gt12 c4a

Số phức

Trần Só Tùng

CHƯƠNG IV
IV
CHƯƠNG
SỐ PHỨC
PHỨC
SỐ

I. SỐ
SỐ PHỨC
PHỨC
I.
1. Khái niệm số phức
 Tập hợp số phức:
C
 Số phức (dạng đại số) : z  a  bi
(a, b �R , a là phần thực, b là phần ảo, i là đơn vò ảo,
2
i = –1)
 z là số thực
 phần ảo của z bằng 0 (b = 0)
z là thuần ảo  phần thực của z bằng 0 (a = 0)
Số 0 vừa là số thực vừa là số ảo.
�
a  a'
a  bi  a�
 bi
�� �

(a, b, a', b'�R)
 Hai số phức bằng nhau:
b  b'
�
2. Biểu diễn hình học: Số phức z = a + bi (a, b �R) được biểu
r
diễn bởi điểm M(a; b) hay bởi u  (a; b) trong mp(Oxy) (mp phức)

3. Cộng và trừ số phức:
   b b�
i
   b b�
i
  a  bi    a�
  a  bi    a�
 bi
�   a  a�
 bi
�   a  a�
 Số đối của z = a + bi là –z = –a – bi
r
r
r r
 u biểu diễn z, u' biểu diễn z' thì u  u'biểu diễn z + z’ và
r r
u  u' biểu diễn z – z’.
4. Nhân hai số phức :
 aa�
   ab� ba�
i

  a  bi   a' b'i   �
�bb�
 k(a  bi )  ka  kbi (k �R)
5. Số phức liên hợp của số phức z = a + bi là z  a  bi
�z � z
. '  z.z'; �1 � 1 ;
 z  z ; z �z'  z �z'; zz
z.z  a2  b2
z
z
�2 � 2
 z là số thực  z  z ;
z là số ảo  z   z
6. Môđun của số phức : z = a + bi
uuuu
r
 z  a2  b2  zz  OM
 z �0, z�C ,
z  0� z 0
 zz
. '  z . z'



z
z

z' z'

 z  z' �z�z' �z  z'

7. Chia hai số phức:
1
z'
z'.z z'.z
1
 z' z1 

 z  2 z (z  0)

2
z
z.z
z
z
8. Căn bậc hai của số phức:
Trang 102



z'
 w � z'  wz
z


Số phức

Trần Só Tùng

 z  x  yi

là căn bậc hai của số phức

w  a  bi  z2  w



�x2  y2  a
�
� 2xy  b
 w = 0 có đúng 1 căn bậc hai là z = 0
 w �0 có đúng hai căn bậc hai đối nhau
 Hai căn bậc hai của a > 0 là � a
 Hai căn bậc hai của a < 0 là � a.i
9. Phương trình bậc hai Az2 + Bz + C = 0 (*) (A, B, C là các số
phức cho trước, A �0).
  B2  4AC
  �0 : (*) có hai nghiệm phân biệt z1,2 
bậc hai của )

 B �
, (  là 1 căn
2A

B
2A
Chú ý: Nếu z0  C là một nghiệm của (*) thì z0 cũng là
một nghiệm của (*).
10. Dạng lượng giác của số phức:
 z  r(cos  i sin) (r > 0) là dạng lương giác của z = a + bi (z  0)

�
�
r  a2  b2
�
a
�
��
cos 
r
�
b
�
sin 
�
r
  là một acgumen của z,   (Ox,OM )
   0 : (*) có 1 nghiệm kép: z1  z2  

 z  1� z  cos  i sin ( �R)
11. Nhân, chia số phức dưới dạng lượng giác
Cho z  r(cos  i sin) , z'  r '(cos ' i sin ') :
 z.z'  rr '. cos(   ')  i sin(   ')

z r
  cos(   ')  i sin(   ')
z' r '
12. Công thức Moa–vrơ:
  r (cos  i sin)  r n(cosn  i sinn) ,
n

