LAN 1 VIP GT c1 SP

Câu 1:
Câu 1:
Câu 1:
Câu 1:

TA NHẬN BIẾT MỨC ĐỘ THÔNG QUA MÀU QUY ƯỚC.
MÀU NHẬN BIẾT
MÀU THÔNG HIỂU
MÀU VẬN DỤNG THÂP
MÀU VẬN DỤNG CAO
CHƯƠNG 1–GIẢI TÍCH
BÀI 1:

TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ.

Dạng 1. Tìm khoảng tăng giảm của hàm số.
3
2
Câu 2: Cho hàm số y  x  2 x  x  1 . Mệnh đề nào dưới đây đúng ?
�1 �
� ;1�
A. Hàm số nghịch biến trên khoảng �3 �.

� 1�
�; �
�
B. Hàm số nghịch biến trên khoảng � 3 �.

�1 �
� ;1�
C. Hàm số đồng biến trên khoảng �3 �.

D. Hàm số nghịch biến trên khoảng

 1; � .

Hướng dẫn giải
Chọn A.
 3x  4 x  1 � y �
 0 � x  1 hoặc
Ta có y�
2

x

1
3.

Bảng biến thiên:

PP Trắc nghiệm: Do hệ số a  0 nên hàm số nghịch biến ở khoảng giữa.
Câu 3:

Hàm số nào dưới đây đồng biến trên tập �?
2
A. y  x  1 .
B. y  2 x  1.

C. y  2 x  1.

2

D. y   x  1 .

Hướng dẫn giải
Chọn C.
y�
  2 x  1 � 2  0, x ��
Vì hàm số y  2 x  1 có
nên hàm số y  2 x  1 đồng biến trên �.

Câu 4:

4
2
Cho hàm số y  x  4 x  3. Mệnh đề nào sau đây đúng?
 �;0  và nghịch biến trên  0; � .
A.Hàm số đồng biến trên
 �; � .
B.Hàm số đồng biến trên


 �;0  và đồng biến trên  0; � .
 �; � .
D.Hàm số nghịch biến trên
C.Hàm số nghịch biến trên

Hướng dẫn giải.
Chọn C.
y�
 4 x3  8 x  4 x( x 2  2) .
y�

 0 � x  0.
y�
 0 khi x  0 và y�
 0 khi x  0 .

Suy ra hàm số nghịch biến trên
Câu 5:

 �;0 

và đồng biến trên

 0; � .

3
2
Hàm số y   x  3 x  1 nghịch biến trên khoảng
A. (�;0) .
B. (0; 2) .
C. (2; �) .

D. (�;0);(2; �) .

Hướng dẫn giải
3
2
Ta có: y   x  3 x  1

x0
�

y '  3x 2  6 x, y '  0 � �
x2
�
Bảng xét dấu:
�
x
0

y�
0

2





0

�

Dựa vào bảng xét dấu hàm số nghịch biến trên (�; 0); (2; �) . Chọn D
2
Câu 2: Cho hàm số y  x  1 . Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. Hàm số đồng biến trên khoảng (0; �).
C. Hàm số đồng biến trên khoảng

B. Hàm số đồng biến trên

 1; � .

 �; �

D. Hàm số nghịch biến trên khoảng

 �;0  .

Hướng dẫn giải
Chọn C.
Hàm số có tập xác định

f  x

D   �; 1 � 1; �
f�
 x    x  1

Câu 3: Cho hàm số
có đạo hàm
khoảng nào dưới đây?
 �; 1 .
 1;1 .
A.
B.

2

nên loại A, B, D.

 x  1  2  x  . Hàm số f  x 
3

C.

 2; � .

Hướng dẫn giải
Chọn D.
Ta có bảng biến thiên của hàm số là:

D.

đồng biến trên

 1; 2  .


Vậy hàm số

f  x

đồng biến trên khoảng

 1; 2  .

Câu 4: Hàm số nào dưới đây luôn đồng biến trên khoảng
x3
y
.

2x  2
A.

 �; 1 ?
x 1

x
y 2 .
x 1
B.

C.

y  log

2

 6  3x

�e �
y  2� � .
�4 �
D.

Hướng dẫn:
Chọn A
y�


Ta có

Câu 5: Cho hàm số

8

 2x  2

2

0

với mọi

x � �; 1

nên chọn A

y  f  x

có bảng biến thiên như hình vẽ bên. Mệnh đề nào sau đây là sai?
 2;  � .
A. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng
 3;  � .
B. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng
 �; 1 .
C. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng
 0; 3 .
D. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng
Hướng dẫn giải

Chọn D.

Dựa vào bảng biến thiên.
Câu 6: Bảng biến thiên sau đây là của hàm số nào?
A.
C.

y

x2
�
1 x

y

2x 1
�
x 1

B.
D.

y

x 1
�
2x 1

y

2x 1
�

x 1

Hướng dẫn giải
Chọn D
Dựa vào bảng biến thiên, ta có
Hàm số nhận y  2 làm tiệm cận ngang.


Hàm số nhận x  1 làm tiệm cận đứng.
 0.
Hàm số đồng biến, tức có y�

Câu 7: Cho hàm số
 1;3 .
A.

y

x3
1
 2 x 2  3x 
3
3 . Hàm số nghịch biến trên khoảng nào sau đây?

 1;1 .

B.

C.

 1; 0  .

D.

 0;3 .

Hướng dẫn giải
Chọn A.
 x 2  4 x  3 � y�
 0 � x  1 �x  3 .
Ta có y�
Bảng biến thiên

x �
y�
y

1

+

0

-

�

3
0

+

�

�

Hàm số nghịch biến trên

 1;3
y

2x  1
x 1 ?

