gt12 c3b

Nguyên hàm – Tích phân

CHƯƠNG III
III
CHƯƠNG
NGUYÊN HÀM,
HÀM, TÍCH
TÍCH PHÂN
PHÂN VÀ
VÀ ỨNG
ỨNG
NGUYÊN
DỤNG
DỤNG

II. TÍCH
TÍCH PHÂN
PHÂN
II.
1. Khái niệm tích phân
 Cho hàm số f liên tục trên K và a, b  K. Nếu F là một
nguyên hàm của f trên K thì:
F(b) – F(a) đgl tích phân của f từ a đến b và kí hiệu là
b

f (x)dx .
�
a

b

f (x)dx  F (b)  F (a)
�
a

 Đối với biến số lấy tích phân, ta có thể chọn bất kì một
chữ khác thay cho x, tức là:
b

b

b

a

a

a

f (x)dx  �
f (t)dt  �
f (u)du  ...  F (b)  F (a)
�
 Ý nghóa hình học: Nếu hàm số y = f(x) liên tục và không
âm trên đoạn [a; b] thì diện tích S của hình thang cong giới hạn
bởi đồ thò của y = f(x), trục Ox và hai đường thẳng x = a, x =
b

S �
f (x)dx

b là:

a

2. Tính chất của tích phân


0

f (x)dx  0
�



0

b

a

f (x)dx   �
f (x)dx
�
a

b

b

kf (x)dx  k�

f (x)dx
�



b

a

(k:

a

const)


b

b

b

a

a

a

f (x)dx ��
g(x)dx

 f (x) �g(x)dx  �
�

 Nếu f(x)  0 trên [a; b] thì



b

c

b

a

a

c

f (x)dx  �
f (x)dx  �
f (x)dx
�

b

f (x)dx �0
�
a

 Nếu f(x)  g(x) trên [a; b] thì

b

b

a

a

f (x)dx ��
g(x)dx
�

3. Phương pháp tính tích phân
a) Phương pháp đổi biến số
b

u(b)

a

u(a)

f  u(x) .u'(x)dx  �f (u)du
�

trong đó: u = u(x) có đạo hàm liên tục trên K, y = f(u) liên
tục và hàm hợp f[u(x)]
xác đònh trên K, a, b  K.

b) Phương pháp tích phân từng phần
Trang 84


Nguyên hàm – Tích phân
Nếu u, v là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên K, a, b 
K thì:
b

b

b

udv  uv  �
vdu
�
a

a

a

Chú ý: – Cần xem lại các phương pháp tìm nguyên hàm.
– Trong phương pháp tích phân từng phần, ta cần chọn
b

sao cho

b

vdu dễ tính
�

udv .
�

hơn

a

a

VẤN ĐỀ 1: Tính tích phân bằng cách sử dụng bảng
nguyên hàm
Biến đổi biểu thức hàm số để sử dụng được bảng các
nguyên hàm cơ bản. Tìm nguyên hàm F(x) của f(x), rồi sử
dụng trực tiếp đònh nghóa tích phân:
b

f (x)dx  F (b)  F (a)
�
a

Chú ý: Để sử dụng phương pháp này cần phải:
– Nắm vững bảng các nguyên hàm.
– Nắm vững phép tính vi phân.
Tính các tích phân sau:

Bài 1.

2

2

a)

( x

3

 2 x  1)dx

1

2

d)

1

x

�x2  2dx

e)

2

2

2

1

2 2

x  2x

� x3

dx

1

c)

x 1

x

2

e

(x 
f) �
1

3

2 x  5 7x
dx
l) �
x
1

1 1

 x2)dx
2
x x

4

i)

1

e2

dx

1

2

2

5

�x  1dx

b)

1

2

�
0

Bài 3.