( n�N* )

  cos  i sin   cosn  i sinn
13. Căn bậc hai của số phức dưới dạng lượng giác:
  i sin ) (r > 0) có hai căn bậc hai là:
 Số phức z  r(cos�
� 
�
r�
cos  i sin �
� 2
2�
� �
�
� 
�
�
�
�
va� r �
cos  i sin � r �
cos�   � i sin�   �
�
� 2
2�
�
�2
�
� �2
�

z

r
(cos�


i
sin

)
 Mở rộng: Số phức
(r > 0) có n căn bậc n
là:
n

Trang 103


Trần Só Tùng
n

Số phức

�   k2
  k2
r�
cos
 i sin
n
n

�

�
, k  0,1,..., n 1
�
�

VẤN ĐỀ 1: Thực hiện các phép toán cộng – trừ – nhân –
chia
Áp dụng các quy tắc cộng, trừ, nhân, chia hai số phức, căn
bậc hai của số phức.
Chú ý các tính chất giao hoán, kết hợp đối với các phép
toán cộng và nhân.
Tìm phần thực và phần ảo của các số phức sau:
�1
�
�2 5 �
i  (2  3i ) �(5 i )
a) (4�)
b) 2  i  �  2i �
c)  2  3i   �  i �
�3
�
�3 4 �

Bài 1.

� 1 ��3
�1
3 i � �

  2i � i
d) �
� 3 ��2
�2
3 i
2 i
g)

1 i
i
m
k)
i m
o)

1 i
2 i

�3 1 � � 5 3 �
  i�
e) �  i � �
�4 5 � � 4 5 �
3
h)
1  2i
l)
p)

a i a
a i a

a i b

i a
Bài 2.
Thực hiện các phép toán sau:
2
a) (1 i)  (1�)
b) (2  i )3  (3 i )3
i2
3

�1
�
d) �  3i �
�2
�

e)

(1  2i ) 2  (1  i ) 2
(3  2i ) 2  (2  i ) 2

f) (2  3i)(3 i )
i)

1 i
1 i

m)
q)

3i
(1  2i )(1  i )
2  3i
4  5i

c) (3 4i)2
f) (2  i)6

g) (1  i)3  (2i)3
h) (1 i )100
i) (3 3i )5
Bài 3.
Cho số phức z  x  yi . Tìm phần thực và phần ảo của
các số phức sau:
zi
a) z2  2z 4i
b)
iz  1
Bài 4.
Phân tích thành nhân tử, với a, b, c  R:
a) a2  1
b) 2a2  3
c) 4a4  9b2
d) 3a2  5b2
e) a4  16
f) a3  27
g) a3  8
h)
a4  a2  1

Bài 5.
Tìm căn bậc hai của số phức:
a) 1 4 3i
b) 4  6 5i
c) 1 2 6i
4 5
e)   i
f) 7 24i
g) 40 42i
3 2
1
2
i) 
k) 5 12i
l) 8 6i
i
4 2

Trang 104

d) 5 12i
h) 11 4 3.i
m) 33 56i


Số phức

Trần Só Tùng

VẤN ĐỀ 2: Giải phương trình trên tập số phức

Giả sử z = x + yi. Giải các phương trình ẩn z là tìm x, y thoả
mãn phương trình.
Giải các phương trình sau (ẩn z):
2
a) z  z 0
b) z 2  z 0

Bài 1.

2

c) z  2 z 2  4i
e) z  2 z  1  8i

d) z 2  z 0
f) (4  5i )z  2  i

4

 z i 
g) 
 1
 z i
i) 2 z  3z  1  12i

h)

2i
 1  3i
z

1 i
2i

k) (3 2i)2(z  i )  3i
� 1 �
1
3 i � 3 i
m) z�
2
� 2 �

� 1�
iz � 0
l)  (2 i)z  3 i  �
� 2i �
3 5i
 2  4i
o)
z

p) (z  3i )(z2  2z  5)  0

q) (z2  9)(z2  z  1)  0
r) 2z3  3z2  5z  3i  3  0
Bài 2.
Giải các phương trình sau (ẩn x):
2
a) x  3.x  1 0
b) 3 2 .x 2  2 3.x  2 0
c) x2  (3 i )x  4  3i  0

e) 3x 2  x  2  0
g) 3x 3  24  0
i) ( x  2)5  1  0

d) 3i.x2  2x  4 i  0
f) i.x 2  2i.x  4  0
h) 2 x 4  16  0
k) x2  7  0

l) x2  2(1 i )x  4  2i  0

m) x2  2(2  i )x  18 4i  0

o) ix2  4x  4 i  0
p) x2  (2  3i )x  0
Bài 3.
Tìm hai số biết tổng và tích của chúng lần lượt là:
 1 3i
 4 4i
a) 2  3i va�
b) 2i va�
Bài 4.
Tìm phương trình bậc hai với hệ số thực nhận  làm
nghiệm:
a)   3 4i
b)   7  i 3
c)   2 5i
d)   2 i 3

