LAN 1 VIP GT c3 SP

Câu 1.
Câu 1.
Câu 1.
Câu 1.

TA NHẬN BIẾT MỨC ĐỘ THÔNG QUA MÀU QUY ƯỚC.
MÀU NHẬN BIẾT
MÀU THÔNG HIỂU
MÀU VẬN DỤNG THẤP
MÀU VẬN DỤNG CAO

BÀI 1:

NGUYÊN HÀM

Dạng 1: SỬ DỤNG LÍ THUYẾT
Câu 2.

Tìm khẳng định sai
b

A.

C.

∫  f ( x ) + g ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ g ( x ) dx
∫ f ( x ) g ( x ) dx =∫ f ( x ) dx.∫ g ( x ) dx

∫
a

.

.

c

b

a

c

f ( x ) d x = ∫ f ( x ) d x + ∫ f ( x ) dx , a < c < b

B.

D.

.

∫ f ′ ( x ) dx = f ( x ) + c

.

Hướng dẫn giải
Chọn C.
Theo lý thuyết SGK Giải tích 12 Cơ bản
Câu 3.

Tìm khẳng định sai

b

A.

C.

∫  f ( x ) + g ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ g ( x ) dx
∫ f ( x ) g ( x ) dx =∫ f ( x ) dx.∫ g ( x ) dx

.

∫
a

.

c

b

a

c

f ( x ) d x = ∫ f ( x ) d x + ∫ f ( x ) dx , a < c < b

B.

D.

.

∫ f ′ ( x ) dx = f ( x ) + c

Hướng dẫn giải
Chọn C.
Theo lý thuyết SGK Giải tích 12 Cơ bản

Dạng 2: CÁC NGUYÊN HÀM ĐƠN GIẢN
Câu 4.

Tính

A.

∫ ( x − sin 2 x)dx

x2
+ sin x + C
2

.

B.

x2
+ cos 2 x + C
2

.

.


C.

1
x 2 + cos 2 x + C
2

.

D.

x2 1
+ cos 2 x + C
2 2

.

Hướng dẫn giải
Chọn D.

Ta có
Câu 2.

x2 1
∫ ( x − sin 2 x)dx = ∫ xdx − ∫ sin 2 xdx = 2 + 2 cos 2 x + C
f ( x) = x x

.

Tìm nguyên hàm của hàm số
2

A.

∫ f ( x ) dx = 5 x
2

C.

∫ f ( x ) dx = 5 x

2

1

x +C
B.

∫ f ( x ) dx = 5 x
3

x +C
D.

∫ f ( x ) dx = 2

2

x +C

x +C

Hướng dẫn giải
m
x α+1
m n
m+n
n m
∫ x dx = α + 1 + C; a = a n ; a .a = a
α

Câu 5.

- Phương pháp: Áp dụng các công thức
3
2 52
2
2
x
xdx
=
x
dx
=
x + C = x2 x + C
∫
∫

5
5
:
- Cách giải
Mệnh đề nào dưới đây sai?
A.

B.

C.

D.

∫ f ′ ( x ) dx = f ( x ) + C

f ( x)
với mọi hàm

∫ kf ( x ) dx = k ∫ f ( x ) dx

có đạo hàm trên

với mọi hằng số

k

∫  f ( x ) − g ( x )  dx = ∫ f ( x ) dx − ∫ g ( x ) dx
∫  f ( x ) + g ( x )  dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ g ( x ) dx

.

f ( x)
và với mọi hàm số

liên tục trên

¡

.

f ( x) , g ( x)
, với mọi hàm số

liên tục trên

f ( x) , g ( x)
, với mọi hàm số

Hướng dẫn giải
Chọn B.

¡

liên tục trên

¡

¡

.

.


Dựa vào định nghĩa nguyên hàm và tính chất.
Câu 6.

a>0

Với

, cho các mệnh đề sau

a x +3
(ax + b) 23
dx
1
x +3
22
+ C ( iii ) .∫ (ax + b) dx =
+C
= ln(ax + 1) + C. ( ii ) .∫ a dx =
( i ) .∫
ln a
23
ax + 1 a
Số các khẳng định sai là:
A.

1

B.

2

C.

3

D.

0

Hướng dẫn giải:
dx

Ta thấy

1

∫ ax + 1 = a ln ax + 1 + C.

(i )
nên

 a x +3

1 x +3
+ C ÷' =
a .ln a = a x +3


 ln a
 ln a
 (ax + b) 23

+ C ÷' = a (ax + b) 22

23



sai

(ii )
nên

đúng

(iii )
nên

sai

Do đó có 2 đáp án đúng
Chọn đáp án
Câu 7.

B

Mệnh đề nào sau đây là đúng?

∫

dx
= 2 x + c.
x

A.

B.

dx

∫x

x
x
∫ 2 dx = 2 + c.

2

=

C.
Hướng dẫn giải

1
+ c.
x

Chọn A.

t = x ⇒ x = t 2 ⇒ dx = 2tdt ⇒ ∫
Đặt
Câu 8.

F ( x ) = e x − cot x + C

Hàm số
f ( x ) = ex +
A.

dx
2t
= ∫ dt = 2t + C = 2 x + C .
t
x
f ( x)

là nguyên hàm của hàm số
1
×
sin 2 x

B.

nào?
1
f ( x ) = ex − 2 ×
sin x

dx

D.