4
dx
x2

(x  x x  x)dx
h) �

2

d)

4

2





x  23 x  44 x dx

1

8�

1 �
�
�
4x 
dx
m) �
�
3 2�
1�
3 x �

Tính các tích phân sau:

Bài 2.

a)

x



1

( x  1)(x  x  1)dx
g) �
k)

3
3 x 1
b) ( x   e )dx
x
1
2

xdx
2

�x  2 

x 2

2

dx

e)

2

�

03

2

3x

3

1 x
1 x
Tính các tích phân sau:




a) sin(2 x  ) dx
6
0

b)

2

dx

dx


2

(2sin x  3cosx  x)dx
�


3

Trang 85

(x2  x x  3 x)dx
c) �
1

f)

c)

4

x
�
0

6

x2  9dx

 sin3x  cos2x dx
�
0

Nguyên hàm – Tích phân

d)


4

tan x.dx

�

0

g)


3

e)

cos2 x


2

dx

h)

�
1 sin x

0

2

3tan
�

xdx


4

2 1 cos x

dx
�
1 cos x

0

2


3


sin(  x)

(tan x  cot x)2dx
dx
k) �
l) � 4


 sin(  x)

4
6
2
Bài 4.
Tính các tích phân sau:
e  e x

1 x

a)

�
ex  e x

2

dx

b)

dx
ex  1

e)

0

d)
g)
k)

ln2

�
0

ex


2 ecosx sin xdx
0

h)

�

e ln x

�
1 x

l)

dx

(x  1).dx

�

2
1 x  x ln x
2 x
e (1
1

�

x

4e

�
1
1

x
x2

xe
�
0

e x
)dx
x

dx


4

f)

i)

2

(2cot
�


6

2

2

sin
�

x.cos2 xdx

0

m)


4

4

cos
�

xdx

0

2x
1e  4

c)

�
0 x

e 2

dx

x
1e

f)

dx
�
0 x
2

i)

�
1

e

1

m)

dx

x  5) dx

1 ln x
dx
x
1

dx
�

1 ex
0

VẤN ĐỀ 2: Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số
b

Dạng 1: Giả sử ta cần tính

g(x)dx .
�
a

Nếu viết được g(x) dưới dạng: g(x)  f  u(x) .u'(x)
b

u(b)

a

u(a)

g(x)dx 
�

thì

�f (u)du


Dạng 2: Giả sử ta cần tính

�f (x)dx .



x(b)

Đặt x = x(t) (t  K) và a, b  K thoả mãn  = x(a),  =
thì



b

b



a

a

f  x(t) x'(t)dt  �
g(t)dt
�f (x)dx  �

 g(t)  f  x(t) .x'(t)

Dạng 2 thường gặp ở các trường hợp sau:

Trang 86


Nguyên hàm – Tích phân
f(x) có
chứa

Cách đổi biến



�t �
2
2
a x
hoặc
x  a cost, 0 �t �


x  a tant,
  t
2
2
2
2
a x
hoặc
x  a cot t,
0 t  
�  �

a
x
,
t ��
 ; \  0
sint
� 2 2�
�
2
2
hoặc
x a
� �
a
x
,
t � 0;  \ � �
cost
�2
Bài 1.
Tính các tích phân sau (đổi biến số dạng 1):
1
1
1
x3
x5
19
x
(
1


x
)
dx
dx
a) 
b) 
c)  2
2 3
(
1

x
)
x

1
0
0
0
2

1

d)


0

g)

k)

exdx

0

 e  1

�

3

x2  4

ln3

x


2

1

f)

0

dx

5

x 1 x2dx
�

e)

2x  1

x



1

xdx

2 3

x  a sint,

2

h)

x  2x


0

e

3

5

l)


1

dx

1 x2 dx

0

ln2

3

1 x2

3

x
�

ex

�1 ex dx

i)

0

2  ln x dx
2x

e

m)


