gt12 c1a

Khảo sát hàm số

CHƯƠNG II
CHƯƠNG
ỨNG DỤNG
DỤNG ĐẠO
ĐẠO HÀM
HÀM ĐỂ
ĐỂ
ỨNG
KHẢO SÁT
SÁT
KHẢO
VÀ VẼ
VẼ ĐỒ
ĐỒ THỊ
THỊ CỦA
CỦA HÀM
HÀM
VÀ
SỐ
SỐ

I. TÍNH
TÍNH ĐƠN
ĐƠN ĐIỆU
ĐIỆU CỦA
CỦA HÀM
HÀM SỐ
SỐ
I.

1. Đinh nghóa:
Hàm số f đồng biến trên K  (x1, x2  K, x1 < x2  f(x1) < f(x2)
Hàm số f nghòch biến trên K  (x1, x2  K, x1 < x2  f(x1) > f(x2)
2. Điều kiện cần:
Giả sử f có đạo hàm trên khoảng I.
a) Nếu f đồng biến trên khoảng I thì f(x)  0, x  I
b) Nếu f nghòch biến trên khoảng I thì f(x)  0, x  I
3. Điều kiện đủ:
Giả sử f có đạo hàm trên khoảng I.
a) Nếu f (x)  0, x  I (f(x) = 0 tại một số hữu hạn điểm) thì f
đồng biến trên I.
b) Nếu f (x)  0, x  I (f(x) = 0 tại một số hữu hạn điểm) thì f
nghòch biến trên I.
c) Nếu f(x) = 0, x  I thì f không đổi trên I.
Chú ý: Nếu khoảng I được thay bởi đoạn hoặc nửa khoảng thì
f phải liên tục trên đó.
VẤN ĐỀ 1: Xét chiều biến thiên của hàm số
Để xét chiều biến thiên của hàm số y = f(x), ta thực hiện
các bước như sau:
– Tìm tập xác đònh của hàm số.
– Tính y. Tìm các điểm mà tại đó y = 0 hoặc y không tồn tại
(gọi là các điểm tới hạn)
– Lập bảng xét dấu y  (bảng biến thiên). Từ đó kết luận
các khoảng đồng biến, nghòch biến của hàm số.
Bài 1.

Xét chiều biến thiên của các hàm số sau:
x2
5
 x

4
4

a) y   2x2  4x  5

b) y 

d) y  x3  2x2  x  2

e) y  (4  x)(x  1)2

f) y  x3  3x2  4x  1

h) y   x4  2x2  3

i) y 

g) y 

1 4
x  2x2  1
4

Trang 1

c) y  x2  4x  3

1 4 1 2
x  x 2
10

10


Khảo sát hàm số
k) y 
n) y 
Bài 2.

2x  1
x 5

l) y 

m) y  1

1
1 x

1
2x2  x  26
4x2  15x  9
o) y   x  3
p) y 
1 x
x 2
3x
Xét chiều biến thiên của các hàm số sau:

a) y  6x4  8x3  3x2  1
d) y 

x1
2 x

2x  1
2

x

g) y  2x  1  3 x
�
�
 x �
�2
2�

k) y  sin2x �

b) y 
e) y 

x2  1

c) y 

x2  4
x
2

x  3x  2

h) y  x 2  x2

x2  x  1
x2  x  1

f) y  x  3 2 2 x
i) y  2x  x2

�
�
  x �
l) y  sin2x  x �
�2
2�

VẤN ĐỀ 2: Tìm điều kiện để hàm số luôn đồng biến
hoặc nghòch biến
trên tập xác đònh (hoặc trên từng khoảng xác đònh)
Cho hàm số y  f (x, m) , m là tham số, có tập xác đònh D.

