọi

. Vì M nằm giữa A và C nên

Lại có

, suy ra



hay

nằm giữa

và

.

.

D

C
M
B

A

I

K

H

N
Vậy khi M và N chuyển động trên AC và
chuyển động trên trục HK.
Giới hạn quỹ tích:
Khi

thì

và

.

Khi

thì

và

.

18

thì trung điểm I của đoạn MN

Phần đảo:
Lấy điểm I bất kì thuộc đoạn HK, M là một điểm thuộc AC.
. Xét phép đối xứng trục

Gọi
:M

ta có:

N

A
C
Do M nằm giữa A và C nên N nằm giữa

và

và ta có

.

Vậy quỹ tích trung điểm đoạn MN chính là HK.
c. Ví dụ 3
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành ABCD và các cạnh bên
SA = SC, SB = SD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm các cạnh SA và SC. Trên các
đoạn BM và DN ta lấy các điểm tương ứng K, H sao cho

. Tìm tập hợp

trung điểm của đoạn KH.
Giải
Phần thuận:
Gọi O = AC  BD. Hình chóp SABCD có đáy là hình bình hành và các cạnh
bên SA = SC, SB = SD  SO là trục đối xứng của hình chóp.
Xét phép đối xứng trục
:B
M

ta có:

D

S

N

Suy ra BM = DN

M
N
H

A
I
K

O
C

B

19

D