Câu 8: Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai về hàm số
R \  1
 1; �
A. Hàm số đồng biến trên
B. Hàm số đồng biến trên
C. Hàm số không có cực trị

D. Hàm số đồng biến trên

 �; 1

Hướng dẫn giải
Chọn B.

Vì hàm phân thức
y' 

Ta có

3

 x  1

2

y

ax  b
cx  d không có cực trị => Loại C.

 0, x �1

Vậy hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng

 �; 1

và

2
Câu 9: Hỏi hàm số y  x  4x  3 đồng biến trên khoảng nào ?
 2; �
 �;3
 �;1
A.
B.
C.

Hướng dẫn giải
Chọn B.

 1; �

D.

 3; �


D   �;1 � 3;  �

Tập xác định:

x2

y' 

x  4x  3
2

Ta có:

; y '  0 � x  2; y '  0 � x  2

Kết hợp với điều kiện xác định của hàm số, suy ra khoảng đồng biến của hàm số là

Câu 2: Cho hàm số

f  x 

1 4
x  2 x2  3
4
.Kết luận nào sau đây là ĐÚNG?

B. Hàm số đạt cực tiểu tại x  0 .

A. Cực đại hàm số bằng 3 .
C. Hàm số đồng biến trên khoảng

 0; � .

D. Đồ thị của hàm số có 2 cực trị.

Hướng dẫn giải
x0
�
f '  x   0 � x ( x 2  4) � �
f '  x   x  4 x  x( x  4)
x  �2
�
TXĐ: D  R .
. Giải
4

2

Bảng biến thiên:

�

x

2



f ' x

0

0



+

�

2

0



�

f  x

3

9

9

Cực đại hàm số bằng 3 . Đáp án A.
3
2
 0; � là:
Câu 3: Tất cả giá trị thực của m để hàm số y  x  6 x  mx  1 đồng biến trên
A. m �0 .
B. m �0 .
C. m �12 .
D. m �12 .

Hướng dẫn giải
Ta có: y  x  6 x  mx  1
3

2

y�
 3x 2  12 x  m , hàm số đồng biến trên  0; � khi và chỉ khi
�
 36  3m �0
�
�
�
�

�  36  3m  0
�
�
��
� m
�
�P   0
�
� 3
�
� 12
S   0  !
�
�
y�
 3x 2  12 x  m �0; x � 0; �
� 3
�
۳ m 12 .

 3; �


Chọn C
3
2
Câu 4: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y  x  3 x  mx  2 đồng biến trên R.
A. m �3
B. m  3
C. m  3

D. m �3

Hướng dẫn giải
Chọn D
2
Ta có: y '  3 x  6 x  m

Để hàm số đã cho đồng biến trên � thì y ' �0, x ��
Hay nói cách khác yêu cầu bài toán trở thành tìm điều kiện của m để y ' �0,  x ��
2
Với y'  3 x  6x  m , ta có: a  3  0,   36  12m

0 �۳
36 12m 0
Để y ' �0, x �� khi ��
Câu 2:

m 3

f  x
y f�
 x  là đường cong trong hình
Cho hàm số
xác định trên � và có đồ thị hàm số
bên. Mệnh đề nào dưới đây đúng ?
A. Hàm số

f  x

đồng biến trên khoảng

 1; 2  .

B. Hàm số

f  x

nghịch biến trên khoảng

C. Hàm số

f  x

đồng biến trên khoảng

D. Hàm số

f  x

nghịch biến trên khoảng

 0; 2  .

 2;1 .
 1;1 .

Hướng dẫn giải
Chọn B.
Dựa vào đồ thị hàm số

y f�
 x

f�
 x   0 � x � 2;0  � 2; �
Khi đó, hàm số
hàm số

y  f  x

y  f  x

ta có:
và

f�
 x   0 � x � �; 2  � 0; 2

.

đồng biến trên các khoảng (2;0), (2; +�)

nghịch biến trên các khoảng (�; 2), (0; 2)

Dạng 2.

Định giá trị tham số để hàm số đơn điệu trên miền D cho trước.
y  x 3   m  1 x 2  3x  1
Câu 10: Tìm tập hợp tất cả các tham số thực của m để hàm số
đồng biến trên

 �; � .
khoảng
 �; 4 � 2; � .
A.

B.

 �; 4  � 2; � .

C.

 4; 2 .

D.

 4; 2  .


Hướng dẫn giải.
Chọn đáp án C.
Tập xác định D  �.

y�
 3x 2  2  m  1 x  3
Hàm số

.

y  x3   m  1 x 2  3 x  1

đồng biến trên khoảng

 �; � ۳�
y� 0,

� �
�0 �  m  1  9 �0 � m 2  2m  8 �0 � 4 �m �2

x �

2

.

3
2
Câu 11: Cho hàm số y   x  3x  mx  1 .Giá trị của tham số thực m để hàm số nghịch biến trên � là
A. m  3.
B. m �3.
C. m �3.
D. m  3.
Hướng dẫn giải
Chọn C.
 3 x 2  6 x  m .
Ta có y�

�0, x ��.
Hàm số nghịch biến trên � khi và chỉ khi y�

�
�0
�
��
��۳
a0
�

9 3m 0

m 3
.

y  ln  x 2  1  mx  1
Câu 5: Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số thực m để hàm số
đồng biến

 �; � .

trên khoảng
 �; 1 .
A.

B.

 �; 1 .

C.

 1;1 .

D.

 5; 2  .

Hướng dẫn giải.
Chọn A.

Ta có:

y�


Hàm số

�

2x
m
x 1
.
2

y  ln  x 2  1  mx  1

g ( x) 

đồng biến trên khoảng

2x

�m, x � �; �
x 1
. Ta có

g�
( x) 

2

 �; �

2 x 2  2

 x2  1

2

�0, x � �; �
� y�
.