∫ x + 1 = ln x + c.


f ( x ) = ex −

C.

1
×
cos 2 x

f ( x ) = e− x +

D.
Hướng dẫn giải

1
×
sin 2 x

Chọn A.
Ta có

∫ f ( x ) dx = F ( x ) ⇔ ( F ( x ) )

(e

x

− cot x + C ) ′ = e x +

Khi đó

′ = f ( x)
.

1
sin 2 x

.

Dạng 3: PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ
f ( x) =
Câu 2.

Cho

(2
x +1
x

3
F ÷
4

F ( 0) = 6
. Tính

A.

125
16

x2 +1 + 5

2

.

)

F ( x)
, biết

f ( x)
là một nguyên hàm của hàm số

thỏa

.

B.

126
16

.

C.

123
16

.

D.

127
16

.

Hướng dẫn giải
Chọn A.

Đặt

t = x 2 + 1 ⇒ tdt = xdx

∫ f ( x)dx = ∫

(2
x +1
x

2

.

)

x 2 + 1 + 5 dx

(

)

= ∫ ( 2t + 5 ) dt = t 2 + 5t + C = x 2 + 1 + 5 x 2 + 1 + C

F (0) = 6 ⇒ C = 0
.

Vậy

 3  125
F  ÷=
 4  16

.
f ( x) = x x

Câu 3.

Tìm nguyên hàm của hàm số

2

A.

∫ f ( x ) dx = 5 x

2

1

x +C
B.

∫ f ( x ) dx = 5 x

2

x +C

.


2

∫ f ( x ) dx = 5 x

C.

3

x +C

2

D.

∫ f ( x ) dx = 2

x +C

Hướng dẫn giải
Đáp án C
3

∫ x xdx = ∫ x 2 dx =

∫ x ( 1− x)
Câu 4.

2 52
2
x + C = x2 x + C
5
5

( 1− x)
dx =

2017

a

Giả sử
bằng:
A.

2017

a

.

B.

2018

( 1− x)
−

b

+C

b

a, b
với

.

C.

là các số nguyên dương. Tính

2019

.

D.

2020

2a − b

.

Hướng dẫn giải
Tacó:

∫ x ( 1− x)

2017

dx = ∫ ( x − 1 + 1) ( 1 − x )

2017

(

dx = ∫ ( 1 − x )

2017

− ( 1− x )

2018

)

( 1− x)
dx = −

2018

2018

( 1− x)
+

2019

+C

2019

a = 2019, b = 2018 ⇒ 2a − b = 2020
Vậy

.

Chọn D.

Dạng 4: PHƯƠNG PHÁP TỪNG PHẦN
Dạng 5: NGUYÊN HÀM CÁC PHÂN THỨC HỮU TỈ
NGUYÊN HÀM CÁC PHÂN THỨC HỮU TỈ


Câu 9.

Tính nguyên hàm

A.



1

∫  2 x + 3 ÷ dx

1
ln 2 x + 3 + C
2

.

B.

1
ln ( 2 x + 3) + C
2

2 ln 2 x + 3 + C

.
C.
Hướng dẫn giải

Chọn A.


Ta có :

1



1 

1



1

∫  2 x + 3 ÷ dx = 2 ∫  2 x + 3 ÷ d ( 2 x + 3) = 2 ln 2 x + 3 + C

ln 2 x + 3 + C

.

D.

.


1

Câu 10.

Tìm nguyên hàm
1

∫ 1 − 2 x dx

1

1

1

∫ 1 − 2 xdx = 2 ln 1 − 2 x + C.
A.

B.

1

1

C.

1

∫ 1 − 2 xdx = 2 ln 1 − 2 x + C.
1

∫ 1 − 2 xdx = ln 1 − 2 x + C.

∫ 1 − 2 xdx = ln 1 − 2 x + C.

D.
Hướng dẫn giải

Chọn A.
1 d ( 1 − 2x )
1
1
1
= − ln 1 − 2 x + C = ln
+ C.
1− 2x
2
2 1− 2x

1

∫ 1 − 2 x dx = − 2 ∫

Câu 3.

Tìm nguyên hàm

A.

C.

∫x

2

∫x

2

∫x

2

x+3
dx
+ 3x + 2

.

x+3
dx = 2 ln x + 2 − ln x + 1 + C
+ 3x + 2
x+3
dx = 2 ln x + 1 + ln x + 2 + C
+ 3x + 2

.

.

B.

D.

∫x

2

∫x

2

x+3
dx = 2 ln x + 1 − ln x + 2 + C
+ 3x + 2
x+3
dx = ln x + 1 + 2 ln x + 2 + C
+ 3x + 2

Hướng dẫn giải
Chọn đáp án B.

∫x

2

x+3
x +3
1 
 2
dx = ∫
dx = ∫ 
−
÷dx
+ 3x + 2
( x + 1) ( x + 2 )
 x + 1 x + 2  = 2 ln x + 1 − ln x + 2 + C

Ta có

.
f ( x) =

F ( x)
Câu 5.

Cho

là nguyên hàm của hàm số
3F ( x ) + ln e x + 3 = 2

(

)

phương trình
Sửa lại:

S = { −2; 2}
.

và

1
F ( 0 ) = − ln 4
3

S

. Tập nghiệm

là:

S = { 2}
A.

1
e +3
x

B.

S = { 1; 2}
.

C.

