gt12 c2a

Trần Só Tùng
logarit

Hàm số luỹ thừa – mũ –

CHƯƠNG II
II
CHƯƠNG
HÀM SỐ
SỐ LUỸ
LUỸ THỪA
THỪA –– HÀM
HÀM SỐ
SỐ MŨ
MŨ
HÀM
HÀM SỐ
SỐ LOGARIT
LOGARIT
–– HÀM

I. LUỸ
LUỸ THỪA
THỪA
I.
1. Đònh nghóa luỹ thừa
Số mũ α

Cơ số a

Luỹ thừa aα

aα = an = a.a......a (n thừa số
a)
aα = a 0 = 1
1
a α = a −n = n
a

a∈R

α = n∈ N*
α =0

a≠0

α = −n ( n ∈ N * )

a≠0

m
(m ∈ Z , n ∈ N * )
n
α = lim rn (rn ∈ Q, n ∈ N * )

α=

m

a>0

a α = a n = n a m (n a = b ⇔ b n = a)

a>0

a α = lim a rn

2. Tính chất của luỹ thừa
• Với mọi a > 0, b > 0 ta có:
α

β

a .a = a

α +β

;

aα
= aα −β
β
a

α

β

; (a ) = a

α .β

α

α

; (ab) = a .b

α

α

aα
a
;   = α
b
b

• a > 1 : aα > aβ ⇔ α > β ;
0 < a < 1 : aα > aβ ⇔ α < β
• Với 0 < a < b ta có:
am < bm ⇔ m> 0 ;
am > bm ⇔ m< 0
Chú ý:
+ Khi xét luỹ thừa với số mũ 0 và số mũ
nguyên âm thì cơ số a phải khác 0.
+ Khi xét luỹ thừa với số mũ không nguyên thì cơ
số a phải dương.
3. Đònh nghóa và tính chất của căn thức
• Căn bậc n của a là số b sao cho bn = a .
• Với a, b ≥ 0, m, n ∈ N*, p, q ∈ Z ta có:
n

n

n

ab = a. b ;

n

a na
=
(b > 0) ;
b nb

n

ap = ( n a ) (a > 0) ;
p

mn

a = mn a

p q
n
m
= thì ap = aq (a > 0) ; Đặc biệt n a = mn am
n m
• Nếu n là số nguyên dương lẻ và a < b thì n a < n b .
Nế

u

Nếu n là số nguyên dương chẵn và 0 < a < b thì n a < n b .
Chú ý:
+ Khi n lẻ, mỗi số thực a chỉ có một căn bậc n. Kí hiệu
n .
a
+ Khi n chẵn, mỗi số thực dương a có đúng hai căn bậc n
là hai số đối nhau.
4. Công thức lãi kép
Trang 51


Hàm số luỹ thừa – mũ –logarit
Trần Só Tùng
Gọi A là số tiền gửi, r là lãi suất mỗi kì, N là số kì.
Số tiền thu được (cả vốn lẫn lãi) là:
C = A(1+ r )N
Thực hiện các phép tính sau::

Bài 1.

3

3

7
a) A = ( −1)  − ÷
 8
c)

b)

d)
3

f)

23.2−1 + 5−3.54 − ( 0,01)

g) G =

D=

( )
3
322

6

−

2
5

1256.( −16) .( −2)
3

( −18) .24.( −50)
E=

4
5
2
( −25) .( −4) .( −27)
7

e)

2

3
2
2
4 + 83

C=

−3) .( −15) .84
(
B=
6
4
92.( −5) .( −6)

2

 2
 7
. − ÷ .( −7) . − ÷
 7

 14 

−2

10−3 :10−2 − ( 0,25) + 10−2
0

.10−2

( 0,01)

−3

F=

2
253 ( −5) 



(

h)

1

3

4

1

1

)(

1

1

H = 43 − 103 + 253 23 + 53

)

4
5
81.5 3.5 9. 12
3


4. 64. 2 ÷
K=
2
i) I =
k)