1

1  3 ln x ln x
dx
x




2

3
6
sin 2 x
n)
o) cos x. sin x dx

p)
dx
dx
2
2
2



2
2
1

sin
x
2
sin
x

cos
x
cos
x

4
sin
x
0
0
0

Bài 2.
Tính các tích phân sau (đổi biến số dạng 2):

a)

sin 2 x

1
2

1

dx

 1
0

b)

x2

0

dx
2

0 x 3
0

g)

�

1

dx
x2  2x  2

e)

k)

�

2

dx
2

x x 1


1

l)

2
2

�

0

x2  1
dx
x3

1

f)

x
0

1

i)


0

2

x2
2

1 x

2

4  x 2 dx

1

dx
2
2

0 ( x  1)( x  2)
2

h)

2
3

4 x

x

c)

2

1

3

d)



2

x 2 dx

dx

m)

4

xdx
 x 2 1
dx

1  x 

2 5

2

x 2x  x
�

dx

0

VẤN ĐỀ 3: Tính tích phân bằng phương pháp tích phân
từng phần

Với P(x) là đa thức của x, ta thường gặp các dạng sau:
Trang 87


Nguyên hàm – Tích phân
b

P (x).exdx
�
a

u
dv

P(x)
exdx


4

x sin 2 xdx
2
4

� x cos xdx

b)

lnx
P(x)

2

( x  sin

2

x) cos xdx

e)


3

x tan2 xdx
�

3x

e sin 5 xdx
0


2

o) x ln xdx

p)

1

dx

i)

ln( x

2

 x) dx

2

e

e
e

2

2x

3

x ln xdx
cos x

sin 2 xdx

ln

m)

3

xdx

1

0

e
3

( x  2)e
0

1

l)

cos xdx

1

f)


4

h)

2

0

e

x
xe dx

x

c)

0

0

k)

a

P(x)
sinxdx


2

ln 2


2

P (x).l n xdx
�

a

P(x)
cosxdx

0

g)

b

P (x).sin xdx
�

a

0

d)

b

P (x).cos xdx

�

Tính các tích phân sau:

Bài 1.

a)

b

ln x

x

2

dx

1
e

0

q)

x(e

2x

 3 x  1)dx

1

VẤN ĐỀ 4: Tính tích phân các hàm số có chứa giá trò
tuyệt đối
Để tính tích phân của hàm số f(x) có chứa dấu GTTĐ, ta cần
xét dấu f(x) rồi sử dụng công thức phân đoạn để tính tích
phân trên từng đoạn nhỏ.
Tính các tích phân sau:

Bài 1.

2

2

a) x  2 dx
0

3

d)
g)

2

�x

 1 dx

e)

2
3

 6x  9dx

h)

1

Bài 2.

0

d) �1 sinxdx


2

 2 x  3 dx

f)

x

2
�

 4 dx

0

1

i)

�4 xdx

1

Tính các tích phân sau:

 1  cos 2 x dx




x 3  4 x 2  4 x dx

3

0



2

a)

( x  2  x  2)dx
�

x
0

5

4

�x

c)

0

3

2

2

2
b) x  x dx

b)

�1 sin2x.dx

0

c)


2

�sinx dx




2

2

e) �1 cosxdx
0

Trang 88



f)

�1 cos2xdx

0


Nguyên hàm – Tích phân


3

2
2
g) �tan x  cot x  2dx


6


3

cos x cos x  cos3 xdx i)
h) �

2

�1 sinxdx



2

0

VẤN ĐỀ 5: Tính tích phân các hàm số hữu tỉ
Xem lại cách tìm nguyên hàm của các hàm số hữu tỉ.
Tính các tích phân sau:

Bài 1.