 Hàm số f đồng biến trên D  y  0, x  D.
 Hàm số f nghòch biến trên D  y  0, x  D.
Từ đó suy ra điều kiện của m.
Chú ý:
1) y = 0 chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm.
2) Nếu y'  ax2  bx  c thì:
�
�
a b 0

�
�
c �0
�
 y' �0,x�R � �
�
a 0
�
�
�
 �0
�
�

�
�
a b 0
�
�
c �0
�
 y' �0,x�R � �
�
a 0
�
�
�
 �0
�
�

3) Đònh lí về dấu của tam thức bậc hai g(x)  ax2  bx  c :

 Nếu  < 0 thì g(x) luôn cùng dấu với a.
b
)
2a
 Nếu  > 0 thì g(x) có hai nghiệm x 1, x2 và trong khoảng hai
nghiệm thì g(x) khác dấu với a, ngoài khoảng hai nghiệm thì
g(x) cùng dấu với a.

 Nếu  = 0 thì g(x) luôn cùng dấu với a (trừ x = 

4) So sánh các nghiệm x1, x2 của tam thức bậc hai g(x)  ax2  bx  c
với số 0:
�
0
�
 x1  x2  0 � �P  0
�
S 0
�

�
0
�
 0  x1  x2 � �P  0
�
S 0
�

 x1  0  x2 � P  0

5) Để hàm số y  ax3  bx2  cx  d có độ dài khoảng đồng biến
Trang 2


Khảo sát hàm số
(nghòch biến) (x1; x2) bằng d thì ta thực hiện các bước sau:
 Tính y.

 Tìm điều kiện để hàm số có khoảng đồng biến và nghòch
biến:
�a �0
�  0
�

(1)

 Biến đổi x1  x2  d thành (x1  x2)2  4x1x2  d2

(2)

 Sử dụng đònh lí Viet đưa (2) thành phương trình theo m.
 Giải phương trình, so với điều kiện (1) để chọn nghiệm.
Chứng minh rằng các hàm số sau luôn đồng biến
trên từng khoảng xác đònh (hoặc tập xác đònh) của nó:

Bài 1.

2x  1
x3
c) y 
 3x2  9x  1
x 2
3
Bài 2.
Chứng minh rằng các hàm số sau luôn nghòch biến
trên từng khoảng xác đònh (hoặc tập xác đònh) của nó:
a) y  5x  cot(x  1)
b) y  cos x  x
c) y  sin x  cos x  2 2x
a) y  x3  5x  13

b) y 

Tìm m để các hàm số sau luôn đồng biến trên tập
xác đònh (hoặc từng khoảng xác đònh) của nó:

Bài 3.

a) y  x3  3mx2  (m 2)x  m
c) y 
Bài 4.

b) y 

x3 mx2

 2x  1

3
2

x m
mx  4
d) y 
x m
x m
Tìm m để hàm số:

a) y  x3  3x2  mx  m nghòch biến trên một khoảng có độ dài
bằng 1.
1 3 1 2
x  mx  2mx  3m 1 nghòch biến trên một khoảng có độ
3
2
dài bằng 3.
b) y 

1
c) y   x3  (m 1)x2  (m 3)x  4 đồng biến trên một khoảng có
3
độ dài bằng 4.
Bài 5.
Tìm m để hàm số:
a) y 

x3
 (m 1)x2  (m 1)x  1 đồng biến trên khoảng (1; +).
3

b) y  x3  3(2m 1)x2  (12m 5)x  2 đồng biến trên khoảng (2; +).
c) y 

mx  4
(m��2) đồng biến trên khoảng (1; +).
x m

d) y 

x m
đồng biến trong khoảng (–1; +).
x m
Trang 3


Khảo sát hàm số

II. CỰC
CỰC TRỊ
TRỊ CỦA
CỦA HÀM
HÀM SỐ
SỐ
II.
I. Khái niệm cực trò của hàm số
Giả sử hàm số f xác đònh trên tập D (D  R) và x0  D.
a) x0 – điểm cực đại của f nếu tồn tại khoảng (a; b)  D và x0 
(a; b) sao cho
f(x) < f(x0), với x  (a; b) \ {x0}.