 0 � x  �1

Bảng biến thiên:
x

�



g�
( x)
g ( x)

1

0

I 4

�

1



0
1

I  32


1

Dựa vào bảng biến thiên ta có:

g ( x) 

0

2x
�m, x � �; �
� m �1
x 1
2

y   m2  1 x 4  2mx 2
 1; �
m
Câu 6: Tìm tất cả các giá trị của tham số
để hàm số
đồng biến trên
1 5
m�
2
B. m �1 hoặc

A. m �1 hoặc m  1

m  1 hoặc

m

1 5
2

D. m �1

C.
Hướng dẫn giải

Chọn B.
y�
 4  m 2  1 x3  4mx  4 x �
 m2  1 x 2  m�
�
�
Để hàm số

y   m2  1 x 4  2mx 2

đồng biến trên

y�
�
0,
 1; � ۳�

x

 1;

1



�  m 2  1 x 2  m �0, x � 1; � ,  *
2
Nếu m  1  0 � m  1 hoặc m  1

 * � 1 �0 ( mâu thuẫn)

Với m  1 khi đó
 * ۳ 1 0 ( đúng) nhận m  1
Với m  1 khi đó
2
Nếu m  1  0 � m  1 hoặc m  1 .

Khi đó

2
m 2�
1x�۳

m�
, x�۳
 * � �
 1;



x2

m
, x
m 1

 1;



m

, x
m 1

 1;



2

� 1 5
m  1
�
m�
�
2
2
�
�
� m  m  1 �0 �
�
1 5
�
� 1 5
m�
�
m�
2
�
�
2

2
Nếu m  1  0 � 1  m  1

Khi đó

m 2�
1 x 2
 * � �

( Không xảy ra do

m, 
x �1;� �
 x2

x � 1; �

)

1 5
m�
2 .
Vậy giá trị cần tìm m �1 hoặc

2

m
m 1
2

Nên giải bằng cách trắc nghiệm: chọn m bằng 1 số cụ thể rồi dùng table
Câu 3:

f  x    x3  3x 2  2m.x  2
Với các giá trị nào của tham số m thì hàm số
nghịch biến trên

 0; � ?
khoảng
4
m�
3.
A.

B.

m �

3
2.

C.

m �

16
3 .

D.

m �

32
27 .

Hướng dẫn giải
 3 x  6 x  2m .
Ta có: y �
2

Hàm số nghịch biến trên khoảng

 0; �

khi

2
y�

��
3 x�
6�
x 2m 0, x�
2 m 3 x 2 6 x, x
 0;  ��

2
  3x 2 6 x 
3x 2  6 x  3  x  1  3 �3  min

0;�
Mà
nên

3

 0;



m

3
2.

2m

min  3 x 2 6 x 

 0; �

Chọn B
BÀI 2:

Cực trị của hàm số.

Dạng 3. Tìm cực trị của hàm số bằng xét dấu đạo hàm (qui tắc 1).
4
2
Câu 6: Số cực trị của hàm số y   x  2 x  5 là:

A. 2.

Câu 7:

B. 1.

C. 3.

D. 0.

Hướng dẫn giải
Chọn C.
Ta có a.b  0 nên đồ thị hàm số có 3 cực trị.
1
y  x4  x2  1
2
Cho hàm số
chọn phát biểu sai trong các phát biểu sau:
A.Hàm số đạt cực tiểu tại x  �1 .
C.Hàm số đồng biến trên

 1;0 

B.Đồ thị hàm số nhận Ox làm trục đối xứng.
và

 1; � .

D.Hàm số đạt cực đại tại x  0 .

Hướng dẫn giải
Chọn B
Câu 8:

Đồ thị hàm số nhậ trục Oy làm trục đối xứng.
Câu 1.Cho hàm số có bảng biến thiên như hình vẽ sau.Phát biểu nào đúng?
x �
2
0



f '( x )
0
0
f (x)
5

1

�
�


�

A. Hàm số đạt cực đại tại x  0 và đạt cực tiểu tại x  2 .
B.Giá trị cực đại của hàm số là 0 .
C.Giá trị cực tiểu của hàm số bằng 2 .
D.Hàm số đạt cực tiểu tại x  1 và đạt cực đại tại x  5 .

Câu 9:

Hướng dẫn giải
Chọn A.
Dựa vào bảng biến thiên, chọn A.
4
2
Tìm giá trị cực đại yCĐ của hàm số y  x  2 x  4 .
A. yCĐ  1

B. yCĐ  3

C. yCĐ  1

D. yCĐ  4

Hướng dẫn giải
Chọn D
3
2
ta có y '  4 x  4 x; y "  12 x  4

x0
�
y '  0 � 4 x3  4 x  0 � �
x  �1
�

y "  0   4  0 � x  0

là điểm cực đại

y "  �1  8  0 � x  �1
Giá trị cực đại
Câu 12: Cho hàm số

y

là điểm cực tiểu

y  0  4
x2  3
x  1 . Mệnh đề nào dưới đây đúng ?

A.Cực tiểu của hàm số bằng 3 .

B. Cực tiểu của hàm số bằng 1 .

C.Cực tiểu của hàm số bằng 6 .

D.Cực tiểu của hàm số bằng 2 .
Hướng dẫn giải:

Chọn D.

 Cách 1.
y�

Ta có:

x2  2x  3

 x  1

2

x  3
�
��
x 1
 0 � x  2x  3  0
�
; y�
2

Lập bảng biến thiên.
Vậy hàm số đạt cực tiểu tại x  1 và giá trị cực tiểu bằng 2.
 Cách 2.


y�


x2  2x  3

Ta có
�
y�


 x  1

2

x  3
�
��
x 1
�
;x3

8

 x  1

3

. Khi đó:

�
y�
 1 

1
1
�
 0 y�
 3    0
2

2
;
.