1

3

1

d)
g)

3

dx
b)  2
0 x  5x  6

dx
a) 
3
1 xx

3

x

1  2 x 

dx

e)

4

x 2 dx

f)

0

1  x 
2

x

4

1

1 3

3

dx

h)

x(x  1)
0

3

3

2

2x  6x  9x  9

�

9

2

i)

 5x  6

x  x 1
dx

0

1

2

3x  3x  3

dx

dx
l) �3
x2  3x  2
2 x  3x  2
Bài 2.
Tính các tích phân sau:
2
3
dx
3x 2  2
dx
a)  2
b)  2
x 1
0 x  2x  2
0



1

1

�

2
2
0 (x  2) (x  3)
2

g)

1

�
x(1 x4)

dx

h)

1
2

k)

0



2

1 x2008

�
x(1 x2008)

1

f)

1

dx
�
4  x2

l)

0

1 x2

�

1 1

x4

�

x

4
0 1 x
3

dx

i)

1
2

x 3  2x 2  4x  9
dx

x2  4
0

c)

x  x1
�x2  1 dx
0
2

dx

x2

dx
�
(3x 1)3

m)

1 3

e)

dx
(1  x)

� x 1

1

d)

2

1

 4 x  11 dx

x
0

2

k)

x 3 dx
2

0 x  2x  1

c)

x4

�2

2
2 (x  1)
1

dx

dx

m)

dx

2  x4

dx
�
1 x2
0

VẤN ĐỀ 6: Tính tích phân các hàm số vô tỉ
Xem lại cách tìm nguyên hàm của các hàm số vô tỉ.
Tính các tích phân sau:

Bài 1.

1

2 2

x

a)

2

x  1dx

b)

0

0

2

d)

1 
1

10

g)

x 1

dx

dx

5

k)

6

x

�x  2

7
3

x 1

x1

 3x  1 dx
0

3

x 

e)

1

x3

�

2

x 1

dx

c)

2

f)

4x  1

h)

x

1
2

x  1dx

0

2 3

l)

�
5

i)

x x2  4

Trang 89



x5 1

4x  3

2 
0

dx

x4

0

1

3

x 1  x

0

dx

2 2x  1

dx



3

m)

x5  x3

�
0

3x  1

2

1 x

dx

dx

dx


Nguyên hàm – Tích phân
2

2
2

1 x
n)
� 1 xdx
0
1

2

3

2

1 x dx

x
�

b)

e)

1

�
2
2

k)

�
0

Bài 3.

a)

d)


2

h)

x  x2  1
dx

l)
2 3

cos xdx

b)

�7 cos2x

0

3

x sin x cos5 xdx

e)

h)

2

1 cos x

� 1 3cosx


3

f)

dx

tan x

�

 cos x
4

2

�12x  4x

 8dx


2

�

1 cos2 x


3

cos xdx

2  cos2 x

cos xdx

�2 cos2x

0

dx

i)


2 sin2x  sin x

� 1 3cos x

dx

0

Tính các tích phân sau:

ln3

�

a)

5
4

0

0

cos xdx

Bài 4.

0
e

cos x  cos2 xdx c)


2 sin2x  sin x

6

x2  1

0 x

1


2

�1 cos

dx

x3dx

�

2

sin x
�

2

�1 x

m)

0

�

i)

x dx


2

(1 x2)3

0

2

0


2

dx

(1 x )
0 1 x
Tính các tích phân sau:

0

g)

�

1

1

x2  2008

2
2

x3  1

1

f)

dx

�

1

1x

0

x3 10  x2 dx
�
2

dx

�

c)

0

dx

11

x2  1

x

dx

3

2
�x  2008dx
1

x2  1

�2

1

2

g)

�

2

�

p)

2

0

d)

dx

x x2  1
Tính các tích phân sau:

Bài 2.

a)

o)

3

ln2

dx

b)

ex  1

e2xdx

�

0

c)

ex  1

1 3ln x ln x
dx
x

�

1

d)

ln3

ln2 x

ln2 x

ln x 1

�

ln3

g)

�x
0

0

dx

ex

(e  1) ex  1

e)

2x

�x(e

ln2

3

 x  1)dx

f)

dx

1

h)

�x

0

�

0

1

ex

e  e x

ln2

dx

i)

exdx
(ex  1)3
x

�e

 1dx

0

VẤN ĐỀ 7: Tính tích phân các hàm số lượng giác
Xem lại cách tìm nguyên hàm của các hàm số lượng giác.