Khi đó f(x0) đgl giá trò cực đại (cực đại) của f.
b) x0 – điểm cực tiểu của f nếu tồn tại khoảng (a; b)  D và x0 
(a; b) sao cho
f(x) > f(x0), với x  (a; b) \ {x0}.
Khi đó f(x0) đgl giá trò cực tiểu (cực tiểu) của f.
c) Nếu x0 là điểm cực trò của f thì điểm (x 0; f(x0)) đgl điểm cực
trò của đồ thò hàm số f.
II. Điều kiện cần để hàm số có cực trò
Nếu hàm số f có đạo hàm tại x 0 và đạt cực trò tại điểm đó
thì f (x0) = 0.
Chú ý: Hàm số f chỉ có thể đạt cực trò tại những điểm mà
tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không có đạo hàm.
III. Điểu kiện đủ để hàm số có cực trò
1. Đònh lí 1: Giả sử hàm số f liên tục trên khoảng (a; b) chứa
điểm x0 và có đạo hàm trên (a; b)\{x0}
a) Nếu f (x) đổi dấu từ âm sang dương khi x đi qua x0 thì f đạt
cực tiểu tại x0.
b) Nếu f (x) đổi dấu từ dương sang âm khi x đi qua x0 thì f đạt
cực đại tại x0.
2. Đònh lí 2: Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng (a; b)
chứa điểm x0, f (x0) = 0 và có đạo hàm cấp hai khác 0 tại
điểm x0.
a) Nếu f (x0) < 0 thì f đạt cực đại tại x0.
b) Nếu f (x0) > 0 thì f đạt cực tiểu tại x0.

VẤN ĐỀ 1: Tìm cực trò của hàm số
Qui tắc 1: Dùng đònh lí 1.

 Tìm f (x).
Trang 4

Khảo sát hàm số

 Tìm các điểm xi (i = 1, 2, …) mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc
không có đạo hàm.
 Xét dấu f (x). Nếu f (x) đổi dấu khi x đi qua xi thì hàm số đạt
cực trò tại xi.
Qui tắc 2: Dùng đònh lí 2.
 Tính f (x).
 Giải phương trình f (x) = 0 tìm các nghiệm xi (i = 1, 2, …).
 Tính f (x) và f (xi) (i = 1, 2, …).
Nếu f (xi) < 0 thì hàm số đạt cực đại tại xi.
Nếu f (xi) > 0 thì hàm số đạt cực tiểu tại xi.
Bài 1.

Tìm cực trò của các hàm số sau:

a) y  3x2  2x3

b) y  x3  2x2  2x  1

x4
e) y  x4  4x2  5
 x2  3
2
 x2  3x  6
3x2  4x  5
g) y 
h) y 

x 2
x1
Bài 2.
Tìm cực trò của các hàm số sau:
d) y 

4x2  2x  1

a) y  (x  2)3(x  1)4

b) y 

d) y  x x2  4

e) y  x2  2x  5

Bài 3.

2x2  x  3

1
c) y   x3  4x2  15x
3
x4
3
f) y  
 x2 
2
2
2

x  2x  15
i) y 
x 3
c) y 

3x2  4x  4
x2  x  1

f) y  x  2x  x2

Tìm cực trò của các hàm số sau:
3 2

x
2x  1

a) y  3 x2  1

b) y 

d) y  x2  5x  5 2ln x

e) y  x  4sin2 x

c) y  ex  4e x
f) y  x  ln(1 x2)

VẤN ĐỀ 2: Tìm điều kiện để hàm số có cực trò
1. Nếu hàm số y = f(x) đạt cực trò tại điểm x0 thì f (x0) = 0 hoặc
tại x0 không có đạo hàm.

2. Để hàm số y = f(x) đạt cực trò tại điểm x 0 thì f (x) đổi dấu khi x
đi qua x0.
Chú ý:
 Hàm số bậc ba y  ax3  bx2  cx  d có cực trò  Phương trình y =
0 có hai nghiệm phân biệt.
Khi đó nếu x0 là điểm cực trò thì ta có thể tính giá trò cực trò
y(x0) bằng hai cách:
+ y(x0)  ax03  bx02  cx0  d
+ y(x0)  Ax0  B , trong đó Ax + B là phần dư trong phép chia y
cho y.
Trang 5


