gt12 c3
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (330.19 KB, 25 trang )
TRẦN SĨ TÙNG
---- ›š & ›š ----
BÀI TẬP GIẢI TÍCH 12
TẬP 3
ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT & ĐẠI HỌC
Năm 2009
Nguyên hàm – Tích phân
Trần Só Tùng
CHƯƠNG III
NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
I. NGUYÊN HÀM
1. Khái niệm nguyên hàm
· Cho hàm số f xác đònh trên K. Hàm số F đgl nguyên hàm của f trên K nếu:
F '( x ) = f ( x ) , "x Ỵ K
· Nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K thì họ nguyên hàm của f(x) trên K là:
ò f ( x )dx = F ( x ) + C , C Ỵ R.
· Mọi hàm số f(x) liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K.
2. Tính chất
· ò f '( x )dx = f ( x ) + C
· ò [ f ( x ) ± g( x )]dx = ò f ( x )dx ± ò g( x )dx
· ò kf ( x )dx = k ò f ( x )dx (k ¹ 0)
3. Nguyên hàm của một số hàm số thường gặp
ax
+ C (0 < a ¹ 1)
ln a
· ò cos xdx = sin x + C
· ò 0dx = C
· ò a x dx =
· ò dx = x + C
· ò xa dx =
·
xa +1
+ C,
a +1
(a ¹ -1)
· ò sin xdx = - cos x + C
1
ò x dx = ln x + C
· ò e x dx = e x + C
1
sin(ax + b) + C (a ¹ 0)
a
1
· ò sin(ax + b)dx = - cos(ax + b) + C (a ¹ 0)
a
· ò cos(ax + b)dx =
1
dx = tan x + C
cos2 x
1
· ò
dx = - cot x + C
sin 2 x
1
· ò eax + b dx = eax +b + C , (a ¹ 0)
a
1
1
· ò
dx = ln ax + b + C
ax + b
a
·
ò
4. Phương pháp tính nguyên hàm
a) Phương pháp đổi biến số
Nếu ò f (u)du = F (u) + C và u = u( x ) có đạo hàm liên tục thì:
ò f [u( x )] .u '( x )dx = F [ u( x )] + C
b) Phương pháp tính nguyên hàm từng phần
Nếu u, v là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên K thì:
ò udv = uv - ò vdu
Trang 78
Trần Só Tùng
Nguyên hàm – Tích phân
VẤN ĐỀ 1: Tính nguyên hàm bằng cách sử dụng bảng nguyên hàm
Biến đổi biểu thức hàm số để sử dụng được bảng các nguyên hàm cơ bản.
Chú ý: Để sử dụng phương pháp này cần phải:
– Nắm vững bảng các nguyên hàm.
– Nắm vững phép tính vi phân.
Bài 1. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
1
a) f ( x ) = x – 3 x +
x
2
d) f ( x ) =
( x 2 - 1)2
x
2
g) f ( x ) = 2 sin 2
k) f ( x ) =
b) f ( x ) =
x
2
1
2x4 + 3
x
2
c) f ( x ) =
x -1
x2
1
e) f ( x ) = x + 3 x + 4 x
f) f ( x ) =
h) f ( x ) = tan 2 x
i) f ( x ) = cos2 x
l) f ( x ) =
x
-
2
3
x
cos 2 x
m) f ( x ) = 2sin 3 x cos 2 x
sin 2 x.cos2 x
ỉ
e- x ư
x
x( x
)
o) f ( x ) = e çç 2 +
p) f ( x ) = e3 x +1
n) f ( x ) = e e – 1
÷
2 ÷
cos x ø
è
Bài 2. Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) thoả điều kiện cho trước:
sin 2 x.cos2 x
a) f ( x ) = x 3 - 4 x + 5;
c) f ( x ) =
e) f (x )=
3 - 5x2
;
x
x3 - 1
x2
;
g) f ( x ) = sin 2 x.cos x;
i) f ( x ) =
F (1) = 3
b) f ( x ) = 3 - 5 cos x;
F ( e) = 1
d) f ( x ) =
F (-2) = 0
f) f ( x ) = x x +
ỉp ư
F 'ç ÷ = 0
è3ø
h) f ( x ) =
x3 + 3x 3 + 3x - 7
2
;
F (0) = 8
x2 + 1
;
x
F (p ) = 2
F (1) =
1
x
;
3x 4 - 2 x 3 + 5
x2
x
k) f ( x ) == sin 2 ;
2
3
2
F (1) = -2
; F (1) = 2
ỉp ư p
Fç ÷ =
è2ø 4
( x + 1)
Bài 3. Cho hàm số g(x). Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) thoả điều kiện cho trước:
ỉp ư
a) g( x ) = x cos x + x 2 ; f ( x ) = x sin x;
Fç ÷ = 3
è2ø
b) g( x ) = x sin x + x 2 ; f ( x ) = x cos x;
F (p ) = 0
c) g( x ) = x ln x + x 2 ; f ( x ) = ln x;
F (2) = -2
Bài 4. Chứng minh F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x):
ïì F ( x ) = (4 x - 5)e x
ïì F ( x ) = tan 4 x + 3 x - 5
a) í
b)
í
x
5
3
ïỵ f ( x ) = (4 x - 1)e
ïỵ f ( x ) = 4 tan x + 4 tan x + 3
ì
ì
ỉ x2 + 4 ư
x2 - x 2 + 1
F
(
x
)
=
ln
ï F ( x ) = ln çç
ï
÷÷
ï
ï
x2 + x 2 + 1
è x2 + 3 ø
c) í
d) í
2
-2 x
ï f (x) =
ï f ( x ) = 2 2( x - 1)
ïỵ
ïỵ
( x 2 + 4)( x 2 + 3)
x4 +1
Trang 79
Nguyên hàm – Tích phân
Trần Só Tùng
Bài 5. Tìm điều kiện để F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x):
ì F ( x ) = ln x 2 - mx + 5
ï
b) í
. Tìm m.
2x + 3
ï f (x) = 2
x + 3x + 5
ỵ
ìï F ( x ) = mx 3 + (3m + 2) x 2 - 4 x + 3
a) í
. Tìm m.
2
ïỵ f ( x ) = 3 x + 10 x - 4
ìï F ( x ) = (ax 2 + bx + c) x 2 - 4 x
ìï F ( x ) = (ax 2 + bx + c)e x
c) í
. Tìm a, b, c. d) í
. Tìm a, b, c.
x
ïỵ f ( x ) = ( x - 3)e
ïỵ f ( x ) = ( x - 2) x 2 - 4 x
ìï F ( x ) = (ax 2 + bx + c)e-2 x
ìï F ( x ) = (ax 2 + bx + c)e- x
f)
e) í
.
Tìm
a
,
b
,
c
.
. Tìm a, b, c.
í
-2 x
2
-x
2
ïỵ f ( x ) = -(2 x - 8x + 7)e
ïỵ f ( x ) = ( x - 3 x + 2)e
ì
b
c
ï
g) í F ( x ) = (a + 1)sin x + 2 sin 2 x + 3 sin 3 x . Tìm a, b, c.
ïỵ f ( x ) = cos x
ì F ( x ) = (ax 2 + bx + c) 2 x - 3
ï
h) í
. Tìm a, b, c.
20 x 2 - 30 x + 7
f
(
x
)
=
ï
2x - 3
ỵ
ò f ( x )dx bằng phương pháp đổi biến số
g [ u( x )] .u '( x ) thì ta đặt t = u( x ) Þ dt = u '( x )dx .
VẤN ĐỀ 2: Tính nguyên hàm
· Dạng 1: Nếu f(x) có dạng: f(x) =
Khi đó:
ò f ( x )dx
= ò g(t )dt , trong đó ò g(t )dt dễ dàng tìm được.
Chú ý: Sau khi tính ò g(t )dt theo t, ta phải thay lại t = u(x).