Bài 1.

Tính các tích phân sau:

Trang 90


Nguyeân haøm – Tích phaân
a)


4

b)

sin 2 x. cos xdx
0

d)


2

sin

e)

xdx



2

2

sin
�

h)

x cos4 xdx


2

3

l)

x  cos3 x)dx

0

n)

o)

tan3 xdx
�

�

3

sin x

2
0 1 cos x

Baøi 2.

a)

sin

2

i)

x cos 3 xdx


2

3

cos x

4

tan

�


2

3
5
 1  cos x sin x cos xdx

b)

4

cos2x(sin
�

4

x  cos x)dx

e)


3

sin x.ln(cos x)dx
�

xdx

p)

1
a) � dx
 sin x

h)

dx

�
sin x.cos3 x


4

 /3

dx

�sin4 x.cos x

s)

 /6

1  sin 2 x  cos 2 x
dx
sin x  cos x





3

c)


 cos x

tan x
1  cos 2 x

cos x

dx
�
1 cos x

1
dx
�
sin
x

cos
x

1

0

dx

4


4
0

 (tan x  e

sin x

cos x) dx

f)


4

sin3 x

�
(tan2 x  1)2.cos5 x

dx i)


2

1  sin x 
2


3

�



0

b)

e)

0

g)


3

3

sin 2 xdx

1
2

2
 sin x  9cos x
3

Tính caùc tích phaân sau:


2


2

dx

0

0

d)

sin 2 x cos x

 1  cos x
0

6


2

3

2

x cos5 xdx

Tính caùc tích phaân sau:


2

Baøi 3.


2

cos3 x
r)
dx
�
1 cos x
0

dx

4

sin
�

m)

dx
�
cos x  1

3

3x

0

0

g)


2


2

0

d)


2

2

cos
0


4

0

q)

f)

0


4


2



2
sin xdx

0

(sin

�

sin x

1  3 cos x dx
0

0

0

k)

c)

tan xdx


3


2

0

0

g)



4

h)


2

dx

�
2  cos x

c)


2

0

0


2


2

cos x

dx

�
2  cos x

f)

0


2


4

sin x  cos x  1




2

Trang 91

i)

sin x

dx
�
2  sin x

0

�sin x  2cosx  3 dx

1

dx
�
2  sin x

�

0

dx


cos x cos(x )
4

dx


Nguyên hàm – Tích phân

k)


2

(1 sin x)cos x

�

2
0 (1 sin x)(2  cos x)

d)

l)

 sin x cos(x
4


2

(2 x  1) cos xdx

b)


)
4

dx

�

m)

 sin xsin(x
6

xdx

0


2


2

sin
�

3

xdx

cos(ln x)dx
g) �

e)

h)

0


3




4

e
�

sin xdx

l)

0


2


)
6

sin2 x

sin xcos3 xdx

o)

0

x

cos

f)


2

2

dx

x

2x1

sin2xe
.
�

dx

0

ln(sin x)

dx

i)


2

2

xdx

2

xdx

(2x  1)cos
�

0

6



xsin x cos
�

m)

x tan2 xdx
�

0

0

e
�


3
0

cos xdx

�cos2 x



2

2

x
�

1

2x

c)

0

2

n)


4

1  cos 2 x

0

k)

dx

�


3

Tính các tích phân sau:

Bài 4.

a)

dx


3


4

ln(1 tan x)dx
�


4

p)

dx

cos

4

0

0

x

VẤN ĐỀ 8: Tính tích phân các hàm số mũ và logarit
Sử dụng các phép toán về luỹ thừa và logarit. Xem lại các
phương pháp tìm nguyên hàm.
Tính các tích phân sau:

Bài 1.
1

ln 2

e x dx
a) 
x
0 1 e
ln 8

d)

ex



e x 1

ln 3

2

g)