S = { −2;1}
.

D.

.

của

.

.


Hướng dẫn giải

F ( x) = ∫
Ta có:

Do

dx
1 
ex 
1
x
=
1

−

÷dx = x − ln ( e + 3) + C
x
x
∫
e +3 3  e +3
3

(

1
F ( 0 ) = − ln 4
3

nên

C =0

F ( x) =
. Vậy

)

(

1
x − ln ( e x + 3)
3

.

)
.

3F ( x ) + ln ( e x + 3) = 2 ⇔ x = 2

Do đó:
Chọn A.

Dạng 6: NGUYÊN HÀM HÀM SỐ VÔ TỈ
Dạng 7: NGUYÊN HÀM HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
NGUYÊN HÀM HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
f ( x ) = sin 2 x
Câu 11.

Tìm nguyên hàm của hàm số

A.

2 cos 2 x + C.

B.

.
1
cos 2 x + C.
2

−2 cos 2 x + C.

C.
Hướng dẫn giải

D.

1
− cos 2 x + C.
2

Chọn D.
1

∫ sin 2 xdx = − 2 cos 2 x + C
f ( x ) = cos 2 x
Câu 12.

Tìm nguyên hàm của hàm số

.

1

A.

C.

∫ f ( x ) dx = 2 sin 2 x + C
∫ f ( x ) dx = 2sin 2 x + C

.

1

.

B.

D.

∫ f ( x ) dx = − 2 sin 2 x + C
∫ f ( x ) dx = −2sin 2 x + C

Hướng dẫn giải
Chọn A.

.

.


1

Áp dụng công thức
quả.

∫ cos(ax + b)dx = a sin(ax + b) + C

với

a≠0

; thay

a=2

và

b=0

để có kết

f ( x) = sin 2 x
Câu 13.

Trong các hàm số dưới đây hàm số nào không phải là nguyên hàm của hàm số

A.

1
F1 ( x) = cos 2 x.
2

F2 ( x) =

C.

?

F4 ( x ) = sin 2 x + 2

B.

1
(sin 2 x − cos 2 x ).
2

.
F3 ( x) = − cos 2 x

D.

.

Hướng dẫn giải
Chọn A.
1
′
cos 2 x  = − sin 2 x.
2


[ F1 ( x)] ′ = 
Ta có

1
′  1
′
(sin 2 x − cos 2 x)  =  − cos2x  = sin 2 x.
2

  2


[ F2 ( x)] ′ = 

[ F3 ( x)] ′ =  − cos2 x ′ = −2 cos x. ( cosx ) ′ = −2 cos x. ( − sin x ) = 2sin x cos x = sin 2 x.
[ F4 ( x)] ′ = sin 2 x + 2 ′ = 2sin x. ( sin x ) ′ = 2sin x cos x = sin 2 x.
F ( x)
Câu 6.

f ( x ) = sin ( 1 − 2 x )

Biết rằng
là một nguyên hàm của hàm số
đề nào sau đây là đúng?

A.

1
3
F ( x ) = − cos ( 1 − 2 x ) + .
2
2

F ( x ) = cos ( 1 − 2 x ) + 1.
C.
Chọn D.

và thỏa mãn

F ( x ) = cos ( 1 − 2 x ) .
B.
F ( x) =

D.
Hướng dẫn giải

1
1
cos ( 1 − 2 x ) + .
2
2

1
F  ÷ = 1.
2

Mệnh


1
1
F ( x ) = ∫ f ( x ) dx = ∫ sin ( 1 − 2 x ) dx = −  − cos ( 1 − 2 x )  + C = cos ( 1 − 2 x ) + C
2
2

.

1
1

1
1
1
1
1

F  ÷ = 1 ⇔ cos 1 − 2. ÷+ C = 1 ⇔ + C = 1 ⇔ C = ⇒ F ( x ) = cos ( 1 − 2 x ) + .
2
2
2
2
2
2
2


Mà

BÀI 2:

TÍCH PHÂN

Dạng 8: BÀI TẬP LÍ THUYẾT
3

3

∫  f ( x ) + 3g ( x )  dx = 10

Câu 7.

[ 1;3]
f g
1
Cho , là hai hàm liên tục trên
thỏa:

∫ 2 f ( x ) − g ( x )  dx = 6
.

1

.

3

∫  f ( x ) + g ( x )  dx
Tính

1

.

A. 8.

B. 9.

C.

6

.

D. 7.

Hướng dẫn giải
Chọn C.
3

3

3

1

1

1

∫  f ( x ) + 3g ( x )  dx = 10 ⇔ ∫ f ( x ) dx + 3∫ g ( x ) dx = 10
• Ta có

.

3

3

3

1

1

1

∫ 2 f ( x ) − g ( x )  dx = 6 ⇔ 2∫ f ( x ) dx − ∫ g ( x ) dx = 6
• Tương tự

• Xét hệ phương trình

u + 3v = 10 u = 4
⇔

2u − v = 6
v = 2

3

3

3

1

1

1

.

3

3

u = ∫ f ( x ) d x v = ∫ g ( x ) dx
, trong đó

1

1

,

.

∫  f ( x ) + g ( x )  dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ g ( x ) dx = 4 + 2 = 6
• Khi đó
Câu 8.