· Dạng 2: Thường gặp ở các trường hợp sau:
f(x) có chứa
a2 - x 2
a2 + x 2
hoặc
hoặc
Cách đổi biến
p
p
x = a sin t,
- £t£
2
2
x = a cos t ,
0£t £p
p
p
x = a tan t,
-
2
x = a cot t,
0
Bài 1. Tính các nguyên hàm sau (đổi biến số dạng 1):
dx
a) ò (5 x - 1)dx
b)
d) ò (2 x 2 + 1)7 xdx
e) ò ( x 3 + 5)4 x 2 dx
g)
ò
x 2 + 1. xdx
k) ò sin 4 x cos xdx
h)
ò
ò
(3 - 2 x )5
3x 2
5 + 2 x3
sin x
l) ò
dx
cos5 x
dx
Trang 80
c)
ò
f)
ò
i)
ò
m)
5 - 2xdx
x
dx
x +5
dx
2
x (1 + x )2
ò
tan xdx
cos2 x
Trần Só Tùng
n)
Nguyên hàm – Tích phân
e x dx
ò
o) ò x.e x
x
e -3
2
+1
p)
dx
ln3 x
dx
r) ò
ò x dx
ex + 1
Bài 2. Tính các nguyên hàm sau (đổi biến số dạng 2):
dx
dx
a) ò
b) ò
(1 + x 2 )3
(1 - x 2 )3
q)
d)
g)
dx
ò
e) ò x 2 1 - x 2 .dx
4 - x2
x 2 dx
ò
h)
1 - x2
ò
dx
ò
s)
ò
c)
ò
f)
ò
e
x
x
dx
etan x
cos2 x
dx
1 - x 2 .dx
dx
1 + x2
i) ò x 3 x 2 + 1.dx
2
x + x +1
VẤN ĐỀ 3: Tính nguyên hàm bằng phương pháp tính nguyên hàm từng phần
Với P(x) là đa thức của x, ta thường gặp các dạng sau:
ò P( x ).e
u
dv
x
dx
P(x)
x
e dx
ò P( x ).cos xdx
ò P( x ).sin xdx
ò P( x ).ln xdx
P(x)
cos xdx
P(x)
sin xdx
lnx
P(x)
Bài 1. Tính các nguyên hàm sau:
a) ò x.sin xdx
b) ò x cos xdx
c) ò ( x 2 + 5)sin xdx
d) ò ( x 2 + 2 x + 3) cos xdx
e) ò x sin 2 xdx
f) ò x cos 2 xdx
g) ò x.e x dx
h) ò x 3e x dx
i) ò ln xdx
k) ò x ln xdx
l) ò ln 2 xdx
m) ò ln( x 2 + 1)dx
n) ò x tan 2 xdx
o) ò x 2 cos2 xdx
p) ò x 2 cos 2 xdx
q) ò x ln(1 + x 2 )dx
r) ò x.2 x dx
s) ò x lg xdx
2
Bài 2. Tính các nguyên hàm sau:
a) ò e
x
b)
dx
d) ò cos x dx
ln(ln x )
dx
x
Bài 3. Tính các nguyên hàm sau:
g)
ò
a) ò e x .cos xdx
d)
ò
ln(cos x )
2
cos x
dx
ò
ln xdx
c) ò sin x dx
x
e) ò x.sin x dx
f) ò sin 3 xdx
h) ò sin(ln x )dx
i) ò cos(ln x )dx
b) ò e x (1 + tan x + tan 2 x )dx
c) ò e x .sin 2 xdx
e)
ò
ln(1 + x )
x
2
dx
Trang 81
f)
ò
x
cos2 x
dx
Nguyên hàm – Tích phân
g)
ò
(
x ln x + x 2 + 1
x2 + 1
Trần Só Tùng
)dx
h)
x3
ò
1 + x2
2
ỉ ln x ư
i) ò ç
÷ dx
è x ø
dx
VẤN ĐỀ 4: Tính nguyên hàm bằng phương pháp dùng nguyên hàm phụ
Để xác đònh nguyên hàm của hàm số f(x), ta cần tìm một hàm g(x) sao cho nguyên hàm của
các hàm số f(x) ± g(x) dễ xác đònh hơn so với f(x). Từ đó suy ra nguyên hàm của f(x).
Bước 1: Tìm hàm g(x).
Bước 2: Xác đònh nguyên hàm của các hàm số f(x) ± g(x), tức là:
ì F ( x ) + G( x ) = A( x ) + C1
(*)
í F ( x ) - G( x ) = B( x ) + C
ỵ
2
Bước 3: Từ hệ (*), ta suy ra F ( x ) =
1
[ A( x ) + B( x )] + C là nguyên hàm của f(x).
2
Bài 1. Tính các nguyên hàm sau:
sin x
a)
ò sin x - cos x dx
b)
d)
cos x
ò sin x + cos x dx
e)
g) ò 2 sin 2 x.sin 2 xdx
k)
ò
e- x
e x - e- x
cos x
c)
ò sin x - cos x dx
ò
sin 4 x
sin 4 x + cos 4 x
f)
dx
l)
dx
ò
e x + e- x
ò
cos4 x
sin 4 x + cos 4 x
ex
i) ò
dx
e x - e- x
e- x
m) ò
dx
e x + e- x
h) ò 2 cos2 x.sin 2 xdx
ex
sin x
ò sin x + cos x dx
dx
dx
VẤN ĐỀ 5: Tính nguyên hàm của một số hàm số thường gặp
1. f(x) là hàm hữu tỉ: f ( x ) =
P( x )
Q( x )
– Nếu bậc của P(x) ³ bậc của Q(x) thì ta thực hiện phép chia đa thức.
– Nếu bậc của P(x) < bậc của Q(x) và Q(x) có dạng tích nhiều nhân tử thì ta phân
tích f(x) thành tổng của nhiều phân thức (bằng phương pháp hệ số bất đònh).
Chẳng hạn:
1
A
B
=
+
( x - a)( x - b) x - a x - b
1
2
( x - m)(ax + bx + c)
1
2
( x - a ) ( x - b)
2
=
=
A
Bx + C
+
, với D = b2 - 4 ac < 0
2
x - m ax + bx + c
A
B
C
D
+
+
+
2
x - a ( x - a)
x - b ( x - b )2
2. f(x) là hàm vô tỉ
ỉ
ax + b ư
+ f(x) = R ç x, m
÷
cx + d ø
è
ỉ
ư
1
+ f(x) = R ç
ç ( x + a)( x + b) ÷÷
è
ø
® đặt
t=m
® đặt
Trang 82
ax + b
cx + d
t = x+a + x+b
Trần Só Tùng
Nguyên hàm – Tích phân
· f(x) là hàm lượng giác
Ta sử dụng các phép biến đổi lượng giác thích hợp để đưa về các nguyên hàm cơ
bản. Chẳng hạn:
+
sin [( x + a) - ( x + b)]
1
1
=
.
,
sin( x + a).sin( x + b) sin(a - b) sin( x + a).sin( x + b)
+
sin [( x + a) - ( x + b)] ỉ
1
1
sin( a - b) ư
=
.
, ç sử dụng 1 =
÷
cos( x + a).cos( x + b) sin(a - b) cos( x + a).cos( x + b ) è
sin( a - b) ø
+
cos [( x + a) - ( x + b)] ỉ
1
1
cos(a - b) ư
=
.