Nên hàm số đạt cực tiểu tại x  1 và giá trị cực tiểu bằng 2.
2x 1
y
x  1 . Mệnh đề nào sau đây đúng?
Câu 13: Cho hàm số
A.Hàm số không có điểm cực trị.

B.Hàm số có đúng một điểm cực trị.

C.Hàm số có đúng hai điểm cực trị.

D.Hàm số có đúng ba điểm cực trị.
Hướng dẫn giải.

Chọn A.
y'

3

 x  1

2

 0, x �1

.

Vậy hàm số không có cực trị.
Câu 14: Cho hàm số

y  f  x

có đạo hàm

f�
 x   x 2  x 2  4  , x ��.

Mệnh đề nào sau đây là đúng?
B. Hàm số đã cho đạt cực đại tại x  2.

A. Hàm số đã cho có 2 điểm cực trị.

D. Hàm số đã cho đạt cực tiểu tại x  2.
Hướng dẫn giải

C. Hàm số đã cho có 3 điểm cực trị.
Chọn A.
Ta có phương trình
điểm cực trị.

f�
 x  0

có 2 nghiệm đơn là x  2 và x  2 nên hàm số đã cho có 2

Chú ý: Có thể lập bảng biến thiên của hàm số, từ đó được A

1
y  x4  2x2  1
4
Câu 15: Cho hàm số
. Tìm khẳng định đúng.
A. Hàm số có một cực đại và hai cực tiểu.
B.Hàm số có một cực trị.
C.Hàm số có một cực tiểu và hai cực đại.
D.Hàm số có một cực tiểu và không có cực đại.
Hướng dẫn giải
Chọn A.
 x 3  4 x . Cho y�
 0 � x  2 �x  0 �x  2
Ta có: y�
Bảng biến thiên:
�
x

2



y�

0

0


0

�

2



0

�



�

y

1

3

3


Dựa vào bảng biến thiên ta có hàm số có 1 cực đại và hai cực tiểu.
4
y  x
x . Hàm số đạt cực tiểu tại điểm
Câu 16: Cho hàm số
A. x  4.

B. x  4.

C. x  2.

D. x  2.

Hướng dẫn giải
Chọn C

Ta có

y�
 1

x2
�
4 y�
0� �
x  2 .
�
x2 ,

Bảng biến thiên

Câu 17: Để hàm số
 0; 2  .
A.

y

x 2  mx  1
xm
đạt cực đại tại x  2 thì m thuộc khoảng nào ?
 4; 2  .
 2;0  .
 2; 4  .
B.
C.
D.
Hướng dẫn giải

Chọn B.
Tập xác định:
y�


D  �\  m

.

x 2  2mx  m2  1

Đạo hàm:

 x  m

2

.

Hàm số đạt cực trị tại x  2 thì
m  3 � y�


x2  6x  8

 x  3
Với
tại x  2 nên m  3 ta nhận.
m  1 � y �


2

y�
 2  0 �

4  4m  m 2  1

 2  m

2

m  3
�
 0��
m  1
�
.

x2
�
; y�
0� �
x4
�
. Lập bảng biến thiên ta thấy hàm số đạt cực đại

x0
�
; y�
0��
x2
 x  1
�
. Lập bảng biến thiên ta thấy hàm số đạt cực tiểu
x2  2x
2

Với
tại x  2 nên m  1 ta loại.
3
2
M  0; 2  N  2; 2 
Câu 7: Biết
,
là các điểm cực trị của đồ thị hàm số y  ax  bx  cx  d .Tính giá trị
của hàm số tại x  2 .

A.

y  2   2

.

B.

y  2   22

.

C.

y  2   6

.

D.

y  2   18

.

Hướng dẫn giải.
Chọn D.
 3ax 2  2bx  c .
Ta có: y�
Vì M (0; 2) , N (2; 2) là các điểm cực trị của đồ thị hàm số nên:

(0)  0
c0
d 2
�y �
�
�y (0)  2
�
��
(1) �
��
(2)
�
(2)  0
12a  4b  c  0 ; �y (2)  2
8a  4b  2c  d  2
�y �
�
�
3
2
Từ (1) và (2) suy ra: a  1; b  3; c  0; d  2 � y  x  3x  2 � y (2)  18 .

Dạng 4. Tìm cực trị của hàm số theo qui tắc 2.
Dạng 5. Tìm điều kiện để hàm số đạt cực trị.
3
2
Câu 18: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y   x  mx  x có 2 điểm cực trị.

A.

m � 3.

B.

m  3.

C.

m �2 3.

D.

m  2.

Hướng dẫn giải
Chọn B.
 3 x 2  2mx  1
TXĐ: D  �. Ta có y�
 0 có hai nghiệm phân biệt
Hàm số có hai điểm cực trị � y�

� �
 m2  3  0 � m2  3 � m  3
4
2
Câu 19: Cho hàm số y  2 x  4mx  m  1 . Tất cả giá trị thực của m để hàm số có cực tiểu mà không có
cực đại là
A. m  0 .
B. m �0 .
C. m  0 .

D. m �0 .

Hướng dẫn giải
Chọn D.
 8 x 3  8mx  8 x  x 2  m 
D  �; y�

Hàm số có cực tiểu mà không có cực đại khi m �0
3
2
Câu 20: Tính khoảng cách d giữa hai điểm cực trị của đồ thị hàm số y  x  3x  2 .

B. d  2 5

A. d  4

C. d  2 2

D. d  10

Hướng dẫn giải
Chọn B
x0
�
y '  3 x 2  6 x; y '  0 � �
� A  0; 2  ; B  2; 2 
x2
�
Có
là hai cực trị của đồ thị hàm số.