e)   3  i 2

f)   i

5 i
2 i
Bài 5.
Tìm tham số m để mỗi phương trình sau đây có hai
nghiệm z1, z2 thoả mãn điều kiện đã chỉ ra:
g)   (2  i)(3 i)

h)   i 51  2i 80  3i 45  4i 38 i)  

a) z2  mz  m 1 0, �
k : z12  z22  z1z2  1

b) z2  3mz  5i  0, �
k : z13  z23  18

c) x2  mx  3i  0, �
k : z12  z22  8
Bài 6.

Cho

z1, z2 là

hai

nghiệm

của

phương

trình

 1 i 2 z2  (3 2i)z 1 i  0 . Tính giá trò của các biểu thức sau:

a) A  z12  z22
Bài 7.

b) B  z12z2  z1z22

Giải các hệ phương trình sau:
Trang 105

c) C 

z1 z2

z2 z1


Trần Só Tùng

Số phức

 z1  z 2 4  i
a)  2
2

 z1  z 2 5  2i

 z1 .z 2  5  5.i
b)  2
2
 z1  z 2  5  2.i

�z1  z2  z3  1
�
d) �z1  z2  z3  1
�z . z . z  1
�1 2 3

�z  12 5
�z  8i  3
�
e) �
�z  4  1
�
�z  8

�z  2i  z
�
�z12  z22  5 2i
�
g) �
h) �
�z1  z2  4  i
�z  i  z  1
Bài 8.

Giải các hệ phương trình sau:
�x  y  5 i
�x  2y  1 2i
a) �
b) � 2 2
�x  y  3 i
�x  y  8 8i
�1 1 1 1
�   i
d) �x y 2 2
�x2  y2  1 2i
�

�x2  y2  6
�
e) �1 1 2
�x  y  5
�

�x  y  5 i
g) � 2 2
�x  y  1 2i

�x  y  1
h) � 3 3
�x  y  2  3i

3
5
�

�z1  z2  0
c) �2
4
�z1 .( z2 )  1
�z  1
�z  i  1
�
f) �
�z  3i  1
�
�z  i

�
�z12  z22  4z1z2  0
i) �
�z1  z2  2i
�x  y  4
c) �
�xy  7 4i
�x  y  3 2i
�
f) �1 1 17 1
 
 i
�
�x y 26 26

VẤN ĐỀ 3: Tập hợp điểm
Giả sử số phức z = x + yi được biểu diển điểm M(x; y). Tìm
tập hợp các điểm M là tìm hệ thức giữa x và y.

Xác đònh tập hợp các điểm M trong mặt phẳng phức
biểu diễn các số z thỏa mãn mỗi điều kiện sau:
a) z  z  3  4
b) z  z  1 i  2
c) z  z  2i  2 z  i

Bài 1.

d) 2i.z  1  2 z  3

e) 2i  2 z  2 z  1

g) z  i  z  2  3i

h)

z  3i
1
z i

f) z 3  1
i) z  1 i  2

k) 2  z  i  z
l) z  1  1
m) 1  z  i  2
Bài 2.
Xác đònh tập hợp các điểm M trong mặt phẳng phức
biểu diễn các số z thỏa mãn mỗi điều kiện sau:
a) z  2i là số thực

b) z  2  i là số thuần ảo c) z.z  9
VẤN ĐỀ 4: Dạng lượng giác của số phức
Sử dụng các phép toán số phức ở dạng lượng giác.
Tìm một acgumen của mỗi số phức sau:
a)  2  2 3.i
b) 4 – 4i
c) 1 3.i




d) cos  i. sin
e)  sin  i. cos
f) (1  i. 3 )(1  i )
4
4
8
8
Bài 2.
Thực hiện các phép tính sau:
Bài 1.