, ç sử dụng 1 =
÷
sin( x + a).cos( x + b) cos(a - b ) sin( x + a ).cos( x + b ) è
cos(a - b) ø
ỉ
sin( a - b) ư
ç sử dụng 1 =
÷
sin( a - b) ø
è
+ Nếu R(- sin x, cos x ) = - R(sin x, cos x ) thì đặt t = cosx
+ Nếu R(sin x , - cos x ) = - R(sin x, cos x ) thì đặt t = sinx
+ Nếu R(- sin x, - cos x ) = - R(sin x, cos x ) thì đặt t = tanx (hoặc t = cotx)
Bài 1. Tính các nguyên hàm sau:
a)
dx
ò x( x + 1)
d)
ò
dx
x 2 - 7 x + 10
x
g) ò
dx
( x + 1)(2 x + 1)
k)
ò
dx
x ( x 2 + 1)
Bài 2. Tính các nguyên hàm sau:
1
a) ò
dx
1+ x +1
d)
ò
g)
ò
k)
ò3
1
4
x+ x
dx
dx
x + 3 x + 24 x
dx
(2 x + 1)2 - 2 x + 1
b)
dx
ò ( x + 1)(2 x - 3)
e)
ò
h)
ò
l)
ò
b)
òx
e)
ò
h)
ò
l)
ò
dx
f)
ò
i)
ò
dx
c)
ò 1 + 3 x + 1dx
dx
f)
ò x( x + 1)dx
i)
ò 3 1+ x
x2 - 6 x + 9
x
2 x2 - 3x - 2
dx
dx
1 + x3
x +1
x -2
x2 + 1
ò 2 dx
x -1
dx
c)
x
3
x- x
1 - x dx
1+ x x
dx
x2 - 5x + 6
x2 - 4
x3
x2 - 3x + 2
x
m) ò
dx
x3 - 1
dx
1
x
1 - x dx
x
m)
ò
dx
x2 + 6 x + 8
Bài 3. Tính các nguyên hàm sau:
a) ò sin 2 x sin 5 xdx
cos 2 x
b) ò cos x sin 3 xdx
dx
c) ò (tan 2 x + tan 4 x )dx
dx
d)
ò 1 + sin x cos x dx
e)
ò 2 sin x + 1
f)
ò cos x
g)
1 - sin x
ò cos x dx
h)
sin 3 x
ò cos x dx
i)
ò
k) ò cos x cos 2 x cos3 xdx
l) ò cos3 xdx
Trang 83
dx
ỉ
pư
cos x cos ç x + ÷
è
4ø
m) ò sin 4 xdx
Nguyên hàm – Tích phân
Trần Só Tùng
CHƯƠNG III
NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
II. TÍCH PHÂN
1. Khái niệm tích phân
· Cho hàm số f liên tục trên K và a, b Ỵ K. Nếu F là một nguyên hàm của f trên K thì:
F(b) – F(a) đgl tích phân của f từ a đến b và kí hiệu là
b
ò f ( x )dx .
a
b
ò f ( x )dx = F (b) - F (a)
a
· Đối với biến số lấy tích phân, ta có thể chọn bất kì một chữ khác thay cho x, tức là:
b
ò
a
b
b
a
a
f ( x )dx = ò f (t )dt = ò f (u)du = ... = F (b) - F (a )
· Ý nghóa hình học: Nếu hàm số y = f(x) liên tục và không âm trên đoạn [a; b] thì
diện tích S của hình thang cong giới hạn bởi đồ thò của y = f(x), trục Ox và hai đường
b
S = ò f ( x )dx
thẳng x = a, x = b là:
a
2. Tính chất của tích phân
·
0
ò
f ( x )dx = 0
·
0
·
b
ò
a
a
b
f ( x )dx = - ò f ( x )dx
b
b
b
b
a
a
a
a
ò [ f ( x ) ± g( x )]dx = ò f ( x )dx ± ò g( x )dx
· Nếu f(x) ³ 0 trên [a; b] thì
b
· ò kf ( x )dx = k ò f ( x )dx (k: const)
·
b
ò
a
a
c
b
a
c
f ( x )dx = ò f ( x )dx + ò f ( x )dx
b
ò f ( x )dx ³ 0
a
· Nếu f(x) ³ g(x) trên [a; b] thì
b
b
a
a
ò f ( x )dx ³ ò g( x )dx
3. Phương pháp tính tích phân
a) Phương pháp đổi biến số
b
ò
f [u( x )] .u '( x )dx =
u( b)
ò
f (u)du
u(a)
a
trong đó: u = u(x) có đạo hàm liên tục trên K, y = f(u) liên tục và hàm hợp f[u(x)]
xác đònh trên K, a, b Ỵ K.
b) Phương pháp tích phân từng phần
Nếu u, v là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên K, a, b Ỵ K thì:
b
b
b
ò udv = uv a - ò vdu
a
a
Trang 84
Trần Só Tùng
Nguyên hàm – Tích phân
Chú ý: – Cần xem lại các phương pháp tìm nguyên hàm.
b
– Trong phương pháp tích phân từng phần, ta cần chọn sao cho ò vdu dễ tính
a
b
hơn ò udv .
a
VẤN ĐỀ 1: Tính tích phân bằng cách sử dụng bảng nguyên hàm
Biến đổi biểu thức hàm số để sử dụng được bảng các nguyên hàm cơ bản. Tìm nguyên
hàm F(x) của f(x), rồi sử dụng trực tiếp đònh nghóa tích phân:
b
ò f ( x )dx = F (b) - F (a)
a
Chú ý: Để sử dụng phương pháp này cần phải:
– Nắm vững bảng các nguyên hàm.
– Nắm vững phép tính vi phân.
Bài 1. Tính các tích phân sau:
a)
2
3
ò ( x + 2 x + 1)dx
1
d)
2
x
ò
-1 x
2
+2
dx
g) ò ( x + 1)( x - x + 1)dx
1
k)
x2 - 2 x
ò
x3
1
1
e)
-1
ò
(x
-2
2
2
2
b) ò ( x 2 +
dx
4
3
+ e 3 x +1 )dx
x
)
c)
2
h) ò ( x 2 + x x + 3 x )dx
1
l)
ò
2 x + 5 - 7x
dx
x
5
dx
1
x -1
dx
x2
f) ò ( x +
1
i)
1
e2
ò
e
2
+4
dx
x2
2
ò(
1 1
+
+ x 2 )dx
x x2
)
4
x + 23 x - 44 x dx
1
8ỉ
1
m) ò ç 4 x ç
3
1è
3 x2
ư
÷dx
÷
ø
Bài 2. Tính các tích phân sau:
a)
2
x + 1dx
ò
b)
1
d)
x+2 + x-2
2
2
ò0
xdx
dx
1 - x2
Bài 3. Tính các tích phân sau:
p
a) ò sin(2 x +
0
d)
ò
p
4
ò
0
p
)dx
6
tan x .dx
2
cos x
e)
b)
e)
2
2
ò0 3
3x
2
1 + x3
dx
p
2
ò (2 sin x + 3cosx + x )dx
p
3
p
3
ò 3 tan
2
x dx
p
4
Trang 85
c) ò ( x 2 + x x + 3 x )dx
1
f)
c)
4
ò0 x
x 2 + 9dx
p
6
ò ( sin 3 x + cos 2 x ) dx
0
f)
p
4
ò (2 cot
p
6
2
x + 5) dx
Nguyên hàm – Tích phân
g)
p
2
Trần Só Tùng
dx
h)
ò 1 + sin x
0
k)
p
3
ò
-
(tan x - cot x )2 dx
l)
p
6
p
2
1 - cos x
ò 1 + cos x dx
0
p
2
ò
p
sin( - x )
4
dx
p
sin( + x )
4
2
( x + 1).dx
-p
2
i)
p
2
ò sin
2
x.cos2 xdx
0
m)
p
4
ò cos
4
x dx
0
Bài 4. Tính các tích phân sau:
a)
d)
g)
k)
1 x
ò
e - e- x
0e
x
ln 2
ò0
+e
-x
b)
e)
dx
ex + 1
ò
e ln x
x
ò
2
x + x ln x
1
ex
p
2 e cos x
0
ò1
dx
sin xdx
dx
2 x
e (1 1
ò
4e
h)
ò1
l)
1
ò0
x
x
e- x
)dx
x
dx
2
xe x dx
1e
c)
ò0
ò0
i)
ò1
m)
e
1
ò
-4
x
e +2
1e
f)
2x
x
2x
dx
dx
1 + ln x
dx
x
1
x
0 1+ e
dx
VẤN ĐỀ 2: Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số
b
Dạng 1: Giả sử ta cần tính ò g( x )dx .
a
Nếu viết được g(x) dưới dạng: g( x ) = f [ u( x )] .u '( x ) thì
Dạng 2: Giả sử ta cần tính
b
u( b )
a
u( a )
ò g( x )dx =
ò
f (u)du
b
ò f ( x )dx .