Khảo sát hàm số
P (x)
ax2  bx  c
=
(aa 0) có cực trò  Phương trình y
Q(x)
a' x  b'
b'
= 0 có hai nghiệm phân biệt khác  .
a'
Khi đó nếu x0 là điểm cực trò thì ta có thể tính giá trò cực trò
y(x0) bằng hai cách:
P (x0)
P '(x0)
y(x0) 
y(x0) 
hoặc

Q(x0)
Q '(x0)

 Hàm số y 

 Khi sử dụng điều kiện cần để xét hàm số có cực trò cần
phải kiểm tra lại để loại bỏ nghiệm ngoại lai.
 Khi giải các bài tập loại này thường ta còn sử dụng các
kiến thức khác nữa, nhất là đònh lí Vi–et.

Bài 1.

Chứng minh rằng các hàm số sau luôn có cực đại, cực

tiểu:
a) y  x3  3mx2  3(m2  1)x  m3
Bài 2.

b) y  2x3  3(2m 1)x2  6m(m 1)x  1

Tìm m để hàm số:

a) y  (m 2)x3  3x2  mx  5 có cực đại, cực tiểu.
b) y  x3  3(m 1)x2  (2m2  3m 2)x  m(m 1) có cực đại, cực tiểu.
c) y  x3  3mx2  (m2  1)x  2 đạt cực đại tại x = 2.
1
d) y  mx4  2(m 2)x2  m 5 có một cực đại x  .
2
Bài 3.
Tìm m để các hàm số sau không có cực trò:

a) y  x3  3x2  3mx  3m 4
Bài 4.

b) y  mx3  3mx2  (m 1)x  1

Tìm a, b, c, d để hàm số:

a) y  ax3  bx2  cx  d đạt cực tiểu bằng 0 tại x = 0 và đạt cực đại
4
1
tại x =
27
3
4
2
b) y  ax  bx  c có đồ thò đi qua gốc toạ độ O và đạt cực trò
bằng

bằng –9 tại x =
Bài 5.

3.
Tìm m để hàm số :

a) y  x3  2(m 1)x2  (m2  4m 1)x  2(m2  1) đạt cực trò tại hai điểm
x1, x2 sao cho:

1 1 1

 (x  x ) .

x1 x2 2 1 2

1 3
x  mx2  mx  1 đạt cực trò tại hai điểm x 1, x2 sao cho:
3
x1  x2 �8 .

b) y 

1
1
c) y  mx3  (m 1)x2  3(m 2)x  đạt cực trò tại hai điểm x 1, x2 sao
3
3
cho: x1  2x2  1.
Trang 6


Khảo sát hàm số
Bài 6.

Tìm m để đồ thò hàm số :

900m2
.
729
b) y  x4  mx2  4x  m có 3 điểm cực trò là A, B, C và tam giác ABC
nhận gốc toạ độ O làm trọng tâm.
Bài 7.
Tìm m để đồ thò hàm số :

a) y   x3  mx2  4 có hai điểm cực trò là A, B và AB2 

a) y  2x3  mx2  12x  13 có hai điểm cực trò cách đều trục tung.
b) y  x3  3mx2  4m3 có các điểm cực đại, cực tiểu đối xứng
nhau qua đường phân giác thứ nhất.
c) y  x3  3mx2  4m3 có các điểm cực đại, cực tiểu ở về một
phía đối với đường thẳng (d): 3x  2y  8  0 .

VẤN ĐỀ 3: Đường thẳng đi qua hai điểm cực trò
1) Hàm số bậc ba y  f (x)  ax3  bx2  cx  d .
 Chia f(x) cho f (x) ta được:
f(x) = Q(x).f (x) + Ax + B.
 Khi đó, giả sử (x1; y1), (x2; y2) là các điểm cực trò thì:
�y1  f (x1)  Ax1  B
�y  f (x )  Ax  B
�2
2
2

 Các điểm (x1; y1), (x2; y2) nằm trên đường thẳng y = Ax + B.
P (x) ax2  bx  c
.