Trang 106


Số phức

Trần Só Tùng

a) 3 cos20o  i sin20o   cos25o  i sin25o 

c) 3  cos120o  i sin120o   cos 45o  i sin 45o 
2  cos18o  i sin18o   cos 72o  i sin 72o 

e)

2 (cos 45 0  i. sin 45 0 )

g)

3 (cos15 0  i. sin 15 0 )

� 
� � 
�
cos  i.sin �
.3�
cos  i.sin �
b) 5�
� 6
6� � 4
4�
 �� 
�
� 
cos  i sin �
3�
cos  i sin �
d) 5 �
6 �� 4
4�

� 6
o
o
cos85  i sin85
f)
cos 40o  i sin 40o
2(cos 45o  i sin 45o)
h)
3(cos15o  i sin15o)

2 �
2
2
� 2
2�
cos
 i sin
 i. sin )
�
3 �
� 3
3
3
i)
k)


�
� 
2(cos  i. sin )

2�
cos  i sin �
2�
� 2
2
2
Bài 3.
Viết dưới dạng lượng giác các số phức sau:
a) 1  i 3
b) 1 i
c) (1  i 3 )(1  i )
2 (cos

d)

2.i.( 3  i )
1 i 3
1 i
2 i 2

e)

f)

i) 1  i 3

1
2  2i

l) 3  0i

3 i

k)

g) sin   i. cos 

h)

m) tan

5
i
8

Viết dưới dạng đại số các số phức sau:
�
� 
cos  i sin �
a) cos 45o  i sin 45o
b) 2 �
c) 3  cos120o  i sin120o 
6�
� 6
3 i
1
d) (2  i)6
e)
f)
(1 i )(1 2i)

i

Bài 4.

1 i
g)
2i  1
k)

1 � 3
3 �
cos  i sin �
�
4�
2� 4

Bài 5.

40

�
1 i 3 �
h)  1 i 3
i) (2 2i)7.�
�
� 1 i �
100
1
1 i � � 
 �m)

l) �
17
cos

i
sin
�
� � �
1 i � � 4
4 �  3 i
�
60

Tính:

a)  cos12o  i sin12o 

5
7

0
0
d) �
� 2  cos30  i sin30  �
�
21

b)  1  i  16

c) ( 3  i ) 6

e) (cos15o  i sin15o )5

f) (1 i )2008  (1 i)2008

12

2008
 5  3i 3 
1
3
 i 1

 i

g) 
h)
i)



2
2 
 i 
 1  2i 3 

1
1



2008

, bie�
t z  1
k) (cos  i sin )i 5.(1  3i ) 7 l) z
z
3
3
z2008
Bài 6.
Chứng minh:
a) sin5t  16sin5 t  20sin3 t  5sint b) cos5t  16cos5 t  20cos3 t  5cost

c) sin3t  3cos2 t  sin3 t

d) cos3t  4cos3 t  3cost

Trang 107


Trần Só Tùng

Số phức

II. ÔN
ÔN TẬP
TẬP SỐ
SỐ PHỨC
PHỨC
II.

Bài 1.

Thực hiện các phép tính sau:
6

16

6

�
� �
1 i 7 �
b) �1 i 3 � �
�
� 2 � � 2 �

a) (2 i )(3 2i )(5 4i)
8

1 i � �
1 i �
c) �
� � � �
1 i � �
1 i �
�
e) (2 4i )(5 2i )  (3 4i )(6 i )

d)

3 7i 5 8i

2  3i 2  3i

f) 1 i  i 2  i3  ... i 2009
h) 1 i  i 2  ...  i n, (n �1)

g) i 2000  i1999  i 201  i 82  i 47

k) i 5(i )7  (i )13  i 100  (i )94
Cho các số phức z1  1 2i, z2  2  3i, z3  1 i . Tính:

i) i.i 2.i 3...i 2000
Bài 2.

a) z1  z2  z3
d)

b) z1z2  z2z3  z3z1
z z z
e) 1  2  3
z2 z3 z1

z12  z22  z32

Bài 3.

Rút gọn các biểu thức sau:

c) z1z2z3

f)

z12  z22
z22  z32

a) A  z4  iz3  (1 2i )z2  3z 1 3i, v�
�
i z  2 3i
1
3 i
2
Bài 4.
Tìm các số thực x, y sao cho:
x  3 y 3
a) (1 2i )x  (1 2y)i  1 i
b)

i
3 i 3 i
1
c) (4  3i)x2  (3 2i)xy  4y2  x2  (3xy  2y2)i
2
Bài 5.
Tìm các căn bậc hai của các số phức sau:
a) 8 6i
b) 3 4i
c) 1 i
d) 7 24i
b) B  (z z2  2z3)(2 z z2), v�
�

i z

2

2

�
1 i 3 �
1
2
f) �
g) 
h) i, –i
i
�
� 3 i �
2
2
�
�
1
1
3 i
1
1

i
i)
k)
l) 2 1 i 3

m)

