DE THI DAN TOAN 12HKY 2co ban

SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO BÌNH ĐỊNH. ĐỀ THI HỌC KỲ II NĂM HỌC 2008-2009.
Trường THPT Vân Canh.
MÔN THI: TOÁN; LỚP 12. (cơ bản)
( Thời gian làm bài 150 phút ).

ĐỀ THI:
Bài I: (3 điểm )
1) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số : y =

2x − 1
.
− x +1

2) Đường thẳng (d) đi qua I(1; -2) có hệ số góc k.
Tìm các giá trị của k để (d) và (C) cắt nhau tại hai điểm A, B phân biệt thuộc hai nhánh
khác nhau của (C). Chứng minh các tiếp tuyến với (C) tại hai điểm A và B song song
với nhau.
Bài II: (3 điểm)
3 x2 +1
dx .
0 x +1

1) Tính tích phân : I = ∫

2) Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của Hàm số y = x + 3 + 10 − x

(

)

x +1

(

)

x +1

3) Giải phương trình : 5 − 2 + 5 + 2 = 18 .
Bài III: (1 điểm).
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a. Góc tạo bỡi mặt bên và mặt đáy
bằng 600.Tính diện tích xung quanh của hình chóp và thể tích của khối chóp tương ứng.
Bài IV: (2 điểm).
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho bốn điểm : A(1;0;0) , B(0;1;0) , C(0;0;1) ,
D(2;3;-1).

1) Chứng minh ABCD là một tứ diện và tính chiều cao tứ diện vẽ từ D.
2) Tính góc giữa hai đường thẳng BD và AC. Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ
diện ABCD.
Bài V: (1 điểm)
Tìm cặp số thực x và y thỏa mãn : x − 3 y + x 2 − 1 i = y + i − 2 + (i − 1) x
---------------------Hết--------------------

(

)

SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO BÌNH ĐỊNH. ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC KỲ II : 2008-2009.


Trường THPT Vân Canh

------------¤------------

MÔN: TOÁN; LỚP 12. (cơ bản)
( Thời gian làm bài 150 phút ).

ĐÁP ÁN:
Bài I: (3 điểm )

2x − 1
.
− x +1

1) ( 2 điểm) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số : y =
• TXĐ: R\ {1} .
• Sự biến thiên:
* Chiều biến thiên :
y’=

(0,25 điểm)
(1,25 điểm)

1

> 0 ; ∀x ≠ 1 . Hàm số đồng biến trên các khoảng ( − ∞;1) ; (1;+∞) .
( x − 1) 2 ; y’

* Cực trị : không có.
* Giới hạn và tiệm cận:
lim y = lim y = −2 ⇒ đường thẳng y = -2 là tiệm cận ngang của (C).
x → −∞

x → +∞
lim y = +∞ ; lim y = −∞ ⇒ đường thẳng x = 1 là tiệm cận đứng của (C).
x →1−
x →1+

* Bảng biến thiên:

-∞

x
y’

+∞

1
+

+
+∞

y
-2

-2

-∞

• Đồ thị:
* Điểm cắt trục hoành (1/2;0); điểm cắt trục tung (0;-1).
* Tâm đối xứng : I (1; -2). (đồ thị như hình vẽ)

(0,5 điểm)

y

8
6
4
2

x
-8

-6

-4

-2

2
-2
-4
-6
-8

2) (1 điểm)

4

6

8


* Tìm k :
(d): y = k(x- 1) – 2. (d) cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B khi phương trình sau có
hai nghiệm x1,x2 thỏa : x1<12x − 1
= k ( x − 1) − 2 ⇔ f ( x ) = kx 2 − 2kx + k + 1 = 0 (1) ; ∀x ≠ 1 ⇔ k . f (1) < 0 ⇔ k < 0 .
− x +1

* Chứng minh các tiếp tuyến với (C) tại A và B song song với nhau:

− ( x1 − x 2 )( x1 + x 2 − 2)
1
1
−
=
2
2
( x1 − 1) ( x2 − 1)
[ x1 x2 − ( x1 + x2 ) + 1] 2 .
Áp dụng định lý Vi-ét vào (1) có x1+ x2= 2 ⇒ y’(x1) – y’(x2) = 0 ⇒ y’(x1) = y’(x2)

y’(x1) – y’(x2) =

Chứng tỏ các tiếp tuyến với (C) tại A và B song song.
Bài II: (3 điểm)
3 x2 +1
dx .