 3 3  . 185 27. 6

÷

3
32


Bài 2.
Viết các biểu thức sau dưới dạng luỹ thừa với số
mũ hữu tỉ:
5

a)

4

4 23

x

x , ( x ≥ 0)

b)

5

b3 a
, ( a, b ≠ 0)
a b

c)

3 2

d)
e) 4 3 a8
3 2 3
Bài 3.
Đơn giản các biểu thức sau:
a) a

0,5

0,5

− a0,5b0,5

+b
a− b

+

0,5

2b
0,5

a

+ b0,5

1
1
1 

3 1
 1
 x2 − y2
x2 + y2 ÷ x2 y2
2y
+
.
−
c)  1
÷
1
1
1
 2
÷ x+ y x− y
2
2
2
 xy + x y xy − x y 

e)
g)

( a − b ) .( a + a .b + b )
1
3

2
3

a−1 + ( b + c)

2
3

1
3

2
3

4
3

2 2 2

5 2

3 23

a1,5 + b1,5

5 3

f)

b

3

b

b b

 a0,5 + 2
a0,5 − 2  a0,5 + 1
b) 
−
÷
÷.
 a + 2a0,5 + 1 a − 1  a0,5
1
1
1 1
1
 1
2
2
2
2
 x2 + 3y2
÷
x − 3y
x −y
+
÷.
d) 
2
x− y ÷
2

1
 1
  x2 − y2 ÷
÷




f)

( a − b ) .( a + b ) .( a + b )
1
4

1
4

−1

 b2 + c2 − a2 
−2
. 1+
.( a + b + c)
÷
−1 
÷
2bc
a−1 − ( b + c) 


1
1

 1
2
2
 a +2
a − 2 ÷ (a2 + 1)
−

÷.
1
1
a− 1 ÷

÷
2
2
 a + 2a + 1
 a
Bài 4.
Đơn giản các biểu thức sau:
Trang 52

h)

1
4

1

4

1
2

1
2


Trần Só Tùng
logarit
a)

3

a− 3b

6

a− 6b

Hàm số luỹ thừa – mũ –

ab  4 ab − b
b)  ab −
÷:
a− b
a + ab 

a+ x

4



c)  a x + x a − a2 + x + 2a x ÷
 4
÷
 a x + ax

24

d)

3 2

+

3

a − x2

3

ax2 − a2x

3

3 2

3

a − 23 ax + x2 − 6 x
6
a− 6 x

3



x x− x
 a3 a − 2a3 b + 3 a2b2 3 a2b − 3 ab2 


:3a
+
 4 x3 + 1
  f) 
e)   4 x3 − 1
3
3
3
2
3

a − b 
− x ÷
− x÷
  4
a − ab


÷ 4
÷
  x − 1
 x + 1
 
 3 a2b − 3 ab2
−1
a + b  ( 6
−
. a − 6 b) + 6 a
g) 
 3 a2 − 23 ab + 3 b2 3 a2 − 3 b2 
Bài 5.
So sánh các cặp số sau:
a) ( 0,01)
5−2

3

− 2

và5−3

( )
và10

(

2)

−3

6

e) ( 0,001) −0,3 và3 100

và( 2)

−4

h)  4 ÷
 5

−5

5

 5
và ÷
 4

− 2

2
2

a) 3,2m < 3,2n

b)

m

(

2)

m

− 2

> ( 2)

a) ( a − 1)
d)

1
( 1− a) − 3

g) a

3


Bài 8.