.

f ( x ) g ( x)
¡
Cho
,
là hai hàm số liên tục trên . Chọn mệnh đề sai trong các mệnh đề sau:
b

b

a

a

b

b

a

a

a

∫ ( f ( x) + g ( x) ) dx = ∫ f ( x)dx + ∫ g ( x)dx.

∫ f ( x)dx = ∫ f ( y)dy
A.

b

B.


a

∫

b

∫(

f ( x)dx = 0.

a

a

C.

b

b

a

a

f ( x) g ( x ) ) dx = ∫ f ( x)dx ∫ g ( x)dx.

D.
Hướng dẫn giải

Chọn D.
Lý thuyết.

Dạng 9: TÍCH PHÂN SỬ DỤNG CÔNG THỨC
2

[ 1; 2]

f ( x)
Câu 9.

Cho hàm số

A.

I =1

có đạo hàm trên đoạn

.

B.

I = −1

f ( 1) = 1

,

.

f ( 2) = 2

và

C.

I = ∫ f ′ ( x ) dx

I =3

1

. Tính
I=

.

D.

7
2

.

Hướng dẫn giải
Chọn A.
2

I = ∫ f ′( x)dx = f ( x) 1 = f (2) − f (1) = 2 − 1 = 1
2

1

.
2

∫

Câu 10.

−2

Cho
A.

4

∫

f ( x)dx = 1
,

4

−2

I = −5.

I = ∫ f ( y )dy.

f (t )dt = −4

2

. Tính
B.

I = −3.

C.

I = 3.

D.

I = 5.

Hướng dẫn giải
Chọn A.
4

I = ∫ f ( y )dy =
2

4

∫

−2

2

f ( y )dy − ∫ f ( y )dy =
−2

4

∫

−2

2

f (t )dt − ∫ f ( x)dx = −5
−2

f ( x) = 4 x.2 2 x +3

F ( x)
Câu 11.

Tìm một nguyên hàm

F ( x) =
A.

24x +1
.
ln 2

của hàm số

F ( x) = 2
B.

F ( x) =

4x + 3

.ln 2.
C.

Hướng dẫn giải
Chọn A.

24 x +3
.
ln 2

F ( x ) = 24 x +1.ln 2

D.


∫

f ( x ) d x = ∫ 4 x.22 x + 3 dx = ∫ 2 4 x +3dx =

Ta có

24 x +3
24 x +1
+C =
+ C.
4 ln 2
ln 2

[ 2; 6]

f ( x ), g ( x )
Câu 12.

Cho

là các hàm số liên tục trên đoạn

3

6

6

2

3

3

và thỏa mãn

∫ f ( x)dx = 3; ∫ f ( x)dx = 7; ∫ g ( x)dx = 5
. Hãy tìm mệnh đề KHÔNG đúng.
6

3

∫ [3g ( x) − f ( x)]dx = 8

∫ [3 f ( x) − 4]dx = 5

3

A.

B.

2

ln e6

ln e6

2

3

∫ [4 f ( x) − 2 g ( x)]dx = 16

∫ [2f ( x) − 1]dx = 16

C.

D.
Hướng dẫn giải
3

∫

6

6

3

2

f ( x )dx + ∫ f ( x )dx = ∫ f( x)dx = 10

2

Hướng dẫn giải:
6

6

6

3

3

3

∫ [3g ( x) − f ( x)]dx = 3∫ g ( x)dx − ∫ f ( x)dx = 15 − 7 = 8
Ta có:

nên

3

3

3

2

2

2

∫ [3 f ( x) − 4]dx = 3∫ f( x)dx − 4∫ dx = 9 − 4 = 5
ln e6

∫
2

ln e6

∫
3

nên

6

6

6

2

2

2

B

A

đúng

đúng

[2f ( x) − 1]dx = ∫ [2f ( x) − 1]dx = 2 ∫ f( x) dx − 1∫ dx = 20 − 4 = 16
nên

6

6

6

3

3

3

C

đúng

[4f ( x) − 2 g ( x)]dx = ∫ [4f ( x) − 2 g ( x)]dx = 4 ∫ f( x) dx − 2 ∫ g ( x) dx = 28 − 10 = 18

Nên

D

sai

Chọn đáp án

D


Câu 13.

∫e

Giả sử

2x

(2 x 3 + 5 x 2 − 2 x + 4)dx = (ax 3 + bx 2 + cx + d )e 2 x + C

. Khi đó

A. -2

B. 3

a+b+c+d

C. 2

D. 5

Hướng dẫn giải
Chọn B.

∫e

Ta có

( (ax

3

2x

(2 x3 + 5 x 2 − 2 x + 4)dx = (ax 3 + bx 2 + cx + d )e 2 x + C

nên

+ bx 2 + cx + d )e 2 x + C ) ' = (3ax 2 + 2bx + c)e 2 x + 2e 2 x (ax 3 + bx 2 + cx + d )
= ( 2ax3 + (3a + 2b) x 2 + (2b + 2c) x + c + 2d ) e 2 x

= (2 x3 + 5 x 2 − 2 x + 4)e2 x

Do đó

 2a = 2
a = 1
3a + 2b = 5
b = 1


⇔

2b + 2c = −2
c = −2
c + 2d = 4
 d = 3
9

∫

và

I = 122.

I = ∫  2 f ( x ) + 3 g ( x)  dx

B.

0

. Khi đó,

I = 58.

.
9

∫ g ( x ) dx = 16
9

Giả sử
A.

a+b+c+d = 3

0

f ( x ) dx = 37

0

Câu 14.