�

1

x
1 1 e

dx
x

0 e 5

b)
dx

e)

ln 8



ln 3

2

dx

h)

a)


2

2x

e  1.e dx

e2x

dx
�
ex  1

0

d)


2

b)

xe

(e

 cos x ) cos xdx

0

2

e

ln x  ln(ln x)
dx
g) �
x
e

4

dx

i)

� x
0e

1

ln3

�

m)

0

dx

1
x

e 1

dx

1
2x

dx

0

c)

xe

x

dx

0

1

x

0e

e x

1

2

e sin xdx

1

�x

1 ex
dx
x

0 1 e

f)

0

ln x

x

1

ln 2
x

1 2x

e
dx
dx
l)
� 2
�
x
e

1
x
(ln
x
1
)
1
0
Bài 2.
Tính các tích phân sau:
e

k)

c)

e) x ln1  x  dx
0

e

 ln x
 ln 2
h) 
1  x ln x  1
Trang 92

e

1 ln2 x
f) �
dx
x
1

x  dx i)


e3

ln(ln x)
dx
x
e2

�


Nguyên hàm – Tích phân
2

lnx
k) �2 dx
1 x

l)


3 ln(sin x)

�

2

cos x


6

1

dx

m)

ln(x  1)

� x  1 dx
0

VẤN ĐỀ 9: Một số tích phân đặc biệt

Dạng 1. Tích phân của hàm số chẵn, hàm số lẻ
 Nếu hàm số f(x) liên tục và là hàm số lẻ trên [-a; a] thì
a

�f (x)dx  0

a

 Nếu hàm số f(x) liên tục và là hàm số chẵn trên [-a; a]
a

a

a

0

f (x)dx
�f (x)dx  2�

thì

Vì các tính chất này không có trong phần lý thuyết của SGK
nên khi tính các tích phân có dạng này ta có thể chứng minh
như sau:
Bước 1: Phân tích I 

a

�f (x)dx 

a

0

a

a

0

f (x)dx
�f (x)dx  �

�
�
�J  �f (x)dx; K  �
f (x)dx�
�
�
0
� a
�
0

a

Bước 2: Tính tích phân J 

0

�f (x)dx

bằng phương pháp đổi biến.

a

Đặt t = – x.
– Nếu f(x) là hàm số lẻ thì J = –K
I=J+K=0
– Nếu f(x) là hàm số chẵn thì J = K  I = J + K = 2K
Dạng 2. Nếu f(x) liên tục và là hàm chẵn trên R thì:


f (x)



(với   R+ và a > 0)
�ax  1dx  �f (x)dx

0
Để chứng minh tính chất này, ta cũng làm tương tự như trên.


0

� 0 f (x)
f (x)
f (x)

f (x)
f (x) �
�J  �
dx; K  �
dx�
I �
dx  �
dx  �
dx
x
x
x
x
x
�
�
a

1
a

1
a

1
a

1
a


1
0


0
� 
�
Để tính J ta cũng đặt: t = –x.
��
0;
Dạng 3. Nếu f(x) liên tục trên �
thì
� 2�
�

2


2

0

0

�f (sin x)dx  �f (cos x)dx

Để chứng minh tính chất này ta đặt:
Dạng 4. Nếu f(x) liên
f (a  b  x)   f (x)
thì đặt:

t=a+b–x

tục

Trang 93

và

t


x
2
f (a  b  x)  f (x)

hoặc


Nguyên hàm – Tích phân
Đặc biệt,
nếu a + b = 
thì đặt
t=–x
nếu a + b = 2 thì đặt
t = 2 – x
Dạng 5. Tính tích phân bằng cách sử dụng nguyên hàm
phụ
Để xác đònh nguyên hàm của hàm số f(x) ta cần tìm một
hàm g(x) sao cho nguyên hàm của các hàm số f(x)  g(x) dễ
xác đònh hơn so với f(x). Từ đó suy ra nguyên hàm của f(x). Ta

thực hiện các bước như sau:
Bước 1: Tìm hàm g(x).
Bước 2: Xác đònh nguyên hàm của các hàm số f(x)  g(x),
tức là:
�F (x)  G(x)  A(x)  C1
(*)
�F (x)  G(x)  B(x)  C
�
2
Bước 3: Từ hệ (*), ta suy ra F (x) 
của f(x).