Q(x)
dx  e
P '(x0)
 Giả sử (x0; y0) là điểm cực trò thì y0 
.
Q '(x0)

2) Hàm số phân thức y  f (x) 

 Giả sử hàm số có cực đại và cực tiểu thì phương trình
P '(x) 2ax  b

đường thẳng đi qua hai điểm cực trò ấy là: y 
.
Q '(x)
d
Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trò
của đồ thò hàm số :

Bài 1.

a) y  x3  2x2  x  1

b) y  3x2  2x3

c) y  x3  3x2  6x  8

Khi hàm số có cực đại, cực tiểu, viết phương trình
đường thẳng đi qua hai điểm cực trò của đồ thò hàm số:

Bài 2.

a) y  x3  3mx2  3(m2  1)x  m3
b) y  x3  3(m 1)x2  (2m2  3m 2)x  m(m 1)
Bài 3.

Tìm m để hàm số:

a) y  2x3  3(m 1)x2  6(m 2)x  1 có đường thẳng đi qua hai điểm
cực trò song song với đường thẳng y = –4x + 1.
Trang 7


Khảo sát hàm số
b) y  2x3  3(m 1)x2  6m(1 2m)x có các điểm cực đại, cực tiểu của
đồ thò nằm trên đường thẳng y = –4x.
c) y  x3  mx2  7x  3 có đường thẳng đi qua các điểm cực đại,
cực tiểu vuông góc với đường thẳng y = 3x – 7.
d) y  x3  3x2  m2x  m có các điểm cực đại và cực tiểu đối
xứng nhau qua đường thẳng (): y 

1
5
x .
2
2

III. GIÁ
GIÁ TRỊ
TRỊ LỚN
LỚN NHẤT
NHẤT
III.
VÀ GIÁ
GIÁ TRỊ
TRỊ NHỎ
NHỎ NHẤT

NHẤT CỦA
CỦA HÀM
HÀM SỐ
SỐ
VÀ

1. Đònh nghóa:
Giả sử hàm số f xác đònh trên miền D (D  R).
�f (x) �M ,x�D
a) M  max f (x) � �
x0 �D : f (x0)  M
D
�
�f (x) �m,x�D
b) m min f (x) � �
x0 �D : f (x0)  m
D
�
2. Tính chất:
a)
Nếu
hàm
số
f
đồng
max f (x)  f (b), min f (x)  f (a) .
[a;b]

trên

[a;

b]

thì

biến

trên

[a;

b]

thì

[a;b]

b)
Nếu
hàm
số
f
max f (x)  f (a), min f (x)  f (b) .
[a;b]

biến

nghòch

[a;b]

VẤN ĐỀ 1: Tìm GTLN, GTNN của hàm số bằng cách lập
bảng biến thiên
Cách 1: Thường dùng khi tìm GTLN, GTNN của hàm số trên một
khoảng.
 Tính f (x).
 Xét dấu f (x) và lập bảng biến thiên.
 Dựa vào bảng biến thiên để kết luận.
Cách 2: Thường dùng khi tìm GTLN, GTNN của hàm số liên tục
trên một đoạn [a; b].
 Tính f (x).
 Giải phương trình f (x) = 0 tìm được các nghiệm x1, x2, …, xn trên
[a; b] (nếu có).
Trang 8


Khảo sát hàm số

 Tính f(a), f(b), f(x1), f(x2), …, f(xn).
 So sánh các giá trò vừa tính và kết luận.
M  max f (x)  max f (a), f (b), f (x1), f (x2),..., f ( xn)
[a;b]

m min f (x)  min f (a), f (b), f (x1), f (x2),..., f (xn)
[a;b]

Tìm GTLN, GTNN của các hàm số sau:
a) y  x  4x  3
b) y  4x3  3x4

c) y  x4  2x2  2

Bài 1.