a
Đặt x = x(t) (t Ỵ K) và a, b Ỵ K thoả mãn a = x(a), b = x(b)
thì
b
b
b
a
a
a
ò f ( x )dx = ò f [ x(t )] x '(t )dt = ò g(t )dt
( g(t) = f [ x (t )] .x '(t ))
Dạng 2 thường gặp ở các trường hợp sau:
f(x) có chứa
a2 - x 2
a2 + x 2
x 2 - a2
hoặc
hoặc
hoặc
Cách đổi biến
p
p
x = a sin t,
- £t£
2
2
x = a cos t ,
0£t £p
p
p
x = a tan t,
-
2
x = a cot t,
0
a
x=
,
t Ỵ ê - ; ú \ {0}
sin t
ë 2 2û
ìp ü
a
x=
,
t Ỵ [ 0; p ] \ í ý
cos t
ỵ2þ
Trang 86
Trần Só Tùng
Nguyên hàm – Tích phân
Bài 1. Tính các tích phân sau (đổi biến số dạng 1):
a)
1
19
ò x(1 - x) dx
b)
0
d)
1
g)
2 3
dx
ò
x x2 + 4
5
k)
ln 3
e dx
( e + 1)
0
n)
x
p
2
l)
3
e
1
o)
dx
3
i)
dx
1+ x2
ò
p
2
a)
1
2
dx
cos x. sin x
dx
2
0 1 + sin x
ò
1- x
0
d)
3
òx
0
g)
-1
dx
+3
e)
p)
h)
x2 + 2x + 2
k)
ò
2
ò (x
2
ò
1
2
dx
l)
x x2 - 1
4-x
2
2
ò
0
2
c)
2
x2 -1
dx
x3
1 - x2
e
dx
1 + 3 ln x ln x
dx
x
ò
p
6
ò 2 sin
sin 2 x
dx
x + cos 2 x
2
2
òx
2
4 - x 2 dx
1
dx
+ 1)( x 2 + 2)
x2
1 + ex
0
x 2 dx
1
0
dx
3
ò
0
2
0
ò
b)
2
1
ex
1
cos 2 x + 4 sin 2 x
Bài 2. Tính các tích phân sau (đổi biến số dạng 2):
0
ò
m)
3
ò
0
ln 2
0
2 + ln x dx
2x
1
sin 2 x
ò
x + 2x
0
x
ò
ò
h)
5
x5
ò0 x 2 + 1 dx
f) ò x 3 1 - x 2 dx
0
3
1
c)
e) ò x 1 - x 2 dx
2x + 1
0
x3
ò0 (1 + x 2 ) 3
1
xdx
ò
1
f)
1
òx
4
0
i)
1
xdx
+ x2 +1
dx
ò
(1 + x )
2 5
0
2
m) ò x 2 x - x 2 dx
dx
0
VẤN ĐỀ 3: Tính tích phân bằng phương pháp tích phân từng phần
Với P(x) là đa thức của x, ta thường gặp các dạng sau:
b
b
b
b
a
a
a
a
x
ò P( x ).e dx
u
dv
P(x)
e x dx
ò P( x ).cos xdx
P(x)
cos xdx
ò P( x ).sin xdx
ò P( x ).l n xdx
P(x)
sin xdx
lnx
P(x)
Bài 1. Tính các tích phân sau:
a)
p
4
ò x sin 2 xdx
b)
0
d)
p2
4
ò
0
x co s
p
2
2
ò ( x + sin x) cos xdx
0
x dx
e)
p
3
ò
x tan 2 xdx
p
4
c)
2p
òx
cos xdx
0
1
f) ò ( x - 2)e 2 x dx
0
Trang 87
2
Nguyên hàm – Tích phân
g)
ln 2
x
ò xe dx
Trần Só Tùng
h)
0
p
2
k) ò e 3 x sin 5 xdx
l) ò e cos x sin 2 xdx
0
0
e
òx
3
ò x ln xdx
1
p
2
o)
e
p)
ln 2 xdx
1
e
ln x
dx
2
1 x
ò
3
i) ò ln( x 2 - x)dx
2
e
m) ò ln 3 xdx
1
q)
0
ò x (e
2x
+ 3 x + 1)dx
-1
e
VẤN ĐỀ 4: Tính tích phân các hàm số có chứa giá trò tuyệt đối
Để tính tích phân của hàm số f(x) có chứa dấu GTTĐ, ta cần xét dấu f(x) rồi sử dụng công
thức phân đoạn để tính tích phân trên từng đoạn nhỏ.
Bài 1. Tính các tích phân sau:
a)
2
ò
b)
x - 2 dx
0
d)
g)
3
ò
2
ò
x 2 - x dx
0
x 2 - 1 dx
e)
5
( x + 2 - x - 2 )dx
ò
-2
4
3
x 2 - 6 x + 9dx
h)
1
2
òx
2
+ 2 x - 3 dx
x
- 4 dx
0
-3
ò
c)
f)
3
ò2
0
ò
x 3 - 4 x 2 + 4 x dx
i)
1
4 - x dx
ò
0
-1
p
p
2
Bài 2. Tính các tích phân sau:
a)
2p
ò
b)
1 - cos 2 x dx
d)
p
ò
1 - sin xdx
e)
-p
g)
p
3
ò
1 - sin 2 x .dx
ò
c)
0
0
tan 2 x + cot 2 x - 2 dx
h)
p
6
-
2p
1 + cos xdx
ò
f)
sin x dx
p
2
p
ò
1 + cos 2xdx
0
0
p
3
cos x cos x - cos3 xdx i)
ò
-
ò
2p
1 + sin xdx
ò
0
p
2
VẤN ĐỀ 5: Tính tích phân các hàm số hữu tỉ
Xem lại cách tìm nguyên hàm của các hàm số hữu tỉ.
Bài 1. Tính các tích phân sau:
a)
d)
g)
3
dx
ò1 x + x 3
1
b)
1
dx
ò0 x 2 - 5x + 6
3
0
x 2 dx
ò2 (1 - x )9
4
1
x
ò (1 + 2 x )
3
dx
ò2 x(x - 1)
dx
e)
h)
(4 x + 11)dx
òx
0
2
+ 5x + 6
Trang 88
c)
f)
3
x 3 dx
ò0 x 2 + 2x + 1
4
òx
1
i)
1
2
dx
(1 + x)
x3 + x + 1
ò x + 1 dx
0
Trần Só Tùng
k)
0
Nguyên hàm – Tích phân
2 x3 - 6 x2 + 9x + 9
dx
x2 - 3x + 2
Bài 2. Tính các tích phân sau:
ò
l)
-1
2
dx
a) ò 2
0 x - 2x + 2
d)
g)
1
2
0 ( x + 2)
2
1
ò
4
x(1 + x )
1
k)
( x + 3)
2
1
ò
2
0 4+ x
3x2 + 3x + 3
ò
x3 - 3x + 2
2
3
ò
b)
(3x
2
dx
2
1 - x 2008
ò
l)
2
ò
2008
x (1 + x
1 - x2
4
1 1+ x
)
1
m)
x2
ò
3
0 (3 x + 1)
dx
2
x3 + 2x 2 + 4x + 9
c) ò
dx
x2 + 4
0
x3 + x + 1
e) ò
dx
2
0 x +1
1
dx
)
2
1
h)
dx
dx
+2
dx
2
x +1
0
1
ò
3
f)
dx
i)
1
4
0 1+ x
3
4
dx
x
ò
2 (x
1
m)
dx
x
ò
2
2 - x4
ò
dx
- 1)2
2
0 1+ x
dx
VẤN ĐỀ 6: Tính tích phân các hàm số vô tỉ
Xem lại cách tìm nguyên hàm của các hàm số vô tỉ.