0 x +1

1) (1,0 điểm) Tính tích phân : I = ∫

* Đặt t = x + 1 ⇒ t 2 = x + 1 ⇒ 2t.dt = dx ; x 2 + 1 = ( t 2 − 1) + 1 = t 4 − 2t 2 + 2 . (0,25 đ)
* Đổi cận : x = 0 ⇒ t = 1 ; x = 3 ⇒ t = 2 .
(0,25 đ)
2

2

2

t 4 − 2t 2 + 2
2

1

1

dt = ∫  t 3 − 2t + dt =  t 4 − t 2 + 2 ln t  12 = ( 4 − 4 + 2 ln 2) −  − 1 + 2 ln 1
* I=∫
t
t
4

4

1
1

3
= + 2 ln 2
(0,5 điểm)
4
2) (1,0 điểm) Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của Hàm số y = x + 3 + 10 − x .
* TXĐ: D = [ − 3;10]
(0,25 điểm)

* y’ =

1 10 − x − x + 3
7
.
; − 3 < x < 10 . y’ = 0 ⇔ x = ∈ [ − 3;10] .
2 ( x + 3)(10 − x)
3
7
3

* y(-3) = 13 ; y(10) = 13 ; y  =
* max y =
D

(

(0,25 điểm)

7
4
23

y = 13 tại x = -3 hoặc x = 10.
3+
tại x = ; min
D
3
3
3

3) (1,0 điểm) Giải phương trình :
* Đặt t =

4
23
3+
.
3
3

5+2

)

x +1

>0⇒

(

(

5−2

)

5−2
x +1

(
(

=

)

x +1

+

1
.
t

 5+2
t = 9 + 4 5
⇒
* t − 18t + 1 = 0 ⇔ 
 5+2
t
=
9

−
4
5


2

(

5+2

)

(0,25 điểm)

x +1

(0,25 điểm)

= 18 .

(0,25 điểm)

)
)

x +1
x +1

(

=(
=

)
5 + 2)
5+2

2
−2

x = 1
⇔
.
 x = −3

(0,75 điểm)

Bài III: (1 điểm).
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a. Góc tạo bỡi mặt bên và mặt đáy
bằng 600.Tính diện tích xung quanh của hình chóp và thể tích của khối chóp tương ứng.
* Tính Sxq :
(0,5 điểm)
Gọi SM là đường cao của một mặt bên. Chẳng hạn SM là đường cao của ∆ SBC (với M
là trung điểm của BC.
1
2

Sxq= 4. SM .BC = 2SM.BC =2a.SM. Với SM = OM. :cos600 =2OM= a.(O là tâm hình
vuông mặt đáy.)

Vậy Sxq = 2a2.

S

* Tính thể tích khối chóp :
Chiều cao của khối chóp : S0 =

(0,5 điểm)
SM 2 − OM 2 = a

3
2

Diện tích đáy là Sđ = a2
Vậy V =

D

1 3
a 3
6

C
O

M

A
B

Bài IV: (2 điểm).
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho bốn điểm : A(1;0;0) , B(0;1;0) , C(0;0;1) ,
D(2;3;-1).

1) (1,0 điểm) Chứng minh ABCD là một tứ diện và tính chiều cao tứ diện vẽ từ D.
* (ABC):

x y z
+ + = 1 hay x + y + z – 1 = 0.
1 1 1

(0,25 điểm)

Tọa độ D không nghiệm đúng pt(ABC).
(0,25 điểm)
* d ( D; ( ABC ) ) = 3 .
(0,5 điểm)
2) (1,0 điểm)Tính góc giữa hai đường thẳng BD và AC. Viết phương trình mặt cầu ngoại
tiếp tứ diện ABCD.
* BD = (2;2;−1) ; AC = (−1;0;1) . Gọi α = (BD;AC).
(0,25 điểm)
− 2 + 0 −1

2
⇒ α = 45 0 .
2
9. 2
* Phương trình mặt cầu (S) : x 2 + y 2 + z 2 + 2ax + 2by + 2cz + d = 0 .

Cos α =

=

(0,25 điểm)
(0,5 điểm)

A, B, C, D thuộc (S), ta có:
1 + 2a + d = 0
13

a=b=c=−
1 + 2b + d = 0



6
⇔
.

1 + 2c + d = 0
d = 10

14 + 4a + 6b − 2c + d = 0
3

(S) : 3 x 2 + 3 y 2 + 3 z 2 − 13x − 13 y − 13 z + 10 = 0
Bài V: (1 điểm).
Tìm cặp số thực x và y thỏa mãn : x − 3 y + x 2 − 1 + 2 i = y + i − 2 + (i − 1) x (1)

)

(
* Viết (1) dưới dạng : x − 3 y + ( x − 1 + 2)i = y − x − 2 + ( x + 1)i
2

(0,25 điểm)

1

 x 2 − 1 = x 2 − 2 x + 1 ; x ≥ 1.
(
)
y
=
x
+
1
 x − 3 y = y − x − 2


2
⇔
⇔
* suy ra hệ :  2
1
 x − 1 + 2 = x + 1
 x2 −1 = x −1
 y = ( x + 1)
2



x = 1
⇔
(0,75 điểm)
y = 1

-------------------Hết--------------------Ghi chú: Mọi cách giải khác nếu đúng vẫn cho điểm tối đa.