AB  22   2  2   20  2 5
2


3
2
Câu 8: Tìm tất cả các giá trị thực của m để hàm số y  4 x  mx  12 x đạt cực tiểu tại điểm x  2 .
A. m  9 .
B. m  2.
C. Không tồn tại m. D. m  9.

Hướng dẫn giải
Chọn C.

Ta có

�y �
 12 x 2  2mx  12
�
�
 24 x  2m
�y �

.

Từ giả thiết bài toán ta phải có
Thay vào

y�

 2   48  4m  12  0 � m  9.

�
y�
 2   48  2m  48  18  30  0

.

Khi đó, hàm số đạt cực đại tại x  2 .
Vậy không có giá trị m thỏa mãn .
Câu 9: Cho hàm số

y

1 3
x  mx 2   2m  1 x  3  Cm 
3
, với m là tham số. Xác định tất cả giá trị của

m để cho đồ thị hàm số  Cm  có điểm cực đại và cực tiểu nằm cùng một phía đối với trục trung?
�1
�
1
m �� ; ��\  1 .
  m  1.
�2
�
A.
B. 0  m  2.
C. m �1.

D. 2
Hướng dẫn giải
Chọn A.
2
Ta có y '  x  2 mx  2 m  1 . Ycđb � y ' có 2 nghiệm x1 , x2 phân biệt và cùng dấu.

a  1 �0
�
�m �1
�
��
 '  m 2   2m  1  0 � �
� 1.
�p  2m  1  0
m
�
�
� 2

Câu 4:

1
1
y  x 3  x 2  ax  1
a
3
2
đạt cực trị tại
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số sao cho hàm số

x1 , x2 thỏa mãn: ( x12  x2  2a)( x22  x1  2a )  9 .
A. a  2.
B. a  4.
C. a  3.

D. a  1.

Hướng dẫn giải
Chọn B.
  1  4a
�
�
y�
 x  x  a  0 � �S  1
� x12  x22  1  2a; x13  x23  1  3a
�P  a
�
Ta có
.
2

Để thỏa yêu cầu bài toán ta phải có
0
�
�
� 2
4 a   2 x12  2 x2 2  2 x1  2 x2  a  x12 x2 2  x13  x23  x1 x2  9  0
�

Câu 5:

� 1
1  4a  0
a
�
�
�� 2
�� 4
� a  4.
2
�4a   2  4a  2  a  a  1  3a  a  9  0
�
a  2 �a  4
�
4
2
Với m là một tham số thực sao cho đồ thị hàm số y  x  2mx  1 có ba điểm cực trị tạo
thành một tam giác vuông. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. m �2 .
B. 2 �m  0 .
C. m  2 .

D. 0 �m  2 .

Hướng dẫn giải
Chọn đáp án B.
y�
 4 x3  4mx  4 x  x 2  m 

.

x0
�
y�
 0 � �2
x  m  1
�
.

Hàm số có ba điểm cực trị � m  0 � m  0 .
3
Ba điểm cực trị của đồ thị hàm số tạo thành một tam giác vuông � b  8a

�  2m   8 � m3  1 � m  1
3

Câu 6:

Cho hàm số bậc ba
số

y  f  x

(thỏa điều kiện).

có đồ thị như hình bên. Tất cả các giá trị của tham số m để hàm

y  f  x  m

có ba điểm cực trị là
m
�

1
m
A.
hoặc �3 . B. m �3 hoặc m �1 .
C. m  1 hoặc m  3 . D. 1 �m �3 .

Hướng dẫn giải
Chọn A.
Nhận xét: Đồ thị hàm số

y  f  x  m

Phần 1 là phần đồ thị hàm số

gồm hai phần:

y  f  x  m

Phần 2 là phần đối xứng của đồ thị hàm số
hoành.
Dựa vào đồ thị của hàm số
y  f  x  m
.

y  f  x

nằm phía trên trục hoành;

y  f  x  m

nằm phía dưới trục hoành qua trục

đã cho hình bên ta suy ra dạng đồ thị của hàm số


y  f  x  m
y  f  x  m
Khi đó hàm số
có ba điểm cực trị khi và chỉ khi đồ thị hàm số
và
trục hoành tại nhiều nhất hai điểm chung

m �1
�1  m �0
�
��
��
3  m �0
�
�m �3 .
Cách 2: Ta có

 f  x   m
f�
 x  . f  x   m
 f  x   m

y  f  x  m 
y�


2

Để tìm cực trị của hàm số
�f �
 x  0
��
�f  x   m

2

y  f  x  m

 0 hoặc y�không xác định
, ta tìm x thỏa mãn y�

 1
 2

 1 có hai điểm cực trị x1 , x2 trái dấu. Vậy để đồ thị hàm số có 3 cực trị
Dựa vào đồ thị ta có
 2  có một nghiệm khác x1 , x2 .
thì
m �1
m �1
�

�
��
�
m �3 �
m �3 nên chọn đáp án A.
Dựa vào đồ thị ta có điều kiện: �
y  2 x 3   1  2m  x 2  3mx  m
Câu 21: Tìm m để đồ thị hàm số
có điểm cực đại, cực tiểu nằm về 2 phía
với trục hoành.
��
m 4
��
m4
��
��
��
��
m �0
m0
.
.
�
�
m4
�
1
1
�
�

.
m
�

m
�

�
�
�
m0
2
2
A. 0  m  4.
B. �
C. �
D. �
Hướng dẫn giải
Chọn C.
Phương trìnhhoành độ giao điểm của đường thẳnghàm sốvà trục hoành :
2
2
2 x 3   1  2m  x 2  3mx  m  0  1 � x  2 x  1  m  2 x  3x  1  0