1 i 1 i
2
2
1 i 3
Bài 6.
Tìm các căn bậc ba của các số phức sau:
a) i
b) –27
c) 2  2i
d) 18 6i
Bài 7.
Tìm các căn bậc bốn của các số phức sau:
a) 2  i 12
b) 3  i
c) 2i
d) 7 24i
Bài 8.
Giải các phương trình sau:
3
a) z  125  0
b) z4  16  0
c) z3  64i  0
d)
�
1 i �
e) � �
1 i �
�

z3  27i  0
Trang 108


Số phức

Trần Só Tùng

e) z7  2iz4  iz3  2  0 f) z6  iz3  i  1 0 g) z10  (2 i )z5  2i  0
Bài 9.
Gọi u1; u2 là hai căn bậc hai của z1  3 4i và v1; v2 là hai
căn bậc hai của z2  3 4i . Tính u1  u2  v1  v2 ?
Bài 10.
Giải các phương trình sau trên tập số phức:
2
a) z  5  0
b) z2  2z  2  0
c) z2  4z  10  0
d) z2  5z  9  0
e) 2z2  3z  1  0
f) 3z2  2z  3  0
g) (z  z)(z  z)  0
h) z2  z  2  0
i) z2  z  2
k)

l)  z  2i  2 +2 z  2i   3  0 m) z3  z

2z  3z  2  3i

n) 4z2  8 z 2  8

o) iz2  (1 2i )z  1 0

p)

(1 i )z2  2  11i  0
Bài 11.
Giải các phương trình sau trên tập số phức:
2

�4z  i � 4z  i
a) �
 6 0
� 5
z i
�z  i �

b)  z  5i   z  3  z2  z  3  0

c)  z2  2z  6 z2  2z  16  0
e)  z  i   z2 �
 2z  2  0

g) z2  (5 14i )z 2(12 5i )  0

d) z3   1 i  z2   3 i  z  3i  0
f) z2  2iz  2i  1 0
h) z2  80z 4099 100i  0

i) (z  3 i )2  6(z  3 i )  13  0
k) z2  (cos  i sin)z i cos sin  0
Bài 12.
Giải các phương trình sau trên tập số phức:
a) x2  (3 4i )x  5i  1 0
b) x2  (1 i )x  2 i  0
c) 3x2  x  2  0
d) x2  x  1 0
e) x3  1 0
Bài 13.
Giải các phương trình sau biết chúng có một nghiệm
thuần ảo:
a) z3  iz2  2iz  2  0
b) z3  (i  3)z2  (4  4i)z 4  4i  0

Tìm m để phương trình sau:  z  i   z2  2mz  m2  2m  0
a) Chỉ có đúng 1 nghiệm phức
b) Chỉ có đúng 1
nghiệm thực
c) Có ba nghiệm phức
Bài 15.
Tìm m để phương trình sau: z3  (3 i )z2  3z  (m i )  0 có ít
nhất một nghiệm thực
Bài 16.
Tìm tất cả các số phức z sao cho (z  2)(z  i ) là số
thực.
Bài 17.
Giải các phương trình trùng phương:
4

a) z  8(1 i )z2  63 16i  0
b) z4  24(1 i )z2  308 144i  0
Bài 14.

c) z4  6(1 i )z2  5 6i  0
z1, z2
Bài 18.
Cho
là

hai

nghiệm

của

phương

z2   1 i 2 z  2  3i  0 . Tính giá trò của các biểu thức sau:

a) z12  z22

b) z12z2  z1z22

�1 2 �
�1 2 �


z
 �

d) z1 �
e) z2 z13  z1z23
�
�
2
�z
�
�
�
�2 z1 �
�z1 z2 �
Trang 109

c) z13  z23
f)

z1 z2

z2 z1

trình:


Trần Só Tùng

Số phức

Cho z1, z2 là hai nghiệm của phương trình: x2  x  1 0. Tính
giá trò của các biểu thức sau:

Bài 19.

a) x12000  x22000

b) x11999  x1999
2

c) x1n  x2n, n�N

Tìm tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu
diễn các số phức thoả mãn hệ thức sau:
z
1
3
a)
b) z2  z2  1
c) z 
z i
z

Bài 20.