. Vậy

I = 143.

C.
Hướng dẫn giải

bằng:

D.

I = 26.

Chọn D.
9

9

9

0

0

0

0

9

I = 2 ∫ f ( x ) dx + 3∫ g ( x)dx = 2∫ f ( x ) dx − 3∫ g ( x)dx = 2.37 − 3.16 = 26

Ta có

Dạng 10:

.

TÍCH PHÂN SỬ DỤNG ĐỔI BIẾN SỐ
3

I = ∫ x x + 1dx
0

Câu 15.

Tính tích phân
I=
A.

116
15

I=
B.

16
15

I=
C.

116
5

I=
D.

16
3

- Phương pháp: Sử dụng phương pháp tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số

bằng


b

I = ∫ f ( u ( x ) ) u ' ( x ) dx
a

Tính
u = u( x)

+) Đặt
du = u '.dx ⇒ dx =
+) Tính

du
u'

x = a → u = α; x = b → u = β
+ Đổi cận
b

β

a

α

I = ∫ f ( u ( x ) ) u ' ( x ) dx = ∫ f ( u ) du = F ( β ) − F ( α )
+) Biến đổi:

u = x + 1 ⇒ x = u 2 − 1; du =

(

)

1 + x 'dx =

- Cách giải: Đặt
u ( 0) = 1

Đổi biến:

u ( 3) = 2

;
2

2

2

Khi đó ta có:

∫

4

2

I = ∫ f ( 2 x ) dx.
0

Cho
A.

2

2

f ( x ) dx = 16

0

Câu 16.

2

 u5 u3 
116
x
x
+

1dx
=
2
u
−
1
u
du
=
2
u
−
u
du
=
2
)
)
 − ÷ =
∫0
∫1 (
∫1 (
 5 3  1 15
3

4

1
dx ⇒ dx = 2udu
2 1+ x

. Tính tích phân

I = 32

.

B.

I =8

.

C.

I = 16

.

D.

Hướng dẫn giải
Chọn B.
2

I = ∫ f (2 x )dx.
0

Đặt
4

I=

Khi đó:

t = 2 x ⇒ dt = 2dx
4

x = 0 ⇒ t = 0; x = 2 ⇒ t = 4.
. Đổi cận:

1
1
f (t )dt = ∫ f ( x)dx = 8.
∫
20
20

I =4

.


2

5

∫

Câu 4.

Cho biết
A.

P = ∫ [f (5 − 3 x) + 7]dx

f ( x)dx = 15

−1

0

. Tính giá trị của

P = 15

B.

P = 37

C.

P = 27

D.

P = 19

Hướng dẫn giải:

t = 5 − 3 x ⇒ dx = −

Để tỉnh

P

ta đặt

dt
3

x =0⇒t =5
x = 2 ⇒ t = −1

nên

5
5
5

dt
1
1
P = ∫ [f (t ) + 7](− ) = ∫ [f (t ) + 7]dt =  ∫ f (t ) dt + 7 ∫ dt ÷
3
3 −1
3  −1
5
−1


−1

1
1
= .15 + .7.(6) = 19
3
3
D

chọn đáp án
3

2

x
∫0 1 + 1 + x dx = ∫1 f (t )dt
Câu 5.

Nếu

, với

f (t ) = 2t 2 + 2t

t = 1+ x

f (t )
thì

là hàm số nào trong các hàm số dưới đây ?

f (t ) = t 2 − t

A.

f (t ) = t 2 + t

B.

C.

f (t ) = 2t 2 − 2t

D.

Hướng dẫn giải
Chọn D.
Đặt

t = 1+ x

t 2 = 1 + x 2tdt = dx
, suy ra
,

3

2

2

2

x
t 2 −1
2
dx
=
∫0 1 + 1 + x ∫1 1 + t .2tdt = ∫1 (t − 1).2tdt = ∫1 (2t − 2t )dt

Ta có

f ( ln x )

e

y = f ( x)
Câu 17.

Cho hàm số
1

∫

liên tục trên
1

f ( x ) dx = 1.

∫

0

A.

¡

∫
và thỏa mãn

1

dx = e.
Mệnh đề nào sau đây đúng?

e

f ( x ) dx = e.

∫

0

B.

x

e

f ( x ) dx = 1.

∫ f ( x ) dx = e.

0

C.

0

D.


Hướng dẫn giải
Chọn B.
t = ln x ⇒ dt =

1
dx.
x

x = 1 ⇒ t = 0; x = e ⇒ t = 1
Đặt
Cận :
e
1
1
f ( ln x )
∫1 x dx = ∫0 f ( t ) dt = e ⇔ ∫0 f ( x ) dx = e
.
π

2

I = ∫ esin x sin x cos3 xdx
2

0

Câu 18.

Cho tích phân

A.

. Nếu đổi biến số

1
1

1 t
I =  ∫ e dt + ∫ tet dt 
2 0
0




I = 2  ∫ et dt + ∫ tet dt 
0
0


1

C.

.

B.

t = sin 2 x

thì:

1
1

1 t
I =  ∫ e dt − ∫ tet dt 
2 0
0




I = 2  ∫ et dt − ∫ tet dt 
0
0


1

1

.

.

1

D.
Hướng dẫn giải

.