� 1
x
�� 2
�
�  2 x  1  x 2  mx  m   0

g  x   x 2  mx  m  0
�

 2

Đồ thị hàm sốcó điểm cực đại, cực tiểu nằm về 2 phía với trục hoành.
1
�  1
 2  có 2 nghiệm phân biệt khác 2 .
có 3 nghiệm phân biệt � phương trình

��
m4
�
�
� �1 �
�1 m
�m  0
�g � ��0
�   m �0 � ��
.
� � �2 �
� �4 2
1
�
m �
�
�
  m 2  4m  0 �
�m  0; m  4

�
�
2

BÀI 3:

Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số

Dạng 6. Tìm GTLN, GTNN của hàm số trên đoạn.
f  x   x3  2x 2  x  2
 0; 2
Câu 10: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số
trên đoạn
50
max y  
max y  2
max y  1
max y  0
27 .
A.  0;2
.
B.  0;2
C.  0;2
.
D.  0;2
.
Hướng dẫn giải
Chọn D.
1
2

x

�
�
f  x   3x  4 x  1 f  x   0 � x  1
3.
Ta có:
,
hoặc

�1 � 50
f � � 
max y  0
�3 � 27 nên  0;2
2
 2; 4 là:
Câu 11: Giá trị nhỏ nhất của hàm số y   x  2 x  4 trên đoạn
A. 1 .
B.  4 .
C. 2 .
D. 4 .

f  0   2 f  1  2 f  2   0
Ta có:
,
,
,

Hướng dẫn giải
Chọn D

 0 � x  1� 2, 4
 2 x  2 , y �
Ta có y�
.
y  2   4 y  4   4
,
min y  4
Vậy  2,4
.

Mà

Câu 22: Gọi M , n lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

y

x2  3
x  2 trên đoạn

� 3�
1; .
�
� 2�
� Mệnh đề nào sau đây là đúng?
8
M n .
3
A.

7
M n .
2
B.

C.

M n 

Hướng dẫn giải

13
.
6

4
M n  .
3
D.


Chọn A.
x2  4x  3
� 3�
�
y

2
1; �
�

 x  2
Trên � 2 �hàm số liên tục và có đạo hàm
�
� 3�
x  1��
1; �
�
2�
x  4x  3
�
y�
0�
0� �
2
�
� 3�
2
 x  2
x  3 ��
1; � y  1  ; y  1  2;
�
3
� 2 �;
�
2

2
8
� 1�
� 1�

3 �M n
1; �
1; �
�
�
� 3�
� 3�
3
y  2 x  ln  1  2 x 
 1; 0 .
Câu 23: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số
trên
Min y  2  ln 3
Min y  0
Min y  1
A. x� 1;0
B. x� 1;0
C. x� 1;0

�3 � 3
y � �
�2 � 2 .

M  max y  y  1  2; n  min y  y  1 

D.

Min y  2  ln 3

x� 1;0

Hướng dẫn giải
Chọn A.
Có

y'  2

2
; y'  0 � x  0
y  0   0; y  1  2  ln 3
1 2x
. Có

Suy ra giá trị nhỏ nhất trên đoạn

 1;0

là

y  1  2  ln 3

3
2
 1, 2 đạt tại x  x0 . Giá trị x0 bằng
Câu 24: Giá trị nhỏ nhất của hàm số y  2 x  3 x  12 x  2 trên đoạn
A. 2.
B. 2.
C.1
D. 1 .

Hướng dẫn giải
Chọn C.
�
x  1 � 1, 2
y�
0� �
x  2 � 1, 2
�
 6 x 2  6 x  12 ,
Ta có y�
.
Mà

y  1  15, y  1  5, y  2   6
2

. Vậy hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại x0  1 .
2

sin x
 2cos x
Câu 10: Tìm giá trị lớn nhất của y  2
A. 3 .
B. 2 .

C. 4 .
Hướng dẫn giải

Chọn A.
Đặt

t  sin 2 x, t � 0;1

.

t
1t
 0;1 .
Tìm GTLN của y  2  2 trên

y�
 2t ln 2  21t ln 2  0

� 2t  21t � t 

1
2.

D. 5 .


�1 �
f (0)  3; f (1)  3; f � � 2 2
�2 �
.

Vậy

max y  3
 0;1

.

2
Câu 11: Cho hàm số y  x  3  x ln x . Gọi M ; N lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của

hàm số trên đoạn

 1; 2 . Khi đó tích

A. 2 7  4 ln 5.

M .N là:

B. 2 7  4 ln 2.

C. 2 7  4 ln 5.

D. 2 7  4 ln 2.

Hướng dẫn giải
Chọn B.
Tập xác định

y�

Ta có

D   0; �
x

x2  3

.

  ln x  1 

x  x2  3
x2  3

 ln x
.

x 2  3  x � x  x 2  3  x  x �0 �

x  x2  3
x2  3

Do

ln
 x 0
Và x �1��
y�

Do đó
Khi đó

x  x2  3
x2  3

0
.

ln x 0 .
 ln x  0
. Nên hàm số nghịch biến trên

M  y  1  2; N  y  2   7  2 ln 2

 1; 2 .

.

Vậy M .N  2 7  4 ln 2 .
Dạng 7. Tìm GTLN, GTNN của hàm số f trên tập X không là một đoạn.
Câu 25: Giá trị lớn nhất M của hàm số f ( x)  sin 2 x  2 sin x là
A. M  0.

B.

M

3 3
.
2

C. M  3.

D.