Bài 1. Tính các tích phân sau:
a)
2 2
ò
x x 2 + 1dx
b)
0
d)
2
x
ò1+
x -1
10
ò
5
k)
ò
0
n)
dx
dx
x - 2 x -1
7
3
x +1
3
2
2
ò
0
ò x+
x3
x2 +1
0
1
g)
1
3x + 1
dx
e)
6
ò 2x +1+
4x +1
1
3
2
ò x x + 1dx
f)
2 3
ò
5
dx
ò
x +1 + x
dx
2
x4
ò
x5 + 1
0
i)
0
l)
1
c)
0
dx
2
h)
dx
1
4x - 3
ò2+
0
3
m)
2
x x +4
dx
ò
0
3x + 1
x 5 + x3
1+ x
2
dx
dx
2
1+ x
dx
1- x
o)
3
dx
2
x x2 - 1
3
x2 + 1
ò
2
p)
ò
1
dx
x x3 + 1
Bài 2. Tính các tích phân sau:
1
a) ò x 2 1 + x 2 dx
b)
1
0
d)
2
ò
x 2 + 2008dx
1
g)
k)
1
ò
dx
-1 1 +
2
2
ò
0
x + x2 + 1
dx
(1 - x 2 )3
ò
x2 x2 + 1
3
dx
e) ò x 3 10 - x 2 dx
h)
dx
ò
(1 + x 2 )3
0
1
1 + x 2 dx
0
ò
0
2
1
x 3 dx
0
x + x2 + 1
ò
1
l)
1
c)
2
2
ò
0
dx
x 2 + 2008
2
x dx
1 - x2
Trang 89
f)
i)
ò
m)
5
4
ò
1
12 x - 4 x 2 - 8dx
Nguyên hàm – Tích phân
Trần Só Tùng
Bài 3. Tính các tích phân sau:
a)
p
2
cos xdx
ò
7 + cos 2 x
0
d)
g)
p
2
ò
b)
6
0
p
2
p
2
ò sin x
1 - cos3 x sin x cos5 xdx
cos xdx
e)
h)
1 + cos2 x
0
c)
p
2
ò
p
4
2 + cos2 x
0
sin 2 x + sin x
1 + 3 cos x
p
3
ò
cos xdx
ò
0
0
ò
cos x - cos2 xdx
p
2
f)
dx
tgx
cos x 1 + cos2 x
p
3
cos xdx
ò
2 + cos 2 x
0
dx
i)
p
2
sin 2 x + sin x
ò
1 + 3 cos x
0
dx
Bài 4. Tính các tích phân sau:
a)
ln 3
dx
ò
ex + 1
0
d)
g)
b)
ln 2 x
ln 2
x ln x + 1
e)
dx
ln 3
ex
0
(e x + 1) e x - 1
ò
ò
0
ò
e2 x dx
e
c)
ex + 1
0
ln 3
ò
ln 2
1
x (e2 x + 3 x + 1)dx
f)
ln 2
h)
(e x + 1)3
0
1
ex
0
e x + e- x
ò
e x dx
ò
-1
dx
1 + 3 ln x ln x
dx
x
ò
dx
i)
ln 2
ò
e x - 1dx
0
VẤN ĐỀ 7: Tính tích phân các hàm số lượng giác
Xem lại cách tìm nguyên hàm của các hàm số lượng giác.
Bài 1. Tính các tích phân sau:
p
4
a) ò sin 2 x. cos xdx
b)
0
p
2
ò sin
2
2
0
x cos4 xdx
0
k)
n)
p
2
3
x + cos3 x )dx
h) ò sin 2 x cos 3 xdx
l)
p
2
0
p
4
p
3
3
o)
xdx
p
2
ò
0
sin 3 x
2
1 + cos x
dx
3
cos x
ò cos x + 1 dx
0
0
q)
p
2
ò tan
4
xdx
p
4
p
2
cos3 x
r) ò
dx
1 + cos x
0
Trang 90
sin x
ò 1 + 3 cos x dx
c)
0
p
f) ò cos 2 3 x
0
i)
p
2
ò sin
4
x cos5 xdx
0
0
ò (sin
ò tan
p
2
0
e) ò sin xdx
3
0
g)
ò tan xdx
p
d) ò sin xdx
p
2
p
4
m)
p)
p
2
sin 2 x cos x
dx
1 + cos x
0
ò
p
3
ò
p
4
s)
dx
sin x.cos3 x
p /3
ò
p /6 sin
dx
4
x.cos x
Trần Só Tùng
Nguyên hàm – Tích phân
Bài 2. Tính các tích phân sau:
a)
p
2
ò
1 - cos 3 x sin x cos 5 xdx
0
p
2
1 + sin 2 x + cos 2 x
b) ò
dx
sin x + cos x
p
p
3
ò cos x
c)
d)
ò cos 2 x(sin
4
x + cos4 x )dx
e)
0
g)
p
3
ò sin x.ln(cos x )dx
h)
0
p
4
0
ò
(tan x + e sin x cos x)dx
1 + cos 2 x
p
4
6
p
2
tan x
f)
p
2
ò (1 + sin x )
3
2
sin 2 xdx
0
p
4
3
sin x
ò
2
2
5
0 (tan x + 1) .cos x
dx
p
3
i)
1
ò
2
2
p sin x + 9 cos x
-
3
Bài 3. Tính các tích phân sau:
a)
d)
g)
p
2
1
b)
ò sin x dx
p
3
p
2
cos x
e)
ò 1 + cos x dx
0
p
2
1
h)
0
k)
ò
0
(1 - sin x ) cos x
(1 + sin x )(2 - cos2 x )
dx
l)
1
0
ò 2 + sin x dx
p
2
p
2
0
cos x
ò 2 - cos x dx
ò
-
dx
p
2
c)
ò 2 - cos x
f)
0
ò sin x + cos x + 1 dx
p
2
p
2
p
2
p
2
sin x - cos x + 1
dx
sin x + 2 cos x + 3
p
3
dx
ò
p
sin x cos( x + )
4
p
4
i)
sin x
ò 2 + sin x dx
0
p
4
dx
ò
p
cos x cos( x + )
4
0
p
3
m)
ò
p
6
dx
p
sin x sin( x + )
6
Bài 4. Tính các tích phân sau:
p
2
a) ò (2 x - 1) cos xdx
d)
x
0
0
p
2
p
2
p
2
ò sin
3
xdx
e)
òx
p
g) ò cos(ln x )dx
h)
p
p
p
4
òe
2
sin xdx
l)
0
p
2
òe
0
3
ò
1
2x
2
c)
cos xdx
f)
ln(sin x )
cos x
ò x tan
2
dx
xdx
i)
sin x
sin x cos3 xdx
o)
dx
ò sin 2 x.e
2 x +1
dx
p
4
ò ln(1 + tan x )dx
0
Trang 91
p
2
2
xdx
2
xdx
ò (2 x - 1) cos
0
m)
0
2
x
0
2
6
2
0
0
2
n)
xdx
p
3
ò cos
0
k)
p
4
ò 1 + cos 2 x
b)
dx
p
ò x sin x cos
0
p)
p
4
dx
ò cos
0
4
x
dx
Nguyên hàm – Tích phân
Trần Só Tùng
VẤN ĐỀ 8: Tính tích phân các hàm số mũ và logarit
Sử dụng các phép toán về luỹ thừa và logarit. Xem lại các phương pháp tìm nguyên
hàm.
Bài 1. Tính các tích phân sau:
a)
d)
1
e x dx
ò0 1 + e x
ln 8
ò
ln 3
g)
k)
2
e
ex +1
-x
1 1- e
e
e)
dx
h)
dx
ln x
ò
ln 2
ò
0
x
1
ò
b)
2
1 x (ln x + 1)
l)
dx
ò
dx
x
e +5
ln 8
ln 3
2
ln 2
1
i)
dx
m)
-x
+1
0e
dx
1- ex
dx
1+ ex
ò
dx
e-2 x
ò
x
0e +4
0
x
0 e +1
1
1
ò
f)
e x + 1.e 2 x dx
e2 x
ò
1
c)
e- x
ò
dx
-x
+1
0e
ln 3
1
ò
x
e +1
0
dx
Bài 2. Tính các tích phân sau:
p
2
a) ò e x sin xdx
b)
d) ò (e x + cos x) cos xdx
e)
ò
e
k)
2
ò
1
ln x + ln(ln x )
dx
x
ln x
x2
1
ò xe
c)
1
ò x ln(1 + x )dx
e
ỉ ln x
h) ò çç
+ ln 2
1 è x ln x + 1
l)
dx
p
3
ò
ln(sin x )
p
6
cos2 x
-x
dx
0
f)
e
1 + ln 2 x
dx
x
ò
1
0
0
g)
2x
ò xe dx
0
0
p
2
e2
2
ư
x ÷÷dx
ø
dx
i)
e3
ò
e2
m)
1
ò
0
ln(ln x )
dx
x
ln( x + 1)
x +1
dx
VẤN ĐỀ 9: Một số tích phân đặc biệt
Dạng 1. Tích phân của hàm số chẵn, hàm số lẻ
· Nếu hàm số f(x) liên tục và là hàm số lẻ trên [-a; a] thì
· Nếu hàm số f(x) liên tục và là hàm số chẵn trên [-a; a] thì
a
ò
f ( x )dx = 0
ò
f ( x )dx = 2 ò f ( x )dx
-a
a
-a
a
0
Vì các tính chất này không có trong phần lý thuyết của SGK nên khi tính các tích phân
có dạng này ta có thể chứng minh như sau:
a
0
a
0
a
ỉ
ư
Bước 1: Phân tích I = ò f ( x )dx = ò f ( x )dx + ò f ( x )dx ç J = ò f ( x )dx; K = ò f ( x )dx ÷
ç
÷
-a
0
-a
-a
0
è
ø
Bước 2: Tính tích phân J =
0
ò
f ( x )dx bằng phương pháp đổi biến. Đặt t = – x.