Hãy

Bài 21.

tính

S  1 z  z2  z3  ...zn1

tổng

biết

rằng

2
2
 i sin .
n
n
Bài 22.
Viết dưới dạng lượng giác các số phức sau:
2 i
a) i 4  i 3  i 2  i  1
b) (1 i )(2  i )
c)
1 i
� 
�


cos  i sin �
d) 1 sin  i cos , 0   
e) 3�
f) cot  i,    
� 6
6�
2
2


g) sin  i(1 cos ), 0   
2
Bài 23.
Tìm môđun và một acgumen của các số phức sau:
z  cos

a)

2

3  2i 

8



6

(1 i)

(1 i )6

2

3  2i 

8

b)

(1 i )4



3 i

10



1

2

3  2i 

4

c)  1 i 3   1 i 3
n

n



d)  sin  i cos
8
8



e) cos  i sin
f) 2 2 3i
4
4

1 cos  i sin

g) 1 sin  i cos , 0   
h)
i) 4  3i
, 0  
2
1 cos  i sin
2
Bài 24.
Tìm môđun và một acgumen của các số phức sau:
a)

2

Bài 25.

3  2i 

8



(1 i )6

b)

(1 i )4



1

c)  1 i 3   1 i 3
n

 3  i   2 3  2i 
3  2i 
Chứng minh các biểu thức sau có giá trò thực:
6

(1 i)

2

a)  2  i 5   2  i 5
7

8

n

6

�
� �
�
c) �1 i 3 � �1 i 3 �
� 2
� � 2 �
6

4

n

n

19 7i � �20  5i �
b) �
�
� �
�
� 9 i � �7 6i �

7

6

10

5

5

�
� �
�
d) �1 i 3 � �1 i 3 �
� 2 � � 2 �

6

�
� �
�
e) �i  3 �  �i  3 �
� 2 � � 2 �
Bài 26.

Trong các số phức z thoả mãn điều kiện z  2  3i 

3
.
2

Tìm số phức z có môđun nhỏ nhất.
Xét các điểm A, B, C trong mặt phẳng phức theo thứ
tự biểu diễn các số phức sau:

Bài 27.

4i

2 6i
; (1 i)(1 2i);
i 1
3 i

a) Chứng minh ABC là tam giác vuông cân.
Trang 110


Số phức

Trần Só Tùng

b) Tìm số phức biểu diễn bởi điểm D sao cho tứ giác ABCD là
hình vuông.
Bài 28.
Giải các phương trình sau, biết chúng có một nghiệm
thuần ảo:
a) z3  (2  2i )z2  (5 4i)z  10i  0 b) z3  (1 i )z2  (i  1)z  i  0
c) z3  (4  5i )z2  (8 20i )z  40i  0
Cho đa thức P (z)  z3  (3i  6)z2  (10 18i)z 30i .
a) Tính P (3i)
b) Giải phương trình P (z)  0 .

Bài 29.

2

Bài 30.

Giải phương trình

� z 1�
z �
2
�, biết z  3 4i
z

7
�
�

nghiệm của phương trình.
Bài 31.
Giải các phương trình sau:
4
a) z  2z3  z2  2z 1 0

b) z4  2z3  z2  2z  1 0
d) z4  4z3  6z2  4z 15  0

c) z4   1 2 z3   2 2 z2   1 2 z 1 0
e) z6  z5  13z4  14z3  13z2  z 1 0
Bài 32.
Giải các phương trình sau:

3

� �
b) �z  i �  8

�z  i �

a) (z2  3z  6)2  2z(z2  3z  6)  3z2  0

3

Bài 34.

2

� � � � � �
d) �z  i � �z  i � �z  i � 1 0
�z  i � �z  i � �z  i �
2z  i
�1.
Chứng minh rằng: nếu z �1 thì
2  iz
Cho các số phức z1, z2, z3 . Chứng minh:

c) (z2  z  1)4  6z2(z2  z  1)2  5z4  0
Bài 33.

là một

2

2

2

2

2

2

a) z1  z2  z2  z3  z3  z1  z1  z2  z3  z1  z2  z3
2

2

   1 z 
  1 z   1 z 

b) 1 z1z2  z1  z2  1 z1
2

c) 1 z1z2  z1  z2

2

2

2

2

2

2

1

2

2

2
2
d) Nếu z1  z1  c thì z1  z2  z1  z2  4c2 .

Chân thành cảm ơn các bạn đồng nghiệp và các em học
sinh đã đọc tập tài liệu này.

Trang 111


Traàn Só Tuøng

Soá phöùc

Trang 112