M

3 3
.
2

Hướng dẫn giải
Chọn B.
Cách 1: dùng vinacal bấm mode 7 , nhập f ( x)  sin 2 x  2sin x , bấm “ ” , start nhập 0 ; end
nhập 360 , step nhập 15 ; bấm “=” thấy 2,59 lớn nhất nên chọn B
Cách 2: Xét hàm số f ( x)  sin 2 x  2sin x , hàm số liên tục trên R.
 0; 2  .
Vì hàm số có chu kỳ tuần hoàn là 2 nên xét hàm số trên đoạn
f�
( x)  2cos2 x  2 cos x =2  2cos 2 x  cos x  1

.


cos x  1
�
�
f�
2 4 �
 x  0 � �
�
1
x � 0; 2  � x ��
0; 2 ;

; �
cos x  
3 3 .
�
�
2 . Vì

f  0   0 f  2   0
Ta có
;
;

�2 � 3 3
�4 � 3 3
f � � 
f � �
2 ; �3 � 2
�3 �

3 3
Vậy, giá trị lớn nhất M của hàm số f ( x)  sin 2 x  2sin x là 2 .

Dạng 8. Tìm GTLN, GTNN của hàm số dung ẩn phụ.
Dạng 9. Ứng dụng GTLN, GTNN xác định điều kiện có nghiệm của phương trình, bất phương trình.
BÀI 4:

Đường tiệm cận của đồ thị hàm số

Dạng 10. Tìm tiệm cận đứng của đồ thị.
Câu 12: Đường thẳng nào dưới đây là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số

A. x  1 .
B. y  1 .
C. y  2 .

y

2x  1
x 1 ?

D. x  1 .

Hướng dẫn giải
Chọn D.
2x 1
2x 1
 �; lim y  lim
 �
x �1 x  1
x �1
x �1 x  1
Ta có x�1
suy ra đường thẳng x  1 là đường
2x 1
y
x 1 .
tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
x3
y
x  1 là:
Câu 13: Phương trình đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

A. x  1
B. y  1
C. x  1
D. y  1
lim y  lim

Hướng dẫn giải
Chọn B
y

a
1
c

Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là
3
y
x  1 có đồ thị là  C  . Mệnh đề nào sau đây là đúng?
Câu 26: Cho hàm số

 C
 C
C.
A.

có tiệm cận ngang là y  3.
có tiệm cận ngang là y  0.

 C
 C

D.
B.

chỉ có một tiệm cận.
có tiệm cận đứng là x  1.

Hướng dẫn giải
Chọn C.
y

3
� lim y  0 � y  0
x  1 x ���
là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.


Câu 27: Cho hàm số

y

4 x2  x  1
2 x  1 . Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số có phương trình là
1
y .
2
B.

A. y  2.

C. y  1.

D. y  1, y  1.

Hướng dẫn giải
Chọn D
Ta có

lim y  lim

x ��

x ��

1 1
 4  2
4x  x 1
x x  1 � y   1
 lim
x
�

�
1
2x 1
2
x
là tiệm cận ngang.
2

1 1

4  2
4x  x 1
x x 1� y 1
lim y  lim
 lim
x ��
x ��
x ��
1
2x 1
2
x
là tiệm cận ngang.
x 1
y 2
x  mx  m có đúng một tiệm
Câu 28: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số
2

cận đứng.
A. m  0

B. m �0

C.

m � 0; 4

D. m �4

Hướng dẫn giải
Chọn C.

�x  1 �0
�2
x  mx  m  0
Để hàm số có đúng một tiệm cận đứng thì hệ �
có duy nhất một nghiệm
� pt : x 2  mx  m  0 có nghiệm kép khác 1 hoặc có hai nghiệm phân biệt trong đó có một
nghiệm bằng 1.
2
Mà x  1 không là nghiệm của phương trình x  mx  m  0
2
2
Suy ra phương trình x  mx  m  0 phải có nghiệm kép � m  4m  0 � m  0 �m  4

2x 1 x2  x  3
y
x2  5x  6
Câu 12: Tìm tất cả các tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
.
A. 3 và x  2 .
B. x  3 .
C. x  3 và x  2 .
D. x  3 .
Hướng dẫn giải
Chọn D.
Tập xác định

D  �\  2;3

 2 x  1   x 2  x  3
2 x 1  x2  x  3
lim

lim
x �2
x �2
x2  5x  6
 x 2  5x  6 2x  1  x2  x  3
2



 lim
x �2

 lim
x �2

x

 2 x  1

2



2

  x 2  x  3

 5x  6 2x  1  x2  x  3
(3 x  1)

 x  3  2 x  1 

x2  x  3








7
6

2 x 1  x2  x  3
7

2
x  5x  6
6 .Suy ra đường thẳng x  2 không là tiệm cận đứng của
Tương tự x�2
đồ thị hàm số đã cho.
lim

lim

x �3

2 x 1  x2  x  3
2x 1  x2  x  3


�
;
lim
 �
x �3
x2  5x  6
x2  5x  6
.

Suy ra đường thẳng x  3 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho.
Câu 13: Hỏi đồ thị hàm số
ngang)?
A. 1.

y

3x 2  2
2 x  1  x có tất cả bao nhiêu tiệm cận (gồm tiệm cận đứng và tiệm cận

B. 4.

C. 3.

D. 2.

Hướng dẫn giải
Chọn D.

ĐKXĐ:

1
1
�
�
�x �
�x �
2
2 .
��
�
� 2 x  1  x �0
�x �1  2
�
�

2
3x  2
x2
lim
 lim
 3
x �� 2 x  1  x

x �� �
�
2 1
x �  2  1�
�x x
�
� y   3 là phương trình đường tiệm
Ta có:
cận ngang của đồ thị hàm số.
2

x 3

3x 2  2
3x 2  2
lim 
 �
lim 
 �
x � 1 2 
x � 1 2 
2x 1  x
2
x

1

x
hoặc
Do đó: x  1  2 là phương trình đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Dạng 11. Tìm tiệm cận ngang của đồ thị.
4x 1
y
2 x  3 có đồ thị  C  . Mệnh đề nào dưới đây sai?
Câu 29: Cho hàm số
A. Đồ thị

 C

có tiệm cận đứng.