-a
– Nếu f(x) là hàm số lẻ thì J = –K
ÞI=J+K=0
Trang 92
Trần Só Tùng
Nguyên hàm – Tích phân
– Nếu f(x) là hàm số chẵn thì J = K Þ I = J + K = 2K
Dạng 2. Nếu f(x) liên tục và là hàm chẵn trên R thì:
a
a
f ( x)
dx = ò f ( x )dx
(với a Ỵ R+ và a > 0)
-a a + 1
0
Để chứng minh tính chất này, ta cũng làm tương tự như trên.
a
0
a
0
a
ỉ
f ( x)
f (x)
f (x )
f ( x)
f (x) ư
çJ = ò
I= ò
dx = ò
dx + ò
dx
dx; K = ò
dx ÷
x
x
x
x
x
ç
÷
a
+
1
a
+
1
a
+
1
a
+
1
a
+
1
-a
0
-a
-a
0
è
ø
Để tính J ta cũng đặt:
t = –x.
ò
x
p
2
é pù
Dạng 3. Nếu f(x) liên tục trên ê 0; ú thì
ë 2û
ò
f (sin x )dx =
0
p
2
ò
f (cos x )dx
0
p
-x
2
Dạng 4. Nếu f(x) liên tục và f (a + b - x ) = f ( x ) hoặc f (a + b - x ) = - f ( x )
thì đặt:
t=a+b–x
Đặc biệt, nếu a + b = p
thì đặt
t=p–x
nếu a + b = 2p
thì đặt
t = 2p – x
Dạng 5. Tính tích phân bằng cách sử dụng nguyên hàm phụ
Để xác đònh nguyên hàm của hàm số f(x) ta cần tìm một hàm g(x) sao cho nguyên hàm
của các hàm số f(x) ± g(x) dễ xác đònh hơn so với f(x). Từ đó suy ra nguyên hàm của
f(x). Ta thực hiện các bước như sau:
Bước 1: Tìm hàm g(x).
Bước 2: Xác đònh nguyên hàm của các hàm số f(x) ± g(x), tức là:
ì F ( x ) + G( x ) = A( x ) + C1
(*)
í F ( x ) - G( x ) = B( x ) + C
2
ỵ
Để chứng minh tính chất này ta đặt:
Bước 3: Từ hệ (*), ta suy ra F ( x ) =
t=
1
[ A( x ) + B( x )] + C là nguyên hàm của f(x).
2
Bài 1. Tính các tích phân sau (dạng 1):
a)
p
4
7
5
x - x + x - x +1
ò
p
4
1
4
cos x
-
d)
ò
3
(
dx
b)
)
e)
-1
g)
ò
p
2
5
sin x
1 + cos x
dx
cos x ln( x + 1 + x 2 )dx c)
ò
p
2
1
-
ln x + 1 + x 2 dx
p
2
p
2
h)
ò
x dx
4
- x2 + 1
xdx
ò
p
2
2
4 - sin x
f)
ỉ 1- x ư
cos x.ln ç
÷dx
è 1+ x ø
1
ò
-
-1 x
p
2
1
2
2
1
ò
-1
i)
p
2
ò
p
2
x 4 + sin x
x2 + 1
dx
x + cos x
4 - sin 2 x
dx
Bài 2. Tính các tích phân sau (dạng 2):
a)
1
x4
ò x dx
-1 2 + 1
b)
1
ò
1 - x2
-1
1+ 2
x
dx
Trang 93
c)
1
ò
-1 (e
dx
x
+ 1)( x 2 + 1)
Nguyên hàm – Tích phân
d)
sin 2 x
p
ò
-p
p
2
g)
ò
x
3 +1
3
x2 +1
e) ò
dx
x
-31 + 2
dx
sin x sin 3 x cos 5 x
1 + ex
p
2
Trần Só Tùng
dx
p
4
h)
f)
6
6
sin x + cos x
ò
6x + 1
p
4
dx
1
dx
ò
-1 (4
p
2
i)
+ 1)( x 2 + 1)
x
x 2 sin 2 x
ò
p
2
dx
1 + 2x
Bài 3. Tính các tích phân sau (dạng 3):
p
2
a) ò
0
d)
n
cos x
n
n
cos x + sin x
p
2
sin
2009
p
2
dx (n Ỵ N*) b)
ò
0
7
sin x
7
sin x + cos x
p
2
x
7
dx
c)
4
cos x
a)
ò
0
d)
g)
x.sin x
4 - cos2 x
b)
dx
ò ln(1 + tan x )dx
4 - sin 2 x
2p
e)
x
h)
ò 1 + sin x dx
ò
f)
f)
x sin x
ò sin 4 x ln(1 + tan x )dx
l)
0
ò
0
x sin x
2
9 + 4 cos x
p
2
dx
dx
ỉ 1 + sin x ư
ò ln çè 1 + cos x ÷ødx
0
i)
ò 2 + cos x dx
p
cos4 x + sin 4 x
0
0
p
4
sin 4 x
ò
c)
dx
x.cos3 xdx
0
p
0
k)
x + cos x
ò
0
p
4
0
p
p
sin x + cos x
p
2
0
p
sin x
ò
0
dx
e) ò
dx
4
4
sin 2009 x + cos 2009 x
0 cos x + sin x
Bài 4. Tính các tích phân sau (dạng 4):
ò
p
2
p
ò x.sin
0
p
xdx
x sin x
ò
0 1 + cos
m)
dx
3
2
x
dx
p
ò x sin x cos
4
xdx
0
Bài 5. Tính các tích phân sau (dạng 5):
a)
d)
p
2
0
p
2
ò
0
g)
b)
cos x
dx
sin x + cos x
p
2
ò
0
k)
sin x
ò sin x - cos x dx
6
sin x
6
6
sin x + cos x
p
2
2
ò 2 cos
e)
dx
x.sin 2 xdx
h)
n)
ò
-1 e
ex
x
+ e- x
dx
0
p
2
ò
o)
sin 4 x
sin 4 x + cos4 x
p
2
ò
0
l)
cos x
6
cos x
6
sin x + cos x
1
ò
ex
-1 e
x
1
ò
6
- e- x
dx
e- x
-1 e
x
+ e- x
dx
Trang 94
p
2
c)
ò sin x - cos x dx
0
0
1
p
2
dx
f)
0
p
2
ò
0
dx
i)
sin x
ò sin x + cos x dx
cos4 x
sin 4 x + cos4 x
p
2
ò 2 sin
2
x.sin 2 xdx
0
m)
1
ò
-1 e
e- x
x
dx
- e- x
dx
Trần Só Tùng
Nguyên hàm – Tích phân
VẤN ĐỀ 10: Thiết lập công thức truy hồi
b
Giả sử cần tính tích phân I n = ò f ( x , n)dx (n Ỵ N) phụ thuộc vào số nguyên dương n. Ta
a
thường gặp một số yêu cầu sau:
· Thiết lập một công thức truy hồi, tức là biểu diễn In theo các In-k (1 £ k £ n).
· Chứng minh một công thức truy hồi cho trước.
· Tính một giá trò I n cụ thể nào đó.
0
Bài 1. Lập công thức truy hồi cho các tích phân sau:
p
2
a) I n = ò sin n xdx
0
p
2
b) I n = ò cosn xdx
0
p
4
c) I n = ò tan n xdx
n -1
ì
· Đặt íu = sin x
ỵdv = sin x.dx
n -1
ì
· Đặt íu = cos x
ỵdv = cos x.dx
· Phân tích: tan n x = tan n -2 x ( tan 2 x + 1) - tan n -2 x
0
d) I n =
p
2
n
ò x cos x.dx
0
Jn =
p
2
ò
x n sin x.dx
0
1
n
ì
· Đặt íu = x
ỵdv = cos x.dx
n
ì
· Đặt íu = x
ỵdv = sin x.dx
ìïu = x n
· Đặt í
x
ïỵdv = e .dx
e) I n ò x n e x dx
0
e
f) I n = ò ln n x.dx
n
ì
· Đặt íu = ln x
ỵdv = dx
g) I n = ò (1 - x 2 )n dx
· Đặt x = cos t
1
1
2n
ì
Đặt íu = sin t
ỵdv = sin t.dt
®
0
1
h) I n = ò
dx
0 (1 +
x 2 )n
· Phân tích
1
Tính Jn = ò
1
(1 + x 2 )n
x2
0 (1 +
1
i) I n = ò x n 1 - x .dx
0
k) I n =
p
4
ò
0
dx
n
cos x
dx
=
x 2 )n
1 + x2
(1 + x 2 )n
-
x2
(1 + x 2 )n
ìu = x
ï
x
Đặt í
dv =
dx
2 n
ï
(1
+
x
)
ỵ
dx .