Chọn B.
π
2

π
2

I = ∫ esin x sin x cos3 xdx = ∫ esin x . ( 1 − sin 2 x ) sin x.cos xdx
2

0

2

0

Ta có

.

1
t = sin 2 x ⇒ dt = 2sin x cos xdx ⇒ sin x cos xdx = dt
2

Đặt
Đổi cận

x

t

Vậy

Dạng 11:

0

π
2

0

1

1
1
1


1 t
1 t
I = ∫ e ( 1 − t ) dt =  ∫ e dt − ∫ tet dt 
20
2 0
0


.

.

PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN
2

∫ ( 2 x − 1) ln xdx = a ln 2 + b, ( a; b ∈ ¤ )
Câu 19.

Giả sử

A.

5
.
2

1

. Khi đó

B.

2.

C.

1.

a+b

?

D.

3
.
2


Hướng dẫn giải
Chọn D.

Đặt

1

u = ln x
 du = d x
⇒

x

dv = ( 2 x − 1) dx v = x 2 − x

2

.
2

2
∫ ( 2 x − 1) ln xdx = ( x − x ) ln x 1 − ∫ ( x − 1) dx

Ta có

2

1

1

2

 x2

1
= 2 ln 2 −  − x ÷ = 2 ln 2 −
2
 2
1
.

a = 2; b = −
Khi đó

1
2

a+b =
. Vậy

3
2

.

1

I = ∫ xe 2 x dx = ae 2 + b

a, b

0

Câu 20.

Cho

A.

(

0

.

B.

là các số hữu tỷ). Khi đó tổng

1
4

.

1
C. .
Hướng dẫn giải

a+b

là

D.

1
2

.

Chọn D.

Đặt

 du = d x


1 2x
v = 2 e

u = x

2x
 d v = e dx

ta có
.
1
1 1
1 1
1
1
1
1
1 1
1
I = ∫ xe 2 x dx = xe2 x − ∫ e 2 x dx = e 2 − e 2 x = e2 − e 2 + = e 2 + .
0 20
0 2
2
2
4

4
4 4
4
0
1

Vậy

Suy ra

1

 a = 4
1
⇒ a +b = .

2
b = 1

4
1

∫ ( 2 x + 1) e dx = a + b.e
x

0

Câu 21.

Biết rằng tích phân

, tích

ab

bằng:


1
A. .

B.

−1

−15

.

C.
.
Hướng dẫn giải

D.

20

.

Chọn A.

u = 2 x + 1 du = 2dx
⇒

x
x
dv = e dx v = e
Đặt
.
1

1

x
x
x
x
∫ ( 2 x + 1) e dx = ( 2 x + 1) e 0 − 2∫ e dx = ( 2 x − 1) e 0 = e + 1
1

0

Vậy

0

.

a = 1; b = 1 ⇒ ab = 1

Suy ra

Dạng 12:

.

TÍCH PHÂN HÀM HỬU TỶ
f ( x) =

F ( x)
Câu 22.

1

Biết

là một nguyên hàm của

F ( 3) = ln 2 − 1

A.

1
x −1

F ( 2) = 1

và

.

B.

. Tính
F ( 3) =

F ( 3) = ln 2 + 1

.

F ( 3)

C.

1
2

.
F ( 3) =

.

D.

7
4

.

Hướng dẫn giải
Chọn B.

F ( x) = ∫ f ( x)dx = ∫

1
dx = ln x − 1 + C
x −1

.

F (2) = 1 ⇔ ln1 + C = 1 ⇔ C = 1
.

F ( x) = ln x − 1 + 1
Vậy
4

I =∫
3

Câu 6.

F (3) = ln 2 + 1
. Suy ra

.

dx
= a ln 2 + b ln 3 + c ln 5,
x +x
2

Biết
A.

S =6

a , b, c
với

.

B.

S =2

.

là các số nguyên. Tính
C.

S = −2

Hướng dẫn giải
Chọn B.

.

S = a + b + c.

D.

S = 0.


4

I =∫
3

dx
x +x

1
1
1
1
=
= −
.
x + x x( x + 1) x x + 1

2

2

. Ta có:
Khi đó:
4

I =∫
3

4

dx
1 
1
4
= ∫ −
÷dx = ( ln x − ln( x + 1) ) |3 = (ln 4 − ln 5) − (ln 3 − ln 4) = 4 ln 2 − ln 3 − ln 5.
2
x + x 3  x x +1 

a = 4, b = −1, c = −1.
Vậy

Suy ra:
1

I =∫
0

Câu 23.

S = 2.

xdx
x2 + 1

Tính tích phân
I=

A.

1
ln 2
2

.

B.

I = −1 + ln 2

.

C.

I = ln 2

I=
.

D.

1
( −1 + ln 2 )
2

.

Hướng dẫn giải

Chọn A.
1

t = x + 1 ⇒ dt = 2 xdx

I =∫

2

Đặt

0

2

xdx
dt 1
= ∫ = ln t
2
x + 1 1 2t 2

TÍCH PHÂN HÀM VÔ TỶ

Dạng 14:

TÍCH PHÂN HÀM LƯỢNG GIÁC

Cho hàm số
bằng:
3.

π 
f '  ÷ = −2
2

thỏa mãn

B.

1

1
ln 2
2

.

f ( x ) = a sin 2 x − b cos 2 x

A.

=

. Khi đó, ta có:

Dạng 13:

Câu 7.

2

4.

C.