B. Đồ thị

 C

có tiệm cận đứng và tiệm cận ngang.


C. Đồ thị

 C

có tiệm cận ngang.

D. Đồ thị

 C

không có tiệm cận.
Hướng dẫn giải

Chọn D.
1
x 2
lim f  x   lim
3
x ��
x ��
2
� đồ thị  C  có TCN là đường thẳng y  2 .
x
Ta có
4

lim f  x   �


�3�
x �� �
�2�

y

Câu 30: Cho hàm số

� đồ thị
x 1

 C

có TCĐ là đường thẳng

x

3
2.

x 2  3x  2 có đồ thị là  C  . Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A.

 C

có đúng một tiệm cận ngang y  1

B.

 C

có đúng một tiệm cận ngang y  1

C.

 C

có hai tiệm cận ngang là y  1 và y  1

D.

 C

không có tiệm cận ngang.
Hướng dẫn giải

Chọn C
lim y  lim

x ��

x ��

x 1
x  3x  2
2

1

 lim

1
x

3 2
1  2
x x

x ��

Ta có

1� y 1
là tiệm cận ngang.

1
x
lim y  lim
 lim
 1 � y   1
2
x ��
x ��
x ��
3
2
x  3x  2
 1  2
x x
là tiệm cận ngang.
2
x  2x  3
y
x 2  4 . Khi đó:
Câu 31: Cho hàm số
A.Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x  1 ; tiệm cận ngang y  2 và y  2 .
x 1

1

B.Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x  2 và x  2 ; tiệm cận ngang y  1 .
C.Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x  2 và x  2 ; tiệm cận ngang y  1 .

D.Đồ thị hàm số có tiệm đứng x  1 và x  1 ; tiện cận ngang y  1 .
Hướng dẫn giải

Chọn B.


lim y  lim

x � �

x ��

2 3

x x2  1
4
1 2
x

1

x  2x  3
 lim
x ��
x2  4
2

Ta có

2 3

1  2
x2  2 x  3
x x 1
lim y  lim
 lim
x ��
x ��
x ��
4
x2  4
1 2
x
và
.
Do đó đồ thị hàm số có tiệm cận ngang y  1 .
x2  2x  3
x2  2x  3
lim y  lim
 �
lim y  lim
 �
x �2
x �2
x �2
x2  4
x2  4
và x �2
.
Do đó đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x  2 và x  2 .
Dạng 12. Tìm tiệm cận xiên của đồ thị (giảm tải).

Dạng 13. Tìm điều kiện để hàm số có tiệm cận
x2  a
y 3
x  ax 2 có 3 đường tiệm cận.
Câu 14: Tìm tất cả các giá trị của tham số a để đồ thị hàm số
A. a �0, a ��1 .
B. a �0, a �1 .
C. a  0, a �1 .
D. a  0 .
Hướng dẫn giải
Chọn B.
Hàm số có tập xác định là
Ta có

Câu 7:

D  �\  0,  a

x2  a
0
x ��� x 3  ax 2
nên y  0 là một tiệm cận ngang.

lim y  lim

x ���

�a �0
2
x2  a

 a   a �0 � �

y 3
�a �1 .
x  ax 2 có hai tiệm cận đứng thì a �0 và
Để hàm số
x 3
y
x 2  m có 3 tiệm cận.
.Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số
m0
m0
�
�
�
�
m  9 .
m9.
A. �
B. m  0 .
C. m  0 .
D. �
Hướng dẫn giải
Chọn A.

lim

x ��

Ta có:

3
3
1
x

3
x  1
x 1
 lim
lim
 lim
2
2
x ��
x ��
x ��
m
m
x m
x m
 1 2
1 2
x
x
và
x3

1

Do đó, đồ thị hàm số luôn có 2 tiệm cận ngang là y  1 ; y  1 .
Để đồ thị hàm số có 3 tiệm cận thì chỉ cần có thêm 1 tiệm cận đứng.


2
Trường hợp 1: x  m  0 có nghiệm kép khác 3 , nên m  0 .
2
Trường hợp 2: x  m  0 có 2 nghiệm mà 1 nghiệm bị triệt tiêu bởi lượng x  3  0 trên tử. Cụ
thể ta có m  9 .

Thật vậy, ta có:

lim

x 3

x �3

x 9
2

 lim
x �3

x 3
x 3
lim 
 �
0
2

x � 3
x3
x

9
và
nên đồ thị hàm số có 1

tiệm cận đứng là x  3
Vậy đáp số là

m � 0; 9

BÀI 5:

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm đa thức

Dạng 14. Khảo sát hàm bậc ba.
Câu 8:

3
2
Cho hàm số y  ax  bx  cx  d có đồ thị như hình vẽ bên. Mệnh đề nào dưới đây đúng ?
A. a  0, b  0, c  0, d  0 .

B. a  0, b  0, c  0, d  0 .
C. a  0, b  0, c  0, d  0 .
D. a  0, b  0, c  0, d  0 .
Hướng dẫn giải:
Chọn A.

Dựa vào dáng điệu của đồ thị suy ra hệ số a  0 � loại phương ánC.

y�
 3ax 2  2bx  c  0 có 2 nghiệm x1 , x2 trái dấu � 3a.c  0 � c  0 � loại phương án D.
2b
 0�b  0
3a
.
( x) cắt trục Ox tại ba điểm có hoành độ a  b  c như
Cho hàm số y  f ( x) có đồ thị y  f �
hình vẽ. Mệnh đề nào dưới đây là đúng?
A. f (c)  f (a )  f (b).
x1  x2  

Câu 9:

B. f (c)  f (b)  f (a ).
C. f (a)  f (b)  f (c).
D.

f (b)  f (a)  f (c).