ìïu = x n
· Đặt í
ïỵdv = 1 - x .dx
· Phân tích
1
n
cos x
=
Trang 95
cos x
cos
n +1
x
® Đặt t =
1
cosn+1 x
Nguyên hàm – Tích phân
Trần Só Tùng
III. ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
1. Diện tích hình phẳng
· Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường:
– Đồ thò (C) của hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a; b].
– Trục hoành.
– Hai đường thẳng x = a, x = b.
b
S = ò f ( x ) dx
là:
(1)
a
· Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường:
– Đồ thò của các hàm số y = f(x), y = g(x) liên tục trên đoạn [a; b].
– Hai đường thẳng x = a, x = b.
b
S = ò f ( x ) - g( x ) dx
là:
(2)
a
Chú ý:
· Nếu trên đoạn [a; b], hàm số f(x) không đổi dấu thì:
b
ò
f ( x ) dx =
a
b
ò f ( x )dx
a
· Trong các công thức tính diện tích ở trên, cần khử dấu giá trò tuyệt đối của hàm số
dưới dấu tích phân. Ta có thể làm như sau:
Bước 1: Giải phương trình: f(x) = 0 hoặc f(x) – g(x) = 0 trên đoạn [a; b]. Giả sử tìm
được 2 nghiệm c, d (c < d).
Bước 2: Sử dụng công thức phân đoạn:
b
ò
a
c
d
b
a
c
d
f ( x ) dx = ò f ( x ) dx + ò f ( x ) dx + ò f ( x ) dx
=
c
ò
f ( x )dx +
a
d
ò
f ( x )dx +
c
b
ò f ( x )dx
d
(vì trên các đoạn [a; c], [c; d], [d; b] hàm số f(x) không đổi dấu)
· Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường:
– Đồ thò của x = g(y), x = h(y)
(g và h là hai hàm số liên tục trên đoạn [c; d])
– Hai đường thẳng x = c, x = d.
d
S = ò g( y ) - h( y ) dy
c
2. Thể tích vật thể
· Gọi B là phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại các điểm
các điểm a và b.
S(x) là diện tích thiết diện của vật thể bò cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại
điểm có hoành độ x (a £ x £ b). Giả sử S(x) liên tục trên đoạn [a; b].
Thể tích của B là:
b
V = ò S( x )dx
a
· Thể tích của khối tròn xoay:
Thể tích của khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường:
Trang 96
Trần Só Tùng
Nguyên hàm – Tích phân
(C): y = f(x), trục hoành, x = a, x = b (a < b)
sinh ra khi quay quanh trục Ox:
b
V = p ò f 2 ( x )dx
a
Chú ý: Thể tích của khối tròn xoay sinh ra do hình phẳng giới hạn bởi các đường sau
quay xung quanh trục Oy:
(C): x = g(y), trục tung, y = c, y = d
d
V = p ò g2 ( y)dy
là:
c
VẤN ĐỀ 1: Tính diện tích hình phẳng
Bài 1. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:
a) y = x 2 - 4 x - 6, y = 0, x = -2, x = 4
c) y =
1 + ln x
, y = 0, x = 1, x = e
x
ln x
1
, y = 0, x = , x = e
x
e
b) y =
ln x
d) y =
2 x
, y = 0, x = e, x = 1
1
e) y = ln x , y = 0, x = , x = e
f) y = x 3 , y = 0, x = -2, x = 1
e
x
1
1
g) y =
, y = 0, x = 0, x =
h) y = lg x , y = 0, x = , x = 10
10
2
1- x4
Bài 2. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:
-3 x - 1
a) y =
, y = 0, x = 0
b) y = x , y = 2 - x , y = 0
x -1
c) y = e x , y = 2, x = 1
d) y = x , x + y - 2 = 0, y = 0
e) y = 2 x 2 , y = x 2 - 2 x - 1, y = 2
f) y = x 2 - 4 x + 5, y = -2 x + 4, y = 4 x - 11
g) y = x 2 , y =
x2
27
, y=
27
x
h) y = 2 x 2 , y = x 2 - 4 x - 4, y = 8
i) y 2 = 2 x, 2 x + 2 y + 1 = 0, y = 0
k) y = - x 2 + 6 x - 5, y = - x 2 + 4 x - 3, y = 3 x - 15
Bài 3. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:
1
a) y = x , y = , y = 0, x = e
b) y = sin x - 2 cos x , y = 3, x = 0, x = p
x
c) y = 5 x -2 , y = 0, y = 3 - x , x = 0
d) y = 2 x 2 - 2 x , y = x 2 + 3 x - 6, x = 0, x = 4
e) y = x , y = 0, y = 4 - x
f) y = x 2 - 2 x + 2, y = x 2 + 4 x + 5, y = 1
g) y = x , y = 2 - x, y = 0
h) y =
a) y = 4 - x 2 , y = x 2 - 2 x
b) y = x 2 - 4 x + 3 , y = x + 3
1
-2 x
, y = e- x , x = 1
e
Bài 4. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:
c) y =
1 2
1
x , y = - x2 + 3
4
2
d) y =
1
1 + x2
Trang 97
,y =
x2
2
Nguyên hàm – Tích phân
Trần Só Tùng
e) y = x , y = 2 - x 2
f) y = x 2 - 2 x , y = - x 2 + 4 x
x2
1
g) y =
, y=
2
1 + x2
2
h) y = x + 3 + , y = 0
x
k) y = x 2 + 2, y = 4 - x
i) y = x 2 + 2 x, y = x + 2
Bài 5. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:
a) y = x 2 , x = - y 2
b) y 2 + x - 5 = 0, x + y - 3 = 0
c) y 2 - 2 y + x = 0, x + y = 0
d) y 2 = 2 x + 1, y = x - 1
e) y 2 = 2 x, y = x , y = 0, y = 3
f) y = ( x + 1)2 , x = sin py
g) y 2 = 6 x , x 2 + y 2 = 16
h) y 2 = (4 - x )3 , y 2 = 4 x
i) x - y3 + 1 = 0, x + y - 1 = 0
k) x 2 + y 2 = 8, y 2 = 2 x
Bài 6. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:
a) y = x.e x ; y = 0; x = -1; x = 2.
b) y = x.ln 2 x; y = 0; x = 1; x = e.
c) y = e x ; y = e- x ; x = 1.
d) y = 5 x -2 ; y = 0; x = 0; y = 3 - x.
e) y = ( x + 1)5 ; y = e x ; x = 1.
1
f) y = ln x , y = 0, x = , x = e
e
g) y = sin x + cos2 x , y = 0, x = 0, x = p h) y = x + sin x; y = x; x = 0; x = 2 p.
i) y = x + sin 2 x; y = p; x = 0; x = p.
k) y = sin 2 x + sin x + 1, y = 0, x = 0, x =
Bài 7. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:
a) (C ) : y = x +
p
2
1
, tiệm cận xiên của (C), x = 1 và x = 3.
2 x2
x2 + 2x + 1
b) (C ) : y =
, y = 0 , tiệm cận xiên của (C), x = –1 và x = 2
x +2
c) (C ) : y = x 3 - 2 x 2 + 4 x - 3, y = 0 và tiếp tuyến với (C) tại điểm có hoành độ x = 2.
d) (C ) : y = x 3 - 3 x + 2, x = -1 và tiếp tuyến cới (C) tại điểm có hoành độ x = –2.
e) (C ) : y = x 2 - 2 x và các tiếp tuyến với (C) tại O(0 ; 0) và A(3; 3) trên (C).