5.

Hướng dẫn giải
Chọn C.

f ' ( x ) = 2a cos 2 x + 2b sin 2 x
π 
f '  ÷ = −2 ⇔ −2a = −2 ⇔ a = 1
2

b

∫ adx = 3
a

và

. Tính tổng

D.

8.

a+b

b

b

a

1

∫ adx = ∫ dx = 3 ⇔ b − 1 = 3 ⇔ b = 4
Vậy

Dạng 15:

a + b = 1 + 4 = 5.

TÍCH PHÂN CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI

BÀI 3:
Dạng 16:

Vấn đề 1:

ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN

DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm

hoành và hai đường thẳng

y = f ( x)

, trục

x = a, x = b ( a < b )

(H)

Câu 24.

số

y = e x y = 0 x = 0 x = ln 4
Cho hình thang cong
giới hạn bởi các đường
,
,
,
. Đường thẳng
(H)
S1
S2
x = k (0 < k < ln 4)
k
chia
thành hai phần có diện tích là
và
như hình vẽ bên. Tìm để
S1 = 2 S2

.
y

S2
S1
x
O

k

ln 4


A.

2
k = ln 4
3

.

B.

k = ln 2

k = ln

.

C.

8
3

D.

k = ln 3

.

Hướng dẫn giải
Chọn D.
k

ln 4

k

S1 = ∫ e x dx = e x 0 = e k − 1

S2 =

0

∫ e dx = e
x

x ln 4
k

= 4 − ek

k

Ta có

và

.

S1 = 2 S2 ⇔ ek − 1 = 2 ( 4 − e k ) ⇔ k = ln 3
Ta có

.

Vấn đề 2: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường

y = f ( x), y = g ( x), x = a, x = b
x = −1; x = 1

y = x 3 − x; y = 2 x
Câu 14.

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số
được xác định bởi công thức.

và các đường

1

S=

1

3
∫ ( 3x − x ) dx .

S=

−1

A.
S=

∫( x

−1

1

3

3

−1

B.
0

∫ ( 3x − x ) dx.

0

− 3x ) dx + ∫ ( 3x − x ) dx.

S=

3

1

∫ ( 3 x − x ) dx + ∫ ( x
3

−1

0

C.

0

3

− 3x ) dx.

D.
Hướng dẫn giải

Chọn C.
Xét phương trình

x3 − x = 2 x ⇔ x3 − 3 x = 0 ⇔ x = 0

hoặc

x = ± 3.

1

S=

∫

x 3 − 3x dx =

−1

0

1

−1

0

3
3
∫ ( x − 3x ) dx + ∫ ( 3x − x ) dx.

Diện tích hình phẳng được tính bởi công thức

Vấn đề 3: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường

y = f ( x), y = g ( x)

( C1 ) : y = x 2 + 2 x
Câu 8.

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị
S=
A.

83
12

S=
.

B.

15
4

và
S=

.

( C2 ) : y = x 3

37
12

C.
.
Hướng dẫn giải

.
S=
D.

9
4

.


Chọn C.

Phương trình hoành độ giao điểm:
0

S=

∫x

−1

x = 0
x = 0

x2 + 2 x = x3 ⇔  2
⇔
 x = −1; x = 2
x − x − 2 = 0
2

3

− x 2 − 2 x dx + ∫ x 3 − x 2 − 2 x dx =
0

.

5 8 37
+ = .
12 3 12

Diện tích hình phẳng là:
x − y +1 = 0

y = x3 − 3x 2 + 4
Câu 25.

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
.
A.

0

(đvdt).

B.

4

và đường thẳng

8

(đvdt).

C. (đvdt).
Hướng dẫn giải

D.

6

(đvdt).

Chọn C.
y = x +1

y = x3 − 3x 2 + 4

Phương trình hoành độ giao điểm của hai đường

và

x = 3

⇔  x = 1
 x = −1
x3 − 3x 2 + 4 = x + 1 ⇔ x3 − 3x 2 − x + 3 = 0

S=

1

3

−1

1

3
2
3
2
∫ ( x − 3x − x + 3) dx + ∫ ( x − 3x − x + 3) dx

Diện tích

=8

.

Vấn đề 4: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi nhiều đường cong (>2 đường cong)
Vấn đề 5: Diện tích

S

giới hạn bởi các đường:

x = g ( y) x = h( y) h( y)
[ c, d ]
- Đồ thị của
,
,
liên tục trên đoạn
.
x = c, x = d
- Hai đường thẳng
d

S = ∫ g ( y ) − h ( y ) dy
c

y = x2 −1
Câu 9.

Viết công thức tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
x=2
đường thẳng
.

, trục hoành và

là

∫x

S=

2

S = ∫ x − 1 dx

S=

2

− 1 dx

−1

A.

2

1

2

0

−1

B.

∫( x

2

1

− 1) dx

S = ∫ x 2 − 1 dx
0

C.

D.

Hướng dẫn giải
- Phương pháp:
y = f ( x)

+Tìm hoành độ giao điểm của hàm số
S=

x1

∫

x0

x2

f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx + ... +
x1

x 0 < x1 < ... < x n < a

với trục hoành giả sử

a

∫ f ( x ) dx

xn

+
f ( x ) = 0 ⇔ x = ±1

- Cách giải: Xét phương trình
1

⇒S=

∫x

−1

2

2

− 1 dx + ∫ x − 1 dx =

2

1

2

∫x

2

− 1 dx

−1

y = x2
Câu 10.

Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị
S=

A.

8
9

S=

B.

16

3

C.

, trục hoành và đường thẳng
S=

S = 16

D.

x=2

.

8
3

Hướng dẫn giải
f ( x)

- Phương pháp: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số

liên tục, trục hoành và hai

b

S = ∫ f ( x ) dx

x = a; x = b

đường thẳng

a

được tính theo công thức
2

S= ∫
0

- Cách giải: Áp dụng công thức ta có

2

x3
x dx = ∫ x dx =
3
0
2

2

=

2

0

8
3

Dạng 17:

TÍNH THỂ TÍCH VẬT THỂ

Vấn đề 6: Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh bởi miền
x = a, x = b

( D)

y = f ( x) ; y = 0
giới hạn bởi

và

Ox.

khi quay quanh trục

y = x 2 − 2x
Câu 26.

Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường
, trục hoành, trục tung, đường thẳng
Tính thể tích V hình tròn xoay sinh ra bởi (H) khi quay (H) quanh trục Ox.
V=

8π
15

V=
B.

4π
3

V=
C.

15π
8

V=
D.

x =1

.

7π
8

A.
- Phương pháp: Công thức tính thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
y = f ( x)

x = a, x = b ( a < b )

, trục Ox và hai đường thẳng

quay xung quanh trục Ox là

b

V = π∫ f 2 ( x ) dx
a

- Cách giải: Áp dụng công thức ta có
1

 x5
x3 
8π
V = π ∫ ( x − 2x ) dx = π∫ ( x − 4x + 4x ) dx = π  − x 4 + 4 ÷ =
3  0 15
 5
0
0
1

2

1

2

4

3

2

Vấn đề 7: Tính thể tích vật thể tròn xoay khi cho hình phẳng giới hạn bởi:
quay quanh trục

y = g ( x)
và

Ox.

(H)

Câu 27.

y = f ( x)

y = x 2 ; y = 0; x = 2.

Cho hình phẳng

giới hạn bởi các đường
(H)
Ox
xoay thu được khi quay
quanh trục
.
8
32
V= .

V= .
3
5
A.
B.

Tính thể tích

V=

C.

8π
.
3

Hướng dẫn giải
Chọn D.
Vẽ phác họa hình thấy ngay miền cần tính

D.

32π
5

V

của khối tròn

2

V = π ∫ x 4 dx =
0

π 5 2 32π
x =
5 0
5
.

(H)
Câu 28.

y = x2

Thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng
giới hạn bởi
là
72π
72π
81π
10
5
10
A.
(đvtt).
B.
(đvtt).
C.

(đvtt).
Hướng dẫn giải

y = x+2
và

D.

quanh trục
81π
5

Ox

(đvtt).

Chọn B

Phương trình hoành độ giao điểm

72π
V = π ∫  x 4 − ( x + 2 )  dx =
−1 

5
2

Thể tích cần tìm là

 x = −1

x2 = x + 2 ⇔ 
x = 2

.

2

.

Vấn đề 8: Tính thể tích vật thể tròn xoay khi cho hình phẳng giới hạn bởi:
x = g ( y ) ;  x = 0 và y = a; y = b

Oy
quay xung quanh trục

Vấn đề 9: Tính thể tích vật thể tròn xoay khi cho hình phẳng giới hạn bởi:

x = g ( y ) ;  x = f ( y )

Oy
quay xung quanh trục

Vấn đề 10: Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh bởi miền (D) giới hạn bởi một đường cong
BÀI 4:

TÍCH PHÂN CHỐNG CASIO

a

∫ ( 2x − 3) dx = −2

0

Câu 29.

Biết
a = −2
A.

. Tính giá trị của tham số a.
B.

a =3

C.

a =1

a = 1, a = 2
D.

Hướng dẫn giải
Phương pháp: Tính tích phân theo tham số a => giải phương trình tìm a
- Cách giải:

( C)
kín


a

∫ ( 2x − 3) dx = −2 ⇔ ( x
0

2

a
a = 1
− 3x ) = −2 ⇔ a 2 − 3a + 2 = 0 ⇔ 
0
a = 2

4

1

I = ∫ f ( x)dx = 2.

I = ∫ f (4 x )dx.

0

Câu 30.

Cho

A.

0

Tính

I =8

I=
.

B.

1
2

.

I =4
C.
.
Hướng dẫn giải

D.

I =2

.

Chọn B.
1

I = ∫ f ( 4 x ) dx =
0

1

1
1
1
f ( 4 x ) d ( 4 x ) = .2 = .
∫
40
4
2

BÀI 5:

Câu 2.

BÀI TOÁN THỰC TẾ
Trong chương trình nông thôn mới, tại một xã X có xây một cây cầu bằng bê tông như hình vẽ.
Tính thể tích khối bê tông để đổ đủ cây cầu. (Đường cong trong hình vẽ là các đường Parabol).
A.

19m3

.

B.

21m3

.

C.

18m3 .

D.

Hướng dẫn giải
Chọn D.
Oxy
Chọn hệ trục

như hình vẽ.
y

O

x

Ta có

( P1 ) : y = ax
Gọi

2

+c
là Parabol đi qua hai điểm

 19 
A  ;0 ÷, B ( 0; 2 )

 2 

40m3

.