< ( a − 1)

b) ( 2a + 1)

−3

m

> ( 2a + 1)

3
( 2 − a) 4

e)

7

h)

−

b)

5  2
 ÷
2  5

> ( 2 − a)

1
17

−

2

1
8

x−2

 1
= ÷
 9

x+1

x

=

Trang 53

8
125

−x

e)  2 ÷ . 8 ÷
 9   27 

10
3

n

−1

f)

(

2 − 1)

m

−0,2

c)  1 ÷
 a

< ( 2 − 1)

< a2
−

f)  1  2 >  1 
 ÷  ÷
 a
 a
i) a−0,25 < a−

a

Giải các phương trình sau:

2x

5

1

1
−
(
)
> 1− a 2

a) 4x = 5 1024
d) ( 3 3)

1
3

− 2

m)  π  2 và π 
 ÷
 ÷
 2
 2

n

−

và( 0,125)

2

c)  1 ÷ >  1 ÷
 9
 9

n





m
n
d)  3 ÷ >  3 ÷
e) ( 5 − 1) < ( 5 − 1)
 2 
 2 
Bài 7.
Có thể kết luận gì về số a nếu:
2
3

f) 4

i) 0,02−10 và5011



 2
k) (
l)  3 ÷
và

÷
)
(
)
3 − 1 và 3 − 1
 5
 2 
Bài 6.
So sánh hai số m, n nếu:
1
4

−

c)

2

d) 5300 và 8200
g)

2

b)  π ÷ và π ÷
 4
 4

− 2

27
=
64

c) 81 − 3x =

1
2

3

1
32

x2 −5x+6

f)  3 ÷
 2

=1

n

Hàm số luỹ thừa – mũ –logarit
Trần Só Tùng
−x

 0,25
1
g)
.322x−8 = 
÷
0,125
 8 

h) 0,2 = 0,008

k) 5x.2x = 0,001

l)

(

12) .( 3) =
x

x

Giải các bất phương trình sau:

Bài 9.

a) 0,1 > 100
d) 7x+2. 49 ≥ 343

e)  1÷
 3

(

1
6

x

b)  1 ÷ > 3 0,04
 5

x

3x−7

i)  9 ÷
 49 

x

x+ 2

1
<9
27

3) .3 >
x

1
1
h) 27x.31− x <
27
3
Bài 10.
Giải các phương trình sau:
x
x+
a) 2 + 2 2 = 20
b) 3x + 3x+1 = 12
d) 4x−1 + 4x + 4x+1 = 84
e) 42x − 24.4x + 128 = 0
g)

g) 3.9x − 2.9− x + 5 = 0

h) 3x2 −5x+6 = 1

Trang 54

m) 71− x.41− x =

c) 0,3x >
x
f) 3 <

7x−3

 7
= ÷
 3
1
28

100
9

1
9 3
x

i)  1 ÷ .3 2 > 1
 64 
c) 5x + 5x−1 = 30
f) 4x+1 + 22x+1 = 48
i) 4x + 2x+1 − 24 = 0


Trần Só Tùng
logarit

Hàm số luỹ thừa – mũ –

II. LOGARIT
LOGARIT

II.
1. Đònh nghóa
• Với a > 0, a ≠ 1, b > 0 ta có: loga b = α ⇔ aα = b
 a > 0, a ≠ 1
Chú ý: loga b có nghóa khi 
b > 0
lgb = logb = log10 b
• Logarit thập phân:
lnb = loge b

• Logarit tự nhiên (logarit Nepe):

(với

n

 1
e = lim 1+ ÷ ≈ 2,718281)
 n
2. Tính chất
loga a = 1;
• loga 1= 0;

loga ab = b ;

loga b

a

= b (b > 0)

• Cho a > 0, a ≠ 1, b, c > 0. Khi đó:
+ Nếu a > 1 thì loga b > loga c ⇔ b > c

+ Nếu 0 < a < 1 thì loga b > loga c ⇔ b < c
3. Các qui tắc tính logarit
Với a > 0, a ≠ 1, b, c > 0, ta có:
 b
• loga(bc) = loga b + loga c
• loga  ÷ = loga b − loga c • loga bα = α loga b
 c
4. Đổi cơ số
Với a, b, c > 0 và a, b ≠ 1, ta có:
loga c
• logb c =
hay loga b.logb c = loga c
loga b
• loga b =