2

d) y  x2  x  2

e) y 

x1

f) y 

x2  2x  2

2x2  4x  5
x2  1
x4  x2  1

1
x2  x  1
h)
i) y 
(x  0)
y
(x  0)
2
x
x  x 1

x3  x
Bài 2.
Tìm GTLN, GTNN của các hàm số sau:
3
a) y  2x  3x2  12x  1 trên [–1; 5]
b) y  3x  x3 trên [–2; 3]
g) y  x2 

c) y  x4  2x2  3 trên [–3; 2]
2]
3x  1
e) y 
trên [0; 2]
x 3
g) y 

d) y  x4  2x2  5

trên [–2;

x1
trên [0; 4]
x 1
1 x  x2
h) y 
trên [0; 1]
2
1 x  x
k) y  2  x  4 x
f) y 

4x2  7x  7
trên [0; 2]
x 2

i) y  100  x2 trên [–6; 8]
Bài 3.
Tìm GTLN, GTNN của các hàm số sau:
1
2sin x  1
a) y 
b) y 
c) y  2sin2 x  cos x  1
2
sin x  2
cos x  cos x  1
d) y  cos2x  2sin x  1

e) y  sin3 x  cos3 x

g) y  4 x2  2x  5  x2  2x  3

f) y 

x2  1
x4  x2  1

h) y   x2  4x  x2  4x  3

IV. ĐIỂM

ĐIỂM UỐN
UỐN CỦA
CỦA ĐỒ
ĐỒ THỊ
THỊ
IV.
1. Đònh nghóa:

Điểm U  x0; f (x0) đgl điểm uốn của đồ thò hàm số y = f(x) nếu
tồn tại một khoảng (a; b) chứa điểm x 0 sao cho trên một trong
hai khoảng (a; x0) và (x0; b) tiếp tuyến của đồ thò tại điểm U
nằm phía trên đồ thò còn trên khoảng kia tiếp tuyến nằm
phía dưới đồ thò
2. Tính chất:
 Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm cấp hai trên một khoảng
chứa điểm x0, f(x0) = 0 và f(x) đổi dấu khi x đi qua x 0 thì
U  x0; f (x0) là một điểm uốn của đồ thò hàm số.
Trang 9


Khảo sát hàm số
 Đồ thò của hàm số bậc ba y  ax3  bx2  cx  d (a  0) luôn có
một điểm uốn và đó là tâm đối xứng của đồ thò.
Tìm điểm uốn của đồ thò các hàm số sau:
a) y  x  6x2  3x  2
b) y  x3  3x2  9x  9
c) y  x4  6x2  3

Bài 1.

3

x4
e) y  x4  12x3  48x2  10 f) y  3x5  5x4  3x  2
 2x2  3
4
Bài 2.
Tìm m, n để đồ thò của hàm số sau có điểm uốn được
chỉ ra:
d) y 

a) y  x3  3x2  3mx  3m 4 ; I(1; 2).

b)

I(1; 3)
c) y  mx3  nx2  1; I(1; 4)
e) y  
Bài 3.

y 

x3
8
 (m 1)x2  (m 3)x  ;
3
3

�2
�

d) y  x3  mx2  nx  2; I � ; 3�
�3
�

x3
f) y  mx3  3mx2  4 ; I(–1; 2)
 3mx2  2 ; I(1; 0)
m
Tìm m để đồ thò của hàm số sau có 3 điểm uốn:

x5 4 4
 x  (4m 3)x3  5x  1
5 3
Bài 4.
Tìm m, n để đồ thò của các hàm số:
4
a) y  x  2x3  6x2  mx  2m 1 có hai điểm uốn thẳng hàng với
điểm A(1; –2).
y

x3 2
2
 x  mx  có điểm uốn ở trên đường thẳng y  x  2 .
3
3
1
c) y   x4  mx2  n có điểm uốn ở trên Ox.
4
b) y  

V. ĐƯỜNG
ĐƯỜNG TIỆM
TIỆM CẬN
CẬN CỦA
CỦA ĐỒ
ĐỒ THỊ
THỊ
V.
Tìm các tiệm cận của đồ thò các hàm số sau:
2x  5
10x  3
2x  3
a) y 
b) y 
c) y 
x1
1 2x
2 x

Bài 1.