VẤN ĐỀ 2: Tính thể tích vật thể
Bài 1. Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra bởi hình (H) giới hạn bởi các đường sau quay
quanh trục Ox:
p
1
a) y = sin x, y = 0, x = 0, x =
b) y = x 3 - x 2 , y = 0, x = 0, x = 3
4
3
p
c) y = sin 6 x + cos6 x , y = 0, x = 0, x =
d) y = x , x = 4
2
e) y = x 3 - 1, y = 0, x = -1, x = 1
f) y = x 2 , y = x
x2
x3
g) y =
, y=
4
8
h) y = - x 2 + 4 x , y = x + 2
i) y = sin x, y = cos x , x =
p
p
,x=
4
2
k) ( x - 2)2 + y 2 = 9, y = 0
l) y = x 2 - 4 x + 6, y = - x 2 - 2 x + 6
m) y = ln x , y = 0, x = 2
Trang 98
Trần Só Tùng
Nguyên hàm – Tích phân
Bài 2. Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra bởi hình (H) giới hạn bởi các đường sau quay
quanh trục Oy:
2
a) x = , y = 1, y = 4
y
b) y = x 2 , y = 4
c) y = e x , x = 0, y = e
d) y = x 2 , y = 1, y = 2
Bài 3. Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra bởi hình (H) giới hạn bởi các đường sau quay
quanh: i) trục Ox
ii) trục Oy
a) y = ( x - 2)2 , y = 4
c) y =
1
2
x +1
b) y = x 2 , y = 4 x 2 , y = 4
d) y = 2 x - x 2 , y = 0
, y = 0, x = 0, x = 1
e) y = x.ln x, y = 0, x = 1, x = e
f) y = x 2 ( x > 0), y = -3 x + 10, y = 1
g) y = x 2 , y = x
h) ( x – 4 ) + y 2 = 1
i)
2
x2 y2
+
=1
9
4
k) y = x - 1, y = 2, y = 0, x = 0
m) y 2 = x 3 , y = 0, x = 1
l) x - y 2 = 0, y = 2, x = 0
Trang 99
Nguyên hàm – Tích phân
Trần Só Tùng
IV. ÔN TẬP TÍCH PHÂN
Bài 1. Tính các tích phân sau:
a)
2
ò
x 2 - x dx
2
2
b)
0
ỉ x -1 ư
d) ò ç
÷ dx
x+2ø
-1 è
1
g)
k)
x
ò
3
h)
dx
x2 + 1
Bài 2. Tính các tích phân sau:
l)
0
a)
2
x
ò1 1 + x - 1 dx
3
d)
ò
x5 + 2 x3
x2 + 1
0
o) ò x
h)
i)
2
-1 x + 2 x + 4
1
0 1+
3
ò
2
ò
x2 + 4
1
m)
x2
p)
1 - x dx
0
( x + 1)2
s)
dx
3
0 ( x + 1)
c) ò x 3 1 - x dx
1
4
2dx
ò
ò
3
3
m)
ò3
-1
3
7/3
q)
x -3
x +1 + x + 3
x +1
ò
3
3x + 1
dx
1
dx
t) ò x 3 1 - x 2 dx
x - 2 x -1
5
1 + x dx
òx
0
10
dx
-1
x + 1x .dx
ò
x5 + 1
0
i)
2+ x + 2- x
3
x4
0
xdx
ò
2
f)
x+5+4
2
ò
xdx
ò
0
x2 + x
0
Bài 3. Tính các tích phân sau:
a)
p /4
ò
0
d)
p/2
ò
0
g)
p/2
ò
1 - 2sin 2 x
dx
1 + sin 2 x
b)
2
2
cos x + 4 sin x
dx
e)
p/ 4
ò
cos 2 x (sin 4 x + cos4 x )dx h)
o)
ò
0
ò
1 + 3 cos x
p/2
ò
x tan 2 x dx
sin
2004
l)
x
sin 2004 x + cos2004 x
p/2
c)
dx
ò
dx
p)
p/2
0
sin x sin 2 x sin 3 x dx
tan x
2
cos x 1 + cos x
ò
0
sin 2 x
dx
cos x + 1
p/2
3
ò
0
sin 2 x cos x
dx
1 + cos x
ò
f)
p/2
ò
cos5 xdx
0
p/3
p/ 4
0
p/2
sin 2 x + sin x
0
0
k)
p/2
0
sin 2 x
dx
9
x 3 1 + x 2 dx
1
2
2 x + 5x + 2
x3 + 2 x2 + 4 x + 9
0
5
2
0
xdx
ò
- 2 x + 1 dx
dx
ò
0
dx
ò
2
1
f)
l) ò x 3 x 2 + 3 dx
1 + x 2 . x 3dx
1
ò3
0
1
0
r)
ò ( x + 2 - x - 2 )dx
-1
0
1
òx
1
5
e)
dx
0
ò
4
0
2
3
2 1+ x - 2x
b)
g) ò x 2 4 - x 2 dx
k)
8
3
c)
dx
-3
2
0 ( x + 1)
1
x7
ò
e)
xdx
ò
3
4 sin x
dx
1 + cos x
Trang 100
dx
i)
p
x sin x
ò
2
0 1 + cos x
m)
p/2
ò
0
q)
p/ 4
ò
0
dx
sin x
dx
1 + 3 cos x
1 - 2 sin 2 x
dx
1 + sin 2 x
dx
Trần Só Tùng
r)
p/2
Nguyên hàm – Tích phân
cos3 x
dx
sin x + 1
ò
0
s)
p/2
sin xdx
0
x
sin x + 2 cos x cos
2
ò
2
Bài 4. Tính các tích phân sau:
3
2
a) ò x ln( x + 5)dx
0
d)
p/2
ò
(esin x + cos x ) cos x dx
k)
o)
x3 + 1
ò x ln xdx
1
x 2e x
ò
2
0 ( x + 2)
p/2
ò
l)
dx
r)
ò
1
0
1
ò (4 x
p)
e
2
ln x
ò
x
1
x 1 + 2 ln x
-3
1
i)
- 2 x - 1)e2 x dx
1
dx
s)
e
2
0 1+ e
2
m)
ò
1
x
ln(1 + x )
1
x2
dx
1
q) ò x ln(1 + x 2 )dx
dx
0
1 + 3 ln x . ln x
dx
x
ò
dx
ò
0
0
3 - 2 ln x
f) ò x 2 ln 2 x dx
h) ò ( x 2 + 1)e x dx
e3 x sin 5 x dx
e
+ 2e
-x
1
e
2
ln 3 e
x
sin 2 x cos2 x
e
dx
ò
0
0
2
e)
ò
c) ò ( x - 2)e2 x dx
b) ò ln( x - x)dx
2
ln 5
t)
x sin 2 xdx
1
3
0
g)
2
p/3
t)
e3
ln 2 x
1
ln x + 1
òx
dx
Bài 5. Tính diện tích các hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:
4
, y = 0, x = -2, x = 1
2-x
a) y = x 3 - 3 x + 1, y = 0, x = 0, x = -1
b) y =
1
9
c) y = - x 4 + 2 x 2 + , y = 0
4
4
1
1
e) y = x - 1 +
, y = 0, x = 2, x = 4
2
x -1
d) y = e x , y = 2, x = 1
f) y = x 2 - 2 x , y = - x 2 + 4 x
2x +1
-x2 + x
, y = 0, x = 0
h) y =
, y=0
x +1
x +1
x2 + 3x - 2
, tiệm cận xiên, x = 0, x = 1
m) y =
x +1
g) y =
n) y =
x2 + x - 2
, y = 0, tiếp tuyến vẽ từ gốc toạ độ
x +1
o) y = x 3 + 3 x 2 + 3 x + 1 , tiếp tuyến tại giao điểm của (C) với trục tung.
1 3
x - 3 x , tiếp tuyến tại điểm M thuộc đồ thò có hoành độ x = 2 3 .
4
Bài 6. Tính thể tích các vật thể tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các
đường sau quanh trục:
p) y =
a) y = x , y = 0, x = 3; Ox
b) y = x ln x , y = 0, x = 1, x = e; Ox
c) y = xe x , y = 0, x = 1; Ox
d) y = 4 - x 2 , y = x 2 + 2; Ox
e) y 2 = 4 - x , x = 0; Oy
f) x = ye y , x = 0, y = 1; Oy
Chân thành cảm ơn các bạn đồng nghiệp và các em học sinh đã đọc tập tài liệu này.
Trang 101