Tính các tích phân sau (dạng 1):

Bài 1.

4


4
1



d)

7

5

3

x  x  x  x 1
dx
cos4 x

�

a)





ln x  1 x2 dx
�

b)


2

5

sin x

h)




2
1

x4

�x dx
1 2  1

b)

sin2 x
d) � x dx
 3  1
g)

i)

2
 4  sin x

2
1

1 x2

�

dx



4


2

x  cos x

�

2
 4  sin x

2

1 2x

1

c)

dx

6

�x

dx

1 (e

dx
 1)(x2  1)

1

f)
6

sin x  cos x
dx
h) �
6x  1



n

cos x

*
dx (n  N ) b)
� n
n
0 cos x  sin x

sin x

�sin x 

0

xdx

x4  sin x
� 2 dx
1 x  1

4

�x

1 (4

dx
 1)(x2  1)


2

x2 sin2 x
dx
i) �
x
 1 2


2

Tính các tích phân sau (dạng 3):

Bài 3.


2

�

x2 1
dx
e) 
x
1

2
3

1 ex



2

a)

f)

3

sin xsin3x cos5x

�


2


2

1
2

1

x dx

4
2
1 x  x  1

1




2



�

�
1 x �

dx
�
�cosx.ln�
1 x �
�

Tính các tích phân sau (dạng 2):

Bài 2.

a)

1
2

1 x2 )dx c)

�cos xln(x 


2
1

e)

� 1 cos x dx


2


1

g)

1
 A(x)  B(x)  C là nguyên hàm
2

cos x


2

sin7 x

dx
�
sin7 x  cos7 x

0

dx
Trang 94

c)

Nguyeõn haứm Tớch phaõn
d)


2



2009

sin
2009

2009

x cos

0 sin

2

x
x

dx

e)

2

cos4 x



f)

dx
cos
x

sin
x
0
4

4

sin4 x



dx
4
4
cos
x

sin

x
0
Baứi 4.
Tớnh caực tớch phaõn sau (daùng 4):


a)

d)

x.sin x



dx
2
0 4 cos x


4



b)

ln(1 tan x)dx


e)

dx
0 4 sin x
2

x
dx

1

sin
x
0

3

x.cos

xdx

xdx



i)

xsin x



2

0 1 cos x

xsin x

dx

m)

0

0

4

3

x.sin


dx

9 4cos2 x

l)

sin4x ln(1 tan x)dx


xsin x cos

f)

0







xsin x
dx

2

cos
x
0


4

1 sin x

ln
dx


1 cos x

0



h)


2

c)

0



k)



2

0

g)

x cos x

xdx

0

Tớnh caực tớch phaõn sau (daùng 5):

Baứi 5.

a)

d)

g)


2

sin x

dx

sin x cos x

b)

0


2

2

cos x
dx

sin x cos x
0


2



6

sin x

dx
6
6
0 sin x cos x

e)

h)

2

x.sin2xdx

l)

0

1

x

ex

x
1 e e

o)

sin x


2

6

cos x



dx
0 sin x cos x

6

ex

x
x
1 e e
1

dx

4

dx
4
4
0 sin x cos x

1

2cos


cos x

dx

sin x cos x

0


2

n)


2

6

c)

sin x

dx

sin x cos x

0

f)


2



dx

x
1 e e

dx

Trang 95

cos4 x

dx

4
4
0 sin x cos x

i)


2

2

2sin


x.sin2xdx k)

0

1

e x

x


2

m)



e x

x
x
1 e e

dx