VI. KHẢO
KHẢO SÁT
SÁT SỰ
SỰ BIẾN
BIẾN THIÊN
THIÊN
VI.
VÀ VẼ
VẼ ĐỒ

ĐỒ THỊ
THỊ CỦA
CỦA HÀM
HÀM SỐ
SỐ
VÀ
1. Các bước khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò của
hàm số
 Tìm tập xác đònh của hàm số.
 Xét sự biến thiên của hàm số:
+ Tính y.
+ Tìm các điểm tại đó đạo hàm y bằng 0 hoặc không xác
đònh.
+ Tìm các giới hạn tại vô cực, giới hạn vô cực và tìm tiệm
cận (nếu có).
Trang 10


Khảo sát hàm số
+ Lập bảng biến thiên ghi rõ dấu của đạo hàm, chiều
biến thiên, cực trò của hàm số.
 Vẽ đồ thò của hàm số:
+ Tìm điểm uốn của đồ thò (đối với hàm số bậc ba và
hàm số trùng phương).
– Tính y.
– Tìm các điểm tại đó y = 0 và xét dấu y.
+ Vẽ các đường tiệm cận (nếu có) của đồ thò.
+ Xác đònh một số điểm đặc biệt của đồ thò như giao
điểm của đồ thò với các trục toạ độ (trong trường hợp đồ thò
không cắt các trục toạ độ hoặc việc tìm toạ độ giao điểm

phức tạp thì có thể bỏ qua). Có thể tìm thêm một số điểm
thuộc đồ thò để có thể vẽ chính xác hơn.
+ Nhận xét về đồ thò: Chỉ ra trục đối xứng, tâm đối xứng
(nếu có) của đồ thò.
2. Hàm số bậc ba y  ax3  bx2  cx  d (a �0) :
 Tập xác đònh D = R.
 Đồ thò luôn có một điểm uốn và nhận điểm uốn làm tâm
đối xứng.
 Các dạng đồ thò:
a>0
y’ = 0 có 2 nghiệm
phân biệt
 ’ = b2 – 3ac > 0

a<0

y

y

I
0

x

0 I

x

y’ = 0 có nghiệm

kép
 ’ = b2 – 3ac = 0

y’ = 0 vô nghiệm
 ’ = b2 – 3ac < 0

y

y
I

0

I

x

3. Hàm số trùng phương y  ax4  bx2  c (a �0) :
 Tập xác đònh D = R.
 Đồ thò luôn nhận trục tung làm trục đối xứng.
 Các dạng đồ thò:

Trang 11

0

x


Khảo sát hàm số

a > 0a < 0y’ = 0 có 3 nghiệm phân biệt
y
y
 ab < 0

y’ = 00 chỉ có
x
1 nghiệm
y ab > 0

0

0

x

0

x

y

x

ax  b
(c �0, ad  bc �0) :
cx  d
� d�
 Tập xác đònh D = R \ � �.
�c

4. Hàm số nhất biến y 

 Đồ thò có một tiệm cận đứng là x  

d
và một tiệm cận
c

a
. Giao điểm của hai tiệm cận là tâm đối xứng
c
của đồ thò hàm số.
 Các dạng đồ thò:
ngang là y 

y

y

0

0

x

ad – bc >
0

Bài 1.

x

ad – bc <
0

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò của các hàm

số:
a) y  x3  3x2  9x  1

b) y  x3  3x2  3x  5

d) y  (x  1)2(4 x)

e) y 

x3 2 1
x 
3
3

Trang 12

c) y   x3  3x2  2
f) y   x3  3x2  4x  2


Khảo sát hàm số
Bài 2.

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò của các hàm

số:
a) y  x4  2x2  1

b) y  x4  4x2  1

c) y 

x4
5
 3x2 
2
2

d) y  (x  1)2(x  1)2
e) y   x4  2x2  2
f) y  2x4  4x2  8
Bài 3.
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò của các hàm
số:
x 1
2x  1
3 x
a) y 
b) y 
c) y 
x 2
x1

x 4
1 2x
3x  1
x 2
d) y 
e) y 
f) y 
1 2x
x 3
2x  1
Bài 4.
Vẽ đồ thò của các hàm số:
a) y  x 3  3 x  2

b) y   x3  3x2  2

y  x4  2x2  3
d) y 

x 1
x1

Trang 13

c)