1
logb a

• log α c =
a

1
loga c (α ≠ 0)
α

Thực hiện các phép tính sau:

1
log2 4.log1 2
a)
b) log5 .log27 9
4
25
log
2
d) 4log2 3 + 9 3
e) log2 2 8

Bài 1.

log9 2

27
g)

c) loga 3 a
f)

log8 27

+4

loga3 a.loga4 a1/3
log1 a7

+ 4log81 5

h) log3 6.log8 9.log6 2

i) 92log3 2

l) 25log5 6 + 49log7 8

m) 53−2log5 4

a

k) 81log3 5 + 27log9 36 + 34log9 7

Trang 55


Hàm số luỹ thừa – mũ –logarit
Trần Só Tùng
1
log6 3

n)

1
log8 2

o) 31+ log9 4 + 42−log2 3 + 5log125 27

9
+4
log 3.log3 36

p)

6

q) lg(tan10) + lg(tan20) + ... + lg(tan890)
r) log8  log4(log2 16) .log2 log3(log4 64)
Bài 2.
Cho a > 0, a ≠ 1. Chứng minh: loga(a + 1) > loga+1(a + 2)
HD: Xét A =
=

loga+1(a + 2)
loga(a + 1)

loga+1 a(a + 2)

= loga+1 a.loga+1(a + 2) ≤

loga+1 a + loga+1(a + 2)
2

loga+1(a + 1)2

<
=1
2
2
So sánh các cặp số sau:

Bài 3.

a) log3 4 vàlog4

1
3

b) log0,1 3 2 vàlog0,20,34 c) log3
4

1
1
vàlog1
80
15+ 2
3
2

2
3
vàlog5
5
4
2

1
2

d) log1

e) log13150 vàlog17 290

f)

g) log710 vàlog1113

h) log2 3 vàlog3 4

i) log910 vàlog10 11

HD:

=

log6 3

2

log6

và3

1
1
< 4 < log1
80
15+ 2
3
2

d) Chứng minh: log1

e) Chứng minh: log13150< 2 < log17 290
g) Xét A = log710 − log1113 =

log7 10.log711− log713
log711

1 
10.11.7
10
11
+ log7 .log7 ÷ > 0
 log7
log711
7.7.13
7
7
h, i) Sử dụng bài 2.
Bài 4.
Tính giá trò của biểu thức logarit theo các biểu thức
đã cho:
log49 32 theo a.
a) Cho log2 14 = a . Tính
=

b) Cho log15 3 = a . Tính log2515 theo a.
c) Cho lg3 = 0,477 . Tính lg9000 ; lg0,000027 ;

1

.
log81100

log1 28
d) Cho log7 2 = a . Tính
theo a.
2

Tính giá trò của biểu thức logarit theo các biểu thức
đã cho:
49
a) Cho log25 7 = a ; log2 5 = b . Tính log3
theo a, b.
5 8
b) Cho log30 3 = a ; log30 5 = b . Tính log30 1350 theo a, b.

Bài 5.

c) Cho log14 7 = a ; log14 5 = b . Tính log35 28 theo a, b.
d) Cho log2 3 = a ; log3 5 = b; log7 2 = c . Tính log140 63 theo a, b, c.
Bài 6.
Chứng minh các đẳng thức sau (với giả thiết các
Trang 56


Trần Só Tùng
logarit
biểu thức đã cho có nghóa):
b) logax(bx) =

a) bloga c = cloga b

Hàm số luỹ thừa – mũ –
loga b + loga x
1+ loga x

c)

loga c
logab c

= 1+ loga b

a+ b 1
= (logc a + logc b) , với a2 + b2 = 7ab .
3
2
1
e) loga(x + 2y) − 2loga 2 = (loga x + loga y) , với x2 + 4y2 = 12xy .
2
f) logb+c a + logc−b a = 2logc+ b a.logc−b a , với a2 + b2 = c2 .
d) logc

g)

1
1
1
1
1

k(k + 1)
+
+
+
+ ... +
=
.
loga x loga2 x loga3 x loga4 x
logak x 2loga x

h) loga N.logb N + logb N.logc N + logc N.loga N =
i)

1
1−lgz ,

1
1−lg x

nếu

loga N.logb N.logc N
logabc N

.

1
1− lgy .

y = 10

vàz = 10
x = 10
1
1
1
1
+
+ ... +
=
k)
.
log2 N log3 N
log2009 N log2009! N
l)

loga N − logb N

logb N − logc N
số nhân.

=

loga N
logc N

, với các số a, b, c lập thành một cấp

Trang 57

Hàm số luỹ thừa – mũ –logarit
Trần Só Tùng

III. HÀM
HÀM SỐ
SỐ LUỸ
LUỸ THỪA
THỪA
III.
HÀM SỐ
SỐ MŨ
MŨ –– HÀM
HÀM SỐ
SỐ LOGARIT
LOGARIT
HÀM

1. Khái niệm
a) Hàm số luỹ thừa y = xα (α là hằng số)
Số mũ α

Hàm số y = xα

Tập xác đònh D

α = n (n nguyên dương)

y = xn

D=R

y = xn

D = R \ {0}

y = xα

D = (0; +∞)

α = n (n nguyên âm
hoặc n = 0)
α là số thực không
nguyên
Chú ý: Hàm số

y=

1
xn

không đồng nhất với hàm số

y = n x (n∈ N*) .
b) Hàm số mũ y = ax (a > 0, a ≠ 1).
• Tập xác đònh:
D = R.
• Tập giá trò:
T = (0; +∞).
• Khi a > 1 hàm số đồng biến, khi 0 < a < 1 hàm số nghòch
biến.

• Nhận trục hoành làm tiệm cận ngang.
• Đồ thò:
y

y

y=ax
1

y=ax
1

x

x

a>1
c) Hàm số logarit y = loga x (a > 0, a ≠ 1) 01
• Tập xác đònh:D = (0; +∞).
• Tập giá trò:
T = R.
• Khi a > 1 hàm số đồng biến, khi 0 < a < 1 hàm số nghòch
biến.
• Nhận trục tung làm tiệm cận đứng.
• Đồ thò:
Trang 58


Trần Só Tùng

logarit
y

Hàm số luỹ thừa – mũ –

y
y=loga
x
x

1

O

y=logax

O

01

a>1
2. Giới hạn đặc biệt
•

lim(1+

x→0

1

x) x

x

 1
= lim  1+ ÷ = e
x→±∞ 
x

3. Đạo hàm
• ( xα ) ′ = α xα −1 (x > 0) ;

( n x) ′ =

Chú ý:

•

•

( uα ) ′ = α uα −1.u′
1
n

n xn−1

( ex ) ′ = ex ;

( eu ) ′ = eu.u′

( loga x ) ′ = xln1 a ;

u′
( loga u ) ′ = uln
a

Bài 1.

( n u) ′ =

 vớ
i x > 0 nế
u n chẵ
n
 vớ
÷.
i
x
≠
0
nế
u
n
lẻ



( au ) ′ = au lnau
.′

x

x
• lim e − 1 = 1
x→0 x

ln(1+ x)
=1
x→0
x

• lim

( ax ) ′ = ax lna ;

( ln x ) ′ = 1

x

1

u′
n

n un−1

( ln u ) ′ = u′

(x > 0);

u

Tính các giới hạn sau:
x+1
x

x

a) lim  x ÷
x→+∞  1+ x 

b) lim  1+ 1 

÷
x→+∞ 
x
x+1

d) lim  3x − 4  3

÷
x→+∞  3x + 2 
ln x − 1
g) lim
x→e x − e

x

e) lim  x + 1 ÷
x→+∞  2x − 1

2x−1

c) lim  x + 1 ÷
x→+∞  x − 2 

x

f) lim  2x + 1÷
x→+∞  x − 1 

e2x − 1
x→0 3x

ex − e
x→1 x − 1

h) lim

i) lim

(

1

)

ex − e− x
esin2x − esin x
l) lim

m) lim x ex − 1
x→0 sin x
x→0
x
x→+∞
Bài 2.
Tính đạo hàm của các hàm số sau:
k) lim

x+ 1
x−1

a) y = 3 x2 + x + 1

b) y = 4

d) y = 3 sin(2x + 1)

e) y = cot 3 1+ x2

Trang 59

c) y = 5
f) y =

x2 + x − 2
x2 + 1

1− 3 2x
1+ 3 2x

Hàm số luỹ thừa – mũ –logarit
Trần Só Tùng
x+ 3
x2 + x + 1
h) y = 11 9+ 65 x9
i) y = 4
4
x2 − x + 1
Bài 3.
Tính đạo hàm của các hàm số sau:
a) y = (x2 − 2x + 2)ex
b) y = (x2 + 2x)e− x
c) y = e−2x.sin x
g) y = 3 sin

2

d) y = e2x+ x

e)

g) y = 2x.ecosx

h) y =

1
x− x
3

y = xe
.

f) y =

3x

e2x + ex
e2x − ex

i) y = cos xe
. cot x

2

x − x+ 1
Bài 4.
Tính đạo hàm của các hàm số sau:
a) y = ln(2x2 + x + 3)
b) y = log2(cos x)
c) y = ex.ln(cos x)
3
e) y = log1 (x − cos x)

d) y = (2x − 1)ln(3x2 + x)

2

ln(2x + 1)

f) y = log3(cos x)

(

)

ln(2x + 1)
i) y = ln x + 1+ x2
x
+
1
2x + 1
Chứng minh hàm số đã cho thoả mãn hệ thức được

g) y =
Bài 5.

h) y =

chỉ ra:
a)

−

y = xe
.

x2
2;

b) y = (x + 1)ex; y′ − y = ex

xy′ = (1− x2)y

c) y = e4x + 2e− x;

y′′′ − 13y′ − 12y = 0

g) y = e− x.sin x;

y′′ + 2y′ + 2y = 0

i) y = esin x;
l) y =

1 2 x
x .e ;
2

h) y = e− x.cos x; y( 4) + 4y = 0

y′ cos x − ysin x − y′′ = 0

k) y = e2x.sin5x; y′′ − 4y′ + 29y = 0

y′′ − 2y′ + y = ex

m) y = e4x + 2e− x; y′′′ − 13y′ − 12y = 0

2
x
n) y = (x + 1)(e + 2010);

Bài 6.

d) y = ae
. − x + be
. −2x; y′′ + 3y′ + 2y = 0

y′ =

2xy
2

+ ex(x2 + 1)

x +1
Chứng minh hàm số đã cho thoả mãn hệ thức được

chỉ ra:
 1 
a) y = ln
÷;
 1+ x 

1
; xy′ = y  yln x − 1
1+ x + ln x
1+ ln x

; 2x2y′ = (x2y2 + 1)
c) y = sin(ln x) + cos(ln x); y + xy′ + x2y′′ = 0 d) y =
x(1− ln x)
xy′ + 1= ey

b) y =

x2 1
+ x x2 + 1 + ln x + x2 + 1;
2y = xy′ + ln y′
2 2
Bài 7.
Giải phương trình, bất phương trình sau với hàm số được
chỉ ra:
a) f '(x) = 2 f (x); f (x) = ex(x2 + 3x + 1)
e) y =

b) f '(x) +

1
f (x) = 0;
x

f (x) = x3 ln x

c) f '(x) = 0; f (x) = e2x−1 + 2.e1−2x + 7x − 5
d) f '(x) > g'(x); f (x) = x + ln(x − 5); g(x) = ln(x − 1)
1
e) f '(x) < g'(x); f (x) = .52x+1; g(x) = 5x + 4xln5
2

Trang 60


Trần Só Tùng
logarit

Hàm số luỹ thừa – mũ –

Trang 61